Matematica - conjuntos

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Matematica - conjuntos

  1. 1. CONJUNTOS
  2. 2. NOÇÕES BÁSICAS  Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.  Por exemplo, no conjunto dos números pares positivos menores que 9, os elementos são 2, 4, 6 e 8.
  3. 3. REPRESENTAÇÃO  Costuma-se representar um conjunto nomeando os elementos um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por vírgu- la. Nesse caso, dizemos que o conjunto está representado em extensão.  Para nomear um conjunto usamos geralmente uma letra maiúscula. A = {2, 4, 6, 8}  A representação em extensão pode ser usada para conjuntos finitos ou infinitos. Exemplos:  Conjunto dos números ímpares positivos: B = {1, 3, 5, ...} conjunto infinito  Conjunto dos números pares positivos menores que 200: C = {2, 4, 6, ..., 198} conjunto finito 
  4. 4.  Também podemos representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês, 1834 – 1923). n(A) = 5 Lê-se: o número de elementos de A é igual a cinco. o Quando é dada uma propriedade característica dos elementos de um conjunto, dizemos que ele está representado por compreensão. A = {x/x é um número par menor que 9}
  5. 5. IGUALDADE DE CONJUNTOS  Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Se dois conjuntos A e B são iguais, indicamos por A = B.  A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é diferente de B).
  6. 6. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA  pertence  não pertence Exemplo: Dado o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}, temos: 6 A 5 A     
  7. 7. CONJUNTO UNIVERSO Em muitas situações é importante estabelecer o conjunto U ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos considerados. Esse conjunto é chamado de conjunto universo. Assim:  Quando estudamos a geometria plana, o conjunto universo é formado por todos os pontos de um dado plano.  Quando estudamos a população humana, o conjunto universo é constituído de todos os seres humanos. Para descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica p de seus elementos, devemos mencionar, de modo explícito ou não, o conjunto universo U no qual estamos trabalhando: A = {x U/ x tem a propriedade p} ou A = {x/x tem a propriedade p}. 
  8. 8. CONJUNTO UNITÁRIO Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. Exemplo: O conjunto P = {x/x é um número primo par e positivo} P = {2}
  9. 9. CONJUNTO VAZIO Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento. Representa-se por { } ou . Exemplo: Seja A o conjunto dos números primos menores que 2. A =  
  10. 10. SUBCONJUNTOS (RELAÇÃO DE INCLUSÃO)  Consideremos os conjuntos A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}.  Observe que qualquer elemento de A também é elemento de B. Nesse caso, dizemos que A está contido em B ou A é subconjunto de B. Indica-se: A B. Podemos dizer também que B A. B contém A   
  11. 11. Veja os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6} Observe que: A B Lê-se: A não está contido em B. B A Lê-se: B não contém A. Observações: 1. Se A B e B A, então A = B. 2. Os símbolos , , e são utilizados para relacionar conjuntos. 3. Para todo conjunto A, tem-se que A A. 4. Para todo conjunto A, tem-se que A.         
  12. 12. CONJUNTO DAS PARTES Se considerarmos um conjunto A finito, é possível construirmos um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos possíveis de A. Esse novo conjunto formado é denominado conjunto das partes de A e representamos por P(A). P(A) = {x/x A} Exemplo: Dado o conjunto A = {1, 3, 5}, então: P(A) = { , {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}. Observação: Para calcular o número de elementos de P(A), basta utilizar a expressão 2n, onde n é o número de elementos de A.  
  13. 13. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS União A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A B = {x/x A ou x B}. Em diagramas: A B A B = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} A B = {a, b, c, d, e, f} A B = A Exemplo: Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Então: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}      
  14. 14. Intersecção A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B. A B = {x/x A e x B}. Em diagramas: A B A B = A B = {c, d} E F = E Exemplo: Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Então: A B = {0, 2, 4}         
  15. 15. Diferença A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A – B = {x/x A e x B}. Em diagramas: A – B A – B = {a, b} A – B = A A – B = {2, 10}  
  16. 16. Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}. Então: A - B = {1, 3, 5} Em diagrama: Se B A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A e indica-se por CA B. CA B = A – B Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então CA B = A – B = {0, 1, 4}. Em diagrama: 
  17. 17. RELAÇÃO ENTRE A UNIÃO E A INTERSECÇÃO n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) Exemplo: Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam apenas Matemática? b) Quantos alunos estudam apenas Física? c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física? d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?  

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