1. Clase del día 17 de Noviembre del 2010
Matriz de transformación
x
y
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
Se aplico la matriz identidad y sucede que es la reflexión del ventor V con coordenadas (x, y)
1 0 x x
0 1 y = y
Matriz de transformación se aplica sobre el vector
1 0 x x
0 0 y = 0
Proyecta al vector V en x
0 0 x 0
0 1 y = y
Proyecta al vector V en y
-1 0 x -x
0 -1 y = -y
V

2. Reflejo del vector sobre la recta con pendiente m=-1
1 0 x x
0 -1 y = -y
Reflejo sobre el eje x
-1 0 x -x
0 1 y = y
Reflejo sobre el eje y
0 1 x y
1 0 y = x
Reflejo del vector sobre la recta con pendiente m=1
0 -1 x -y
1 0 y = x
Rotación de 90º en dirección a las manecillas del reloj
0 1 x y
-1 0 y = -x
Rotación de 90º en dirección contraria a las manecillas del reloj
α 0 x α y
0 α y = α x
Extensión de α (hace grande o chico al vector)
α 0 x αx
0 1 y = y
Extensión en x
1 0 x x
0 α y = αy

3. Extensión en y
Nota: Si se da una matriz de 3x3 y un vector de 3 coordenadas entonces el vector se
encuentra en un plano de R3
Cálculo de los valores característicos por medio de la descomposición QR
2 3 7
A= 6 4 -1 Obtener Q R Matriz A1= RQ Descomponer
-2 -1 5 A1 en QR
A1 = Q1 R1
Obtener Descomponer A2 en QR Obtener ...
A2 = R1 Q1 A2 = Q2 R2 A3 = R2 Q2
Llega un momento en que va a aparecer la matriz triangular superior; es decir
Aj= U
λ1 - -
= 0 λ2 - Valores Característicos
0 0 λ3
Ejemplo:
2 3 7
A= 6 4 -1
-2 -1 5
0.3015 0.9358 -0,1826
Q= 0.9045 -0.2202 0.3651
-0.3015 0.2751 0.9129

4. 6.6332 4.8242 -0.3015
R= 0.0000 1.6514 8.1471
0.0000 0.0000 2.9212
6.4543 5.0621 0.2749
A1= -0.9627 1.8784 8.040
-0.8807 0.8039 2.6668
0.9802 0.1930 -0.0450
Q1= -0.1462 0.8576 0.4931
-0.1337 0.4767 -0.8688
6.5849 4.5796 -1.2627
R1= 0.0000 2.9710 8.2199
0.0000 0.0000 1.6354
5.9538 4.5964 3.0589
A2= -1.5334 6.4664 -5.6764
-0.2187 0.7796 -1.4208
0.9678 0.2517 -0.0048
Q2= -0.2493 0.9606 0.1230
-0.0355 0.1179 -0.9924
6.1520 2.8088 4.4257
R2= 0.0000 7.4605 -4.8502
0.0000 0.0000 0.6970
5.0966 4.7684 -4.0761
A3= -1.6877 6.5947 5.7310
-0.0247 0.0822 -0.6917
0.9493 0.3144 -0.0006
Q3= -0.3144 0.9492 0.0129
-0.0046 0.0120 -0.9999
5.3688 2.4532 -5.6678
R3= 0.0000 7.7599 4.1502
0.0000 0.0000 0.7678

5. 4.3514 3.9485 5.6957
A4= -2.4588 7.4155 -4.0497
-0.0035 0.0092 -0.7677
0.8706 0.4920 -0.0001
Q4= -0.4920 0.8706 0.0013
-0.0007 0.0011 -1.0000
4.9980 -0.2104 6.9516
R4= 0.0000 8.3986 -0.7246
0.0000 0.0000 0.7621
4.4499 2.2835 -6.9524
A5= -4.1316 7.3110 0.7355
-0.0005 0.0008 -0.7621
0.7328 0.6804 0.0000
Q5= -0.6804 0.7328 0.0001
-0.0001 0.0001 -1.0000
6.0722 -3.3011 -5.5953
R5= 0.0000 6.9114 -4.1916
0.0000 0.0000 0.7622
6.6963 1.7119 5.5950
A6= -4.7021 5.0643 4.1923
-0.0001 0.0001 -0.7622
0.8184 0.5747 0.0000
Q6= -0.5747 0.8184 0.0000
0.0000 0.0000 -1.0000
8.1823 -1.5093 2.1697
R6= 0.0000 5.1283 6.6462
0.0000 0.0000 0.7623

6. 7.5638 3.4672 -2.1697
A7= -2.9472 4.1970 -6.6462
0.0000 0.0000 -0.7623
0.9318 0.3631 0.0000
Q7= -0.3631 0.9318 0.0000
0.0000 0.0000 -1.0000
8.1177 1.7069 0.3913
R7= 0.0000 5.1694 -6.9804
0.0000 0.0000 0.7623
6.9443 4.5380 -0.3913
A8= -1.8770 4.8168 6.9804
0.0000 0.0000 -0.7623
0.9654 0.2609 0.0000
Q8= -0.2609 0.9654 0.0000
0.0000 0.0000 -1.0000
7.1935 3.1239 -2.1991
R8= 0.0000 5.8340 6.6365
0.0000 0.0000 0.7623
Se puede notar que los valores de la matriz A se empiezan a repetir por lo que nos lleva a concluir que están
apareciendo los valores característicos.
También se puede simplificar todas estas operaciones sacando el polinomio y los valores característicos de la
matriz original.
2 3 7
A= 6 4 -1
-2 -1 5
2-λ 3 7
A= 6 4- λ -1
-2 -1 5- λ

7. = 2-λ [ (4- λ) (5- λ) – (-1) (-1) ] -3 [ (6) (5- λ) – (-1) (-2) ] + 7 [ (6) (-1) – (4- λ) (-2) ]
= 2-λ [ (20 -9λ+ λ2 ) – (1) ] -3 [ (30- 6 λ) – (2) ] + 7 [ (-6) – (-8+ 2 λ) ]
= 2-λ [ -9λ+ λ2 + 19 ] -3 [ - 6 λ + 28 ] + 7 [ 2- 2 λ) ]
= -18λ+ 2λ2 + 38 +9λ2 –λ3 - 19 λ +18 λ -84 + 14 -14 λ
= –λ3 + 11λ2 -33λ -32
Valores:
λ1 = -0.7625
λ2 = 5.8812
λ3 = 5.8812
PROBLEMAS
A= 2 6
1 3
Q= 0.8944 -0.4472
0.4472 0.8944
R= 2.2361 6.2610
0.0000 3.5777
A1= 4.7999 4.5999
1.5999 3.1999
Q1= 0.9487 -0.3162
0.3162 0.9487
R1= 5.0595 5.3757
0.0000 1.5811
A2= 6.4997 3.5001
0.4999 1.5000
Q2= 0.9971 -0.0767
0.0767 0.9971
R2= 6.5189 3.6048
0.0000 1.2272
A3= 6.7765 3.0943
0.0941 1.2236

8. Q3= 0.9999 -0.0139
0.0139 0.9999
R3= 6.7772 3.1110
0.0000 1.1805
A4= 6.8198 3.0165
0.0164 1.1804
Q4= 1.0000 -0.0024
0.0024 1.0000
R4= 6.8198 3.0193
0.0000 1.1731
A5= 6.8270 3.0029
0.0028 1.1731
Q5= 1.0000 -0.0004
0.0004 1.0000
R5= 6.8270 3.0034
0.0000 1.1719
A6= 6.8282 3.0007
0.0005 1.1719
Q6= 1.0000 -0.0001
0.0001 1.0000
R6= 6.8282 3.0008
0.0000 1.1717
A7= 6.8285 3.0001
0.0001 1.1717
Q7= 1.0000 0.0000
0.0000 1.0000
R7= 6.8285 3.0001
0.0000 1.1717
A8= 6.8285 3.0001
0.0000 1.1717
Q8= 1.0000 0.0000
0.0000 1.0000

9. R8= 6.8285 3.0001
0.0000 1.1717
Rotación
α en z

10. R8= 6.8285 3.0001
0.0000 1.1717
Rotación
α en z