Université de Bouira, Mathématique et informatique Cours codage et représentation de l'information S1

1. 1
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
Module: Codage et représentation de
l'information
1ère
MI S1

2. 2
Plan
• Algèbre de Boole

3. 3
Algèbre de Boole
‫البولياني‬ ‫الجبر‬

4. 4
L'algèbre de Boole
• L'algèbre de Boole, est la partie des mathématiques, de
la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux
opérations et aux fonctions sur les variables logiques.
•‫بالدوال‬ ‫تهتم‬ ‫واللكترونيك‬ ‫والمنطق‬ ‫الرياضيات‬ ‫من‬ ‫م‬‫قس‬
‫المنطقية‬ ‫المتغيرات‬ ‫ذات‬

5. 5
Boole
• Elle fut initiée en 1854 par le
mathématicien britannique George Boole

6. 6
Applications ‫تطبيقات‬

7. 7
Applications ‫تطبيقات‬

8. 8
Applications ‫تطبيقات‬

9. 9
Applications ‫تطبيقات‬

10. 10
Définition
Soit B l'ensemble des valeurs de vérité {VRAI,
FAUX}.
Noté B = {1, 0}
On définit deux lois ET et OU
et le complémentaire NON.
‫نعرف‬B‫ب‬ ‫لها‬ ‫نرمز‬ {‫خطأ‬ ،‫}صح‬ ‫الحقيقة‬ ‫قيم‬ ‫مجموعة‬
B = {1, 0}
‫ل‬ ‫والمتمم‬ ،‫و‬ ،‫أو‬ ‫قانونين‬ ‫ف‬‫نعرف‬

11. 11
Conjonction ‫الوصل‬
a ET b est VRAI <==> a est VRAI et b est
VRAI.
Cette loi est aussi note '.'
‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة‬ "‫ب‬ ‫و‬ ‫"أ‬ ‫القضية‬ ‫بأن‬ ‫الوصل‬ ‫نعرف‬
‫طة‬ ‫بالنقطة‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬ ،‫صحيحا‬ ‫وب‬ ‫صحيحا‬

12. 12
Conjonction ‫الوصل‬
Table de vérité

13. 13
Conjonction ‫الوصل‬
Représentation électrique
a b

14. 14
Conjonction ‫الوصل‬
Symbole

15. Disjonction ‫الفصل‬
a ou b est VRAI <==> a est VRAI ou b est
VRAI.
Cette loi est aussi note '+'
‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة‬ "‫ب‬ ‫أو‬ ‫"أ‬ ‫القضية‬ ‫بأن‬ ‫الوصل‬ ‫نعرف‬
‫طـ‬ ‫بـ‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬ ،‫صحيحا‬ ‫أوب‬ ‫صحيحا‬

16. Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬
Table de vérité

17. 17
Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬
Représentation électrique
a
b

18. 18
Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬
Symbole

19. Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬
Non a est VRAI <==> a est Faux.
Cette loi est aussi note ' '
‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة‬ " ‫أ‬ ‫"ل‬ ‫القضية‬ ‫بأن‬ ‫الوصل‬ ‫نعرف‬
‫بـ‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬ ،‫خاطئا‬''

20. Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬
Représentation électrique
a

21. Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬
Symbole

22. Exercice
Tracer la table de vérité pour l'expression
A+B.C

23. Exercice
A B C B'C A+B'C
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1

24. ‫للعوامل‬ ‫الجبرية‬ ‫الخواص‬
Les propriétés algébriques

25. Priorité des opérateurs
• Pour évaluer une expression logique :
()
NON
ET
OU
‫العوامل‬ ‫أولوية‬

26. Element neutre ‫الحيادي‬ ‫العنصر‬
A + 0 = A
A .1 = A

27. Element absorbant
2‫الماص‬ ‫العنصر‬
A + 1 = 1
A .0 = 0

28. Complémentarité ‫ا‬‫لمتمم‬
0.
1



AA
AA
AA

29. Idempotence ‫التماثل‬
A + A +A + …. +A = A
A .A.....A = A

30. Commutativité ‫التبديل‬
A + B = B + A
A .B = B.A

31. Associativité ‫التجميع‬
(A + B)+C = A + (B+C)
(A .B).C = A.(B.C)

32. Distributivité ‫التوزيع‬
A . (B+C) = A .B+ A.C
(distribution de ET sur OU)
A+(B.C) = (A +B).(A+C)
(distribution de OU sur ET)

33. Simplification ‫تبسيط‬
Démontrer que A+AB = A

34. Simplification ‫تبسيط‬
A+AB = A.1+ A.B (idempotence)
= A.(1+B) (distribution)
= A.1 (absorption)
= A (el. neutre)

35. Simplification ‫تبسيط‬
Démontrer que A+AB = A+B

36. Simplification ‫تبسيط‬
A+AB = (A+A).(A+B) (distribution)
= 1.(A+B) (complément)
= A+B (el. neutre)

37. Redondance ‫ت‬‫كرار‬
Démontrer que
AB + AC + BC = AB +AC

38. Redondance ‫ت‬‫كرار‬
AB + AC + BC =
=AB +AC +BC.(A+A) ( complément)
=AB +AC +ABC+ ABC (distribution)
=(AB +ABC) +( AC + ABC) (commutativité)
=AB(1+C) + AC(1+B) (facteur commun)
= AB.1 + AC.1
= AB + AC

39. 5. Dualité de l’algèbre de Boole
• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET
par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
• Exemple :
0A.A1AA
00.A11A


‫التقابل‬

40. Théorème de DE-MORGANE

41. 6. Théorème de DE-MORGANE
• Le produit logique complémenté de deux variables est
égale au somme logique des compléments des deux
variables.
•La somme logique complémentée de deux variables est
égale au produit des compléments des deux variables.
B.ABA 
BAB.A 

42. 6.1 Généralisation du Théorème DE-
MORGANE à N variables
A.B.C......=A+B+C+..........
A+B+C+...........=A.B.C......
‫المتممات‬ ‫جداء‬ = ‫المجموع‬ ‫متمم‬
‫المتممات‬ ‫مجموع‬ = ‫الجداء‬ ‫متمم‬

43. Exercice
Calculer le complément de
AB+AB

44. exercice
ab+ab=ab.ab
a+b.a+b
a+b.a+b