1. Obiettivo Specifico di Apprendimento n. 12
Le medie e la disuguaglianza
(a cura di Celia Di Foggia e Raffaele Prosperi)
celiadifoggia@gmail.com, raffaeleprosperi@gmail.com

2. Le medie e la disuguaglianza
Prerequisiti
 generali



Potenze
Calcolo algebrico
Radici quadrate
 per approccio geometrico



Circonferenze
Triangoli
Triangoli inscritti in una circonferenza

3. Le medie e la disuguaglianza
Il percorso con approccio deduttivo
prevede l’utilizzo delle metodologie:
- problem solving
- scoperta guidata

4. Le medie e la disuguaglianza
Analisi
 La diseguaglianza richiama un concetto centrale
della statistica (le medie) e una proprietà che
riguarda due esempi tipici di medie e permette un
ponte tra l’algebra, la geometria e la statistica.
 Si tratta di un problema di sintesi per valutare le
competenze acquisite entro il termine del primo
biennio della scuola secondaria superiore.

5. Le medie e la disuguaglianza
Proposta didattica per le medie
Introdurre progressivamente gli elementi fondamentali della
statistica descrittiva stimolando gli alunni ad individuarli a
partire da semplici problemi su situazioni della vita
quotidiana; inizialmente non fornire nomi e definizioni ma
guidare la classe all’individuazione di elementi che possano
risolvere problemi posti man mano dal docente.

6. Si articola in due punti:
 sulle medie
 sul metodo di verifica della disuguaglianza:



come confronto tra media geometrica e aritmetica
algebrico
geometrico

7. Le medie e la disuguaglianza
Le azioni da svolgere sono:
-
partire da un problema pratico (generico, fisico, economico)
secondo la collocazione nel percorso didattico,
secondo le interdisciplinarietà:
- specifiche del corso di studi
- particolari create all’interno del consiglio di classe
-
arrivare a definire in modo naturale la moda, la mediana e
la media in generale, gli indici di variazione
-
giungere, per applicazione a casi differenti, ad individuare
(e successivamente definire) le diverse medie. In seguito
prevedere anche approcci deduttivi in cui formalizzare i
concetti appresi.

8. Le medie e la disuguaglianza
Gli argomenti dovrebbero essere trattati anche
con l’ausilio di strumenti informatici (calcolatrici,
LIM, PC, software generici e specifici) e devono
riguardare il più possibile casi della vita
quotidiana o affrontati nello studio di altre
discipline

9. Le medie e la disuguaglianza
Esempio di percorso deduttivo
Presentare due tabelle in cui vengono forniti i
dati relativi alla temperatura rilevata nelle 24 ore
(ora per ora) di un determinato giorno
rispettivamente nelle città di Torino e Bari.

10. Torino
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9,0
8,8
8,5
8,1
8
8,9
9,3
10,5
11,2
15,4
20,4
24,0
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
26,2
27,1
26,3
26,1
24,5
22,6
20,4
19,6
15,7
13,1
12,5
10,8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8,9
9,0
8,5
8,3
8,2
8,7
9,0
10,1
12,1
13,7
18,8
23,2
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25,4
23,6
27,3
26,1
23,6
21,4
20,4
19,2
14,1
11,2
11,1
10,1
Bari

11. Le medie e la disuguaglianza
 provare ad ottenere un’unica tabella dei dati da
cui si possano ottenere le stesse informazioni
rispetto a quelle assegnate
 riportare le informazioni su un grafico, anche per
solo una parte della giornata
 individuare un criterio per stabilire in quale delle
due città è più facile trovare temperature molto
diverse tra loro (portando al concetto di indice di
dispersione rispetto alla media)

12. Le medie e la disuguaglianza
Successivamente chiedere agli alunni:
 di
stabilire in quale città si è presentata la
temperatura più elevata e a che ora del giorno
 di stabilire qual è la temperatura che ricorre più volte
 di individuare un metodo per stabilire in quale città
ha fatto più caldo durante la giornata (senza
introdurre il concetto di media, ma pilotando la
discussione in modo da portare la classe ad
individuare la necessità di tener conto di tutte le
temperature e di dover determinare un valore di
sintesi)

13. Le medie e la disuguaglianza
 di provare ad ottenere un’unica tabella dei dati da cui
si possano ottenere le stesse informazioni rispetto a
quelle assegnate
 di riportare le stesse informazioni su un grafico,
anche per solo una parte della giornata
 di individuare un criterio per stabilire in quale delle
due città è più facile trovare temperature molto
diverse tra loro (portando al concetto di indice di
dispersione rispetto alla media)

14. Le medie e la disuguaglianza
Successivamente, una volta calcolata la media:
 aggiungere ad una delle due serie uno o più
valori coincidenti con il valor medio e far
ricalcolare il nuovo valor medio, che deve
risultare uguale al precedente, cioè deve
rimanere invariato. Condurre alla proprietà che la
media non varia se alla serie di valori ne
vengono aggiunti uno o più uguali alla media
stessa.

15. Le medie e la disuguaglianza
 moltiplicare ogni valore per un uguale numero
(b); far ricalcolare la media e far scoprire che il
suo valore è b volte quello precedente;
condurre alla relativa proprietà della media

16. Le medie e la disuguaglianza
 fornire la definizione di media (unica) come il
valore reale che, sostituito uguale a tutti i valori
della serie, mantiene inalterato il risultato
 applicare il metodo generale di calcolo della
media in vari casi, mostrando che il modello non
è unico, ma può variare secondo la situazione
(aritmetica, geometrica, quadratica, armonica)

17. Le medie e la disuguaglianza
 aggiungere alla serie di numeri un ulteriore gruppo la cui
media è uguale a quella dei valori già inseriti; far
ricalcolare la media complessiva scoprendo che resta
invariata e condurre alla proprietà sulla media ottenuta
aggiungendo ad una serie di numeri altri numeri con
media uguale
 aggiungere ad ogni valore un uguale numero (a); far
ricalcolare la media e far scoprire che il suo valore è
aumentato della quantità a; condurre alla relativa
proprietà della media

18. Le medie e la disuguaglianza
Per la parte riguardante gli indici di dispersione:
 proporre due serie diverse di numeri, come nel
caso delle temperature, che diano come medie
un numero intero uguale per entrambe;
calcolarne le medie mostrando che sono uguali
e chiedere quale delle due serie è meglio
rappresentata dalla media, cioè per quale delle
due la media rappresenta meglio l’andamento
generico

19. Le medie e la disuguaglianza
 Esempio:
Anni dei componenti di un gruppo di studenti universitari del primo
anno che studiano insieme
1
2
3
4
5
19
20
18
19
19
Media = 19

20. Le medie e la disuguaglianza
Anni dei componenti di una famiglia
1
2
3
4
5
40
37
9
6
3
Padre
Madre
I figlio
II figlio
III figlio
Media = 19

21. Le medie e la disuguaglianza
La media è la stessa (19) nei due casi, ma nel
primo rappresenta molto bene tutti gli elementi,
nel secondo è molto poco rappresentativa di tutti
e 5 gli elementi inseriti.

22. Le medie e la disuguaglianza
 Guidare a trovare un criterio per stabilire quando la
media è più o meno rappresentativa del fenomeno da cui
deriva e introdurre lo scarto semplice. Far calcolare la
somma degli scarti, dimostrando che quella degli scarti
semplici è sempre zero e, quindi, non utile per
determinare dispersioni dei dati; far notare che il risultato
nullo dipende dalla presenza di valori sia negativi che
positivi e che quindi bisogna trasformare gli scarti in
valori tutti positivi (elevandoli al quadrato o usando il
valore assoluto)
 Far calcolare la somma degli scarti quadratici
 Far calcolare la media degli scarti quadratici

23. Le medie e la disuguaglianza
Fornire esempi di verifica degli indici:
Di centralità
 Moda
 Mediana
 Media
Di variazione
 Scarto quadratico medio
 Varianza

24. Le medie e la disuguaglianza
Disuguaglianza
La verifica della disuguaglianza può essere
effettuata con tre differenti approcci:
- Algebrico
- Statistico
- Geometrico

25. Le medie e la disuguaglianza
Approccio algebrico
Al primo membro è presente una radice di ordine
pari, per cui il prodotto a b deve essere
necessariamente non nullo. Non è possibile che
siano entrambi negativi, perché si avrebbe una
quantità positiva al I membro minore di una
quantità negativa al II, che non verifica la
disuguaglianza. Pertanto, l’unico caso da studiare
è quello in cui sia a che b sono positivi o nulli.

26. Le medie e la disuguaglianza
Approccio algebrico
In particolare,
→ a≠b
→ a=b

27. Le medie e la disuguaglianza
Approccio algebrico
A questo punto è sufficiente elevare al quadrato
entrambi i membri della disuguaglianza, il cui verso
resta lo stesso per le considerazioni precedenti: si ha
ab ≤ (a2 + b2 + 2ab) / 4
da cui
(a2 + b2 - 2ab) ≥ 0 → (a – b)2 ≥ 0 → ∀(a,b) ∈[0; +∞ [

28. Le medie e la disuguaglianza
Approccio statistico
Considerare quali valori possono assumere a e
b (vedi soluzione algebrica), considerare che la
quantità al primo membro costituisce la media
geometrica (semplice) dei valori a e b mentre
quella al secondo membro ne è la media
aritmetica (semplice) e che tra tali medie esiste
sempre la disuguaglianza indicata.

29. Le medie e la disuguaglianza
Approccio geometrico
Dopo le opportune considerazioni sui valori che
possono assumere a e b (vedi soluzione
algebrica), dovendo essere entrambi positivi,
possono essere considerati come le proiezioni
sull’ipotenusa dei cateti di un triangolo rettangolo;
il
triangolo
viene
inscritto
in
una
semicirconferenza in modo che l’ipotenusa
coincide con il diametro
è il raggio della circonferenza, l’altezza h del
triangolo è una corda, per cui

30. Le medie e la disuguaglianza
Approccio geometrico
Essendo, per il secondo teorema di Euclide,
l’altezza h medio proporzionale tra le due
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, si ha
per cui la disuguaglianza risulta verificata.