Unidade 02
Modelos de Estruturas Reticuladas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt
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Estruturas Reticuladas
Ações Externas – Cargas
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é aquela constituída por eleme...
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As ações externas aplicadas a estruturas são os a...
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As condições matemáticas que o modelo est...
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Solução Numérica

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Simplificação do modelo

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Comparação entre P1 e P2

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Superposição de Efeitos

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Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

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Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem

Programa
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Modelos Constitutivos – Comportamento do Material
Análise de Segunda Ordem

Análise de Primeira Ordem

F x = 0 ⇒ N2 = N3

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Modelos Constitutivos – Comportamento do Material
Dados
E = 210GPa, σP = 420MPa;
πd2 2
m , d = 0.005m;
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l = 1m, a = 1m;
A...
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Material Elástico Linear

Programa
3

Modelos Constitutivos – Comportam...
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Material Elástico Linear

Modelos Constitutivos – Comportamento do Mate...
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Material Elástico Não-Linear

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Modelos Constitutivos – Compo...
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Material Elástico Não-Linear

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O que muda n...
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Configuração ...
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Material Perfeitamente Plástico

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Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Relação Ramberg-Osgood

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Relação Ramberg-Osgood

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Relação Ramberg-Osgood

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2 - Estruturas Reticuladas
3 - Ações Externas – Cargas
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Unidade 02 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

  1. 1. Unidade 02 Modelos de Estruturas Reticuladas Fundamentos de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão 13.05 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 1 / 51
  2. 2. Introdução Programa 1 Introdução Estruturas Reticuladas Ações Externas – Cargas Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 2 / 51
  3. 3. Introdução Estruturas Reticuladas Programa 1 Introdução Estruturas Reticuladas Ações Externas – Cargas Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 2 / 51
  4. 4. Introdução Estruturas Reticuladas Introdução Estruturas Reticuladas Estrutura Reticulada é aquela constituída por elementos resistentes nos quais uma dimensão se sobressai sobre as outras duas. A interseção de uma ou mais elementos é chamada de nó. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 2 / 51
  5. 5. Introdução Ações Externas – Cargas Programa 1 Introdução Estruturas Reticuladas Ações Externas – Cargas Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 3 / 51
  6. 6. Introdução Ações Externas – Cargas Introdução Ações Externas – Cargas As ações externas aplicadas a estruturas são os agentes causadores de tensões e deformações internas aos componentes da estrutura. As cargas podem ser divididas em dois grupos 1 2 Cargas Permanentes Cargas Acidentais Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 3 / 51
  7. 7. Introdução Ações Externas – Cargas Introdução Ações Externas – Cargas 1 Cargas Permanentes Peso próprio Qualquer outro tipo de carregamento com magnitude ou permanência constantes que atuam sobre a estrutura Empuxo do solo: ocorre em estruturas de contenção, reservatórios subterrâneos, piscinas, galerias e túneis 2 Cargas Acidentais Cargas móveis: cargas que se movem gradualmente de uma posição para outra sem causar impacto na estrutura Sobrecarga: cargas que não mudam de posição e podem atuar ou não sobre a extrutura em um determinado intervalo de tempo (móveis em um apartamento de um edifício residencial). Impacto: considerado quando cargas em movimento atuam sobre a estrutura. Denomina-se o coeficiente de impacto a magnitude que irá majorar o valor dessas cargas em movimento. Este tipo de coeficiente está sendo substituído por resultados de análises dinâmicas dos modelos estruturais Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 4 / 51
  8. 8. Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Programa 1 Introdução Estruturas Reticuladas Ações Externas – Cargas Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 5 / 51
  9. 9. Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Quatro níveis de abstração Estrutura Real ↓ Modelo Estrutural ↓ Modelo discreto ↓ Modelo Computacional Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 5 / 51
  10. 10. Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas Modelo estrutural Na concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento da estrutura real. Hipóteses simplificadoras: hipóteses sobre a geometria do modelo; hipóteses sobre as condições de suporte (ligação com o meio externo, por exemplo, com o solo); hipóteses sobre o comportamento dos materiais; hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupação ou pressão de vento, por exemplo). Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 6 / 51
  11. 11. Condições Básicas de Análise Estrutural Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 7 / 51
  12. 12. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições Básicas de Análise Estrutural As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representar adequadamente o comportamento da estrutura real: condições de equilíbrio; condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações; condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (leis constitutivas dos materiais). Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 7 / 51
  13. 13. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições Básicas de Análise Estrutural Problema P1 Determine os esforços nas barras da estrutura. Considere que as barras são feitas do mesmo material elástico-linear e a área A da seção transversal é constante. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 8 / 51
  14. 14. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 9 / 51
  15. 15. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Considerando o equilíbirio do nó inferior na configuração deformada, temos Fx = 0 Fy = 0 ⇒ ⇒ N2 = N3 N1 + 2N2 cos φ = P onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas. Análise de segunda ordem A análise feita com o equilíbrio na configuração deformada denomina-se análise de segunda ordem (deslocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equilíbrio). Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 9 / 51
  16. 16. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 10 / 51
  17. 17. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos: Condições de compatibilidade externa: referem-se aos vínculos externos da estrutura e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações com outras estruturas. Condições de compatibilidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao se deformar, contínua no interior dos elementos estruturais (barras) e nas fronteiras entres os elementos estruturais, isto é, que as barras permaneçam ligadas pelos nós que as conectam (incluindo ligação por rotação no caso de não haver articulação entre barras). Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 10 / 51
  18. 18. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade Relação de compatibilidade: cos φ = √ d1 = u d2 = l+u ( l + u ) 2 + a2 (l + u)2 + a2 − l2 + a2 onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical e d2 é o alongamento na barras inclinadas. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 11 / 51
  19. 19. Condições Básicas de Análise Estrutural Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 12 / 51
  20. 20. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições Básicas de Análise Estrutural Leis constitutivas dos materiais O modelo matemático do comportamento dos materiais, em um nível macroscópico, é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre tensões e deformações. A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida Lei de Hooke e é dada por σ = Eε onde E é o módulo de elasticidade do material, σ são as tensões normais na direção axial da barra e ε indicam as deformações normais na direção axial da barra. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 12 / 51
  21. 21. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições Básicas de Análise Estrutural Leis constitutivas dos materiais Assim, para a barra vertical d1 u N1 = E ⇒ N1 = EA A l l e para as barras inclinadas (l + u)2 + a2 − l2 + a2 N2 d2 =E ⇒ N2 = EA A l2 + a2 l2 + a2 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 13 / 51
  22. 22. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições Básicas de Análise Estrutural Leis constitutivas dos materiais Substituindo os cos φ, N1 e N2 na equação de equilíbrio, (l + u)2 + a2 − l2 + a2 u EA + 2EA l l2 + a2 e após algumas simplificações temos:     u  u 1   +2 1+    l l   1+ a 2 l l+u 1 − 1+ =P ( l + u ) 2 + a2 u 2 l + a l      P   =   EA 2  ! Vê-se que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo usando todos os três tipos de condições: equilíbrio, compatibilidade e leis constitutivas. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 14 / 51
  23. 23. Condições Básicas de Análise Estrutural Condições Básicas de Análise Estrutural Leis constitutivas dos materiais Há casos em que o material é também solicitado ao efeito de cisalhamento. Para materiais trabalhando em regime elástico-linear, a lei constitutiva que relaciona tensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por: τ = Gγ onde G é módulo de cisalhamento (propriedade do material), τ é a tensão de cisalhamento γ a distorção de cisalhamento. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 15 / 51
  24. 24. Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 16 / 51
  25. 25. Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica Para derivar um procedimento de solução vamos usar a relação u2 + 2 ul + l2 + a2 − EA EAu P= +2 l l2 + a2 (u + l) l2 + a2 u2 + 2 ul + l2 + a2 e empregar o método de Newton, onde uk+1 = uk+1 − com ∂P(u ) ∂u = EA l ∂P(uk ) P(uk ) ∂u EA(2 u+2 l)(u+l) √ + + 2 (u +2 ul+l2 +a2 )√ l2 +a2 √ 2EA u2 +2 ul+l2 +a2 − l 2 + a2 √ √ 2 2 2 l2 2 √l +a u +2 ul+√+a EA u2 +2 ul+l2 +a2 − √ − l2 +a2 (u+l)(2 u+2 l) l2 +a2 (u2 +2 ul+l2 +a2 ) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 3/2 versão 13.05 16 / 51
  26. 26. Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica Para simplificação, vamos assumir que ∂P(uk ) = Kk; ∂u P(uk ) = Pk e então o método de Newton fica uk+1 = uk+1 − K k Pk com ∂P(uk ) ∂u Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) = u=0 EA 2EAl2 + 2 l (l + a2 )3/2 Unidade 02 versão 13.05 17 / 51
  27. 27. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 18 / 51
  28. 28. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo No problema anterior, a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior da estrutura foi escrita considerando a geometria deformada da estrutura. Em alguns casos, os deslocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pequenos em relação às suas dimensões. Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos deslocamentos, será adotada como simplificação. A análise de estruturas com essa consideração denomina-se análise de primeira ordem. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 18 / 51
  29. 29. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Problema P2 Seja o problema P1. Considere agora uma condição de pequenos deslocamentos, de modo que as equações de equilíbrio sejam escritas na configuração indeformada. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 19 / 51
  30. 30. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Mantendo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar que o ângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera, Nesse exemplo os deslocamentos são considerados pequenos A equação de equilíbrio que relaciona a força aplicada P com o esforço normal nas barras é escrita na configuração indeformada da estrutura Fx = 0 Fy = 0 ⇒ ⇒ N2 = N3 N1 + 2N2 cos θ = P onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 20 / 51
  31. 31. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Pode-se então estabelecer relações de compatibilidade entre os alongamentos das barras e o deslocamento vertical do nó inferior: cos θ = √ l l 2 + a2 d1 d2 = u = u cos θ = u√ 2 l l + a2 onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical e d2 é o alongamento na barras inclinadas. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 21 / 51
  32. 32. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Das equações constitutivas temos para a barra vertical N1 d1 u = E ⇒ N1 = EA A l l e para as barras inclinadas ul d2 N2 =E ⇒ N2 = EA 2 A l + a2 l 2 + a2 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 22 / 51
  33. 33. Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo Voltando na equação de equilíbrio temos u ul EA + 2EA 2 l l + a2 l l2 + a2 =P o que após algumas simplificações resulta em      u 2l3    = P 1 +   3  l EA 2 + a2 ) 2  (l (1) ! Ao comparar a resposta não linear com a resposta linear da estrutura para pequenos deslocamentos, podemos observar que o coeficiente angular da resposta linear é igual à derivada da curva carga-deslocamento não linear para u = 0. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 23 / 51
  34. 34. Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 24 / 51
  35. 35. Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Modelos Estruturais P1: u l +2 1+        u l 1 1+ ( a ) l 2 1 − N1 = EA u l √ √ ( l + u ) 2 + a2 − l 2 + a2 √ N2 = EA 2 2 2 (1+ u ) + ( a ) l l 2    =    P EA l +a P2: u l 1+ 2l3 3 2 +a2 ) 2 (l = P EA N1 = EA u l ul N2 = EA l2 +a2 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 24 / 51
  36. 36. Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Modelos Discretos / Modelos Computacionais from pylab import * E=70 e9 ; d =0.005 ; A=pi*d**2/4 ; l=1 ;a=1 u= linspace (0 ,0.5 ,100) # P1 - equilibrio na posição deformada def P1(u,E,A,l,a): cosphi =(l+u)/ sqrt ((l+u)**2+ a**2) N1=E*A/l*u N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * (sqrt ((l+u )**2+ a**2) - sqrt(l**2+a **2)) p=N1 +2* N2* cosphi return (p) # P2 - simplifica ção do modelo def P2(u,E,A,l,a): cost =(l)/ sqrt(l**2+a**2) N1=E*A/l*u N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * u*cost p=N1 +2* N2*cost return (p) # Obtem as curvas y1 = P1(u,E,A,l,a); y2 = P2(u,E,A,l,a) # Gráficos para compara ção plot(u/l, y1 /(E*A), label=’P1 ’); plot(u/l, y2 /(E*A), label =’P2 ’) legend (loc =0); grid () xlabel (’u/l’); ylabel (’P/EA’) show () Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 25 / 51
  37. 37. Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Comparação das relações força-deslocamento Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 26 / 51
  38. 38. Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2 Pontos para discussão É possível obter a mesma solução do problema P2 (não linear) resolvendo uma sequência de problemas do tipo P1 (linear) Por exemplo, considerando as cargas aplicadas em pequenos incrementos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 27 / 51
  39. 39. Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Programa 2 Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio Condições de compatibilidade Leis constitutivas dos materiais Solução Numérica Simplificação do modelo Comparação entre P1 e P2 Superposição de Efeitos Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 28 / 51
  40. 40. Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Considere uma estrutura onde atual n solicitações s1 , s2 , . . . , sn . Um efeito elástico qualquer E, pode ser obtido pela superposição deste efeito calculado para cada solicitação separadamente. E ( s1 + s2 + · · · + sn ) = E ( s1 ) + E ( s2 ) + · · · + E ( sn ) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 28 / 51
  41. 41. Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos O princípio da superposição é válido desde que a estrutura tenha comportamento linear, ou seja satisfaça: O material deve se comportar segundo a Lei de Hooke (comportamento elásticolinear) As deformações e os deslocamentos devem ser pequenos de forma que possa ser considerada a posição indeformada como posição de equilíbrio Se a estrutura não satisfaz a primeira condição acima, diz-se que ela apresenta não-linearidade física Se a estrutura não satisfaz a segunda condição, diz-se que ela apresenta nãolinearidade geométrica Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 29 / 51
  42. 42. Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Condições para o comportamento linear Para se ter comportamento linear uma estrutura exige-se necessariamente o comportamento linear do material (linearidade física), e linearidade geométrica da estrutura. Para a linearidade geométrica deve-se ter um arranjo adequado das barras e dos vínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estrutural na posição inicial da estrutura indeformada. Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos e pequenas deformações. Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tiver comportamento não-linear, bem como não há possibilidade da estrutura apresentar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade geométrica. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 30 / 51
  43. 43. Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Para estrutura abaixo, não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar a deformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentos Assim, para formular o equilíbrio do nó C, é necessário levar em conta o ângulo α formado entre as barras na posição deformada e na posição inicial Esta estrutura apresenta comportamento não-linear para qualquer valor de P e qualquer tipo de material Abaixo apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura acima, mas cuja disposição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 31 / 51
  44. 44. Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos O princípio da superposição dos efeitos pode ser aplicado quando o comportamento da estrutura é elástico-linear, isto é: O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidade geométrica) Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas barras (linearidade geométrica) A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio na posição inicial da estrutura indeformada Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 32 / 51
  45. 45. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Programa 3 Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Material Elástico Linear Material Elástico Não-Linear Material Perfeitamente Plástico Relação Ramberg-Osgood Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 33 / 51
  46. 46. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Programa 3 Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Material Elástico Linear Material Elástico Não-Linear Material Perfeitamente Plástico Relação Ramberg-Osgood Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 33 / 51
  47. 47. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise de Segunda Ordem Análise de Primeira Ordem F x = 0 ⇒ N2 = N3 F x = 0 ⇒ N2 = N3 Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cos φ = P Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cos θ = P Condições de Compatibilidade cos φ = Condições de Compatibilidade l+u cos θ = ( l + u ) 2 + a2 + a2 d1 = u; d1 = u; d2 = l l2 (l + u)2 + a2 − l2 + a2 ; d2 = u cos θ = ul l2 + a2 −1 ; Equação Constitutiva σ = Eε ⇒ N ∆l =E A l
  48. 48. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Dados E = 210GPa, σP = 420MPa; πd2 2 m , d = 0.005m; 4 l = 1m, a = 1m; A= Material Elástico Linear: σ = Eε Material Elástico Não-Linear: σ = Eε1/2 Material Perfeitamente Plástico:  σ = Eε se ε ≤ 0.002    σ = σ  P Relação Ramberg-Osgood:  m  ε = σ + α σP σ      E E σP    σP   α  = 0.002, m = 5 E
  49. 49. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Linear Programa 3 Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Material Elástico Linear Material Elástico Não-Linear Material Perfeitamente Plástico Relação Ramberg-Osgood Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 35 / 51
  50. 50. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Linear Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Um material pode comportar-se de diversas formas. Utilizando um material elástico linear: σ = Eε ; Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)1 Dados! 1 Contribuiram para essa seção os alunos Anna Claudia Resende, Joventino Campos e Weslley Pereira Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 35 / 51
  51. 51. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Programa 3 Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Material Elástico Linear Material Elástico Não-Linear Material Perfeitamente Plástico Relação Ramberg-Osgood Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 36 / 51
  52. 52. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear O que muda no modelo? Equação Constitutiva σ = Eε1/2 ⇒ N ∆l =E A l 1/2 Para a configuração deformada (P1): d1 l 1/2 d2 N2 = EA l 1/2 N1 = EA ⇒ N1 = EA        ⇒ N2 = EA      Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) u l 1/2 (l + u)2 + a2 − l 2 + a2 Unidade 02 1/2  l 2 + a2           versão 13.05 36 / 51
  53. 53. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear O que muda no modelo? Equação Constitutiva σ = Eε1/2 ⇒ N ∆l =E A l 1/2 Para a configuração deformada (P1): d1 l 1/2 d2 N2 = EA l 1/2 N1 = EA ⇒ N1 = EA        ⇒ N2 = EA      Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) u l 1/2 (l + u)2 + a2 − l 2 + a2 Unidade 02 1/2  l 2 + a2           versão 13.05 36 / 51
  54. 54. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear O que muda no modelo? Equação Constitutiva σ = Eε1/2 ⇒ N ∆l =E A l 1/2 Para a configuração deformada (P1): d1 l 1/2 d2 N2 = EA l 1/2 N1 = EA ⇒ N1 = EA        ⇒ N2 = EA      Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) u l 1/2 (l + u)2 + a2 − l 2 + a2 Unidade 02 1/2  l 2 + a2           versão 13.05 36 / 51
  55. 55. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear O que muda no modelo? Equação Constitutiva σ = Eε1/2 ⇒ ∆l N =E A l 1/2 Para a simplificação do modelo (P2): d1 l 1/2 d2 N2 = EA l 1/2 N1 = EA ⇒ N1 = EA u l 1/2    u cos θ 1/2       ⇒ N2 = EA    2  2 l +a Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 37 / 51
  56. 56. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear O que muda no modelo? Equação Constitutiva σ = Eε1/2 ⇒ ∆l N =E A l 1/2 Para a simplificação do modelo (P2): d1 l 1/2 d2 N2 = EA l 1/2 N1 = EA ⇒ N1 = EA u l 1/2    u cos θ 1/2       ⇒ N2 = EA    2  2 l +a Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 37 / 51
  57. 57. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear O que muda no modelo? Equação Constitutiva σ = Eε1/2 ⇒ ∆l N =E A l 1/2 Para a simplificação do modelo (P2): d1 l 1/2 d2 N2 = EA l 1/2 N1 = EA ⇒ N1 = EA u l 1/2    u cos θ 1/2       ⇒ N2 = EA    2  2 l +a Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 37 / 51
  58. 58. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear Material Elástico Não-Linear Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2) Dados! Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 38 / 51
  59. 59. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Programa 3 Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Material Elástico Linear Material Elástico Não-Linear Material Perfeitamente Plástico Relação Ramberg-Osgood Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 39 / 51
  60. 60. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico O que muda no modelo? Equação Constitutiva  Eε   σ= σ  P se ε 0.002 se ε > 0.002 Para facilitar os cálculos escreverei as deformações ε em função de θ e de ε11 2 (deformação na barra 1). Para os dois modelos a deformação na barra 1 é dada por: ε11 = 2 εi j : d1 u = l l deformação na barra i do problema P j Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 39 / 51
  61. 61. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico O que muda no modelo? Equação Constitutiva  Eε   σ= σ  P se ε 0.002 se ε > 0.002 Já para a barra 2, a deformação no caso (P1) é dada por3 : ε21 = ( l + u ) 2 + a2 − l2 + a2 ⇒ ε21 = 3 εi j : l2 + a2 = (l + u)2 + a2 −1= l2 + a2 (1 + ε11 )2 + tan2 θ −1= 1 + tan2 θ (1 + u )2 + ( a )2 l l −1 1 + ( a )2 l (1 + ε11 )2 + tan2 θ sec θ −1 deformação na barra i do problema P j Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 40 / 51
  62. 62. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico O que muda no modelo? Equação Constitutiva  Eε   σ= σ  P se ε 0.002 se ε > 0.002 No caso (P2), temos4 : ε22 = u cos θ l2 + a2 = u cos θ l 1 + ( a )2 l = u cos θ l 1 + tan2 θ = u cos θ u = cos2 θ l sec θ l ⇒ ε22 = ε11 cos2 θ 4 εi j : deformação na barra i do problema P j Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 41 / 51
  63. 63. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico O que muda no modelo? Equação Constitutiva  Eε   σ= σ  P se ε 0.002 se ε > 0.002 Para o caso (P1), as equações de equilíbrio ficam: l+u N1 + 2N2 cos φ = P ⇒ Aσ(ε11 ) + 2Aσ(ε21 ) =P ( l + u ) 2 + a2 ⇒ P = σ(ε11 ) + 2σ(ε21 ) A     P 1   ⇒ = σ(ε11 ) + 2σ(ε21 )   EA E  Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 1+ u l (1 + u )2 + ( a )2 l l 1 + ε11 (1 + ε11 )2 + tan2 θ             versão 13.05 42 / 51
  64. 64. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico O que muda no modelo? Equação Constitutiva  Eε   σ= σ  P se ε 0.002 se ε > 0.002 Para o caso (P2), as equações de equilíbrio ficam: N1 + 2N2 cos θ = P ⇒ Aσ(ε11 ) + 2Aσ(ε22 ) cos θ = P ⇒ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) P 1 = σ(ε11 ) + 2σ(ε22 ) cos θ EA E Unidade 02 versão 13.05 43 / 51
  65. 65. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2) Dados! Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 44 / 51
  66. 66. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2) Dados! Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 45 / 51
  67. 67. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2) Dados! Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 46 / 51
  68. 68. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico Material Perfeitamente Plástico Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2) Dados! Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 47 / 51
  69. 69. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood Programa 3 Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem Material Elástico Linear Material Elástico Não-Linear Material Perfeitamente Plástico Relação Ramberg-Osgood Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 48 / 51
  70. 70. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood Relação Ramberg-Osgood Equação Constitutiva σ σP σ ε= +α E E σP m ⇒ σ σP σ ∆l = +α l E E σP m Como σ está implícito, é necessário um método iterativo para descobrir seu valor. Para a simulação foi utilizada a função fsolve() do pacote scipy 5 Parâmetros:  m  ε = σ + α σ P σ      E E σP    σP   α  = 0.002, m = 5 E 5 http://www.scipy.org/ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 48 / 51
  71. 71. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood Relação Ramberg-Osgood Para a configuração deformada (P1) a : a resolvem-se as equações implicitamente para σ d1 u σ σP σ ⇒ = +α l l E E σP d2 ⇒ l (l + u)2 + a2 − l2 + a2 m ⇒ N1 = Aσ l2 + a2 = σ σP σ +α E E σP m ⇒ N2 = Aσ Para a configuração deformada (P2) a : a resolvem-se as equações implicitamente para σ d1 u σ σP σ m ⇒ = +α ⇒ N1 = Aσ l l E E σP d2 u cos θ σ σP σ m ⇒ = +α ⇒ N2 = Aσ l E E σP l2 + a2 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 49 / 51
  72. 72. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood Relação Ramberg-Osgood Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2) Dados! Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 50 / 51
  73. 73. Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood Pontos para discussão No problema P2, considere o caso onde há variação de temperatura A variação de temperatura implica em modificações (expansão/contração) na estrutura Isso pode influenciar os resultados? a Modelagem a termo-mecânica Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 51 / 51

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