Critérios

Curso:
EME – Engenharia Mecânica
Aula 5:
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

2
TEORIAS DE
ESCOAMENTO
PLÁSTICO
Critérios de Resistência

3
- CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
 A dedução de relações matemáticas capazes de predizer
as condições em que se inicia o escoamento, quando um
material é submetido a uma combinação de tensões
qualquer, é um importante problema no campo da
plasticidade.
 Sob condições de carregamento uniaxial, como no ensaio
de tração, o escoamento plástico microscópico começa
quando é atingida a tensão de escoamento σ0.
 Ë de se esperar que o escoamento em casos de atuação
de tensões combinadas possa ser relacionado a uma dada
combinação particular das tensões principais.

4
Teorias de Escoamento: Compara-se um dado de
tração com um valor obtido por uma expressão envolvendo
as tensões de um estado complexo.
Em termos de tensões calcula-se e este valor é
comparado com 0 , para definir o escoamento.

As teorias de escoamento fornecem informações como:
: denominada tensão efetiva, tensão representativa, “
flow stress”, tensão verdadeira, etc. É uma propriedade
invariante do material, ou seja, independe do estado de
tensão que age sobre o material.

),,( 321  f

5
Os critérios de escoamento são relações, essencialmente
empíricas, contudo um critério de escoamento deve ser
consistente com certas observações experimentais.
Dentre estas, a mais importante é o fato de não haver
escoamento num sólido contínuo quando submetido simplesmente
à pressão hidrostática (por volta de 258 kg/mm2 ).
Além disso, para um material isotrópico, o critério de
escoamento deve independer da escolha dos eixos, isto é, deve
ser uma função invariante.
Daí o critério de escoamento deve ser uma função dos
invariantes do tensor desviante.

6
- CRITÉRIO DE VON MISES (CRITÉRIO DA
ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA)
Von Mises (1913) propôs que o
escoamento se daria quando o segundo
invariante da tensão desvio, I2’, excedesse
um determinado valor crítico ou, a energia de
distorção elástica atingisse um determinado
valor crítico.

7
2
2
'
KI 
      2
31
2
32
2
212
6
1
'  I
onde:
Para avaliação da constante K, relaciona-se a mesma
ao escoamento num ensaio de tração simples, onde tem-
se:
0; 3201  
KK .36 0
2
0
2
0
2
 
O segundo invariante da tensão desvio, I2’, excedesse
um determinado valor crítico ou, a energia de distorção

8
      2
1
2
31
2
32
2
210
2
1
 
      2
1
222222
0 (6
2
1
xzyzxyzxzyyx  
Assim, manipulando as equações anteriores, obtêm-se
a forma usual do critério de Von Mises:
Ou, em termos de componentes de um estado geral de
tensões:

9
0; 231  
1
2
1
2
1
2
1
2
46   KK
Considerando o estado de tensão de cisalhamento
puro, como produzido num ensaio de torção, tem-se:
Logo, no escoamento, segundo o critério de Von
Mises:
Assim, K representa o limite de escoamento para o
cisalhamento puro (torção). Daí, o critério de Von Mises
prediz que o limite de escoamento em torção será menor
que em tração uniaxial, porque:
0
0
577,0
3


K

10
 Outros pesquisadores se preocuparam em dar um significado
físico para equação de Von Mises.
 Hencky (1924) mostrou que aplicar a equação de Von Mises
seria equivalente a admitir que o escoamento ocorre quando a
energia de distorção atinge um valor crítico.
 A energia elástica de deformação U é a energia gasta para
deformar um corpo elástico sob ação de forças externas.
ÁREA SOB A CURVA CARGA-DEFORMAÇÃO
 A energia total de deformação pode ser separada em um
termo dependente da variação de volume e outro dependente da
distorção em função das tensões principais.
  313221
2
3
2
2
2
10 2
2
1
 
E
U
 PU
2
1

11
 EM TERMOS DOS INVARIANTES DO TENSOR DE TENSÕES
 SABE-SE QUE
GK
GK
E


3
9
   12
2
1
2
2
1 IIE
U
GK
GK
26
23



 III
GK
U 2
2
1
2
1
0 3
6
1
18

E - MÓDULO DE ELASTICIDADE
- POISSOM
G - MÓDULO DE RIGIDEZ
K - MÓDULO DE ELASTICIDADE
VOLUMÉTRICA


12
0, 3201     2
00 2
12
1

G
U dist

0, 3201  
        2
31
2
32
2
210
12
1
 
GDU
Considerando apenas a parcela de distorção:
      2
1
2
31
2
32
2
210
2
1
 
Para um estado uniaxial de tensão
  2
00 2
12
1

G
U Dt
σ1 = σ0 , σ2 = σ3 = 0

13
É importante notar que o escoamento segundo o
critério de Von Mises não depende de uma tensão
normal ou cisalhante particular, mas sim, de uma
função dos valores quadráticos das três tensões
cisalhantes principais.
Uma vez que o critério de escoamento é baseado
em diferenças das tensões normais, ele independe
do componente das tensões hidrostáticas.
Visto que envolve somente termos quadráticos, o
critério de Von Mises apresenta um resultado que
independe dos sinais de cada tensão.

14
- CRITÉRIO DE TRESCA (TEORIA DO
CISALHAMENTO MÁXIMO)
Tresca propôs que o escoamento sob
tensão combinada ocorreria quando a tensão
de cisalhamento máxima atingisse o valor da
tensão de cisalhamento no escoamento sob
tração uniaxial.

15
2
31 


máx
A tensão de cisalhamento máxima é dada por:
onde 1 e 3 são respectivamente as tensões
principais algebricamente maior e menor.

16
22
0
0
31 


 

máx
0; 3201  
01031 ;  
Para tração uniaxial:
a tensão de cisalhamento no escoamento é:
2
0
0

 
Assim, Tresca pode ser escrito como:
Na equação de Tresca

17
2
2 0
031

 
Para um estado de cisalhamento puro:
Assim, Tresca pode ser escrito como:
 2'' 3131 
0
;
2
31





18
Nota-se, matematicamente, que este critério é
menos complicado do que o critério de Von Mises, e
por esta razão é bastante usado em projetos de
engenharia.
Contudo, o mesmo não leva em consideração a
tensão principal intermediária, logo, sua maior
dificuldade está na necessidade de saber, a priori,
quais são as tensões principais máximas e mínimas.
Além disso, o fundamento matemático desse
critério é muito mais complicado. Razão pela qual é
mais preterido na maioria dos trabalhos teóricos.

19
      2
1
222222
0 (6
2
1
xzyzxyzxzyyx  
      2
1
2
31
2
32
2
210
2
1
 
Pelo critério de Von Mises:
ou
Para tração uniaxial: 0; 3201  
  10
2
1
2
10
2
1
2
1
 

20
Para o estado de cisalhamento puro:
   2
1
22
1
222
0 6
2
1
4
2
1
 
0; 231  
 30 
3
0
 
Logo, o critério de Von Mises prevê que
o limite de escoamento em torção será
menor que em tração uniaxial.

21
compressão
uniaxial  = 0x =
Tresca
Von Mises
0
cisalhamento
puro
x = 1
0
0
2
tração uniaxial
1
= -1
1

x =
0
2
2
tração biaxial
balanceada
2
= 1
1
2
Superpondo Tresca e Von Mises.

22
22
310 


T
3
0
 VM
%1515,1
3
2
2
3
0
0





T
VM
A máxima diferença entre Tresca e Von Mises ocorre
em cisalhamento puro:
Tresca:
Von Mises:

23
Expansão da superfície de escoamento:
O encruamento caracteriza varias curvas,
tanto para o critério de Tresca, como para o
critério de Von Mises (expansão isotrópica).

24
Expansão da superfície
de escoamento(condição
instantânea).
Curva tensão-deformação efetiva.
Curva de escoamento. Carregamento
e descarregamento.
pouco +
encruada
1
2
+ encruada
ainda
deformação
residual



25
Avaliação da deformação efetiva:
A deformação efetiva pode ser medida de
três modos:
I – Supõe-se que a deformação efetiva é
numericamente igual a maior deformação
envolvida num processo
 321  p  1
*
deformação efetiva

26
II –  2
1
2
31
2
32
2
21 )()()(
3
2
 
Foi proposta por Dorn, e está associada
com a deformação octaedral.
Quando , o material escoa.0 
III – A máxima deformação de cisalhamento
em tração é igual a máxima deformação num
estado complexo de deformação.

27
Da tração simples, vem:
22
, 0
3
0
201



  e
2
2
3
2
2
2
0
0
0
31



 








 máx
Em um estado tridimensional de
deformação, :321  

28
2
31 


máx
Logo:
)(
3
2
2
3
310310  
“ As expressões para a deformação efetiva
procuram expressa-la de modo a fornecer um
encruamento que seja equivalente ao encruamento
observado sob estado complexo de deformação”.

29
A curva , é conhecida como curva tensão-
deformação universal do material. É independente do
estado de tensão (propriedade).


Curva tensão-deformação universal de um material.
 x

30
Exercício 7.1:
Um vaso de pressão cilíndrica de extremidade fechadas
é sujeita a pressão interna. O vaso é fabricado de um aço
cuja tensão de escoamento é 42000psi e suas dimensões
são D = 10ft e t = 3in. Desprezando as tensões locais nas
extremidades do vaso, determinar a pressão necessária
para produzir o escoamento segundo o critério de Tresca e
von Mises. Considerar de modo análogo o caso do
escoamento para esse mesmo aço usando o critério de Hill,
supondo que o coeficiente de anisotropia plástica normal
seja R = 1,4.

31
 
d
P
t
PD
t
LdLt
d
d
2
Pr
Pr
2
sen2
2













P
z
t
PD
rtrP
z
z
4
22





32
Substituindo em Tresca:
psiPP
FS
r
2100
3.2
)12.10(
42000
00
0


  

Substituindo em Von Mises:
      2
1
222
0
2
1
zrrz   
       zzzzz  322
2
1
0
2
1
222
0 

33
psiPP 87,2424
3.4
)12.10(
342000


Substituindo em Hill:
222
)1()1(2)1( azz RRRR   
222
)14,1()14,1()2(4,1.2)2)(14,1( azzzz  
psiPP
za
96,2571
3.4
12.10.
63,142000
.63,1








 

34
Exercício 7.2:
Uma barra de 2’’ de diâmetro foi tracionada até 10000
psi, sabendo-se que a tensão de escoamento do material é
de 20000 psi. Calcular qual o torque que pode ser aplicado
para ocasionar o início do escoamento da barra.

35
Sabe-se que:
xx x
xy
x
xy
      2
1
222222
(6
2
1
xzyzxyzxzyyx  
   2
1
222
1
22
362
2
1
xyxxyx  
3
3
22
222 x
xyxxy





36
3
)10000()20000( 22

xy
psixy 10000
32
,
2
,
4
D
J
D
c
J
Tc
xy

 
16
2.10000.
162
32
3
3
4






T
D
T
D
TD xy
xy
inlbT .15708

37
- Relações Plásticas Tensão Deformação
Quando se trata de deformações elásticas
(Hooke) as deformações independem da
trajetória (história) do carregamento.
Com relação à região plástica, as
deformações são dependentes da história do
carregamento.

38
Para o caso particular de carregamento, no qual
todas as tensões aumentam na mesma razão,
carregamento radial ou proporcional, isto é:
3
3
2
2
1
1





 ddd

as deformações plásticas são independentes da história
do carregamento, ou seja, dependem apenas do estado
de tensão final.

39
(vasos de pressão)
1
2
2
1
x =
x = cte
= 2
1
0
0
0
0
Trajetória de carregamento encontrada em
vasos de pressão, usando-se o critério de
de escoamento de Tresca.

40
As expressões da deformação efetiva não
podem ser aplicadas diretamente.
- TEORIA DA DEFORMAÇÃO INCREMENTAL
Explicação:
- Supondo que tenhamos uma barra com 10’’
x ½ ’’ .
I – Aplica-se uma compressão de modo a
reduzir o comprimento até 9’’.

41
II – Traciona-se a barra até 10’’.
III – Pela teoria da deformação total,
vem:
0
0
1
1
0
 
l
l
l
l
total
l
dl
l
dl

IV – Contudo, como na prática houve
encruamento, em termos de incrementos,
tem-se:

42
10
9
ln2ln2
0
10
1
1
0
  l
l
l
dl
l
dl l
l
l
l
total
As teorias de escoamento ou incrementais são
aquelas que relacionam as tensões aos incrementos de
deformação plástica.
As teorias da deformação total são aquelas que
relacionam as tensões à deformação plástica total
(independe da história do processo).
Conclusão:

43
      
 310
*
2
1
2
31
2
32
2
21
3
2
3
2



dddc
ddb
ddddddda
p



As expressões das deformações efetivas incrementais
podem ser escritas como:

44
- Equações de Levy-Mises (sólido plástico ideal)
Levy (1871) e, posteriormente Von Mises (1913)
propuseram que os incrementos de deformação
plástica são proporcionais as tensões desviantes e as
tensões de cisalhamento, como:













d
dddddd
xz
xz
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x

'''

45
Onde d é uma constante positiva que pode
variar durante a trajetória de carregamento.
As deformações elásticas são desprezadas.
A equação proposta por Levy-Mises em função
das tensões principais, é dada como:
 
 
 m
m
m
dd
dd
dd






33
22
11

46
ou, colocando de outra forma:
 
 
 3131
3232
2121






ddd
ddd
ddd







d
dddddd









31
31
32
32
21
21

47
A equação acima mostra que o círculo de Mohr de
deformação é similar ao círculo de Mohr de tensão.







d
dddddd









31
31
32
32
21
21
Na realidade esse fato se baseia na hipótese
que as direções principais das tensões e deformações
são coincidentes.

48
Uma vez que as deformações elásticas são
desprezadas as equações de Levy-Mises se
aplicam aos sólidos rígidos idealmente plástico,
no qual a deformação elástica é pequena quando
comparada com a deformação plástica.

49
As equações de Levy-Mises, também podem ser
escritas como:





 






 






 

23
2
23
2
23
2
yx
zz
zx
yy
zy
xx
dd
dd
dd






xzxz
yzyz
xyxy
dd
dd
dd







50
Determinação de d:
Sabe-se que:
      2
1
2
31
2
32
2
21
3
2
 ddddddd 
 2
1
2
31
2
32
2
21 )()()(
2
1
 
Em tração simples, 1= 1 e 2 = 3 = 0

51
Assim:



dddd
dddd
dddd
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
313
212
111




52
Substituindo d1 , d2 e d3 da equação de Levy-
Mises, na equação da deformação efetiva, vem:
2
1
2
22
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2






































dd
dddd
d



d
d
2
3
 d = módulo de plasticidade

53
O significado de d e  para: (a) deformação incremental e
(b) deformação proporcional.
(a)
deformação


adicional
carregamentoanterior
d do
C C'

(b)

= cotg C
d
d


carregamento adicional
responsável por d

= cotg C'


54
Assim as expressões de Levy-Mises podem ser
escritas por:
 
 
 


















yxzz
zxyy
zyxx
d
d
d
d
d
d












2
1
2
1
2
1
xzxz
yzyz
xyxy
d
d
d
d
d
d












3
3
3




55
- Comparação das equações da Lei de Hooke e
Levy-Mises
Hooke:
 E, é uma propriedade do material (é uma
quantidade tensorial);
 , é o coeficiente de Poisson e varia de material
para material;
 as tensões elásticas são proporcionais as
deformações elásticas.

56
Levy-Mises:
 d, não é uma propriedade do material e depende
do estado de tensão ou deformação (é uma
quantidade escalar);
 o equivalente ao coeficiente de Poisson, vale ½, e
independe do material;
 as tensões plásticas são proporcionais aos
incrementos das deformações plásticas, e dependem
da trajetória de carga.

57
- Equações de Prandtl-Reuss (sólido elásto-
plástico)
O incremento de deformação total é a soma de
um incremento de deformação elástica e um
incremento de deformação plástica.
ijijij dded  
Elástica (Hooke)
Plástica (Levy-Mises)
    



 zyxzyxtotal
d




2
1

58
- EQUAÇÕES DA PLASTICIDADE EM TRAÇÃO
SIMPLES
Para a condição na qual todos os componentes de
tensão são zeros, exceto x , da primeira equação
de Levy-Mises, tem-se:
xx
d
d 


  , ou integrando, vem:
1



 xx

59
De onde conclui-se que em tração simples há
somente uma única correspondência entre as
razões das deformações plásticas e as razões
das tensões. A curva tensão-deformação
verdadeira em tração simples portanto, é
também uma curva tensão-deformação efetiva.

60
- TRABALHO DE DEFORMAÇÃO OU ENERGIA
ESPECÍFICA
O trabalho plástico incremental de deformação ou
energia da deformação plástica incremental por unidade
de volume é dado por:
ijij ddW  .
mas, e
ij
p
ijij ddd  
Em conformação,
Logo:
e
ijij
p
ijij dddW  .. 
p
ijij
pp
ijij ddWouddW  .. 

61
xzxzyzyzxyxyzzyyxx
p
dddddddW  
 ddW p
.



0
.dW p
 dddW xx
p

O trabalho plástico incremental em tração simples é:
(lb.in/in3)
(kg.m/m3)

62
 
2
1
2
1




 ddW xx
p
Conseqüentemente, o trabalho de deformação total por
unidade de volume entre o estado 1 e 2 pode ser obtido
como:
(lb.in/in3)
O trabalho plástico é também chamado de energia
específica.
(kg.m/m3)

63
- DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES UNIFORMES
FINITAS
Se as deformações finitas são uniformes e as
direções das deformações principais coincidem
com as direções das coordenadas da peça, as
deformações finitas podem ser obtidas das
deformações iniciais e finais da peça.

64
a- Deformação de um cubo:
antes
y
x0
0 z
depois
0z
deformação
x
y


x
dx
x
dx
d xx ln
x
exx 
0 y
eyy

0 z
ezz 
0

65
b- Deformação de uma barra sólida:
0
ln
r
r
r 
deformação
antes depois
z
z0
r0
0
r
mas: 
p = 2r
p0 = 2r0
0
ln
z
z
z 
0
ln
p
p

0
ln
r
r
 deformação axissimétrica
(r = )

66
antes depois
deformação
0z
0r
z
t0
r
t
c- Deformação de um tubo:
0
ln
t
t
r 
0
ln
r
r

0
ln
z
z
z 

67
- PARTICULARIDADE DE LEVY-MISES
a- Estado de deformação plana:
z
y
x
 
 zxy
zxyy
d
d











2
1
2
1
0
obs: “Um estado plano de deformação produz um estado
tridimensional de tensões”.

68
b- Estado de deformação axissimétrica:
   
   


























r
rr
zrzr
zrzrr
d
d
d
d
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

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