Resumen de las principales cónicas que se dan en secundaria, formulario y dibujos explicativos de los principales componentes de cada cónica.

1. Formulario De Cónicas
Cristobal López Silla - Licenciado En Matemáticas

2. Cónicas
Una cónica o sección cónica es un lugar geométrico que se obtiene al intersec-
tar un plano con un cono.
Si el plano no pasa por el vértice se obtienen las cónicas no degeneradas: circunferencia, elipse,
parábola e hipérbola.
Si el plano corta el vértice se obtienen las cónicas degeneradas: un punto, una recta generatriz del
cono, dos rectas que se cortan en el vértice del cono.
Figura 1: Diferentes Cortes de un plano con un cono
(1) Parábola (2) Elipse (arriba) y Circunferencia (abajo) (3) Hipérbola
Fuente Wikipedia1
2

3. Formulario Cónicas Formulario 3
Circunferencia
Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo
y coplanario llamado Centro en una cantidad constante llamada Radio.
..
diámetro
.
Long. Arco
.radio.
secante
.
cuerda
.
tangente
Figura 2: Principales Elementos De La Circunferencia
Longitud Circunferencia: L = 2 · π · r
Longitud Arco Circunferencia: L =
2 · π · r · α
360◦
/α es el ángulo del arco.
Área Circunferencia: A = π · r2
Ecuaciones De La Circunferencia
Coordenadas Cartesianas: Sea C = (a,b) el Centro de la circunferencia y r su radio. Representa-
mos la circunferencia de centro C y radio r en cartesianas como:
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
Si el centro es el origen de coordenadas se representa por:
x2
+ y2
= r2
Si además, el radio es r = 1, se le denomina Circunferencia Unidad o Circunferencia Goniomé-
trica x2 + y2 = 1.
3 Cónicas

4. Formulario Cónicas Formulario 4
Desarrollemos (x − a)2 + (y − b)2 = r2 para obtener la Forma General de la Circunferencia:
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
⇒ x2
− 2ax + a2
+ y2
− 2by + b2
= r2
⇒ x2
+ y2
− 2ax − 2by + b2
− r2
= 0
Definimos lo siguiente:
A = −2a, B = −2b, C = b2
− r2
Lo sustituimos en la última expresión y obtenemos:
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0 → Forma General De La Circun f erencia
Ecuación Vectorial: De centro C = (a,b) y radio R, tal que θ ∈ [0, 2π[
−→r = (a + R · cos (θ) , b + R · sin (θ))
Ecuación Paramétrica: De centro C = (a,b) y radio r. Lo expresamos en forma de función:
f (t) = (a + r · cos(t), b + r · sin(t)) ∀ t ∈ [0,2π]
4 Cónicas

5. Formulario Cónicas Formulario 5
Elipse
Lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las
distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
..C.
b
.
-b
. a.-a .F1 . F2.
c
.
a
.
b
.
P
.
x =
a2
c
.
D
. d
Figura 3: Principales Elementos De La Elipse
Área: A = 2 · π · a · b
Elementos de una Elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a 2 ejes perpendiculares entre sí, que
son los semiejes:
Semieje Mayor: En la figura es el que va de -a hasta a. Su valor es 2 · a
Semieje Menor: En la figura es el que va de -b hasta b. Su valor es 2 · b
Si la elipse es vertical, entonces se tiene:
Semieje Mayor: Va de -b a b. Su valor es 2 · b
Semieje Menor:Va de -a a a. Su valor es 2 · a
Miden la mitad de los ejes mayor y menor, respectivamente.
Focos: Son 2 puntos que están a la misma distancia del centro de la elipse.
d(F1, C) = d(F2, C) ⇒ Distancia Focal
Dado un punto cualquiera P de la elipse, se cumple:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2 · a
5 Cónicas

6. Formulario Cónicas Formulario 6
Si consideramos F1 = (−c,0), F2 = (c,0), siendo c = d(C,F1) = d(C,F2), la distancia de uno de los
focos al centro de la elipse. Se define:
Distancia Focal: Es el valor 2 · c
Se cumple la siguiente ecuación fundamental (Ver el triángulo de la figura 2):
a2
= b2
+ c2
La fórmula cambia cuando la elipse es vertical a:
b2
= a2
+ c2
No hace falta que la memorices, sólo hace falta que recuerdes el Teorema de Pitágoras.
Excentricidad (ϵ): Indica la forma de la elipse, cuanto más cerca de cero más se parecerá a una
circunferencia. O lo que es lo mismo, si a = b ⇒ ϵ = 0 ⇒ Circun f erencia
ϵ = c
a ; 0 ≤ ϵ ≤ 1
Como c =
√
a2 − b2 ⇒ ϵ =
√
a2−b2
a2 =
√
1 − (b
a )2
Directrices: ϵ =
PF
PD
Si definimos f = PF d = PD ⇒ ϵ =
f
a
ϵ =
a
d
⇒ d =
a
ϵ
⇒ d =
a
c
a
⇒ d =
a2
c
Luego la directriz para una elipse horizontal centrada en el origen es la recta vertical: x =
a2
c
Si el centro elipse es C(h, k) tenemos:
Directriz Elipse Horizontal: x = h +
a2
c
Directriz Elipse Vertical: y = k +
b2
c
Ecuaciones De La Elipse
Coordenadas Cartesianas: Consideremos el centro de la elipse por C = (x0,y0), con a,b sus semi-
ejes. Se puede expresar la ecuación de la elipse en Cartesianas de forma explícita como:
(x − x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
Paramétricas: Si θ ∈ [0,2π[ Lo expresamos como función paramétrica:
f (θ) = (x0 + a · cos(θ), y0 + b · sin(θ))
6 Cónicas

7. Formulario Cónicas Formulario 7
Parábola
Lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,
llamada Directriz, y a un punto exterior a ella llamado Foco.
..
vértice
.
eje
.
lado recto
.
foco
.
directriz
Figura 4: Principales Elementos De La Parábola
Tomemos la siguiente nomenclatura:
V = (h,k) V ´ertice F = Foco p = d(F,V) → Distancia Focal R = Longitud Lado Recto
Lado Recto: Segmento de la parábola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.
Foco Parábola Vertical: F = (h,k + p)
Foco Parábola Horizontal: F = (h + p,k)
Directriz Parábola Vertical: y = k − p
Directriz Parábola Horizontal: x = h − p
Propiedad Del Lado Recto: R = 4 · p
La parábola es la única sección cónica que cumple que su excentricidad es 1,
e = 1. Luego todas las parábolas son semejantes.
7 Cónicas

8. Formulario Cónicas Formulario 8
Ecuaciones De La Parábola
Denotemos V = (xv, yv) el Vértice de una parábola cualquiera.
1. Vértice En El Origen Y Eje Vertical ⇒ y = a · x2
2. Vértice En El Origen Y Eje Horizontal ⇒ x = a · y2
3. Vértice No En El Origen y Eje Vertical ⇒ (y − yv) = a · (x − xv)2
4. Vértice No En El Origen y Eje Horizontal ⇒ (x − xv) = a · (y − yv)2
5. Forma Explícita y Eje Vertical ⇒ y = ax2 + bx + c
6. Forma Explícita y Eje Horizontal ⇒ x = ay2 + by + c
7. Forma Respecto Distancia Focal (p) ⇒ (x − xv)2 = 4p(y − yv)
Características De La Parábola
Consideremos la forma y = ax2 + bx + c
Si a > 0 → Parábola hacia arriba, el vértice es un Mínimo.
Si a < 0 → Parábola hacia abajo, el vértice es un Máximo.
Calcular Vértice: xv =
−b
2a
. Para calcular yv basta sustituir x por xv en y = ax2 + bx + c
8 Cónicas

9. Formulario Cónicas Formulario 9
Hipérbola
Lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de
la diferencia a sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la
distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
...
y
=
x
y
=
−
x
x = 1√
2
x = −1√
2
a-a C F1F2
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
Hipérbola x2 − y2 = 1
. ..x2 − y2 = 1
. ..y = x
. ..y = −x
.
Semiejes
Es el segmento
[−a, a] = [−1, 1]
El otro semieje es ima-
ginario
Vértices
(±a,0) = (±1,0)
Focos
c2 = a2 + b2 → c =
√
2
F1(
√
2,0) F2(−
√
2,0)
Excentricidad
e = c
a → e =
√
2
Asíntotas
y = ±b
a x → y = ±x
Directrices
x = ±a2
c → x = ± 1√
2
Figura 5: Hipérbola Canónica x2 − y2 = 1
9 Cónicas

10. Formulario Cónicas Formulario 10
Elementos De La Hipérbola
Si consideramos una hipérbola centrada en C = (h, k), tenemos lo siguiente:
Hipérbola Horizontal ⇒
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
Hipérbola Vertical ⇒
(y − h)2
b2
−
(x − k)2
a2
= 1
1. Semieje Hipérbola Vertical: Segmento [−b, b], el otro es imaginario.
2. Semieje Hipérbola Horizontal: Segmento [−a, a], el otro es imaginario.
3. Vértices Hipérbola Vertical: Puntos V(0, ± b)
4. Vértices Hipérbola Horizontal: Puntos V(±a, 0)
5. Distancia Focal Hipérbola: c2 = a2 + b2 → c =
√
a2 + b2
6. Focos Hipérbola Horizontal: F(h ± c, k)
7. Focos Hipérbola Vertical: F(h, k ± c)
8. Excentricidad Hipérbola Horizontal: ϵ = c
a
9. Excentricidad Hipérbola Vertical: ϵ = c
b
10. Asíntotas Hipérbola Horizontal: y = k ± b
a · x
11. Asíntotas Hipérbola Vertical: x = h ± a
b · x
10 Cónicas

11. Formulario Cónicas Formulario 11
12. Directrices Hipérbola Horizontal: x = h ± a2
c
13. Directrices Hipérbola Vertical: y = k ± b2
c
Ecuaciones De La Hipérbola
Denotemos el centro de una hipérbola por C = (h, k).
1. En Cartesianas Y Horizontal ⇒
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
2. En Cartesianas Y Vertical ⇒
(y − h)2
b2
−
(x − k)2
a2
= 1
3. Canónica Vertical ⇒
x2
a2
−
y2
b2
= 1
4. Canónica Horizontal ⇒
y2
b2
−
x2
a2
= 1
5. Paramétricas:
a) Tipo I: f (t) = (h ± a · cosh t, k + b · sinh t) ∀ t ∈ R
b) Tipo II: f (t) = (h + a · sec t, k + b · tan t) ∀ t
6. Compleja: | z − w1 | − | z − w2 |= 2 · l
11 Cónicas

12. Bibliografía
[1] Wikipedia Cónicas.
[2] Wikipedia Circunferencia.
[3] Wikipedia Elipse.
[4] Wikipedia Parábola.
[5] Wikipedia Hipérbola.
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