Reticulated Structure Analysis Fundamentals

Unidade 02
Modelos de Estruturas Reticuladas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.05

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF)

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Introdução

Programa
1

Introdução
Estruturas Reticuladas
Ações Externas – Cargas
Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas


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Introdução


Programa
1

Introdução


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Introdução


Introdução

Estrutura Reticulada
é aquela constituída por elementos resistentes nos quais uma dimensão se sobressai
sobre as outras duas. A interseção de uma ou mais elementos é chamada de nó.


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Introdução


Programa
1

Introdução


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Introdução


Introdução

As ações externas aplicadas a estruturas são os agentes causadores de tensões e
deformações internas aos componentes da estrutura.
As cargas podem ser divididas em dois grupos
1
2

Cargas Permanentes
Cargas Acidentais


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Introdução


Introdução

1

Cargas Permanentes
Peso próprio
Qualquer outro tipo de carregamento com magnitude ou permanência constantes
que atuam sobre a estrutura
Empuxo do solo: ocorre em estruturas de contenção, reservatórios subterrâneos,
piscinas, galerias e túneis

2

Cargas Acidentais
Cargas móveis: cargas que se movem gradualmente de uma posição para outra sem
causar impacto na estrutura
Sobrecarga: cargas que não mudam de posição e podem atuar ou não sobre a extrutura em um determinado intervalo de tempo (móveis em um apartamento de um
edifício residencial).
Impacto: considerado quando cargas em movimento atuam sobre a estrutura.
Denomina-se o coeﬁciente de impacto a magnitude que irá majorar o valor dessas
cargas em movimento. Este tipo de coeﬁciente está sendo substituído por resultados
de análises dinâmicas dos modelos estruturais


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Introdução


Programa
1

Introdução


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Introdução


Introdução

Quatro níveis de abstração
Estrutura Real
↓
Modelo Estrutural
↓
Modelo discreto
↓
Modelo Computacional


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Introdução


Introdução

Modelo estrutural
Na concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento da
estrutura real.
Hipóteses simpliﬁcadoras:
hipóteses sobre a geometria do modelo;
hipóteses sobre as condições de suporte (ligação com o meio externo, por exemplo, com o solo);
hipóteses sobre o comportamento dos materiais;
hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupação
ou pressão de vento, por exemplo).


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Condições Básicas de Análise Estrutural

Programa
2

Condições de equilíbirio
Condições de compatibilidade
Leis constitutivas dos materiais
Solução Numérica
Simpliﬁcação do modelo
Comparação entre P1 e P2
Superposição de Efeitos


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As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representar
adequadamente o comportamento da estrutura real:
condições de equilíbrio;
condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (leis
constitutivas dos materiais).


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Problema P1
Determine os esforços nas barras da estrutura. Considere que as barras são feitas do
mesmo material elástico-linear e a área A da seção transversal é constante.


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Programa
2

Solução Numérica


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Considerando o equilíbirio do nó inferior na conﬁguração deformada, temos
Fx = 0
Fy = 0

⇒
⇒

N2 = N3
N1 + 2N2 cos φ = P

onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.
Análise de segunda ordem
A análise feita com o equilíbrio na conﬁguração deformada denomina-se análise de
segunda ordem (deslocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equilíbrio).


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Programa
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Solução Numérica


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As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos:
Condições de compatibilidade externa: referem-se aos vínculos externos da estrutura
e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis
com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações com
outras estruturas.
Condições de compatibilidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao se
deformar, contínua no interior dos elementos estruturais (barras) e
nas fronteiras entres os elementos estruturais, isto é, que as barras
permaneçam ligadas pelos nós que as conectam (incluindo ligação por
rotação no caso de não haver articulação entre barras).


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Relação de compatibilidade:
cos φ

= √

d1

= u

d2

=

l+u
( l + u ) 2 + a2

(l + u)2 + a2 − l2 + a2

onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical e
d2 é o alongamento na barras inclinadas.


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Programa
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Solução Numérica


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O modelo matemático do comportamento dos materiais, em um nível
macroscópico, é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre tensões e deformações.
A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida Lei de Hooke e é dada por
σ = Eε
onde E é o módulo de elasticidade do material, σ são as tensões normais na direção axial da barra e ε indicam as deformações normais na direção axial da
barra.


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Assim, para a barra vertical
d1
u
N1
= E ⇒ N1 = EA
A
l
l
e para as barras inclinadas

(l + u)2 + a2 − l2 + a2
N2
d2
=E
⇒ N2 = EA
A
l2 + a2
l2 + a2


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Substituindo os cos φ, N1 e N2 na equação de equilíbrio,

(l + u)2 + a2 − l2 + a2
u
EA + 2EA
l
l2 + a2
e após algumas simpliﬁcações temos:




u 
u
1


+2 1+ 


l
l 
 1+

a 2
l

l+u

1

−
1+

=P

( l + u ) 2 + a2

u 2
l

+

a
l






P


=

 EA
2


!
Vê-se que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo usando todos os três tipos de condições: equilíbrio, compatibilidade e leis constitutivas.

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Há casos em que o material é também solicitado ao efeito de cisalhamento. Para
materiais trabalhando em regime elástico-linear, a lei constitutiva que relaciona
tensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por:
τ = Gγ
onde G é módulo de cisalhamento (propriedade do material), τ é a tensão de
cisalhamento γ a distorção de cisalhamento.


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Solução Numérica

Programa
2

Solução Numérica


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Solução Numérica


Solução Numérica
Para derivar um procedimento de solução vamos usar a relação
u2 + 2 ul + l2 + a2 −

EA
EAu
P=
+2
l

l2 + a2 (u + l)

l2 + a2 u2 + 2 ul + l2 + a2

e empregar o método de Newton, onde
uk+1 = uk+1 −
com

∂P(u )
∂u

=

EA
l

∂P(uk )
P(uk )
∂u

EA(2 u+2 l)(u+l)
√
+
+ 2
(u +2 ul+l2 +a2 )√ l2 +a2
√

2EA

u2 +2 ul+l2 +a2 −

l 2 + a2

√
√
2
2
2
l2 2
√l +a u +2 ul+√+a

EA

u2 +2 ul+l2 +a2 −

√

−

l2 +a2 (u+l)(2 u+2 l)

l2 +a2 (u2 +2 ul+l2 +a2 )

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3/2

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Solução Numérica


Solução Numérica
Para simpliﬁcação, vamos assumir que
∂P(uk )
= Kk;
∂u

P(uk ) = Pk

e então o método de Newton ﬁca
uk+1 = uk+1 − K k Pk
com

∂P(uk )
∂u


=
u=0

EA
2EAl2
+ 2
l
(l + a2 )3/2

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Programa
2

Solução Numérica


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No problema anterior, a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior
da estrutura foi escrita considerando a geometria deformada da estrutura.
Em alguns casos, os deslocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pequenos em relação às suas dimensões.
Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos deslocamentos, será adotada
como simpliﬁcação.
A análise de estruturas com essa consideração denomina-se análise de primeira
ordem.


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Problema P2
Seja o problema P1. Considere agora uma condição de pequenos deslocamentos, de
modo que as equações de equilíbrio sejam escritas na conﬁguração indeformada.


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Mantendo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar que o
ângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera,
Nesse exemplo os deslocamentos são considerados pequenos
A equação de equilíbrio que relaciona a força aplicada P com o esforço normal
nas barras é escrita na conﬁguração indeformada da estrutura
Fx = 0
Fy = 0

⇒
⇒

N2 = N3
N1 + 2N2 cos θ = P

onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.


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Pode-se então estabelecer relações de compatibilidade entre os alongamentos das
barras e o deslocamento vertical do nó inferior:
cos θ = √ l
l 2 + a2

d1
d2

= u
= u cos θ = u√ 2 l

l + a2

onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical e
d2 é o alongamento na barras inclinadas.


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Das equações constitutivas temos para a barra vertical
N1
d1
u
= E ⇒ N1 = EA
A
l
l
e para as barras inclinadas
ul
d2
N2
=E
⇒ N2 = EA 2
A
l + a2
l 2 + a2


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Voltando na equação de equilíbrio temos
u
ul
EA + 2EA 2
l
l + a2

l
l2

+ a2

=P

o que após algumas simpliﬁcações resulta em





u
2l3



= P
1 +


3 
l
EA
2 + a2 ) 2 
(l

(1)

!
Ao comparar a resposta não linear com a resposta linear da estrutura para pequenos
deslocamentos, podemos observar que o coeﬁciente angular da resposta linear é igual
à derivada da curva carga-deslocamento não linear para u = 0.


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Programa
2

Solução Numérica


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Modelos Estruturais
P1:
u
l

+2 1+









u
l

1
1+ ( a )
l

2

1

−

N1 = EA u
l
√
√
( l + u ) 2 + a2 − l 2 + a2
√
N2 = EA
2
2

2

(1+ u ) + ( a )
l
l

2




=




P
EA

l +a

P2:
u
l

1+

2l3
3
2 +a2 ) 2
(l

=

P
EA

N1 = EA u
l
ul
N2 = EA l2 +a2


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Modelos Discretos / Modelos Computacionais
from pylab import *
E=70 e9 ; d =0.005 ; A=pi*d**2/4 ; l=1 ;a=1
u= linspace (0 ,0.5 ,100)
# P1 - equilibrio na posição deformada
def P1(u,E,A,l,a):
cosphi =(l+u)/ sqrt ((l+u)**2+ a**2)
N1=E*A/l*u
N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * (sqrt ((l+u )**2+ a**2) - sqrt(l**2+a **2))
p=N1 +2* N2* cosphi
return (p)
# P2 - simplifica ção do modelo
def P2(u,E,A,l,a):
cost =(l)/ sqrt(l**2+a**2)
N1=E*A/l*u
N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * u*cost
p=N1 +2* N2*cost
return (p)
# Obtem as curvas
y1 = P1(u,E,A,l,a); y2 = P2(u,E,A,l,a)
# Gráficos para compara ção
plot(u/l, y1 /(E*A), label=’P1 ’); plot(u/l, y2 /(E*A), label =’P2 ’)
legend (loc =0); grid ()
xlabel (’u/l’); ylabel (’P/EA’)
show ()

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Comparação das relações força-deslocamento


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Pontos para discussão
É possível obter a mesma solução do problema P2 (não linear) resolvendo uma
sequência de problemas do tipo P1 (linear)
Por exemplo, considerando as cargas aplicadas em pequenos incrementos


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Programa
2

Solução Numérica


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Considere uma estrutura onde atual n solicitações s1 , s2 , . . . , sn . Um efeito elástico
qualquer E, pode ser obtido pela superposição deste efeito calculado para cada
solicitação separadamente.
E ( s1 + s2 + · · · + sn ) = E ( s1 ) + E ( s2 ) + · · · + E ( sn )


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O princípio da superposição é válido desde que a estrutura tenha comportamento
linear, ou seja satisfaça:
O material deve se comportar segundo a Lei de Hooke (comportamento elásticolinear)
As deformações e os deslocamentos devem ser pequenos de forma que possa ser
considerada a posição indeformada como posição de equilíbrio
Se a estrutura não satisfaz a primeira condição acima, diz-se que ela apresenta
não-linearidade física
Se a estrutura não satisfaz a segunda condição, diz-se que ela apresenta nãolinearidade geométrica


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Condições para o comportamento linear
Para se ter comportamento linear uma estrutura exige-se necessariamente o comportamento linear do material (linearidade física), e linearidade geométrica da
estrutura.
Para a linearidade geométrica deve-se ter um arranjo adequado das barras e dos
vínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estrutural na posição inicial da estrutura indeformada.
Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos e
pequenas deformações.
Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tiver
comportamento não-linear, bem como não há possibilidade da estrutura apresentar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade geométrica.


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Para estrutura abaixo, não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar a
deformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentos
Assim, para formular o equilíbrio do nó C, é necessário levar em conta o ângulo
α formado entre as barras na posição deformada e na posição inicial
Esta estrutura apresenta comportamento não-linear para qualquer valor de P e
qualquer tipo de material

Abaixo apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura acima, mas cuja disposição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica


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O princípio da superposição dos efeitos pode ser aplicado quando o comportamento
da estrutura é elástico-linear, isto é:
O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear)
Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidade
geométrica)
Não existe interação entre efeitos de força axial e momento ﬂetor nas barras (linearidade geométrica)
A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio na
posição inicial da estrutura indeformada


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Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Programa
3

Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem
Material Elástico Linear
Material Elástico Não-Linear
Material Perfeitamente Plástico
Relação Ramberg-Osgood


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Programa
3



Unidade 02

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Análise de Segunda Ordem

Análise de Primeira Ordem

F x = 0 ⇒ N2 = N3

F x = 0 ⇒ N2 = N3

Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cos φ = P

Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cos θ = P

Condições de Compatibilidade
cos φ =

Condições de Compatibilidade

l+u
cos θ =

( l + u ) 2 + a2

+ a2

d1 = u;

d1 = u;
d2 =

l
l2

(l + u)2 + a2 −

l2 + a2 ;

d2 = u cos θ = ul l2 + a2 −1 ;

Equação Constitutiva
σ = Eε ⇒

N
∆l
=E
A
l

Dados
E = 210GPa, σP = 420MPa;
πd2 2
m , d = 0.005m;
4
l = 1m, a = 1m;
A=

Material Elástico Linear: σ = Eε
Material Elástico Não-Linear: σ = Eε1/2
Material Perfeitamente Plástico:

σ = Eε se ε ≤ 0.002



σ = σ

P

Relação Ramberg-Osgood:

m

ε = σ + α σP σ





E
E σP


 σP


α

= 0.002, m = 5
E



Programa
3



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Um material pode comportar-se de diversas formas.

Utilizando um material elástico linear: σ = Eε ;
Conﬁguração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)1
Dados!

1 Contribuiram

para essa seção os alunos Anna Claudia Resende, Joventino Campos e Weslley Pereira


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35 / 51



Programa
3



Unidade 02

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36 / 51



O que muda no modelo?

σ = Eε1/2 ⇒

N
∆l
=E
A
l

1/2

Para a conﬁguração deformada (P1):
d1
l

1/2

d2
N2 = EA
l

1/2

N1 = EA

⇒ N1 = EA







⇒ N2 = EA 






u
l

1/2

(l + u)2 + a2 −
l 2 + a2

Unidade 02

1/2

l 2 + a2 










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σ = Eε1/2 ⇒

∆l
N
=E
A
l

1/2

Para a simpliﬁcação do modelo (P2):
d1
l

1/2

d2
N2 = EA
l

1/2

N1 = EA

⇒ N1 = EA

u
l

1/2



 u cos θ 1/2






⇒ N2 = EA 

 2

2
l +a


Unidade 02

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37 / 51



Conﬁguração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!


Unidade 02

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38 / 51



Programa
3



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
Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Para facilitar os cálculos escreverei as deformações ε em função de θ e de ε11 2
(deformação na barra 1). Para os dois modelos a deformação na barra 1 é dada por:

ε11 =

2 εi j :

d1
u
=
l
l

deformação na barra i do problema P j


Unidade 02

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
Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Já para a barra 2, a deformação no caso (P1) é dada por3 :
ε21 =

( l + u ) 2 + a2 −
l2 + a2
⇒ ε21 =

3 εi j :

l2 + a2

=

(l + u)2 + a2
−1=
l2 + a2

(1 + ε11 )2 + tan2 θ
−1=
1 + tan2 θ

(1 + u )2 + ( a )2
l
l
−1
1 + ( a )2
l

(1 + ε11 )2 + tan2 θ
sec θ

−1



Unidade 02

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
Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

No caso (P2), temos4 :
ε22 =

u cos θ
l2 + a2

=

u cos θ
l 1 + ( a )2
l

=

u cos θ
l 1 + tan2 θ

=

u cos θ
u
= cos2 θ
l sec θ
l

⇒ ε22 = ε11 cos2 θ

4 εi j :



Unidade 02

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
Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Para o caso (P1), as equações de equilíbrio ﬁcam:
l+u

N1 + 2N2 cos φ = P ⇒ Aσ(ε11 ) + 2Aσ(ε21 )

=P

( l + u ) 2 + a2
⇒

P
= σ(ε11 ) + 2σ(ε21 )
A





P
1


⇒
= σ(ε11 ) + 2σ(ε21 )


EA
E


Unidade 02

1+

u
l

(1 + u )2 + ( a )2
l
l
1 + ε11

(1 + ε11 )2 + tan2 θ













versão 13.05

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
Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Para o caso (P2), as equações de equilíbrio ﬁcam:
N1 + 2N2 cos θ = P ⇒ Aσ(ε11 ) + 2Aσ(ε22 ) cos θ = P
⇒


P
1
=
σ(ε11 ) + 2σ(ε22 ) cos θ
EA
E

Unidade 02

versão 13.05

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Dados!


Unidade 02

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Dados!


Unidade 02

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Dados!


Unidade 02

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Dados!


Unidade 02

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Programa
3



Unidade 02

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σ
σP σ
ε= +α
E
E σP

m

⇒

σ
σP σ
∆l
= +α
l
E
E σP

m

Como σ está implícito, é necessário um método iterativo para descobrir seu valor.
Para a simulação foi utilizada a função fsolve() do pacote scipy 5
Parâmetros:

m

ε = σ + α σ P σ





E
E σP


 σP


α

= 0.002, m = 5
E

5 http://www.scipy.org/

Unidade 02

versão 13.05

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Para a conﬁguração deformada (P1) a :
a resolvem-se

as equações implicitamente para σ

d1
u
σ
σP σ
⇒ = +α
l
l
E
E σP
d2
⇒
l

(l + u)2 + a2 −
l2 + a2

m

⇒ N1 = Aσ
l2 + a2

=

σ
σP σ
+α
E
E σP

m

⇒ N2 = Aσ

Para a conﬁguração deformada (P2) a :
a resolvem-se

as equações implicitamente para σ

d1
u
σ
σP σ m
⇒ = +α
⇒ N1 = Aσ
l
l
E
E σP
d2
u cos θ
σ
σP σ m
⇒
= +α
⇒ N2 = Aσ
l
E
E σP
l2 + a2

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Dados!


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Pontos para discussão
No problema P2, considere o caso onde há variação de temperatura
A variação de temperatura implica em modiﬁcações (expansão/contração) na
estrutura
Isso pode inﬂuenciar os resultados?
a Modelagem

a

termo-mecânica


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