แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1

30
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
สาระที่ 4 พีชคณิต
เรื่อง ลาดับ
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
ช่วงชั้นที่ 4 (ม. 5)
เวลา ชั่วโมง
1. มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 4.1
มาตรฐานการเรียนรู้ช่วงชั้น ค 4.1 ข้อ 5 เข้าใจความหมายของลาดับเลขคณิต และ
ลาดับเรขาคณิต หาพจน์ต่าง ๆ ของลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตได้
2. ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
2.1 เข้าใจความหมายของลาดับและหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัดที่กาหนดให้ได้
2.2 เข้าใจความหมายของลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิต และหาพจน์ต่าง ๆ ของ
ลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตได้
3. สาระการเรียนรู้
3.1 ลาดับ
3.2 ลาดับเลขคณิต
3.3 ลาดับเรขาคณิต

31
ผังมโนทัศน์ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ลาดับ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1
ลาดับ
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1
ลาดับ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2
ลาดับเรขาคณิต ลาดับเลขคณิต
ความหมายของ
ลาดับอนันต์
ลาดับจากัด
ลาดับ
การหาพจน์ทั่วไป
ของลาดับ
การเขียนลาดับ
ในรูปแจงพจน์
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ
ลาดับเรขาคณิต
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ
ลาดับเลขคณิต
การหาจานวนพจน์
ของลาดับเรขาคณิต
อัตราส่วนร่วมของ
การหาพจน์ที่ n ของ
ผลต่างร่วมของ
การหาจานวนพจน์
ของลาดับเลขคณิต
การหาพจน์ที่ n
ของลาดับ
เลขคณิต

32
เรื่อง
ลาดับ

33
รายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน
รหัสวิชา ค 42101
ระดับ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
ภาคเรียนที่ 1
ปีการศึกษา 2548
จานวน 1.0 หน่วยการเรียน
จานวนชั่วโมง 40 ชั่วโมง/ภาคเรียน
จานวน 2 ชั่วโมง/สัปดาห์
ใช้สาหรับแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1
การกาหนดการใช้แผนการจัดการเรียนรู้
สัปดาห์ที่ 2 จานวนนักเรียนที่เรียน คน
ชั่วโมงที่ 3 – 4 สอนวันที่
ผู้จัดทา / ผู้ใช้แผน
ความคิดเห็นในการตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู้
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………….
(……………………………….)
หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………….
(……………………………….)
รองผู้อานวยการฝ่ายบริหารวิชาการ
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………. ผู้เชี่ยวชาญ
(……………………………….)
ตาแหน่ง ………………………………….
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………. …..
(……………………………….)
ผู้อานวยการโรงเรียน
…………./……………/………….

34
ระดับชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 5
สัปดาห์ที่ 2
ชั่วโมงที่ 3 - 4
จานวนชั่วโมงสอน 2 ชั่วโมง
ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา ………
1. จุดประสงค์การเรียนรู้
1.1 ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ
1.1.1 บอกความหมายของลาดับได้
1.1.2 บอกความหมายของลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์ได้
1.1.3 เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ได้
1.1.4 หาพจน์ทั่วไปของลาดับที่กาหนดให้ได้
1.2 ด้านทักษะกระบวนการ นักเรียนมีความสามารถ
1.2.1 ในการให้เหตุผล
1.2.2 ในการสื่อสาร สื่อความหมายและการนาเสนอ
1.3 ด้านคุณลักษณะ
1.3.1 มีความรับผิดชอบ
1.3.2 มีระเบียบวินัย
1.3.3 มีความซื่อสัตย์
2.1 ลาดับ
2.2 การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
2.3 การหาพจน์ที่ n (an) หรือพจน์ทั่วไปของลาดับจากัด

35
3. กิจกรรมการเรียนรู้
ชั่วโมงที่ กิจกรรมการเรียนรู้ / สื่อการเรียนรู้
3 1. แจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้ให้นักเรียนทราบว่า เมื่อเรียนจบตามแผนการจัดการ
เรียนรู้นี้แล้ว นักเรียนจะสามารถบอกความหมายของลาดับ ลาดับจากัด และลาดับ
อนันต์ได้ เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ และหาพจน์ทั่วไปของลาดับได้
2. นักเรียนทาเอกสารแนะแนว รหัสที่ 1.1 เรื่องการหาโดเมนและเรนจ์ของ
ฟังก์ชัน แล้วช่วยกันเฉลยและตรวจสอบความถูกต้อง พร้อมทั้งสรุปความหมายของ
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
3. นักเรียนทุกคนทาเอกสารแนะแนวทาง รหัสที่ 1.2 เรื่อง ความหมายของลาดับ
โดยครูใช้การถาม-ตอบ พร้อมเฉลย และนักเรียนทุกคนร่วมกันสรุปความหมายของ
ลาดับ ซึ่งครูคอยแนะแนวทางจนกว่านักเรียนจะเข้าใจและสรุปได้ ดังนี้
บทนิยาม
ลาดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ
ลาดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก
4. นักเรียนทาเอกสารฝึกทักษะ รหัสที่ 1.1 ด้วยการทาไปพร้อม ๆ กันโดยครูใช้
การถาม-ตอบ และเฉลยคาตอบที่ถูกต้อง
5. นักเรียนทุกคนทาเอกสารแนะแนวทาง รหัสที่ 1.3 เรื่องความหมายของลาดับ
จากัดหรือลาดับอนันต์ โดยครูใช้การถาม-ตอบ พร้อมเฉลยคาตอบที่ถูกต้อง หลังจาก
นั้นให้นักเรียนพิจารณาลักษณะร่วม สังเกตรูปทั่วไป เพื่อนาไปสู่ข้อสรุปความหมาย
ของลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์ โดยครูคอยแนะนาจนกว่านักเรียนเข้าใจและสรุปได้
ดังนี้
ลาดับจากัด คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก
ลาดับอนันต์ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ในกรณีที่ไม่ระบุสมาชิกในโดเมนให้ถือว่าเป็นลาดับอนันต์

36
6. นักเรียนทุกคนทาแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 1.2 ไปพร้อม ๆ กัน โดยครูใช้การถาม-
ตอบ และเฉลยคาตอบที่ถูกต้อง
7. นักเรียนทุกคนศึกษาใบความรู้ รหัสที่ 1.1 เรื่อง การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
แล้วร่วมกันสรุปวิธีเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
8. นักเรียนทุกคนทาแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 1.3 แล้วเปลี่ยนกันตรวจตามแผนภูมิ
เฉลย และบันทึกคะแนนที่ได้ไว้ โดยครูตรวจสอบความถูกต้องอีกครั้ง
9. นักเรียนทาเอกสารฝึกหัดเพิ่มเติม รหัสที่ 1.1 เป็นการบ้าน เพื่อเสริมทักษะและ
ความแม่นยาในการเรียนรู้
4 1. ทบทวนความรู้เกี่ยวกับลาดับ ลาดับจากัด ลาดับอนันต์ และการเขียนลาดับใน
รูปแจงพจน์ โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบการอธิบายโดยสรุป
2. แบ่งนักเรียนเป็นกลุ่มละ 5 – 6 คน แบบคละความสามารถ ศึกษาใบความรู้
รหัสที่ 1.2 เรื่อง การหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัด แล้วร่วมกันสรุปการหาพจน์ทั่วไป
ของลาดับจากัด โดยครูคอยแนะแนวทางจนกว่านักเรียนจะเข้าใจ
3. นักเรียนแต่ละกลุ่มทาแบบฝึกหัด รหัสที่ 1.4 แล้วเปลี่ยนกันตรวจตามแผนภูมิ
4. ครูเขียนลาดับอนันต์ แล้วให้นักเรียนช่วยกันหาพจน์ทั่วไป (an) เช่น
3, 5, 7, 9, . . . ซึ่งคาตอบของนักเรียนอาจจะเป็นดังนี้
an = 2n + 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, . . .
หรือ an = 2n + 1 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, . . .
หรือ an = 2n + 1 + (n – 1)2
(n – 2)(n – 3)(n – 4) เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, . . .
หรือ an = 2n + 1 + (n – 1)(n – 2)3
(n – 3)(n – 4) เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, . . .
ครูใช้การถามตอบแนะแนวทางให้นักเรียนสรุปได้ว่า สาหรับลาดับอนันต์ ถ้า
กาหนดเพียงพจน์แรก ๆ จานวนหนึ่ง (กี่พจน์ก็ตาม) พจน์ทั่วไปจะมีได้หลายคาตอบ
ยกเว้นจะทราบชนิดของลาดับนั้น
5. นักเรียนช่วยกันสรุปการหาพจน์ทั่วไปของลาดับ

37
4. สื่อการเรียนรู้
4.1 เอกสารแนะแนวทาง รหัสที่ 1.1 – 1.3
4.2 ใบความรู้ รหัสที่ 1.1 – 1.2
4.3 แบบฝึกทักษะ รหัสที่ 1.1 – 1.4
4.4 เอกสารฝึกหัดเพิ่มเติม รหัสที่ 1.1 – 1.2
5. แหล่งการเรียนรู้
5.1 ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
5.2 ห้องสมุดโรงเรียน
5.3 ห้องสมุดประชาชน
6. หลักฐานการเรียนรู้
6.1 เอกสารแนะแนวทาง รหัสที่ 1.1 – 1.3
7. การวัดผลและประเมินผลการเรียนรู้
การวัดผล การประเมินผล
1. สังเกตจากการตอบคาถาม
2. สังเกตจากการเข้าร่วมกิจกรรม
3. การทาเอกสารแนะแนวทาง
4. การทาแบบฝึกทักษะ
5. การทาเอกสารฝึกหัดเพิ่มเติม
1. นักเรียนส่วนใหญ่ตอบคาถามได้ถูกต้อง
2. นักเรียนสนใจและร่วมกิจกรรมดี
3. นักเรียนส่วนใหญ่ทาได้ถูกต้อง

38
8. บันทึกหลังการจัดการเรียนรู้
8.1 สรุปผลการเรียนรู้
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
8.2 แนวทางในการแก้ไขและพัฒนา
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
8.3 ข้อเสนอแนะ
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
ลงชื่อ ……………………………………. ครูผู้สอน
(………………………………………)
ครู คศ. ………. โรงเรียน ……………………
วันที่ ……… เดือน ………………….. พ.ศ. …………….

39
สื่อการเรียนรู้ประกอบ

40
เอกสารแนะแนวทาง
รหัสเอกสารแนะแนวทางที่ 1.1
ใช้ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1
ชั่วโมงที่ 3 จานวนชั่วโมงสอน 1 ชั่วโมง
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน เรนจ์ของฟังก์ชัน
1 f1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} {3, 4, 5} {1, 2, 3}
2 f2 = {(1, x), (2, y), (3, z)} {1, 2, 3} {x, y, z}
3 f3 = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), . . . , (8, 10)}
4 f4 = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), . . . }
5 f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), . . . }
6 f6 = {(2, 3), (4, 6), (8, 12)}
7 f7 = {(5, 7), (7, 9), (9, 11), . . ., (15, 17)}
8 f8 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }
สรุป โดเมนของฟังก์ชัน คือ ………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

41
เฉลยเอกสารแนะแนวทาง รหัสที่ 1.1
ข้อที่ โดเมนของฟังก์ชัน เรนจ์ของฟังก์ชัน
3 {1, 2, 3, . . . , 8} {3, 4, 5, . . . , 10}
4 {1, 2, 3, . . . } {6, 7, 8, . . . }
5 {1, 2, 3, . . . } {a, b, c, . . .}
6 {2, 4, 8} {3, 6, 12}
7 {5, 7, 9, . . . , 15} {7, 9, 11, . . . , 17}
8 {1, 2, 3, . . . } {3, 4, 5, . . .}
สรุป โดเมนของฟังก์ชัน คือ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่อันดับในฟังก์ชัน
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่อันดับในฟังก์ชัน

42
ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน
ลาดับ
เป็น ไม่เป็น
1 f1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} {1, 2, 3, 4}  -
2 f2 = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), . . . } {2, 4, 6, . . . } - 
3 f3 = {(1, 5), (2, 7), (3, 12), (4, 17), (5, 22)}
4 f4 = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)}
5 f5 = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)}
6 f6 = {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)}
7 f7 = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)}
8 f8 = {( 2
1
, 1), ( 3
2
, 3), ( 4
3
, 3)}
9 f9 = {(x, y) | y = 3x + 1 , x I-
}
10 f10 = {(a, b) | b = 2a + 2 , a I+
}
สรุป ลาดับ คือ …………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

43
ข้อที่ โดเมนของฟังก์ชัน
ลาดับ
3 {1, 2, 3, 4, 5}  -
4 {1, 2, 3}  -
5 {1, 2, 3, 4}  -
6 {2, 4, 8, 16} - 
7 {1, 2, 3, 4}  -
8






4
3
,
3
2
,
2
1 - 
9 { I-
} - 
10 { I+
}  -
สรุป ลาดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ
ลาดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก

44
ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับ
จากัด
ลาดับ
อนันต์
1 f1 = {(1, -1), (2, 5), (3, 11), (4, 17)} {1, 2, 3, 4}  -
2 f2 = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), . . . } {1, 2, 3, . . . } - 
3 f3 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}
4 f4 = {(1, 1), (2, 2
1
), (3, 3
1
9), (4, 4
1
)}
5 f5 = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), . . . , (7, 16)}
6 f6 = {(1, 3), (2, 12), (3, 27), (4, 48), . . . }
7 f7 = {(x, y) | y = 4x เมื่อ x = 1, 2, 3, . . ., 10}
8 f8 = {(x, y) | y = x2
+ 2 เมื่อ x = 1, 2, 3, 4}
9 f9 = {(x, y) | y = x + 2 เมื่อ x I+
}
10 f10 = {(x, y) | y = x2
- 1 เมื่อ x I+
}
สรุป ลาดับจากัด คือ ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
ลาดับอนันต์ คือ ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

45
ข้อที่ โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับจากัด ลาดับอนันต์
3 {1, 2, 3, 4, 5}  -
4 {1, 2, 3, 4}  -
5 {1, 2, 3, . . . , 7}  -
6 {1, 2, 3, 4, . . .} - 
7 {1, 2, 3, . . . , 10}  -
8 {1, 2, 3, 4}  -
9 {1, 2, 3, . . . } - 
10 {1, 2, 3, . . . } - 
สรุป ลาดับจากัด คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก
ลาดับอนันต์ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

46
แบบฝึกทักษะ
รหัสแบบฝึกทักษะที่ 1.1
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.1 บอกความหมายของลาดับได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาฟังก์ชันแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นหรือไม่เป็นลาดับ แล้วเติมคาตอบ
ลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ฟังก์ชัน คาตอบ
1 f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . }
2 f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
3 f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}
4 f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)}
5 f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)}
6 f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)}
7 f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมื่อ x = 1, 2, 3 }
8 f8 = {(x, y) | y = 3x2
– 1 เมื่อ x  I+
}
9 f9 = {(a, b) | b = 4a2
– 5 เมื่อ a = 1, 2, 3, 4 }
10 f10 = {(x, y) | y = x3
เมื่อ x = 1, 2, 3, . . . }
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ …………………………………..
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… ขยันเรียนคณิตสักนิด
ชีวิตจะก้าวไกล
จริงไหม !

47
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.2 บอกความหมายของลาดับจากัดหรือ
ลาดับอนันต์ได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาลาดับแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์
แล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ลาดับที่กาหนดให้ คาตอบ
1 4, 7, 10, 13, 16, . . .
2 2, 5, 8, 11, 14
3 1, 4, 9, 16, 25, . . .
4 6, 10, 14, 18, 22, 26
5 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38
6 an = 8n เมื่อ n = 1, 2, 3, 4
7 an = 3n + 7 เมื่อ n  I+
8 an = 2n2
– 1 เมื่อ n = 1, 2, 3
9 an = n3
เมื่อ n  I+
10 an = 2n – 10 เมื่อ n = 1, 2, 3, . . .
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ …………………………………..
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… ขยัน ใฝ่ รู้ อดทน
เป็นสมบัติส่วนหนึ่งของนักคณิตศาสตร์
แล้วคุณละมีสมบัติเช่นนี้หรือยัง

48
เฉลยแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 1.1
1. เป็นลาดับ
3. ไม่เป็นลาดับ
5. ไม่เป็นลาดับ
1. ลาดับอนันต์
2. ลาดับจากัด

49
ใบความรู้
รหัสใบความรู้ที่ 1.1
จุดประสงค์การเรียนรู้
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ได้
สาระสาคัญ
การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ คือ การเขียนลาดับเรียงจากพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3
ไปเรื่อย ๆ แล้วคั่นแต่ละพจน์ด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น 3, 5, 7, . . .
สาระการเรียนรู้
การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
พิจารณา f(n) = n + 3 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4}
ถ้า n = 1 จะได้ f(1) = 1 + 3 = 4
n = 2 จะได้ f(2) = 2 + 3 = 5
n = 3 จะได้ f(3) = 3 + 3 = 6
n = 4 จะได้ f(4) = 4 + 3 = 7
เมื่อนาค่าเหล่านี้มาเขียนเรียงกันจะได้ f(1), f(2), f(3), f(4) ซึ่งเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของ
ลาดับ
จะเห็นว่า โดเมน คือ {1, 2, 3, 4}
เรนจ์ คือ {4, 5, 6, 7}
เรียกลาดับข้างต้นนี้ว่า ลาดับจากัด
และเรียก f(1) ว่าพจน์ที่ 1 ของลาดับ แทนด้วย a1
f(2) ว่าพจน์ที่ 2 ของลาดับ แทนด้วย a2
แต่ f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6

50
f(4) = 7
ดังนั้น 4, 5, 6, 7 จึงเรียกว่า ลาดับเช่นเดียวกัน
ซึ่งการเรียงลาดับในลักษณะนี้เรียกว่า การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
และเรียก 4 ว่า พจน์ที่ 1 ของลาดับ (a1)
5 ว่า พจน์ที่ 2 ของลาดับ (a2)
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด f(n) = 2n – 1 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}
จงเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วิธีทา จาก f(n) = 2n – 1
f(1) = 2(1) – 1 = 1
f(2) = 2(2) – 1 = 3
f(3) = 2(3) – 1 = 5
f(4) = 2(4) – 1 = 7
f(5) = 2(5) – 1 = 9
 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 1, 3, 5, 7, 9
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด an = 10 – 2n เมื่อ n  {1, 2, 3, . . ., 9}
จงเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วิธีทา จาก an = 10 – 2n
a1 = 10 – 2(1) = 8
a2 = 10 – 2(2) = 6
a3 = 10 – 2(3) = 4
. . .
. . .
. . .
a9 = 10 – 2(9) = -8
 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 8, 6, 4, . . . , -8

51
หมายเลข  ควรเติมคาว่า …………………………
หมายเลข  ควรเติมคาว่า …………………………
ลาดับจากัด

ลาดับ
ลาดับอนันต์

แบบพจน์ทั่วไป แบบแจงพจน์
หรือพจน์ที่ n (an)

52
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.3 เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ โดยการเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อ
ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์
1. an = 2n – 1
a1 = 2(1) – 1 = 1
a2 = 2(2) – 1 = 3
a3 = ……………………………..
a4 = ……………………………..
a5 = ……………………………..
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ
…………………………………………..
3. an = 3n-1
2n1 
a1 = ……………………………..
a2 = ……………………………..
a3 = ……………………………..
a4 = ……………………………..
……………………………………………
2. an = 2n2
– 2
a1 = 2(12
) – 2 = ………………
a2 = ……………………………..
a3 = ……………………………..
a4 = ……………………………..
……………………………………………
4. an = 2n2
a1 = ……………………………..
a2 = ……………………………..
a3 = ……………………………..
...
a10 = ……………………………..
……………………………………………
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ ………………………………….. ชีวิตจะรุ่งโรจน์ ถ้าไม่โดด
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… เรียนคณิต

53
1. an = 2n – 1
a1 = 2(1) – 1 = 1
a2 = 2(2) – 1 = 3
a3 = 2(3) – 1 = 5
a4 = 2(4) – 1 = 7
a5 = 2(5) – 1 = 9
1, 3, 5, 7, 9
3. an =
3n-1
2n1 
a1 = 2
3
-
3(1)-1
2(1)1


a2 = 1-
3(2)-1
2(2)1


a3 = 8
7
-
3(3)-1
2(3)1


a4 = 11
9
-
3(4)-1
2(4)1


11
9
-,
8
7
-,1-,
2
3
-
2. an = 2n2
– 2
a1 = 2(12
) – 2 = 0
a2 = 2(22
) – 2 = 6
a3 = 2(32
) – 2 = 16
a4 = 2(42
) – 2 = 30
0, 6, 16, 30
4. an = 2n2
a1 = 2(12
) = 2
a2 = 2(22
) = 8
a3 = 2(32
) = 18
. . .. . .. . .
a10 = 2(102
) = 200
2, 8, 18, . . . , 200

54
หาพจน์ทั่วไปของลาดับที่กาหนดให้ได้
พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดหรือพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2
เมื่อ n = 1, 2, 3
การหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัด
พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดหรือพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2
เมื่อ n = 1, 2, 3 ซึ่งในการหาพจน์ทั่วไปของลาดับจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง
an กับ n แล้วจึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 3, 5, 7, 9, 11
วิธีทา จากลาดับจากัด 3, 5, 7, 9, 11
จะได้ a1 = 3 = (2  1) + 1
a2 = 5 = (2  2) + 1
a3 = 7 = (2  3) + 1
a4 = 9 = (2  4) + 1
a5 = 11 = (2  5) + 1
 พจน์ทั่วไปของลาดับนี้คือ 2n + 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

55
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 15, 18, 21, 24, 27, 30
วิธีทา จากลาดับจากัด 15, 18, 21, 24, 27, 30
จะได้ a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12
a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12
a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12
a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12
a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12
a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12
 พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดนี้คือ 3n + 12 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6
นักเรียนทราบหรือยังว่าการเขียนลาดับมีอยู่ 2 วิธี คือ
การเขียนลาดับ

56
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.4 หาพจน์ทั่วไปของลาดับได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนลาดับที่กาหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปพจน์ทั่วไปหรือ
พจน์ที่ n แล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ลาดับที่กาหนดให้ พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n
1 4, 7, 10, 13, 16
2 2, 4, 8, 16, 32, 64
3 9, 13, 17, 21, . . .
4 9, 6, 0, -3, . . .
5 ...,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
6 2, 5, 8, 11, 14
7 5, 6, 7, 8, 9, 10
8 8, 9, 10, 11, 12, 13
คะแนนที่ได้ = ………………………… การหาพจน์ทั่วไปหรือ
ผู้ตรวจ ………………………………….. พจน์ที่ n (an) หาโดย
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… การพิจารณาความสัมพันธ์
ระหว่าง an กับ n แล้ว
จึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์
นะ !

57
ข้อที่ พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n
1 an = 3n + 1
2 an = 2n
3 an = 4n + 5
4 an = 12 – 3n
5 an = 1n
n

6 an = 3n – 1
7 an = n + 4
8 an = n + 7

58
เรื่อง

59
ปีการศึกษา
เรื่อง ลาดับเลขคณิต
สัปดาห์ที่ 3 – 4 จานวนนักเรียนที่เรียน คน
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………….
(……………………………….)
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………….
(……………………………….)
รองผู้อานวยการฝ่ายบริหารวิชาการ
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
(……………………………….)
ตาแหน่ง ………………………………….
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………. …..
(……………………………….)
…………./……………/………….

60
สัปดาห์ที่ 3 – 4
ชั่วโมงที่ 5 – 8
เรื่อง ลาดับเลขคณิต
1.1.1 ระบุลาดับที่เป็นลาดับเลขคณิตได้
1.1.2 หาพจน์ที่ 1 ผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตได้
1.1.3 หาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิตได้
1.1.4 หาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิตได้
1.1.5 นาความรู้เรื่อง ลาดับเลขคณิตไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้
1.2.2 ในการสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
1.2.3 ในการเชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ
1.3.3 มีความกระตือรือร้นในการเรียน
2.1 ลาดับเลขคณิต
2.2 การหาพจน์ทั่วไป (an) ของลาดับเลขคณิต
2.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลาดับเลขคณิต

61
3. กิจกรรมการเรียนรู้
5 1. ทบทวนความรู้เกี่ยวกับลาดับ การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ และการหาพจน์
ทั่วไป (an) ของลาดับ โดยใช้การถาม-ตอบ
2. แจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้ให้นักเรียนทราบว่า เมื่อเรียนจบแผนการจัดการเรียนรู้
นี้แล้ว นักเรียนสามารถ
- ระบุลาดับที่เป็นลาดับเลขคณิตได้
- หาพจน์ที่ 1 และผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตได้
- หาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิตได้
- หาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิตได้
- นาความรู้เรื่องลาดับเลขคณิตไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้
3. นักเรียนทุกคนทาเอกสารแนะแนว รหัสที่ 2.1 ด้วยการช่วยเหลือชี้แนะและ
อธิบายกันในกลุ่ม แล้วร่วมกันเฉลยคาตอบ พร้อมทั้งสรุปความหมายของลาดับ
เลขคณิต โดยอาศัยครูช่วยแนะแนวทางจนเข้าใจ ดังนี้
ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วย n
(พจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน) มีค่าคงที่ ค่าคงที่นี้เรียกว่า ผลต่างร่วม
(Common Difference)
4. นักเรียนทุกคนทาแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 2.1 แล้วเปลี่ยนกันตรวจตามแผนภูมิ
5. ครูให้นักเรียนทุกกลุ่มศึกษาใบความรู้ รหัสที่ 2.1 เพื่อเป็นการเน้นการ
ตรวจสอบความเข้าใจ และทบทวนความรู้อีกครั้งหนึ่ง
6. นักเรียนแต่ละกลุ่มเขียนตัวอย่างลาดับเลขคณิตจานวน 10 ตัวอย่าง เป็นผลงาน
ของกลุ่มส่งครูนอกเวลาเรียน พร้อมออกแบบตกแต่งให้สวยงาม

62
6 1. ทบทวนความรู้เกี่ยวกับลาดับเลขคณิต โดยใช้การถาม-ตอบ พร้อมทั้งสุ่ม
นักเรียนนาเสนอผลงาน หน้าชั้นเรียน
2. นักเรียนดูแผ่นโปร่งใส รหัสที่ 2.1 – 2.2 แล้วร่วมกันสรุป
3. นักเรียนแต่ละกลุ่มทาแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 2.2 แล้วเปลี่ยนกันตรวจตาม
แผนภูมิเฉลย และบันทึกคะแนนที่ได้ไว้ โดยครูตรวจสอบความถูกต้องอีกครั้ง
4. นักเรียนแต่ละกลุ่มศึกษาใบความรู้ รหัสที่ 2.2 เพื่อทบทวนเสริมความเข้าใจ
5. นักเรียนทาเอกสารฝึกหัดเพิ่มเติม รหัสที่ 2.1 เป็นการบ้านเพื่อเสริมทักษะและ
7 1. ซักถามปัญหาจากการทาการบ้านแล้วเฉลยคาตอบ
2. ทบทวนความรู้เกี่ยวกับการหาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิต โดยใช้การถาม-ตอบ
ประกอบการอธิบาย
3. นักเรียนแต่ละกลุ่มศึกษาใบความรู้ รหัสที่ 2.3 แล้วร่วมกันวิเคราะห์ เพื่อหา
ข้อสรุปการหาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิต โดยครูคอยแนะแนวทางและแก้ไข
ปัญหาต่าง ๆ จนกว่าจะได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง
4. ครูยกตัวอย่างการหาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิตบนกระดานแล้ว ร่วมกันหา
คาตอบ โดยครูใช้การถาม-ตอบ เพื่อตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน
5. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 2.3 แล้วเปลี่ยนกันตรวจตามแผนภูมิเฉลย
และบันทึกคะแนนที่ได้ไว้ โดยครูตรวจสอบความถูกต้องอีกครั้ง
8 1. ซักถามปัญหาจากการทาการบ้าน และทบทวนความรู้เกี่ยวกับการหาพจน์ที่ n
และจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิต โดยใช้การถาม-ตอบ
2. นักเรียนแต่ละกลุ่มศึกษาใบความรู้ รหัสที่ 2.4 ให้ละเอียดและทาความเข้าใจ
ถ้ามีปัญหาสงสัยให้ถามครูผู้สอน
3. นักเรียนแต่ละกลุ่มทาแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 2.4 แล้วเปลี่ยนกันตรวจตาม
แผนภูมิเฉลย และบันทึกคะแนนที่ได้ไว้ โดยครูตรวจสอบความถูกต้องอีกครั้ง
4. นักเรียนทาเอกสารฝึกหัดเพิ่มเติม รหัสที่ 2.3 เป็นการบ้านเพื่อเสริมทักษะและ

63
5. นักเรียนแต่ละกลุ่มทาสมุดเล่มเล็กคณิตศาสตร์ เรื่องลาดับเลขคณิต โดยออกแบบ
และตกแต่งให้สวยงาม เป็นผลงานของกลุ่มส่งครูนอกเวลาเรียน
4. สื่อการเรียนรู้
4.1 ใบความรู้ รหัสที่ 2.1 – 2.4
4.4 แผ่นโปร่งใส
5. แหล่งการเรียนรู้
5.1 ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
5.2 ห้องสมุดโรงเรียน
5.3 ห้องสมุดประชาชน
6. หลักฐานการเรียนรู้
6.3 สมุดเล่มเล็กคณิตศาสตร์
7. การวัดผลและประเมินผลการเรียนรู้
การวัดผล การประเมินผล
1. สังเกตจากการตอบคาถาม
2. สังเกตจากการเข้าร่วมกิจกรรม
3. การทาแบบฝึกทักษะ
4. การทาเอกสารฝึกหัดเพิ่มเติม
5. การทาสมุดเล่มเล็กคณิตศาสตร์
1. นักเรียนส่วนใหญ่ตอบคาถามได้ถูกต้อง
2. นักเรียนสนใจและร่วมกิจกรรมดี
5. นักเรียนทุกกลุ่มทาได้ถูกต้องสวยงาม

64
8. บันทึกหลังการจัดการเรียนรู้
8.1 สรุปผลการเรียนรู้
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
8.2 แนวทางในการแก้ไขและพัฒนา
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
8.3 ข้อเสนอแนะ
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
ลงชื่อ ……………………………………. ครูผู้สอน
(………………………………………)
ครู คศ. ………. โรงเรียน ……………………
วันที่ ……… เดือน ………………….. พ.ศ. …………….

65
สื่อการเรียนรู้ประกอบ

66
ข้อ
ที่
ลาดับ
พจน์ที่ 2
ลบพจน์ที่ 1
ลำดับเลขคณิต
1 2, 4, 6, 8, 10, . . . 4 – 2 = 2 6 – 4 = 2 8 – 6 = 2  -
2 1, 9, 25, 49, . . . 9 – 1 = 8 25 – 9 = 16 49 – 25 = 24 - 
3 1, 4, 9, 16, 25, . . . 4 – 1 = 3 9 – 4 = 5 16 – 9 = 7 - 
4 1, 4, 7, 10, 13, . . . 4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3  -
5 3, 6, 12, 24, . . .
6 2, 6, 10, 14, . . .
7 3, 4, 5, 6, . . ., n + 1, n + 2, . . .
8 4, 9, 14, 19, 5n – 6, 5n – 1, . . .
สรุป ลาดับเลขคณิต คือ …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

67
ข้อที่ พจน์ที่ 2 ลบพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 3 ลบพจน์ที่ 2 พจน์ที่ 4 ลบพจน์ที่ 3
5 6 – 3 = 3 12 – 6 = 6 24 – 12 = 12 - 
6 6 – 2 = 4 10 – 6 = 4 14 – 10 = 4  -
7 4 – 3 = 1 5 – 4 = 1 6 – 5 = 1  -
8 9 – 4 = 5 14 – 9 = 5 19 – 14 = 5  -
สรุป
ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n
มีค่าคงที่ ค่าคงที่นี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (Common Difference)

68
- ระบุลาดับที่เป็นลาดับเลขคณิตได้
- หาพจน์ที่ 1 และผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตได้
ลาดับเลขคณิต เป็นลาดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่
เสมอ ซึ่งค่าคงที่นี้เรียกว่า ผลต่างร่วม เขียนแทนด้วย d
ลาดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)
ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่
เสมอ ซึ่งค่าคงที่นี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (Common difference) เขียนแทนด้วย d
ถ้ากาหนดให้ d เป็นผลต่างร่วม แล้ว
d = an + 1 – an
หรือ an + 1 = an + d เมื่อ n  I+
และถ้ากาหนดให้ d เป็นผลต่างร่วม และ a1 เป็นพจน์แรก แล้วสามารถเขียนพจน์
อื่น ๆ ของลาดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ได้ดังนี้
a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , . . .

69
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดลาดับเลขคณิต คือ 5, 8, 11, . . . จงเขียนลาดับเลขคณิตนี้ให้มี
จานวน 6 พจน์
วิธีทา จากลาดับเลขคณิต 5, 8, 11, . . .
จะได้ a1 = 5 และ d = 8 – 5 = 3
 a4 = a1 + 3d
= 5 + 3(3)
= 14
a5 = a1 + 4d
= 5 + 4(3)
= 17
a6 = a1 + 5d
= 5 + 5(3)
= 20
 ลาดับเลขคณิตนี้ คือ 5, 8, 11, 14, 17, 20 Ans
ตัวอย่างที่ 2 ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีพจน์ที่ 4 เท่ากับ 18 และพจน์ที่ 7 เท่ากับ 16
จงหาผลต่างร่วมและพจน์ที่ 1 ของลาดับชุดนี้
วิธีทา วิธีที่ 1  a4 = a1 + 3d
18 = a1 + 3d …………………… 
และ a7 = a1 + 6d
16 = a1 + 6d …………………… 
 - ; -2 = 3d
 d = 3
2

แทนค่า d ใน  จะได้
18 = a1 + 3( 3
2
 )
18 = a1 – 2
20 = a1
 ผลต่างร่วม คือ 3
2
 และพจน์ที่ 1 คือ 20

70
วิธีที่ 2 จากโจทย์กาหนดพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 7 มาให้สามารถหาผลต่างร่วมได้ดังนี้
a7 – a4 = 3d
16 – 18 = 3d
- 2 = 3d
 d = 3
2

 a1 = a4 + (-3)d
= 18 + (-3)( 3
2
 )
= 18 + 2
= 20
 ผลต่างร่วม คือ 3
2
 และพจน์ที่ 1 คือ 20 Ans

71
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.1 ระบุลาดับที่เป็นลาดับเลขคณิตได้
ข้อที่ ลาดับ ผลต่างร่วม
1 4, 8, 16, 32, . . .
2 3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . .
3 6, 16, 26, . . . , 10n – 4, . . .
4 5, 10, 20, 40, . . . , 5(2)n – 1
, . . .
5 x + 3, x + 6, x + 9, . . . , x + 3n, . . .
6 2, 4, 8, . . . , 2n
, . . .
7 3, 9, 3
1
, . . . , 9(3- n
), . . .
8 7, 10, 13, . . . , 3n + 4, . . .
9 1, 4, 9, 16, 25
10 10, 5, 2
5
, . . . , 20(2- n
), . . .
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ …………………………………..
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… นักเรียนมีวิสัยทัศน์กว้าง
ไกลเมื่อใส่ใจคณิตศาสตร์

72
ข้อที่ ผลต่างร่วม
1 ไม่มี - 
2 2  -
3 10  -
4 ไม่มี - 
5 3  -
6 ไม่มี - 
7 ไม่มี - 
8 3  -
9 ไม่มี - 
10 ไม่มี - 

73
หาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิตได้
พจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n – 1)d
เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n หรือพจน์ที่ต้องการหาของลาดับเลขคณิต
a1 เป็นพจน์ที่ 1 ของลาดับเลขคณิต
d เป็นผลต่างร่วม
การหาพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต
ถ้ากาหนดให้ a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่างร่วม แล้วสามารถเขียนพจน์อื่น ๆ ของ
ลาดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ได้ดังนี้
a1 = a1 + 0d
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
. .. .. .
an = an - 1 + d = (a1 + (n – 2)d) + d = a1 + (n – 1)d
 ถ้ากาหนดให้ a1 เป็นพจน์ที่ 1 ของลาดับเลขคณิต และ d เป็นผลต่างร่วม แล้ว
พจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต คือ
an = a1 + (n – 1)d
เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n หรือพจน์ที่ต้องการหาของลาดับเลขคณิต
a1 เป็นพจน์ที่ 1 ของลาดับเลขคณิต
d เป็นผลต่างร่วม (Common difference)

74
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ที่ n (พจน์ทั่วไป) ของลาดับเลขคณิต 3, 7, 11, 15, . . .
วิธีทา จากโจทย์ จะได้ a1 = 3 และ d = 7 – 3 = 4
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
an = 3 + (n – 1)(4)
= 3 + 4n – 4
= 4n – 1 Ans
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ n (พจน์ทั่วไป) ของลาดับเลขคณิต 6, 13, 20, 27, . . .
วิธีทา จากโจทย์ จะได้ a1 = 6 และ d = 13 – 6 = 7
an = 6 + (n – 1)(7)
= 6 + 7n – 7
= 7n – 1 Ans
นักเรียนคิดว่ามีวิธีการหาพจน์ที่ n จากตัวอย่างที่ 1 และ 2 อีกหรือไม่
ถ้ามีให้แสดงวิธีทาส่งครูนะ มีรางวัล

75
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดลาดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 4 เป็น 21 และพจน์ที่ 51 เป็น -355
จงหาลาดับนี้
วิธีทา จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
 a4 = a1 + (4 – 1)d
= a1 + 3d
a51 = a1 + (51 – 1)d
= a1 + 50d
จาก
 a1 + 3d = 21 ………………… 
a1 + 50d = -355 ………………… 
 -  ; 47d = -376
d = -8
แทนค่า d ใน 
a1 + 3(-8) = 21
a1 = 45
 an = 45 + (n – 1)(-8)
= 45 + (-8n + 8)
= 53 – 8n
จะได้ a2 = 53 – (8  2) = 53 – 16 = 37
a3 = 53 – (8  3) = 53 – 24 = 29
 ลาดับนี้คือ 45, 37, 29, . . . , 53 – 8n, . . . Ans

76
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.3 หาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิตได้
แล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ คาถาม คาตอบ
1 ถ้าลาดับเลขคณิต 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . จงหา
1.1 ผลต่างร่วม
1.2 พจน์ที่ 12
1.3 พจน์ที่ n
2 ถ้าลาดับเลขคณิตคือ 2, -3, -8, -13, . . . จงหา
2.2 พจน์ที่ 20
3 ถ้าลาดับเลขคณิตคือ a, a + 7, a + 14, a + 21, . . . จงหา
3.2 พจน์ที่ 26
3.3 พจน์ที่ 15
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ ………………………………….. ชีวิตจะมีค่าถ้าศึกษาคณิตศาสตร์
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… จริงไหม !

77
1) 1.1 2
1.2 24
1.3 2n
2) 2.1 -5
2.2 -93
2.3 7 – 3n
3) 3.1 7
3.2 a + 175
3.3 a + 98
3.4 7n + a – 7

78
แผ่นโปร่งใส
รหัสแผ่นโปร่งใสที่ 2.1
การหาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิต
ถ้าให้ a1 เป็นพจน์ที่ 1 ของลาดับเลขคณิต
d เป็นผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิต
จะได้ a1 = a1 + 0d = a1 + (1 – 1)d
a2 = a1 + d = a1 + (2 – 1)d
a3 = a2 + d = a1 + 2d = a1 + (3 – 1)d
a4 = a3 + d = a1 + 3d = a1 + (4 – 1)d
...
an = an - 1 + d = a1 + (n – 2)d + d = a1 + (n – 1)d
 สูตรการหาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิต คือ
an = a1 + (n – 1)d
เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n
a1 เป็นพจน์ที่ 1
d เป็นผลต่างร่วม

79
แผ่นโปร่งใส
รหัสแผ่นโปร่งใสที่ 2.2
ตัวอย่างการใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ที่ n (an) จากลาดับเลขคณิตที่กาหนดให้
ต่อไปนี้
1.1 4, 10, 16, . . .
1.2 2, 9, 16, 23, . . .
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดพจน์ที่ 1 (a1) และผลต่างร่วม (d) ให้
จงหาพจน์ที่ n (an)
2.1 a1 = 10 , d = 3
2.2 a1 = -6 , d = -4
2.3 a1 = 5 , d = 12

80
หาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิตได้
การหาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิต หาโดยใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d เข้าช่วย
แล้วหาค่า n
การหาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิต
ในการหาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิตจะต้องใช้สูตรการหาพจน์ที่ n เข้าช่วย ดังนี้
= a1 + dn – d
dn = an – a1 + d
n = d
d
d
a-a 1n

 n = 1
d
a-a 1n

หรือ n = 1
d

พจน์แรก-พจน์ท้าย

81
ตัวอย่างที่ 1 ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่ง คือ 7, 12, 17, 22, . . . , 282 จงหาว่าลาดับนี้
มีกี่พจน์
วิธีทา วิธีที่ 1 จากโจทย์จะได้ a1 = 7, d = 12 – 7 = 5 และ an = 282
แทนค่า 282 = 7 + (n – 1)(5)
282 = 7 + 5n – 5
280 = 5n
 n = 56
วิธีที่ 2 จาก n = 1
d
a-a 1n

= 1
5
7-282

= 1
5
275

= 55 + 1
= 56
 ลาดับชุดนี้มีจานวน 56 พจน์ Ans
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดตัวเลข 10 ถึง 1,000 จงหาจานวนที่หารด้วย 13 ลงตัว
วิธีทา จานวน 10 ถึง 1,000 ที่หารด้วย 13 ลงตัว ได้แก่ 13, 26, 39, . . . , 988
จะได้ a1 = 13 , d = 26 – 13 = 13 และ an = 988
แทนค่า 988 = 13 + (n –1)(13)
988 = 13 + 13n – 13
988 = 13n
 n = 13
988
= 76

82
หรือ n = 1
d
a-a 1n

= 1
13
13-988

= 1
13
975

= 75 + 1
= 76
 ตัวเลข 10 ถึง 1,000 ที่หารด้วย 13 ลงตัว มี 76 จานวน Ans

83
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.4 หาจานวนพจน์ของลาดับเลขคณิตได้
1 กาหนดลาดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 3 และผลต่างร่วม
เป็น -3 ถ้า an = - 15 จงหา n
2 ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่ง คือ 5, 12, 19, 26, . . . , 670 จงหาว่า
ลาดับนี้มีกี่พจน์
3 ลาดับเลขคณิต 24, 19, 14, 9, . . . , - 46 จงหาว่าลาดับนี้มี
กี่พจน์
4 จงหาว่าจานวนระหว่าง 1 และ 500 มีกี่จานวนที่หารด้วย 6
ลงตัว
5 กาหนดตัวเลข 10 ถึง 1,000 จงหาว่ามีกี่จานวนที่หารด้วย
3 ลงตัว
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ ………………………………….. การเรียนคณิต
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… ต้องหมั่นคิดและทบทวน

84
1. 7
2. 96
3. 15
4. 330
5. 63

85
นาความรู้เรื่อง ลาดับเลขคณิตไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้
การแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลาดับเลขคณิต จะใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d เข้าช่วยเสมอ
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลาดับเลขคณิต
ตัวอย่างที่ 1 ลาดับเลขคณิตลาดับหนึ่งมี 21 พจน์ ผลบวกของ 3 พจน์กลางเท่ากับ 129
และผลบวกของ 3 พจน์ท้ายเท่ากับ 237 จงหาลาดับนี้
วิธีทา จากโจทย์ ผลบวกของ 3 พจน์กลาง เท่ากับ 129 จะได้
a10 + a11 + a12 = 129
(a1 + 9d) + (a1 + 10d) + (a1 + 11d) = 129
3a1 + 30d = 129 ………………..
และจากโจทย์ ผลบวก 3 พจน์สุดท้ายเท่ากับ 237 จะได้
a19 + a20 + a21 = 237
(a1 + 18d) + (a1 + 19d) + (a1 + 20d) = 237
3a1 + 57d = 237 ………………..
 -  ; 27d = 108
d = 4
แทนค่า d ใน 
3a1 + 30(4) = 129
3a1 = 9
a1 = 3

86
 an = a1 + (n – 1)d
= 3 + (n –1)(4)
= 3 + 4n – 4
= 4n – 1
 a2 = 4(2) – 1 = 7
a3 = 4(3) – 1 = 11
 ลาดับเลขคณิตนี้ คือ 3, 7, 11, 14, … Ans
ตัวอย่างที่ 2 ผลบวกของ 5 พจน์แรกในลาดับเลขคณิตหนึ่ง เท่ากับ 30 และผลบวกของ
กาลังสองของ 5 พจน์นี้เท่ากับ 220 จงหาพจน์ที่ 10 ของลาดับนี้
วิธีทา ให้ 5 พจน์แรกของลาดับเลขคณิตลาดับนี้ คือ x – 2d, x – d, x, x + d, x + 2d
ผลบวก 5 พจน์แรก เท่ากับ 30
(x – 2d) + (x – d) + x + (x + d) + (x + 2d) = 30
5x = 30
x = 6
ผลบวกของกาลังสองของ 5 พจน์นี้เท่ากับ 220
(x – 2d)2
+ (x – d)2
+ x2
+ (x + d)2
+ (x + 2d)2
= 220
แทนค่า x = 6 จะได้
(6 – 2d)2
+ (6 – d)2
+ 62
+ (6 + d)2
+ (6 + 2d)2
= 220
(36 – 24d + 4d2
) + (36 – 12d + d2
) + 36 + (36 + 12d + d2
) + (36 + 24d + 4d2
) = 220
180 + 10d2
= 220
10d2
= 40
d =  2
เมื่อ x = 6 , d = 2 ลาดับคือ 2, 4, 6, 8, 10, . . .
 an = a1 + (n – 1)d
แทนค่า a10 = 2 + (10 – 1)(2)
= 2 + 18
= 20

87
เมื่อ x = 6 , d = -2 ลาดับนี้คือ 10, 8, 6, 4, 2, . . .
 a10 = a1 + 9d
= 10 + 9(-2)
= -8
 พจน์ที่ 10 ของลาดับนี้ คือ -8 หรือ 20 Ans
ลองหา a10 จาก
a10 = a3 + 7d
= ………..

88
แบบฝึกทักษะตามจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1.1.5 นาความรู้เรื่องลาดับเลขคณิตไปใช้
ในการแก้โจทย์ปัญหาได้
1 เอา 3 จานวนเรียงกันเป็นลาดับเลขคณิต ถ้าผลบวกของเลข 3
จานวนนี้เป็น 24 และผลบวกของกาลังสองของแต่ละพจน์
เป็น 242 แล้ว จงหาผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย
2 เลข 4 จานวนเรียงกันเป็นลาดับเลขคณิต ถ้าผลบวกของเลข
4 จานวนนี้เป็น 28 และผลบวกของกาลังสองของแต่ละ
จานวนเป็น 216 แล้ว จงหาเลข 4 จานวนนี้
3 ผลบวกของ 3 พจน์แรกของลาดับเลขคณิตลาดับหนึ่งเท่ากับ
111 และผลต่างของกาลังสองของพจน์ที่สามลบด้วยกาลังสอง
ของพจน์แรกเท่ากับ 1,776 จงหาพจน์ที่ 10 ของลาดับนี้
4 สุรชัยได้รับเงินเดือนโดยเงินเดือนขึ้นเป็นรายปีและเงินเดือน
เรียงกันเป็นลาดับเลขคณิต ปีแรกได้รับเงินเดือน 6,600 บาท
ปีที่ 4 ได้รับเงินเดือน 12,000 บาท จงหาว่าปีที่ 10 เขาจะ
ได้รับเงินเดือนเท่าไร
คะแนนที่ได้ = ………………………… มีพื้นฐานคณิตศาสตร์ดี
ผู้ตรวจ ………………………………….. สุขชีวีตลอดกาล
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

89
1. 16
2. 4, 6, 8, 10 หรือ 10, 8, 6, 4
3. 133
4. 19,200

90
เรื่อง

91
ปีการศึกษา
เรื่อง ลาดับเรขาคณิต
สัปดาห์ที่ 5 – 7 จานวนนักเรียนที่เรียน คน
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………….
(……………………………….)
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………….
(……………………………….)
รองผู้อานวยการฝ่ายบริหารงานวิชาการ
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
(……………………………….)
ตาแหน่ง ………………………………….
…………./……………/………….
…………………………………………………
…………………………………………………
ลงชื่อ ……………………………. …..
(……………………………….)
…………./……………/………….

92
สัปดาห์ที่ 5 – 7
ชั่วโมงที่ 9 – 13
เรื่อง ลาดับเรขาคณิต
1.1.1 ระบุลาดับที่เป็นลาดับเรขาคณิตได้
1.1.2 หาพจน์ที่ 1 อัตราส่วนร่วม และพจน์ที่ n ของลาดับเรขาคณิตได้
1.1.3 หาจานวนพจน์ของลาดับเรขาคณิตได้
1.1.4 นาความรู้เรื่อง ลาดับเรขาคณิตไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้
1.2.2 ในการสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
1.3.3 มีความกระตือรือร้นในการเรียน
2.1 ลาดับเรขาคณิต
2.2 การหาพจน์ที่ n (an) หรือพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต
2.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลาดับเรขาคณิต

แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1

แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1

Similar to แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1 (20)

More from คุณครูพี่อั๋น

More from คุณครูพี่อั๋น (20)

แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1