1. ใบความร้ ูที 6.1
เรือง กราฟของจํานวนเชิ งซ้ อน
กราฟของจํานวนเชิ งซ้ อน
(Graph of Complex Numbers)
เนืองจากจํานวนเชิงซ้อนเขียนอยูในรู ปของคู่อนดับ (a, b) หรื อในรู ป a + bi
่ ั
่ ่
โดย a เป็ นสวนจริ ง และ b เป็ นสวนจินตภาพ ดังนั( นอาจแทนจํานวนเชิงซ้อน (a, b) บนระนาบ
พิกดฉาก XY เชนเดียวกบการแทนคู่อนดับ (a, b) ∈ R × R โดยเรี ยกแกน X (แกนนอน) วา
ั ่ ั ั ่
่
แกนจริ ง ( real axis ) เรี ยกแกน Y (แกนตั( ง) วาแกนจินตภาพ ( imaginary axis ) และเรี ยก
่
ระนาบ XY วาระนาบเชิงซ้อน (complex plane)
จํานวนเชิงซ้อน a + bi แทนได้ดวยจุด (a, b) ด้วยเวกเตอร์ ทีมีจุดเริ มต้นที (0,0) และ
้
จุด z(a, b) เป็ นจุดสิ( นสุ ด นันคือ z = oz ดังรู ป

2. ่ ่
ตัวอยางที 1 จงเขียนเวกเตอร์ในระนาบเชิงซ้อนซึงแทนจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
3 + 2i , 3 − 2i , − 3 + 2i , − 3 − 2i , 3 , − 2i
Y
X
่ ํ
ตัวอยางที 2 กาหนด z 1 = 7 − 5i และ z 2 = −3 + 4i จงเขียนกราฟแทนจํานวนเชิ งซ้อน
z1 + z 2
Y
X

3. แบบฝึ กทักษะที 6.1
่
1. จงเขียนจุดในระนาบจํานวนเชิงซ้อน ซึ งแทนจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
1.1 (3,2) , (−3,4) , (−2,−3) , (0,−2) , (−3,0)
1.2 3 − 2i , − 3 − 2i , − 3 + 2i , 3 + 2i , 3i , 3
่
2. จงเขียนเวกเตอร์ ในระนาบเชิ งซ้อน ซึ งแทนจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
3 + 4i , i(3 + 4i) , i 2 (3 + 4i) , i 3 (3 + 4i)
่
3. ถ้า z1 = 6 − 5i และ z 2 = −3 + 4i จงเขียนกราฟแทนจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
3.1 z1 + z 2
3.2 z1 − z 2
่
4. ถ้า z = 3 + 2i จงเขียนกราฟแทนจํานวนเชิงซ้อนในข้อตอไปนี(
4.1 z
4.2 z
4.3 z 2
4.4 − z
4.5 1
z

4. ใบความร้ ู ที 6.2
เรือง ค่ าสั มบรณ์ ของจํานวนเชิ งซ้ อน
ู
ค่ าสั มบรณ์ ของจํานวนเชิ งซ้ อน (Absolute value of Complex Numbers )
ู
่
บทนิยาม ให้ z = a + bi เป็ นจํานวนเชิ งซ้อน คาสัมบูรณ์ (absolute value หรื อ modulus)
ของจํานวนเชิงซ้อน คือ z = a + bi = a 2 + b 2
่ ่ ่ ํ ั
จากบทนิยาม จะเห็นวาคาสัมบูรณ์ของ a + bi คือระยะทางระหวางจุดกาเนิ ด (0,0) กบ
จุด (a, b) นันเอง
่
ตัวอย่ างที 1 คาสัมบูรณ์ของ 3 + 2i คือ 3 + 2i = 32 + 2 2 = 13
่
คาสัมบูรณ์ของ − 2i คือ − 2i = 0 2 + (−2) 2 = 2
่
คาสัมบูรณ์ของ − 5 คือ − 5 = (−5) 2 + 0 2 = 5
สมบัติของค่ าสั มบรณ์ ของจํานวนเชิ งซ้ อน
ู
่
ให้ z , z1 และ z 2 เป็ นจํานวนเชิงซ้อน จะได้วา
1. z เป็ นจํานวนจริ งและ z ≥ 0
็่
2. z = 0 กตอเมือ z = 0
3. z 2 = z ⋅ z
4. z = − z = z
1 1
5. = เมือ z ≠ 0 นันคือ z −1 = z
−1
z z
6. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
z1 z1
7. = เมือ z2 ≠ 0
z2 z2
8. z n = z n เมือ n ∈ I ทีทําให้ z n เป็ นจํานวนเชิงซ้อน
9. z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
10. z1 − z 2 ≥ z1 − z 2
11. i = 1
12. ถ้า z = a เมือ a ∈ R แล้ว z = a
ถ้า z = bi เมือ b ∈ R แล้ว z = bi

5. แบบฝึ กทักษะที 6.2
่ ่
1. จงหาคาสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
1.1 1 − 3i
1.2 2 − 3i
1.3 4 + 3i
1.4 − 5 + 12i
1.5 5 + 2 3i
1.6 − 3 − i
1.7 − 3 − 4i
1.8 4i
ํ ่
2. กาหนด z = 6 − 8i และ z 2 = −3 + 4i จงหาค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อนในข้อตอไปนี(
2.1 z
2.2 z
2.3 −z
2.4 z⋅z
2.5 z2
2.6 z ⋅ z1
1
2.7
z
2.8 z −1
2.9 z + z1
2.10 z − z1