1. Ecuaciones diferenciales no
lineales
1. Ecuaciones de Ondas
1..1 Ondas lineales
Sea la ecuaci´on
ut + ux = 0 (1.1)
Sus soluciones oscilatorias elementales ser´an de la forma
u = ei(kx+ωt)
Onda lineal no dispersiva y no disipativa: t=0, t=5
donde la relaci´on de dispersi´on es:
ω = −k (1.2)
y por tanto
u = eik(x−t)
(1.3)
de manera que la superposici´on de dos ondas
ˆu = eik1(x−t)
+ eik2(x−t)
(1.4)
se mueve con una ´unica velocidad c = 1, de manera que la onda mantiene su forma
conforme transcurre el tiempo.
1

2. 2 Capitulo 6
Ondas disipativas
Sea la ecuaci´on
ut + ux − uxx = 0 (1.5)
Sus soluciones oscilatorias elementales ser´an de la forma
u = ei(kx+ωt)
Onda lineal dispersiva : t=0, t=5
donde la relaci´on de dispersi´on es:
ω = −k + ik2
(1.6)
y por tanto
u = eik(x−t)
e−k2t
(1.7)
de manera que la onda se “disipa” conforme transcurre el tiempo
Ondas dispersivas
Sea la ecuaci´on
ut + ux + uxxx = 0 (1.8)
Sus soluciones oscilatorias elementales ser´an de la forma
u = ei(kx+ωt)
Onda lineal disipativa : t=0, t=1

3. 1.. ECUACIONES DE ONDAS 3
donde la relaci´on de dispersi´on es:
ω = −k + k3
(1.9)
y por tanto
u = eik(x−(1−k2)t)
(1.10)
de manera que la superposici´on de dos ondas
ˆu = eik1(x−(1−k2
1)t)
+ eik2(x−(1−k2
2)t)
(1.11)
se “dispersa” conforme transcurre el tiempo puesto que cada componente viaja
con distinta velocidad.
1..2 Ondas no lineales: “breaking wave”
Veamos ahora la ecuaci´on no lineal
ut + uux = 0 (1.12)
que puede ser resuelta por el m´etodo de las caracter´ısticas. Busquemos curvas
x = x(s); t = t(s) (1.13)
tales que
u(s) = u(x(s), t(s))
sea constante a lo largo de tales curvas. Por tanto
0 =
du
ds
= ux
dx
ds
+ ut
dt
ds
= ux
dx
ds
− uux
dt
ds
= ux
d(x − ut)
ds
lo que significa que las caracter´ısticas son las rectas
x − ut = cte (1.14)
Por tanto la soluci´on general se puede escribir en forma impl´ıcita como
u = f(x − ut) (1.15)
donde f es una funci´on arbitraria tal que
u(x, 0) = f(x)
Ello significa que cada punto de la curva f(x) viaja con una velocidad igual a su
altura. Los puntos m´as altos viajan a mayor velocidad que los m´as bajos. En

4. 4 Capitulo 6
consecuencia la curva se estrecha y distorsiona tal como se ve en las figuras (que
corresponden a f(x) = 1
cosh2
x
)
Breaking wave : t=0, t=10, t=20

5. 2.. LA ECUACI ´ON DE KORTEWEG DE VRIES 5
2. La ecuaci´on de Korteweg de Vries
ut + uxxx − 6uux = 0 (2.1)
2..1 Sintesis hist´orica
Observaciones de Russell
El experimento de Fermi-Ulam-Pasta
Descubrimiento del solit´on: Zabusky y Kruskal
2..2 Soluciones de KdV
Un solit´on
Buscamos soluciones de onda plana de la forma:
z = x − ct (2.2)
En cuyo caso la ecuaci´on es:
−cuz + uzzz − 6uuz = 0
integrando
−cu + uzz − 3u2
= A
−cu2
/2 + u2
z/2 − u3
= Au + B (2.3)
Para A = B = 0 (u y sus derivadas se anulan en el infinito)
du
u u + c
2
=
√
2dz
cuya integraci´on es:
u = −
c
2
1
cosh2
(
√
c
2
(z − z0))
(2.4)
o bien
u = −2k2 1
cosh2
(k(x − 4k2t) + z0))
(2.5)
con c = 4k2

6. 6 Capitulo 6
Soliton de KdV
En la figura se ha representado −u. Como puede verse se trata de una es-
tructura de “campana” localizada cuya amplitud depende de la velocidad de tal
manera que cuanto m´as alta es, m´as deprisa viaja. Esta estructura se propaga sin
deformarse de forma que el efecto no lineal compensa el dispersivo.
Dos solitones
La soluci´on anterior puede escribirse tambien como
u = −2
F1x
F1 x
donde F1 = 1 + f1
f1 = e[2k1(x−4k2
1t)]
(2.6)
Se puede comprobar que (2.1) (mas adelante veremos como obtenerlo) posee
tambien la soluci´on:
u = −2
F2x
F2 x
(2.7)
donde
F2 = 1 + f1 + f2 + Af1f2 (2.8)
A =
(k1 − k2)
(k2 + k1)
2
(2.9)
Lo mejor es pasar al sistema de centro de masas haciendo
x = ˆx + vt (2.10)
de manera que
k1[(ˆx) + (v − 4k2
1)t]

7. 2.. LA ECUACI ´ON DE KORTEWEG DE VRIES 7
y
k2[(ˆx) + (v − 4k2
2)t]
tengan velocidades iguales y opuestas
v − 4k2
1 = −(v − 4k2
2) =⇒ v = 2(k2
1 + k2
2)
de forma que
f1 = e2k1[ˆx−bt]
f2 = e2k2[ˆx+bt]
b = 2(k2
1 − k2
2)
donde hemos supuesto k1 > k2
• Comportamiento en t = −∞
La soluci´on se anula excepto a lo largo de las rectas ˆx = bt, ˆx = −bt. Supong-
amos k2 < k1.
a) ˆx = bt =⇒; f2 → 0
En tal caso
F2 → 1 + f1
Se trata de un solit´on de n´umero k2 propag´andose a lo largo de la recta
ˆx = bt
b) ˆx = −bt =⇒; f1 → ∞
En tal caso
F2x
F2
=
2k1f1 + 2k2f2 + 2(k1 + k2)Af1f2
1 + f1 + f2 + Af1f2
→
2k1 + 2(k1 + k2)Af2
1 + Af2
F2x
F2
→ 2k1 +
2k2Af2
1 + Af2
redefiniendo
ˆf2 = Af2 = e2k2[ˆx+bt−x2]
donde
ln A = −2k2x2
puesto que A < 1 y por tanto ln A < 0
Se trata de un solit´on de n´umero k2 propag´andose a lo largo de la recta
ˆx = −bt + x2

8. 8 Capitulo 6
• Comportamiento en t = ∞
a) ˆx = bt =⇒; f2 → ∞
F2x
F2
=
2k1f1 + 2k2f2 + 2(k1 + k2)Af1f2
1 + f1 + f2 + Af1f2
→
2k2 + 2(k1 + k2)Af1
1 + Af1
F2x
F2
→ 2k2 +
2k1Af1
1 + Af1
redefiniendo
ˆf1 = Af1 = e2k1[ˆx−bt−x1]
donde
ln A = −2k1x1
con x2 > x1
Se trata de un solit´on de n´umero k1 propag´andose a lo largo de la recta
ˆx = bt + x1
b) ˆx = −bt =⇒; f1 → 0
En tal caso
F2 → 1 + f2
Se trata de un solit´on de n´umero k2 propag´andose a lo largo de la recta
ˆx = −bt
• En consecuencia el solit´on 1 pasa de moverse a lo largo de la recta ˆx = bt a
hacerlo a lo largo de ˆx = bt + x1. El solit´on 2 pasa de moverse a lo largo de la
recta ˆx = −bt + x2 a hacerlo a lo largo de ˆx = −bt con k1x1 = k2x2 = − ln k1−k2
k2+k1
En las siguienes figuras se ilustra este comportamiento

9. 14 Capitulo 6
Segundo transcendente
Otro tipo de soluci´on puede encontrarse a trav´es de una reducci´on de similaridad.
Es f´acil comprobar que KdV es invariante bajo una transformaci´on de escala de la
forma
x → ax
t → a3
t
u → a−2
u (2.11)
de forma que las siguientes variables
xt−1/3
, ut2/3
son invariantes de escala. Tiene pues perfecto sentido hacer la transformaci´on:
z = x(3t)−1/3
u = −(3t)−2/3
f(z) (2.12)
de forma que:
∂
∂t
= −
z
3t
∂
∂z
∂
∂x
= (3t)−1/3 ∂
∂z
y la ecuaci´on de KdV se reduce a:
fzzz + (6f − z)fz − 2f = 0 (2.13)
Haciendo
f = yz − y2
se obtiene
pzz − 2ypz = 0
donde
p = yzz − 2y3
− zy
De forma que una soluci´on es:
yzz − 2y3
− zy + α = 0 (2.14)
que es PII

10. 2.. LA ECUACI ´ON DE KORTEWEG DE VRIES 15
Primer transcendente
Otro tipo de soluci´on puede obtenerse mediante la reducci´on de similaridad
z = x + 3t2
u = t + f(z) (2.15)
que conduce a la ecuaci´on
1 − 6ffz + fzzz = 0 (2.16)
que puede integrarse como
fzz − 3f2
+ z + α = 0 (2.17)
que es PI
Soluciones Elipticas
Volviendo a las soluciones de onda plana dadas por (2.3) y haciendo A = 0
u2
z = 2B + 2Au + cu2
+ 2u3
= 2(u − u1)(u − u2)(u − u3) (2.18)
cuya soluci´on es:
u = u2 − (u2 − u1) cn
u3 − u1
2
(z − z0); k
2
(2.19)
k2
=
u2 − u1
u3 − u1
(2.20)
con
c = −2(u1 + u2 + u3)
A = u1u2 + u2u3 + u1u3
B = −u1u2u3
siendo ui las tres soluciones de (2.19). Esta soluci´on representa una onda fuerte-
mente no lineal en la que la velocidad, la forma y la frecuencia dependen de la
amplitud en una forma nada trivial. Estas ondas, denominadas ondas cnoidales,
se pueden observar a veces en los r´ıos. Contiene la soluci´on de un solit´on en el
limite k = 1 (u2 = u3 = 0).

11. 16 Capitulo 6
3. Par de Lax para KdV
Cosideremos la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo:
ψxx + (λ(τ) − V (x, τ))ψ = 0 (3.1)
donde τ es un par´ametro de “deformaci´on” del potencial y ψ = ψ(x, τ). Consid-
eremos ahora la ecuaci´on
ψτ = 2(V + 2λ)ψx − Vxψ (3.2)
Para que (3.2) y (3.2) sean compatibles, ha de ser ψxxt = ψtxx, para lo que se
requiere
Vτ + Vxxx − 6V Vx = 0
λτ = 0 (3.3)
Este es un resultado del mayor inter´es pues significa que para un potencial V (x, τ)
que se deforme con arreglo a KdV, los autovalores λ(τ) permanecen sin deformaci´on
Este es un ejemplo de lo que se denomina transformaci´on isospectral
La ecuaci´on no lineal KdV es por tanto equivalente al par de ecuaciones lineales
(3.1) y (3.2). Dichas ecuaciones se denominan el par de Lax de KdV.
3..1 Transformaci´on de Scattering Inverso
GGKM (Gardner, Green, Kruskal y Miura) propusiero que la evoluci´on temporal
de V (x, τ) en (3.3) puede estudiarse a trav´es de las propiedades del problema
mecanico-cu´antico asociado . La idea es la siguiente:
• 1) Dada una condici´on inicial V (x, 0), introducirla como potencial de la ecuaci´on
de Schr¨odinger (3.1) y resolver el “problema de scattering directo”, es decir, en-
contrar los denominados datos de scattering, es decir:
a) Espectro discreto: λ = −k2
n, n = 1..N
El comportamiento de las funciones en el infinito ha de ser:
limx→∞ψn(x) = cne−knx
donde cn son las constantes de normalizaci´on definidas de forma que
∞
−∞
| ψn |2
dx = 1
b) Espectro continuo: λ = k2

12. 3.. PAR DE LAX PARA KDV 17
En este caso la soluci´on en el ±∞ ha de ser:
limx→−∞ψ = a(k)eikx
y
limx→∞ψ = e−ikx
+ b(k)eikx
Donde a(k) y b(k) son respectivamente los coeficientes de reflexi´on y trans-
misi´on
El conjunto de valores λn, cn, a(k), b(k) constituyen los datos de scattering
• 2) Cuando V evoluciona como funci´on de τ, sus datos de scattering tambi´en
evolucionan pero el espectro de autovalores ha de permanecer constante. La
evoluci´on de las autofunciones puede obtenerse mediante (3.2) y por lo tanto ob-
tendremos los datos de scattering para τ
• 3) El ´ultimo paso corresponde a resolver lo que se denomina el “problema de
scattering inverso”, es decir, como reconstruir el potencial V (x, τ) a partir de los
datos de scattering. Ello es posible mediante la resoluci´on de una ecuaci´on integro-
diferencial lineal denominada: Ecuaci´on de Gelfand-Levitan-Marchenko.
Potencial final u(x,t)
Potencial inicial u(x,0) Datos de scattering a t=0
Datos de scattering a t>0
Diagrama IST
El conjunto de los tres pasos anteriores se denomina transformaci´on de scat-
tering inverso por analogia con la trasformaci´on de Fourier
u(k,0)
u(x,t) u(k,t)
Dato inicial u(x,0)
IFT
FT
Diagrama de FT