He aquí la solución de la ecuación del Movimiento Armónico Simple, resuelta de manera física, usando el sistema Masa-Muelle para pequeñas deformaciones.

1. 15 de agosto de 2014
Solución de la Ecuación Diferencial del MAS
Harold Daniel Cordero Bustamante
Departamento de Física y Electrónica, Universidad de Córdoba, Montería, Colombia.
Se busca hallar la solución de la ecuación diferencial
del Movimiento Armónico Simple, dada por:
d2
x
dt2
+ ω2
x = 0
Partimos del sistema Masa-Muelle, pues es un sistema
sencillo de trabajar (tal como se muestra en la Figura 1).
Figura 1: Sistema Masa - Muelle
Usando el teorema del trabajo y la energía cinética,
tenemos la ecuación general:
x
x0
F · x =
1
2
mv2
−
1
2
mv2
0 (1)
Para nuestro sistema, la fuerza que se ejerce sobre M
por el resorte es F = −kx.
Entonces la ecuación (1) quedaría expresada como:
1
2
Mv2
−
1
2
Mv2
0 = −k
x
x0
xdx (2)
Siendo los valores de v0 y x0 dados por las condiciones
iniciales (en este caso, y por simplicidad, tomaremos a
x0 como la máxima amplitud, desde donde se suelta el
sistema con velocidad inicial v0 = 0).
Ahora, resolviendo la integral, obtenemos la relación
de las energías Potencial y Cinética:
1
2
Mv2
−
1
2
Mv2
0 = −
1
2
kx2
+
1
2
kx2
0 (3)
Como dijimos antes, v0 = 0, ahora, despejando v2
se
tiene que:
v2
= −
k
M
x2
+
k
M
x2
0
Donde v = dx
dt . Hallando la raíz cuadrada y reempla-
zando éste valor en la ecuación anterior:
dx
dt
=
k
m
x2
0 − x2
Tenemos aquí, una ecuación diferencial de primer or-
den donde podemos separar variables, de tal manera que:
dx
x2
0 − x2
=
k
M
dt
Integrando ambas partes:
x
x0
dx
x2
0 − x2
=
k
M
t
0
dt
La integral de la izquierda es elemental, correspondien-
te a la función Arcsen, así mismo, del lado derecho el
valor de k
M corresponde a la frecuencia angular ω.
arc sen(
x
x0
)|x
x0
= ωt
Evaluando la solución de la integral de la izquierda,
obtenemos:
arc sen(
x
x0
) − arc sen(1) = ωt
Pero Arcsen(1) = π
2 , entonces:
arc sen(
x
x0
) = ωt +
π
2
Así, aplicando la función Seno en ambos lados de la
ecuación, se obtiene:
x
x0
= sin(ωt +
π
2
)
De lo que finalmente podemos encontrar la ecuación
que nos propusimos al principio:

2. 2
x = x0 sin(ωt +
π
2
)
O también, sabiendo que el seno y el coseno tienen una
diferencia de fase de π
2 , la ecuación se puede reescribir:
x = x0 cos(ωt) (4)
Si derivamos dos veces esta ecuación, obtenemos lo si-
guiente:
d2
x
dt2
= −x0ω2
cos(ωt)
Donde x = x0 cos(ωt), por tanto, la ecuación (4) viene
entonces a ser la solución de la ecuación diferencial del
MAS, la cual expresamos al principio del presente docu-
mento.