Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
Approximations Algorithmen
1. Approximative
Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Approximative Algorithmen Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
¨
”Wie genau ist ungefahr?” Approximationsklass
Beispiel
JS Algorithmus
Analyse
Robert Bahmann Ergebnis
Fragen
Hochschule RheinMain University of Applied Sciences
Wiesbaden R¨sselsheim Geisenheim
u
July 23, 2009
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2. Approximative
Algorithmen
Robert B.
1 Einleitung Inhalt
Einleitung
2 Grundlegende Eigenschaften Grundlegende
Eigenschaften
G¨te/Performance
u G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Approximationsklassen Beispiel
JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
3 Beispiel Fragen
JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
4 Fragen
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3. Approximative
Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Viele Probleme sind nicht effizient exakt l¨sbar
o
Approximationsklass
Beispiel
solange P = NP JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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4. Approximative
Approximationsalgorithmen Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Warum Approximationsalgorithmen? Beispiel
JS Algorithmus
Analyse
arbeiten in polynomieller Zeit Ergebnis
produzieren L¨sungen mit garantierter G¨te
o u Fragen
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5. Approximative
¨
Gute/Performance Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
¨
Gute/Performance Beispiel
JS Algorithmus
Absolut AG A (I) = |A(I) − OPT(I)| Analyse
Ergebnis
A(I) OPT (I) Fragen
Relativ RG A (I) = max OPT (I) , A(I)
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6. Approximative
Approximationsklassen Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Beispiel
APX JS Algorithmus
Analyse
Approximable - Gut approximierbare Probleme. Ergebnis
Fragen
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7. Approximative
Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
PTAS Approximationsklass
Beispiel
Polynomial Time Approximation Scheme JS Algorithmus
Beliebig gut Approximierbar auf Kosten des Fehlers. Analyse
Ergebnis
Fragen
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8. Approximative
Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
FPTAS Approximationsklass
Fully Polynomial Time Approximation Scheme Beispiel
JS Algorithmus
Beliebig gut und schnell Approximierbar auf Kosten des Analyse
Ergebnis
Fehlers un der Laufzeit. Fragen
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9. Approximative
Job Scheduling Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Job Scheduling
Beispiel
Auf p Prozessoren (P1 , P2 , ..., Pn ) sollen t Tasks JS Algorithmus
Analyse
(T1 , T2 , ..., Ti ) verteilt werden. Dabei hat jeder Tasks eine Ergebnis
Fragen
Laufzeit li die der Prozessor ben¨tigt, um diesen
o
abzuarbeiten.
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10. Approximative
Job Scheduling - Beispiel Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Auf einem Rechner mit einem Dual-Core m¨ssen folgende
u Grundlegende
Eigenschaften
Tasks abgearbeitet werden: G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Beispiel
Task Zeit JS Algorithmus
Analyse
1 1 Ergebnis
2 2 Fragen
3 2
4 4
5 1
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11. Approximative
Job Scheduling - Beispiel Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
Core 1: (0, P1 ), (1, P3 ), (3, P2 ) G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Core 2: (0, P4 ), (4, P5 ) Beispiel
JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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12. Approximative
Job Scheduling - Algorithmus Algorithmen
Robert B.
Algorithmus 1 : Job Schedule Inhalt
Input : p Prozessoren,t Taks und die Laufzeiten li f¨r jeden
u Einleitung
Task Grundlegende
Eigenschaften
Output : Eine Prozessorbelegung S mit minimalen G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Makespan Beispiel
S = null ; JS Algorithmus
Analyse
for i = 1 to m do Ergebnis
ai = null; Fragen
for k = 1 to n do
Berechne das kleinste i mit ai = min{aj ; j ∈ {1..., m}};
Sk = ai ;
ai = ai + pk ;
S = S ∪ {(Sk , Mi )}
return S;
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15. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Beispiel
JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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16. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass
Beispiel
JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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17. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass
Beispiel
Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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18. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass
Beispiel
Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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19. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass
Beispiel
Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus
Analyse
Ergebnis
Fragen
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20. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
1 Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
2 Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass
Beispiel
3 Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus
Analyse
4 Damit ist die durchschnittliche Laufzeit bis zum Start Ergebnis
1
des letzten Jobs h¨chstens: n k∈{1,..,i}{last} lk
o Fragen
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21. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
1 Sei Zk = sk + lk die Zeit in der der k-te Task endet. Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
2 Sei Tlast der Task der als letztes beendet wird. Approximationsklass
Beispiel
3 Dann ist die Gesamtlaufzeit Zgesamt = slast + llast JS Algorithmus
Analyse
4 Damit ist die durchschnittliche Laufzeit bis zum Start Ergebnis
1
des letzten Jobs h¨chstens: n k∈{1,..,i}{last} lk
o Fragen
5 Es existiert also mindestens ein Prozessor dessen
Gesamtlaufzeit h¨chstens von dieser Gr¨ße ist, also:
o o
1
slast ≤ n k∈{1,..,i}{last} lk
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22. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
1
1 slast ≤ n k∈{1,..,i}{last} lk
Beispiel
JS Algorithmus
2 offensichtlich gilt: OPT ≥ llast Analyse
Ergebnis
1 i
3 ebenso: OPT ≥ n k=1 lk
Fragen
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23. Approximative
Analyse Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Zgesamt = Zlast (1) Grundlegende
Eigenschaften
= slast + llast (2) G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
1
≤ lk + llast (3) Beispiel
n JS Algorithmus
k∈{1,..,i}{last} Analyse
Ergebnis
i Fragen
1 1
= lk + 1 − llast (4)
n n
k=1
1
≤ OPT + 1 − ∗ OPT (5)
n
1
= 2− ∗ OPT (6)
n
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24. Approximative
Ergebnis Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
Und jetzt? G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Wir haben gerade gezeigt das List Schedule eine Beispiel
1
relative G¨te von 2 − n hat. (juhu!)
u JS Algorithmus
Analyse
Kann als Basis genutzt werden um List Schedule zu Ergebnis
verbessern Fragen
Eingabe komplett erfassen und Sortieren
Alternativ nur vorhandene Eingabe sortieren und den
rest nach altem Verfahren sortieren usw.
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25. Approximative
Fragen? Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Beispiel
JS Algorithmus
Fragen? Analyse
Ergebnis
Fragen
19 / 20
26. Approximative
Ende Algorithmen
Robert B.
Inhalt
Einleitung
Grundlegende
Eigenschaften
G¨ te/Performance
u
Approximationsklass
Beispiel
Quellen JS Algorithmus
Analyse
Diese Pr¨sentation beruht auf der Ausarbeitung im Rahmen
a Ergebnis
dieses Fachseminars. S¨mtliche Quellen sind dort zu finden.
a Fragen
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