Washington Franco Mathias
        José Maria Gomes


Matemática
 Financeira
        Com + de 600 exercícios
          reso...
Capítulo 1



             JUROS
            SIMPLES
Mathias
Gomes
Juro e Consumo


           • Existe juro porque os recursos são
             escassos.

           • As pessoas têm prefe...
Juro e Capital

            • O Capital também é
               escasso.

            • O Juro é a remuneração
           ...
Taxa de Juros

           • Juro e tempo andam juntos.

           • O juro é determinado através de um coefi-
           ...
Taxa de Juros

           FORMA PORCENTUAL

           • Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do
      ...
CÁLCULO DO JURO

          JURO SIMPLES

          • A remuneração pelo capital inicial
            (o principal) é direta...
CÁLCULO DO JURO
                                                                   EXEMPLO

            • FÓRMULA BÁSICA:
...
Exemplo
          Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00
          pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% ...
Exemplo
            O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano
     (J1) mais o juro devido no segundo ano (J...
CÁLCULO DO JURO

          JURO SIMPLES
          • Variações da fórmula básica.

                                 J = C.i...
MONTANTE
                                                           EXEMPLO
            JURO SIMPLES

            •   Mont...
Exemplo
          Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
          de 10 % a.a. pelo prazo de 2 ano...
Exemplo
          É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por
          montante:


          a) Calc...
MONTANTE
          JURO SIMPLES


                         N = C(1 + in)


                 N                             ...
TAXA PROPORCIONAL
                                                                              EXEMPLO
           JURO SI...
Exemplo
          Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são
          proporcionais.

          Resoluç...
Exemplo
          Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa
          proporcional mensal.

          Re...
TAXA EQUIVALENTE
                                                           EXEMPLO


            Duas taxas de juros são ...
Exemplo
     Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-
     mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a....
PERÍODOS NÃO-INTEIROS
                                                                EXEMPLO


                  Quando o...
Exemplo
     Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é
     aplicado à taxa de juros simples de 12% ...
Exemplo
          2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
                               i 0,12
  ...
Exemplo
                     J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00

      b) Montante:

            O montante é:

       ...
JURO EXATO
                                                            EXEMPLO



           Juro Exato é aquele em que:

...
Exemplo
      Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado
      por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?


 ...
JURO COMERCIAL
                                                              EXEMPLO



           Juro comercial é aquele...
Exemplo
          Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an-
          terior.


          Resoluçã...
DIAGRAMAS DE CAPITAL
          NO TEMPO
          • Representam o fluxo de dinheiro no tempo;

          • Representam o f...
VALOR NOMINAL

                 É quanto vale um compromisso na data do seu
           vencimento.

           Exemplo:
  ...
VALOR ATUAL

                 É o valor que um compromisso tem em uma data
          que antecede ao seu vencimento.


   ...
VALOR FUTURO
                                                              EXEMPLO


                   Corresponde ao val...
Exemplo
  1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e
  que recebeu, pela aplicação, um título que ir...
Exemplo
            Nestas condições:

                   24.000 = 15.000 (1+ i.12)

          Dividindo os dois lados da ...
Exemplo
          E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-
          mos:
                           ...
Exemplo
  b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas
  que conhecemos a taxa de aplicação, que é de...
Exemplo
    Logo:           24.000 C.1,72
                          =
                     1,72   1,72


    Ou seja:     ...
Exemplo
  2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.
  Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar...
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Matemática Financeira - Juros Simples

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Matemática Financeira - Juros Simples

  1. 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  2. 2. Capítulo 1 JUROS SIMPLES Mathias Gomes
  3. 3. Juro e Consumo • Existe juro porque os recursos são escassos. • As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar. • O prêmio para quem poupa é o juro. Mathias Gomes
  4. 4. Juro e Capital • O Capital também é escasso. • O Juro é a remuneração pelo uso do capital. • O Juro é a remuneração pelo custo do crédito. Mathias Gomes
  5. 5. Taxa de Juros • Juro e tempo andam juntos. • O juro é determinado através de um coefi- ciente referido a um dado intervalo de tem- po. • O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Ex.: 12 % ao ano. Mathias Gomes
  6. 6. Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL • Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano. FORMA UNITÁRIA • Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano. Mathias Gomes
  7. 7. CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES • A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional: -- Ao valor aplicado; Ao valor aplicado; -- Ao tempo de aplicação. Ao tempo de aplicação. Mathias Gomes
  8. 8. CÁLCULO DO JURO EXEMPLO • FÓRMULA BÁSICA: J = C .. ii .. n J=C n onde: J = Juro C = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa) Mathias Gomes
  9. 9. Exemplo Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te- mos o juro do primeiro ano como sendo: J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 No segundo ano, teremos: J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 Mathias Gomes
  10. 10. Exemplo O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano (J1) mais o juro devido no segundo ano (J2) J = J1 + J2 J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00 Ou então, podemos resolver o problema diretamente: J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1 J = 1.000,00 X 0,10 X 2 J = $ 200,00 Mathias Gomes
  11. 11. CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES • Variações da fórmula básica. J = C.i.n J J C= i= in Cn J n= Ci Mathias Gomes
  12. 12. MONTANTE EXEMPLO JURO SIMPLES • Montante é a soma do juro mais o capital aplicado. N=C+J onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros N = C(1 + in) Mathias Gomes
  13. 13. Exemplo Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos E sendo: N = C(1+in) Substituindo-se os valores, tem-se: N = 1.000(1+0,10 x 2) N = 1.000(1+0,20) N = 1.000 x 1,20 N = $ 1.200,00 Mathias Gomes
  14. 14. Exemplo É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por montante: a) Calculando o juro devido: J = Cin J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00 b) Somando-se o juro com o principal: N=C+J N = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00 Mathias Gomes
  15. 15. MONTANTE JURO SIMPLES N = C(1 + in) N N −1 C= i= C 1 + in n N −1 n= C i Mathias Gomes
  16. 16. TAXA PROPORCIONAL EXEMPLO JURO SIMPLES A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se: Ou ainda: i1 n1 i1 i 2 = = i2 n 2 n1 n 2 Ou, do mesmo modo, se: i1.n2 = i2.n1 Mathias Gomes
  17. 17. Exemplo Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a. n1 = 3 meses n2 = 12 meses i1 n1 Como: = i 2 n2 Substituindo-se os valores: 0,05 = 3 0,20 12 que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, Mathias as taxas dadas são proporcionais. Gomes
  18. 18. Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. n1 = 12 meses i2 = ? n2 = 1 mês E, como: i1 n1 tem-se: 0,24 12 = = i 2 n2 i2 1 0,24 0,24 x 1 = i2 x 12 ∴ i 2 = = 0,02a.m. ou i = 2% a.m. 12 Mathias Gomes
  19. 19. TAXA EQUIVALENTE EXEMPLO Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. Mathias Gomes
  20. 20. Exemplo Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa- mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a- nos, teremos um juro igual a: J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi- póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a. Mathias Gomes
  21. 21. PERÍODOS NÃO-INTEIROS EXEMPLO Quando o prazo de aplicação não é um número in- teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte: I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe- ríodos. II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente. O juro total é a soma do juro referente à parte in- teira com o juro da parte fracionária. Mathias Gomes
  22. 22. Exemplo Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ? Resolução: Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem: 5 x 2 semestres = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3 meses. a) Cálculo do juro: 1ª etapa: J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00 Mathias Gomes
  23. 23. Exemplo 2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre: i 0,12 im = = = 0,06a.t. m 2 Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00 Logo, o total de juros é: J = J1 + J2 J = 1.320,00 + 60,00 J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran- do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições, 5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres: Mathias Gomes
  24. 24. Exemplo J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00 b) Montante: O montante é: N=C+J N = 1.000,00 + 1.380,00 ∴ = $ 2.380,00 N Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra- ciocinando por etapas para obter o montante. Mathias Gomes
  25. 25. JURO EXATO EXEMPLO Juro Exato é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano civil. Cin Je = 365 Mathias Gomes
  26. 26. Exemplo Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução: Cin Je = 365 10.000 x0,36 x 40 Je = = $394,52 365 Mathias Gomes
  27. 27. JURO COMERCIAL EXEMPLO Juro comercial é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano comercial: Cin Je = 360 Mathias Gomes
  28. 28. Exemplo Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an- terior. Resolução: Cin Jc = 360 10.000 x0,36 x 40 Jc = = $400,00 360 Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer- cial é maior que o juro exato. Mathias Gomes
  29. 29. DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO • Representam o fluxo de dinheiro no tempo; • Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di- nheiro; • Graficamente: 2000 500 Entradas (+) 0 (PERÍODOS) 1 2 1000 Saídas (-) Mathias Gomes
  30. 30. VALOR NOMINAL É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Exemplo: Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me- ses. 20.000 (meses) 0 12 20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12. Mathias Gomes
  31. 31. VALOR ATUAL É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. 20.000 c (meses) 0 6 12 ¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de juros. Mathias Gomes
  32. 32. VALOR FUTURO EXEMPLO Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje. c 10.000 (meses) 0 6 ¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de juros. Mathias Gomes
  33. 33. Exemplo 1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no mês 12. a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00. Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica- ção, do seguinte modo: Resolução: N = C (1+in) N = 24.000,00 C = 15.000,00 i=? n = 12 meses Mathias Gomes
  34. 34. Exemplo Nestas condições: 24.000 = 15.000 (1+ i.12) Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera: 24 .000 15 .000 (1 + i.12 ) = 15 .000 15 .000 Logo: 1,6 = 1 + i.12 Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera: 1,6 -1 = 1 -1 + i.12 0,6 = i.12 Mathias Gomes
  35. 35. Exemplo E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te- mos: 0,6 i.12 = 12 12 Logo: i = 0,05 Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o “mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem- po. Ou seja: i = 0,05 ao mês Ou, o que dá no mesmo: i = 5% ao mês. Mathias Gomes
  36. 36. Exemplo b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon- de ao próprio valor aplicado: N = C (1 + i.n) Onde: N = 24.000,00 C=? i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária) n = 12 meses Então: 24.000 = C (1 + 0,06 x 12) 24.000 = C (1 + 0,72) 24.000 = C.1,72 Mathias Gomes
  37. 37. Exemplo Logo: 24.000 C.1,72 = 1,72 1,72 Ou seja: C = 13.953,49 que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa aplicou hoje. Mathias Gomes
  38. 38. Exemplo 2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses ? Temos: N = C (1 + i.n) Onde: N=? C = 10.000,00 i = 0,05 n = 3 meses Logo: N = 10.000 (1 + 0,05 x 3) N = 10.000 (1,15) N = 11.500,00 O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses. Mathias Gomes

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