1. ( x  )  x ν -1
Βαθμολογία
1
(ln x ) 
x
............../100
................/20
Τάξη Γ
Τμήμα:
Μαθηματικά
Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Εργασία 6
Διδακτική Ενότητα:
Παράγωγοι (1)
Επώνυμο: ...................................................................................
Όνομα:
...................................................................................
Ημερομηνία:...................................................

2. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Θέμα A
Α1. Να αποδείξετε ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο
x 0 , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
Μονάδες 4
Α2. Να αποδείξετε ότι: η συνάρτηση f (x )  x  ,   Ν  {0,1} είναι παραγωγίσιμη
στο IR και ισχύει f ( x )  x  1 , δηλαδή (x  )  x  1
Μονάδες 4
Α3. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του
πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 3
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-1Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
…………………………………………………………………………………………………………

3. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
A4. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις:
α. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο x0
i. Η εφαπτομένη της C f στο x0 έχει συντελεστή λ=……….
ii. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο x0 είναι:………………………
β. Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) του πεδίου
ορισμού της , όταν είναι ……………..σε ……………κάθε ……………
γ. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η f παραγωγίσιμη στο
………, τότε η συνάρτηση f  g είναι παραγωγίσιμη στο ………………..
και ισχύει (f  g )(x 0 )  ………………………………………
Μονάδες 4
A5. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις.
1.Έστω η συνάρτηση f : A  IR .Αν υπάρχει ο αριθμός f ( x 0 )  IR τότε x 0  A
f (x)  f (x 0 )
f (x)  f (x 0 )
2. Αν lim
 lim
, τότε δεν υπάρχει το f ( x 0 )
x x
x x
x  x0
x  x0
3.Αν f (3)  1 τότε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(3,f(3)) σχηματίζει με τον

άξονα x x γωνία
4
4. Αν η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x x
τότε f (1)  0
5. Αν η συνάρτηση f : A  IR είναι συνεχής στο x 0  A , τότε η f δεν είναι
παραγωγίσιμη στο x0
6. Αν η συνάρτηση f : A  IR δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0  A τότε η f δεν είναι
συνεχής στο x0
7. Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(x0, f(x0)) έχει κοινό σημείο με την Cf μόνο το
Μ.
8. Αν μια ευθεία έχει με την Cf μόνο ένα κοινό σημείο , τότε η ευθεία αυτή είναι
πάντοτε εφαπτομένη της Cf
9. Αν οι γραφικές παραστάσεις δυο παραγωγίσιμων συναρτήσεων τέμνονται , τότε
στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη.
10. Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι παραγωγίσιμες στο IR και f ( x 0 )  g ( x 0 ) για
κάποιο x 0  IR , τότε στο x0 δέχονται κοινή εφαπτομένη.

0
1

0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Μονάδες 10x1=10
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-2-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

4. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Θέμα B
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για την οποία
f (x)  e2x  1
ισχύει:
lim

x 0
 2 x
Β1. Να βρείτε το f(0)
Μονάδες 7
Β2. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0
Μονάδες 8
x
Β3. Αν h ( x )  e  f ( x) να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών
παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία τους Α(0,f(0) και Β(0,h(0)
αντίστοιχα είναι παράλληλες.
Μονάδες 10
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-3Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

5. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-4-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

6. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Θέμα Γ
f (x )
 1 και για κάθε x>0 ισχύει
x 2 x  2
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , ισχύει lim
ότι  2 x  x 3  x  f ( x )   2 x  x 3
Γ1. Να αποδείξετε ότι f(0)=0
Μονάδες 7
Γ2. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος των γωνιών του 1 -3 τεταρτημορίου εφάπτεται
στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f στο σημείο Ο(0,0).
Μονάδες 8
Γ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση g για την οποία είναι g(x)=f(x)-x+1 για κάθε x  R
Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση Cg της συνάρτησης g και η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f στο σημείο Ο(0,0),
έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη x 0  (0,2)
Μονάδες 10
Απάντηση:
ου
ου
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-5-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

7. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-6-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

8. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Θέμα Δ
Η συνάρτηση f : R  R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις
f (x)
α. f(2)=2
β. lim
γ. f ( x )  0 για κάθε x  (0,2)
3
x 0 3x
Δ1. Να αποδείξετε ότι f(0)=0
Μονάδες 3
Δ2. Να αποδείξετε ότι f (0)  9
Μονάδες 4
Δ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της
συνάρτησης f στο σημείο Α(0,f(0))
Μονάδες 4
Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x )  0 δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες
στο διάστημα (0,2)
Μονάδες 4
Δ5. Να αποδείξετε ότι υπάρχει   (0,2) έτσι ώστε f(ξ)=2-ξ
Μονάδες 5
( x1 )  f ( x 2 )  1
Δ6. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν x 1 , x 2  (0,2) ώστε f
Μονάδες 5
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-7Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
…………………………………………………………………………………………………………

9. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-8-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

10. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
Απάντηση:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
http://www.perikentro.blogspot.gr/
-9-
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

11. Μαθηματικά Κατεύθυνσης
http://www.perikentro.blogspot.gr/
Εργασία 6: Παράγωγοι -1
- 10 -
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης