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  1. 1. UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA Área Departamental de Engenharia Civil ANÁLISE DE ESTRUTURAS I DIAGRAMAS DE ESFORÇOS JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO FARO 2005/06
  2. 2. João M. C. Estêvão - EST - UAlg - 2 - 1. Conceitos básicos Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares. Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de deformação de um corpo. Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre pontos de um corpo. 2. Ligações 2.1. Ligações exteriores (apoios) Designação usual Representação esquemática Reacções associadas Deslocamentos permitidos Apoio simples Apoio fixo Encastramento deslizante Encastramento Nenhum
  3. 3. Diagramas de esforços - 3 - 2.2. Ligações interiores Designação usual Representação esquemática Esforços transmitidos Deslocamentos permitidos Rótula N e V Encastramento deslizante N e M Pistão V e M Continuidade N, V e M Nenhum 3. Equações de equilíbrio estático ΣMomentos = 0 (qualquer ponto) ΣForças = 0 (resultante nula) 4. Diagramas de esforços Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da secção que os separa. Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M) NN x VV x MM x V = -∫p ×dx M= ∫ V × dx
  4. 4. João M. C. Estêvão - EST - UAlg Diagramas de esforços para cargas usuais - 4 - Tipo de carga (p) Esforço Transverso (V) Momento Flector (M) p = 0 V = constante Linear V > 0 V = 0 V < 0 Linear Parábola Parábola Eq. do 3º grau Parábola Eq. do 3º grau Linear Parábola Parábola Eq. do 3º grau Parábola Eq. do 3º grau Casos particulares: - O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada. - O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula. - O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado. - O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula.
  5. 5. Diagramas de esforços Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada x1 Mmax - 5 - MA VB p VA MB A B x L V(x) = VA - p × x M M V x p x (x) = A + A × - × 2 2 M M L V p L L B A A MB Σ = 0 ® + × = × × + 2 V L  × M M p L   A = B - A +    1 2 2 FV VA p L VB Σ = 0 ® = × + VB = VA - p ×L M = max.® V(x) = 0 = VA - p × x M x V p = max.® = A max = = + × - × M M( ) M V V p p  V A A max max   x A A p    2 2 max = + M M V 2 A 2 A p × M M V x p x (x) = A + A × - × = 2 2 0 x x 1 2 x V V p M A A A p 1 2 2 = - + × × , 0 £ x1 £ L x V V p M A A A p 2 2 2 = + + × × , 0 £ x2 £ L 2 se V p M x x x x A A 1 2 1 2 2 0 0 0 + × × < ® = ® = > ® ¹ sem zeros M(x) xmax x2 V(x)
  6. 6. João M. C. Estêvão - EST - UAlg 50 kNm 40 kN/m 50 kN - 6 - PROBLEMAS PROPOSTOS Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe os diagramas de esforços. 1) 30 kN/m C D A B 20 kN 2.50 m 2.50 0.50 1.50 2) 4.00 m 2.00 2.00 1.00 3.00 1.00 1.00 A B C D E F 20 kN 60 kN/m 3) A 10 kNm B C D E 50 kN F 40 kN/m 3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50
  7. 7. Diagramas de esforços - 7 - 4) A B 36 kN/m C D E F 50 kN 23 kN 1.00 1.00 2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.00 1.00 1.00 60 kN/m G H 5) A B C D E F 90 kN 125 kN 50 kN/m G H 1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.50 1.50 80 kN 30 kNm 6) B A C D E F 60 kN 10 kN/m 70 kN G 1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50 2.00 2.00 30 kN/m
  8. 8. João M. C. Estêvão - EST - UAlg - 8 - 7) A B D E C F 94 kN G 10 kN/m 2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00 1.50 1.50 40 kN 8) A B C 100 kN D E F 140 kN G 23 kN/m 2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00 2.00 2.00 H I J 15 kN/m 20 kN/m 35 kN 30 kN 50 kNm
  9. 9. Diagramas de esforços - 9 - 9) A E B C D 5 kN 48 kN/m 4.00 m 3.00 3.00 3.00 250 kN 10) E C D A B F 60 kN/m 4.00 m 3.00 2.00 6 kN/m 30 kN/m
  10. 10. João M. C. Estêvão - EST - UAlg B C D E 4.00 30 kN/m - 10 - 11) A F 63 kN 50.2 kN/m 1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00 12) 60 kN A C D B 20 kN/m E F 2.00 4.00 m 3.00 3.00 3.00 14 kN/m 30 kN/m 132 kN
  11. 11. Diagramas de esforços - 11 - 13) 70 kN 40 kN/m A B C D E F 50 kN 1.50 1.50 3.00 m 3.00 2.00 2.00 30 kN/m 14) A B C D E F 40 kN G 10 kN/m H I 35 kN 2.00 m 2.00 2.00 2.00 1.00 2.00 3.00 40 kN/m
  12. 12. João M. C. Estêvão - EST - UAlg - 12 - 15) A B C D E F 10 kN G 20 kN/m 3.00 4.00 m 3.00 2.00 4.00 2.00 30 kN/m 16) A B G C D E F 60 kN H I J 100 kN 2.00 2.00 2.00 3.00 m 3.00 4.00 2.00 L 60 kN 75 kN
  13. 13. Diagramas de esforços - 13 - 17) A B C D G E F 25 kN/m H I 40 kNm 4.00 m 2.00 2.00 1.50 1.50 1.50 40 kN/m 18) A B C D E F 40 kN G 14 kN/m H I 25 kNm 2.00 1.50 1.50 4.00 m 1.00 2.00 2.00 5 kN/m 20 kN/m 90 kN
  14. 14. João M. C. Estêvão - EST - UAlg C D E - 14 - 19) 30 kN 63 kN A B C D E F 119 kN G 30 kN/m H I J 2.00 4.00 m 2.25 1.75 3.00 2.00 2.00 10 kN/m 18 kN/m 20) 42 kNm 8 kN/m A B 1.50 m 1.50 1.50 1.50 2.00 72 kN/m
  15. 15. Diagramas de esforços A VB VB Σ = ⇒ ´ + ´ = + ´ ⇒ = 0 C D - 15 - Soluções dos problemas propostos 1) Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três ligações ao exterior. F R R H HA HA Σ = 0⇒ + 20 = 30 ´ 2⇒ = 40 kN 30 2 M R R 2 5 50 15 20 4 2 . kN F R R V VA VB Σ = 0⇒ = = 4 kN Reacções de apoio e orientação das barras A B 4 kN 4 kN 40 kN Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo.
  16. 16. João M. C. Estêvão - EST - UAlg BD Σ = 0⇒ 2 ´ = 15´ 20⇒ = 15 - 16 - A B 30 kN/m C 20 kN D C R VA R VB 50 kNm D R HA F 1 F 1 F 2 F 2 F F 3 5 F F 6 4 F 7 F 8 F 9 M 1 M 1 M 2 A A F 9 F 10 F 10 F 11 F 11 F 12 F 12 M 2 F 5 F 3 F 4 F 6 B B Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças internas. Σ M CD = 0⇒5´ F = 50⇒ F = 10 D 1 1 kN Σ CD = 0⇒ = = 10 F F F V 2 1 kN Σ BD = 0⇒ = = 10 F F F V 3 2 kN Σ AC = 0⇒ = = 10 F F F V 4 1 kN nó B Σ = 0⇒ 4 + = 10⇒ = 6 kN F F F V 5 5 Σ AB = 0⇒ = = 6 F F F V 6 5 kN M F F B 7 7 . kN Σ CD = 0⇒ = = 15 F F F H 8 7 kN
  17. 17. Diagramas de esforços Σ AC = 0⇒15+ = 30 ´ 2⇒ = 45 AC Σ = ⇒ + ´ = ´ 0 2 15 ⇒ = 50 - 17 - Σ BD = 0⇒15+ = 20⇒ = 5 F F F H 9 9 kN nó B Σ = 0⇒ = = 5 kN F F F H 10 9 Σ AB = 0⇒ = = 5 F F F H 11 10 kN F F F H 12 12 kN Σ M AB = 0⇒ M = 5´ F = 5´ 6 = 30 A 1 5 kNm M M M A 30 2 2 30 2 2 2 kNm Valores finais: A B C 30 20 D C 4 4 D 10 10 10 10 10 6 6 10 15 15 5 30 30 30 30 A A 5 5 5 5 5 45 45 6 10 10 6 B B 40 Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos diagramas de esforços.
  18. 18. João M. C. Estêvão - EST - UAlg - 18 - · Esforços axiais AB = - = - = - 10 11 N F F 5 kN BC = - = - = - 7 8 N F F 15 kN AC = - = - = - 1 4 N F F 10 kN BD = = = 2 3 N F F 10 kN · Esforços transversos AB = - = AB = - = - 6 5 V F V F A B 6 kN CD = = CD = = 1 2 V F V F C D 10 kN AC = = 12 V F A 45 kN AC = - = - ´ = - 8 V F C 45 2 30 15 kN BD = - = - 9 V F B 5 kN BD = = - + = 7 V F D 5 20 15 kN AC ( ) = 45- 30× V x x 0 = 45- 30× x ⇒ x = 1.5 m · Momentos flectores AB = = 1 M M A 30 kNm CD a . . = 2 5´ = 25 kNm M F m x esq 1 . CD max. . = -2.5 ´ = 2.5´ - 50 = -25 M F F dir 2 1 kNm AC = - = ´ - ´ = - 2 M M A 2 2 15 30 2 2 30 kNm M AB = - + ´ - . ´ = 30 15 45 max. . 30 15 . 2 375 2 kNm max. = -1.5´ = -0.5 ´ = -7.5 M F F BD 9 7 kNm
  19. 19. Diagramas de esforços -25 - 19 - Diagrama de esforços axiais (kN) -15 -10 10 -5 Diagrama de esforços transversos (kN) 45 -15 10 -6 -5 15 Diagrama de momentos flectores (kNm) 30 25 -30 3.75 -7.5
  20. 20. João M. C. Estêvão - EST - UAlg 40 kN/m 50 kN Σ ED = 0⇒4 ´ + 20 ´ 3 = 0⇒ = -15 - 20 - 2) Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável. A B C D C R VA F 1 F 1 F 2 F 3 R HB R VB D E E F 20 kN 60 kN/m F 4 F 3 F 5 F F 5 6 R HF R VF R MF Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer as seguintes equações: M F F E 4 4 kN (mudar o sentido do vector) Σ ED = 0⇒ + 20 - 15 = 0⇒ = -5 F F F H 5 5 kN (mudar o sentido do vector) Σ F EF = 0⇒ R = 5 kN H HF
  21. 21. Diagramas de esforços HB Σ = 0⇒ = -15 kN (mudar o sentido do vector) Σ CD = 0⇒2 ´ - 1´ 50 = 0⇒ = 25 MF Σ = 0⇒ = 2 ´ 25 + ´ ´ ´ = 6 2 VB VB Σ = 0⇒4 ´ - 40 ´ 6 ´ - ´ = ⇒ = 6 25 0 217 5 . kN VA Σ = 0⇒ = 6 ´ 40 + 25 - 217.5 = 47.5 kN 40 50 - 21 - Σ CD = 0⇒ = -15 F F H 2 kN (mudar o sentido do vector) ABC F R H M F F C 3 3 kN Σ CD = 0⇒ = 50 - 25 = 25 F F V 1 kN Σ ED = 0⇒ = = 25 F F F V 6 3 kN Σ = = + 60 ´ 2 F EF 0⇒ R 25 = V VF 2 85 kN EF M R F 60 2 2 2 3 2 130 kNm ABC M R R A ABC F R V Valores finais: A B C D C 47.5 25 25 15 15 25 217.5 D E F 20 60 E 15 25 5 5 25 5 85 130
  22. 22. João M. C. Estêvão - EST - UAlg Reacções de apoio e orientação das barras - 22 - A B C D E F 47.5 kN 217.5 kN 85 kN 5 kN 130 kNm 15 kN Cálculo dos esforços: · Esforços axiais N AB = 0 kN BC HB = = = 2 N R F 15 kN CD = = = 4 2 N F F 15 kN DE = - = - = - 3 6 N F F 25 kN EF HF = - = - = - 5 N R F 5 kN · Esforços transversos dir . = = 47.5 kN V R A VA esq. = 47.5 - 40 ´ 4 = -112.5 kN VB dir . = -112.5 + 217.5 = 105 kN VB esq. = = - ´ = 1 V F C 105 2 40 25 kN dir. = = 1 V F C 25 kN CD = - = - = - 3 V F D 25 50 25 kN ED = = 5 V F E 5 kN
  23. 23. Diagramas de esforços - 23 - ED = - = - = - 4 V F D 5 20 15 kN EF = - = - 6 V F E 25 kN esq. = -25 - ´ = - VF 60 2 2 85 kN AB ( ) = 47.5 - 40 × V x x 0 = 47.5 - 40 × x ⇒ x = 1.1875 m · Momentos flectores M AB = ´ - . ´ = 11875 47 5 max. . . 40 11875 . 2 28 2 2 kNm 40 ´ 4 M= 4 ´ 47 5- = - B 2 130 2 . kNm max. = 1´ = 25 M F CD 1 kNm max. = 1´ = 15 M F ED 4 kNm M R F MF = - = -130 kNm Diagrama de esforços axiais (kN) 15 -25 -5
  24. 24. João M. C. Estêvão - EST - UAlg Diagrama de esforços transversos (kN) - 24 - 47.5 105 -112.5 25 -25 -15 5 -25 -85 Diagrama de momentos flectores (kNm) 28.2 -130 25 15 -130
  25. 25. Diagramas de esforços 10 40 Σ CD = 0⇒ + 40 = 40 ´ 2⇒ = 40 VB VB Σ = 0⇒10 + 3 ´ = 40 ´ 4⇒ = 50 kN VA VA Σ = 0⇒ + 40 = 50⇒ = 10 kN MF MF Σ = ⇒ ´ + ´ + = ´ ⇒ = 0 - 25 - 3) D E 50 F 40 A B C 150 30 10 50 40 40 40 40 Equações de equilíbrio: F R H HF Σ = 0⇒ = 0 Σ = ´ = 40 ´ 2 CD 0 ⇒ 2 ⇒ = M F F C 2 40 1 2 1 kN F F F V 2 2 kN ABC M R R A ABC F R R V F R R V VE VE Σ = 0⇒40 ´ 3.5+ 50 +10 = 50 + ⇒ = 150 kN DEF 40 15 M R R D 2 50 3 150 15 30 2 . . kNm max. = ´ = 40 2 MCD 8 20 2 kNm Reacções de apoio e orientação das barras A B C D E F 150 kN 30 kNm 10 kN 50 kN
  26. 26. João M. C. Estêvão - EST - UAlg - 26 - Diagrama de esforços axiais (kN) Diagrama de esforços transversos (kN) -10 -100 40 50 -40 Diagrama de momentos flectores (kNm) -30 -105 -40 20 -30
  27. 27. Diagramas de esforços Σ = ´ = 60 ´ 2   ⇒ ´ + ´ VG VG  ⇒ = 0 1 Σ FGH = 0⇒ + ´ = ⇒ = VD VD Σ = ⇒ ´ + ´ = ´ 0 2 3 40 ⇒ = Σ CDE = 0⇒ 36 ´ 3 = 40 + 21+ ⇒ = 47 - 27 - 4) C E F 50 36 23 60 161 25 70 21 25 100 A B C D E F G H 33.23 33.23 17.68 C 40 40 25 47 25 25 25 25 25 40 47 40 25 47 17.68 Equações de equilíbrio: FGH   M R R F 2 1 1 3 2 100 kN 60 2 F F F V 2 100 40 1 1 kN Σ EF = 0⇒ = = 40 F F F V 3 1 kN Σ EF = 0⇒2 ´ = 1´ 50⇒ = 25 M F F E 2 2 kN Σ EF = 0⇒ = = 25 F F F H 4 2 kN CDE 36 3 M R R C 2 21 2 kN F F F V 5 5 kN
  28. 28. João M. C. Estêvão - EST - UAlg MA MA Σ = 0⇒ + 2 ´ 25 = 1´ 23+ 4 ´ 47⇒ = 161 kNm = ´ - . ´ = 130556 47 - 28 - Σ CDE = 0⇒ = = 25 F F F H 6 4 kN Σ F ABC = 0⇒ R = F = 25 H HA 6 kN Σ F ABC = 0⇒ R = 23+ 47 = 70 kN V VA ABC M R R A F R R H HG HG Σ = 0⇒ + 25 = 50⇒ = 25 kN CD ( ) = 47 - 36× V x x 0 = 47 - 36× x ⇒ x = 1.30556 m MCD max. . 36 130556 . 2 30 68 2 kNm Corpo ABC, ponto C: 47 ´ cos45º = 47 ´ sen45º = 33.23 kN 25´ cos45º = 25´ sen45º = 17.68 kN Reacções de apoio e orientação das barras 161 kNm 25 kN 70 kN 21 kN 25 kN 100 kN A B C D E F G H
  29. 29. Diagramas de esforços - 29 - Diagrama de esforços axiais (kN) -50.91 -25 -40 -25 25 Diagrama de esforços transversos (kN) -40 -25 60 -40 -4 -25 25 47 15.56 47 70 Diagrama de momentos flectores (kNm) -161 -44 -91 22 -40 25 30.68
  30. 30. João M. C. Estêvão - EST - UAlg VA VA Σ = ⇒ ´ = +  1 2 5 2 0 8 7 ´ 1 ´ 50 + 4 ´ 125 + ´ ⇒ = Σ = ´ + ´ ´  +  ⇒ HA HA 1 2 0 3 50 1 3 = ´ ⇒ =   4 137.5 125 kN - 30 - 5) E F 22.5 30 125 125 125 50 137.5 D G H 87.5 61.87 61.87 88.39 C 125 87.5 88.39 125 137.5 A B C 125 87.5 C C 125 37.5 151 247 30 80 90 72 90 54 37.5 37.5 125 75 100 C 71 109.5 71 109.5 D 4 3 5 2 2 + = m a =  arctan = .      3 4 36 869898o 90 ´ cos a = 72 kN 90 ´ sen a = 54 kN Equações de equilíbrio: ABCD      90 137 5. kN M R R D ABC   M R R C Σ F ABC = 0⇒ F = R = 125 H 1 HA kN
  31. 31. Diagramas de esforços Σ ABC = 0⇒ + 50 ´1 = 137 5⇒ = 87 5 . . kN Σ nó C = 0⇒ + 87 . 5 = 125⇒ = 37 . 5 kN VH VH Σ = 0⇒ 3´ +1.5´ 80 + 30 = 3´151+1´109.5⇒ = 137.5 kN - 31 - F F F V 2 2 nó C Σ = 0⇒ = = 125 kN F F F H 3 1 F F F V 4 4 Σ F CD = 0⇒ F + 54 = 125⇒ F = 71 H 5 5 kN Σ CD = 0⇒ = 72 + 37 5 = 109 5 F F V 6 . . kN Σ F DFGH = 0⇒ R = 71+ 80 = 151 kN H HH DFGH M R R E F R R V VE VE Σ = 0⇒ + 137.5 = 137.5 + 72 + 125+ 50 ´ 1⇒ = 247 kN Corpo ABC, ponto C: 87.5 ´ cos45º = 87.5 ´ sen 45º = 61.87 kN 125 ´ cos45º = 125 ´ sen 45º = 88.39 kN Corpo CD, ponto C: 37.5´ cos a = 30 kN e 37.5´ sen a = 22.5 kN 125´ cos a = 100 kN e 125´ s en a = 75 kN Reacções de apoio e orientação das barras A B C D E F G H 125 kN 137.5 kN 247 kN 151 kN 137.5 kN
  32. 32. João M. C. Estêvão - EST - UAlg 137.5 137.5 - 32 - Diagrama de esforços axiais (kN) -150.26 -125 -71 -122.5 -151 -137.5 Diagrama de esforços transversos (kN) -45 87.5 -26.52 -71 -151 -109.5 45 137.5 Diagrama de momentos flectores (kNm) -305 112.5 -78.5 -137.5 -109.5 28 -167.5 112.5 112.5 28 -305
  33. 33. Diagramas de esforços Σ CD = 0⇒4 ´ + 2 ´ 60 = 4 ´ 120⇒ = 90 MA MA Σ = ⇒ = ´ + ´ 0 15 90 ⇒ = - 33 - 6) E F 30 G C 120 90 42.43 60 B A 90 D 90 120 60 42.43 C C 90 120 120 150 150 375 63.64 63.64 84.85 84.85 D 10 120 180 70 70 120 60 ´ cos45º = 60 ´ sen 45º = 42.43 kN Equações de equilíbrio: Σ ABC = 0⇒ = 30 ´ 4 = 120 F F H 1 kN Σ CD = 0⇒ = = 120 F F F H 3 1 kN M F F D 2 2 kN Σ F ABC = 0⇒ R = F = 90 V VA 2 kN ABC 30 4 M R R C 2 375 2 . kNm
  34. 34. João M. C. Estêvão - EST - UAlg VE VE Σ = ⇒ ´ + ´ = ´ + ´ 0 3 1 150 4 5 70 ⇒ = - 34 - Σ CD = 0⇒ = 90 + 60 = 150 F F V 4 kN DEFG 10 3 M R R D 2 70 2 . kN F R R V VE VE Σ = 0⇒ + 70 = 90 + 60 + 10 ´ 3+ 70⇒ = 180 kN Corpo CD, ponto C: 90 ´ cos45º = 90 ´ sen 45º = 63.64 kN 120 ´ cos45º = 120 ´ sen 45º = 84.85 kN Reacções de apoio e orientação das barras B A C D E G 375 kNm 90 kN 70 kN 120 kN 180 kN F
  35. 35. Diagramas de esforços - 35 - Diagrama de esforços axiais (kN) -120 90 -190.92 -120 -148.49 Diagrama de esforços transversos (kN) 21.21 -150 30 -21.21 -120 70 -90 Diagrama de momentos flectores (kNm) 375 -150 -105 135 135 60
  36. 36. João M. C. Estêvão - EST - UAlg 7) Reacções de apoio e orientação das barras - 36 - 114 kNm 15 kN 151 kN 24 kN A B C D E F G Diagrama de esforços axiais (kN) -60 36 -60 -24 -20 -5 Diagrama de esforços transversos (kN) 60 -20 20 36 -52 -15 99 20 -20 5
  37. 37. Diagramas de esforços Diagrama de momentos flectores (kNm) - 37 - -208 114 20 54 -10 50 -90 144 8) Reacções de apoio e orientação das barras 46 kNm 400 kN 70 kN 194.5 kN 47.5 kN A B C D E F G H I J Diagrama de esforços axiais (kN) -194.5 -153.5 200 100 -70 -82.5
  38. 38. João M. C. Estêvão - EST - UAlg Diagrama de esforços transversos (kN) - 38 - -200 -46 10 138 200 -82.5 110 -12 70 -47.5 -130 -160 Diagrama de momentos flectores (kNm) -300 65 290 15 80 46 260 320 290 260 95
  39. 39. Diagramas de esforços - 39 - 9) Reacções de apoio e orientação das barras C A D E 336 kN B 309 kNm 245 kN Diagrama de esforços axiais (kN) 490 -392 -294 -336
  40. 40. João M. C. Estêvão - EST - UAlg Diagrama de esforços transversos (kN) - 40 - -150 142 -245 144 42 Diagrama de momentos flectores (kNm) -216 309 -426 18.375
  41. 41. Diagramas de esforços F C D - 41 - 10) E A B 120 kN 195 kN 45 kN Diagrama de esforços axiais (kN) 75 -120 -125 -45 -195 -125
  42. 42. João M. C. Estêvão - EST - UAlg Diagrama de esforços transversos (kN) - 42 - 60 -120 -65 -132 25 120 -120 75 93 Diagrama de momentos flectores (kNm) 120 -10.42 -252 60 11) RVA = 434 kN ­ ; RHF = 60 kN ® ; RVF = 25.4 kN ­ ; RMF = 66.2 kNm
  43. 43. Diagramas de esforços - 43 - 12) RHA = 117 kN ® ; RVA = 208 kN ­ ; RVB = 66 kN ­ RHE = 27 kN ¬ ; RME = 40 kNm 13) RHA = 27.5 kN ® ; RVA = 100 kN ­ ; RHB = 17.5 kN ¬ RVB = 85 kN ­ ; RVC = 30 kN ­ 14) RHA = 58 kN ® ; RVA = 43.5 kN ­ ; RHB = 81 kN ¬ RVB = 76.5 kN ­ ; RMB = 351 kNm ; RHI = 28 kN ® 15) RHA = 120 kN ¬ ; RVA = 285 kN ­ ; RVB = 5 kN ¯ 16) RHA = 60 kN ® ; RVA = 340 kN ­ ; RHB = 115 kN ® RVB = 220 kN ¯ ; RMB = 690 kNm 17) RHD = 60 kN ® ; RVD = 40 kN ­ ; RHI = 0 ; RVI = 60 kN ­ 18) RVA = 179 kN ­ ; RHE = 13 kN ¬ ; RVE = 83 kN ¯ ; RHI = 128 kN ® 19) R 12.75 kN ; R 67 kNm VA MA = ¯ = ; RVE = 68 kN ­ R = 83 kN¬ ; R = 137.75 kN­ HJ VJ 20) RHA = 45 kN ¬ ; RVA = 22 kN ­ ; RHB = 27 kN ¬ ; RVB = 48 kN ­

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