Skrypt dla studentów matematyki. Autor: Maciej Czarnecki. Tytuł: Przestrzenie afiniczne

1. Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Rozdział II
Przestrzenie afiniczne
Definicja 1. Niech V bedzie rzeczywista przestrzenia liniowa. Przestrzenia afiniczna
o przestrzeni wektorów swobodnych V nazywamy układ (E, V, − ), gdzie E jest zbio-
→
rem niepustym, a − : E × E → V jest funkcja taka, że
→
(1) Dla dowolnych p ∈ E i v ∈ V istnieje dokładnie jeden q ∈ E taki, że − = v.
→
pq
(2) Dla dowolnych p, q, r ∈ E zachodzi zwiazek − + − = −
→ → →
pq qr pr.
Elementy zbioru E nazywamy punktami, a elementy zbioru V wektorami (swobod-
nymi).
Przykład 2. Niech dla p = (p1 , . . . , pn ) oraz q = (q1 , . . . qn )
→
− = (q − p , . . . , q − p ).
pq 1 1 n n
Wówczas trójka (Rn , Rn , − )
→ jest przestrzenia afiniczna. Bedziemy oznaczać ja przez
En .
W dalszym ciagu, o ile nie zaznaczymy inaczej, bedziemy rozważać przestrzeń afi-
niczna (E, V, − ), przy czym przestrzeń V jest skończonego wymiaru.
→
Definicja 3. Suma punktu p ∈ E i wektora v ∈ V nazywamy jedyny taki punkt
q ∈ E, że − = v. Piszemy wóczas q = p + v.
→
pq
Jeżeli U ⊂ V , to p + U jest zbiorem wszystkich sum postaci p + u, gdzie u ∈ U .
Twierdzenie 4. Dla dowolnych p, q ∈ E oraz u, v ∈ V spełnione sa nastepujace
warunki:
−− − −→
−−−−
(1) p + u, p + v = v − u.
(2) Jeżeli p + v = q + v, to p = q.
(3) Jeżeli p + u = p + v, to u = v.
(4) (p + u) + v = p + (u + v).
Dowód: Zauważmy, że − = θ wtedy i tylko wtedy, gdy p = q oraz że − = −−
→
pq →
qp →
pq.
→
− = u i − = v. Stad
(1) Niech p + u = q i p + v = r. Wówczas pq →
pr
−− − −→ −
−−−−
p + u, p + v = → = − + − = v − u.
qr → →
qp pr
1

2. 2
(2) Jeżeli r = p + v = q + v, to v = − = − Stad − = − − − = θ.
→ →
pr qr. → → →
pq pr qr
(3) Wynika z 1.
(4) Niech p + u = q i q + v = r. Wówczas − = − + − = u + v.
→ → →
pr pq qr
Definicja 5. Środkiem cieżkości układu punktów (p0 , . . . , pm ) z przestrzeni E o wa-
gach odpowiednio a0 , . . . , am ∈ R takich, że a0 + . . . am = 1, nazywamy punkt p ∈ E,
który dla dowolnego q ∈ E spełnia warunek
→
− = a · − + . . . a · −→.
qp →
qp −
qp
0 0 m m
Piszemy wówczas
m
p = a0 p0 + . . . + am pm = ai pi .
i=0
Zbiór wszystkich środków cieżkości układu (p0 , . . . , pm ) oznaczamy przez af(p0 , . . . , pm ).
Przykład 6. Jedynym środkiem cieżzkości układu jednopunktowego (p0 ) jest punkt
p0 .
Środkiem odcinka p0 p1 nazywamy punkt 1 p0 + 1 p1 . Środkiem cieżzkości trójkata
2 2
p0 p1 p2 (odpowiednio czworościanu p0 p1 p2 p3 ) jest punkt 3 p0 + 1 p1 + 1 p2 (odpowiednio
1
3 3
1 1 1 1
4 p0 + 4 p1 + 4 p2 + 4 p3 ).
Uwaga 7. Łatwo zauważyć, że punkt p środkiem cieżkości układu punktów (p0 , . . . , pm )
z przestrzeni E o wagach odpowiednio a0 , . . . , am ∈ R takich, że a0 +. . . am = 1, wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieje punkt q ∈ E taki, że
→
− = a · − + . . . a · −→.
qp →
qp −
qp
0 0 m m
Definicja 8. Podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E nazywamy niepusty
podzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym skończonym układem punktów zawiera jego
wszystkie środki cieżkości.
Twierdzenie 9. Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczna prze-
strzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek cieżkości dowolnego układu
dwupunktowego z H należy do H.
Dowód: ⇒) oczywiste.
⇐) Indukcja ze wzgledu na ilość elementów układu.
Jeżeli p0 , p1 ∈ H, to z założenia af(p0 , p1 ) ⊂ H.
Załóżmy teraz, że każdy środek cieżkości dowolnego układu m-elementowego (m
2) z H należy do H.
Niech p0 , . . . , pm ∈ H oraz a0 , . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takie
j ∈ {0, . . . , m}, że aj = 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby m = 1), a
co za tym idzie
m
a= ai = 0.
i=0,i=j
Rozważmy punkt
m
ai
p= pi .
i=0,i=j
a

3. 3
m ai
Jest on środkiem cieżkości ( i=0,i=j a = 1) układu m punktów z H, czyli p ∈ H. Z
drugiej strony
m m
ai
ai pi = a pi + aj pj = ap + (1 − a)pj ∈ H.
i=0 i=0,i=j
a
Niech odtad, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) bedzie zbiorem wszystkich
wektorów − takich, że p, q ∈ H.
→
pq
Twierdzenie 10. Niech ∅ = H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzenia afiniczna
przestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzenia liniowa
przestrzeni liniowej V .
Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzenia liniowa V i weźmy dowolne
p0 , p1 ∈ H oraz a0 ∈ R. Wówczas − → ∈ S(H). Kładac q = a0 p0 + (1 − a0 )p1
p− 1
0p
otrzymujemy
− q = a · − → + (1 − a ) · − → = (−a ) · − → ∈ S(H)
p→ − p− 1 p− 1
1 0 p1 p0 0 1p 0 0p
(bo S(H) jest podprzestrzenia liniowa), czyli q ∈ H. Na mocy twierdzenia 9, H jest
podprzestrzenia afiniczna.
⇒) Zalóżmy, że H jest podprzestrzenia afiniczna E i weźmy dowolne u, v ∈ S(H)
oraz a ∈ R. Wówczas istnieja takie punkty p1 , p2 , q1 , q2 ∈ H, że u = − →, v = − →.
p− 1
1q p− 2
2q
− q, gdzie q = ap + (1 − a)q ∈ H. Stad au ∈ S(H).
Zauważmy, że a · u = p1→
1 1
Kładac r = 1 · q1 + 1 · q2 + (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy na podstawie twierdzenia
4.1, że
S(H) − r = − → + − → − − → = − → + − → = u + v.
p→ p− 1 q p− q
1 1 p−p 1 2 p− q
1 2 p−q
1 1 2 2
Zatem S(H) jest podprzestrzenia liniowa.
Definicja 11. Jeżeli H jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E, to
przedstawienie H w postaci H = p + S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym,
a sama podprzestrzeń S(H) — przestrzenia nośna podprzestrzeni H.
Definicja 12. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeni
nośnej.
Punkt jest podprzestrzenia afiniczna wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczna wymiaru
1 nazywamy prosta a wymiaru 2 — płaszczyzna.
Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dim V = n), to jej podprzestrzeń
afiniczna wymiaru k nazywamy k–wymiarowa hiperpłaszczyzna, a gdy k = n − 1 —
po prostu hiperpłaszczyzna.
Uwaga 13. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa hiperpłasz-
czyzna przestrzeni En jest zbiorem wszystkich rozwiazań układu równań liniowych o n
niewiadomych, o ile rzad macierzy układu wynosi k. W szczególności hiperpłaszczyzne
H (kowymiaru 1) przestrzeni En można opisać nastepujaco
H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ En ; a1 x1 + . . . + an xn = b} ,
gdzie a1 , . . . , an , b ∈ R oraz a2 + . . . + a2 > 0.
1 n

4. 4
Twierdzenie 14. Jeżeli H1 , . . . , Hm sa podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni
afinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩ Hm = ∅, to H1 ∩ . . . ∩ Hm jest podprzestrzenia afiniczna
przestrzeni afinicznej E i
S(H1 ∩ . . . ∩ Hm ) = S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ).
Dowód: Niech p ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm . Wystarczy pokazać, że
H1 ∩ . . . ∩ Hm = p + S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ),
bo cześć wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenia liniowa.
Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm , to dla każdego i = 1, . . . , m spełniony jest warunek
→
− ∈ S(H ). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H ) ∩ . . . ∩ S(H ), to q ∈ p + S(H ) = H
pq i 1 m i i
dla i = 1, . . . , m.
Definicja 15. Niech H1 , H2 beda podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicz-
nej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 H2 , gdy S(H1 ) ⊂ S(H2 )
lub S(H2 ) ⊂ S(H1 ).
Twierdzenie 16. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest
(1) zwrotna i symetryczna.
(2) relacja równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego wy-
miaru.
Dowód: Cześć 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń liniowa
k–wymiarowa W1 jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowej W2 , to W1 = W2 .
Twierdzenie 17. (V postulat Euklidesa) Niech H bedzie k –wymiarowa podprze-
strzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈ E istnieje dokład-
nie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawierajaca punkt p i równoległa
do H.
Dowód: Wystarczy przyjać H0 = p + S(H).
Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarowa podprzestrzenia afiniczna przechodzaca
przez punkt p i równoległa do H. Wówczas ze wzgledu na równość wymiarów pod-
przestrzeni S(H1 ) = S(H) = S(H0 ), skad H1 = p + S(H1 ) = p + S(H) = H0 .
Uwaga 18. Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia geometrii
afinicznej na przestrzeni liniowej Rn .
Istnieja modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza piatym sa
spełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodzacych przez dany
punkt i równoległych do danej prostej.
Taka geometria jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiper-
boliczna. W wymiarze 2 cała przestrzenia (czyli płaszczyzna) jest otwarte koło jed-
nostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okregów prostopadłych do brzegu
tego koła.
Twierdzenie 19. (wzajemne położenie prostych i płaszczyzn)
(1) Dwie proste na płaszczyźnie sa równoległe lub maja dokładnie jeden punkt
wspólny.
(2) Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maja dokładnie
jeden punkt wspólny lub sa skośne, tzn. sa nierównoległe i rozłaczne.

5. 5
(3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub ich cześcia
wspólna jest prosta.
(4) Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maja do-
kładnie jeden punkt wspólny.
Dowód: Z twierdzenia 14 wynika, że cześcia wspólna hiperpłaszczyzn H1 i H2
jest hiperpłaszczyzna wymiaru nie przekraczajacego min(dim H1 , dim H2 ).
(1) Jeżeli rozważanymi prostymi sa Li = pi + lin(vi ), i = 1, 2, to możliwe sa trzy
przypadki:
– układ (v1 , v2 ) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste pokrywajace sie
(czyli w szczególności równoległe),
– układ (v1 , v2 ) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste równoległe i
/
rozłaczne,
– układ (v1 , v2 ) jest liniowo niezależny i co za tym idzie stanowi baze prze-
strzeni nośnej płaszczyzny. Zatem istnieja takie liczby r, s, że − → = p− 2
1p
rv1 − sv2 . Wówczas punkt q = p1 + rv1 = p2 + sv2 należy do obu prostych
i jest ich jedynym punktem wspólnym, bo L1 ∩ L2 jest hiperpłaszczyzna
wymiaru 1, a proste te nie pokrywaja sie.
(2) Wprowadzajac oznaczenia jak w punkcie 1 otrzymujemy identyczne wnioski
w pierwszych dwóch przypadkach, a w przypadku trzecim układ (v1 , v2 ) nie
generuje przestrzeni nośnej przestrzeni trójwymiarowej, wiec proste L1 i L2
moga sie przecinać (oczywiście w dokładnie jednym punkcie) lub być rozłaczne
(wtedy nazywamy je skośnymi).
(3) Rozważmy płaszczyzny Pi = pi + lin(ui , vi ), i = 1, 2. Możliwe sa trzy przy-
padki:
– lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny pokrywaja sie.
– lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny sa równoległe i rozłaczne.
/
– lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ). Wówczas układ (u1 , v1 , u2 , v2 ) generuje prze-
strzeń nośna przestrzeni trójwymiarowej, a układ (u1 , v1 , u2 ) stanowi
jej baze (analogiczne rozumowanie można przeprowadzić, gdy baza jest
układ (u1 , v1 , v2 )).
(4) Niech płaszczyzna P i prosta L będą dane następująco: P = p + lin(u, v),
L = q + lin(w). Możliwe sa trzy przypadki:
– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L ⊂ P .
– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L P i L ∩ P = ∅.
/
– układ (u, v, w) jest liniowo niezależny, czyli stanowi bazę przestrzeni trój-
wymiarowej. Zatem istnieją r, s, t ∈ R takie, że − = s · u + t · v − r · w.
→
pq
Ale wówczas punkt q + r · w = p + s · u + t · v ∈ L ∩ P , a z uwagi na
S(L) ∩ S(P ) = {θ} taki punkt jest tylko jeden.
Definicja 20. Układ punktów (p0 , . . . , pm ) przestrzeni aficznej E jest w położeniu
szczególnym, jeżeli dla pewnego j = 0, . . . , m punkt pj jest środkiem cieżkości układu
pozostałych punktów (tzn. (pi )i=m ).
i=0,i=j
W przeciwnym wypadku układ jest w położeniu ogólnym.
Punkty układu nazywamy współliniowymi (odpowiednio współpłaszczyznowymi),
jeżeli dowolny podukład trzypunktowy (odpowiednio czteropunktowy) tego układu
jest w położeniu szczególnym.

6. 6
Baza punktowa przestrzeni afinicznej nazywamy dowolny maksymalny układ punk-
tów w położeniu ogólnym.
Twierdzenie 21.
(1) Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.
(2) Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płasz-
czyzna.
Dowód: Dla p, q ∈ E, p = q, jedyna prosta przechodzaca przez punkty p i q jest
af(p, q) = {p + a− a ∈ R}.
→
pq;
Istotnie, jeżeli L jest prosta przechodzaca przez p i q, to S(L) = lin(v), gdzie v −
→
pq,
czyli L = af(p, q).
Dla niewspółliniowych punktów p, q, r ∈ E jedyna płaszczyzna przechodzaca przez
punkty p, q, r jest af(p, q, r) = {p + a− + a− a, b ∈ R}.
→
pq →
pr;
Istotnie, jeżeli P jest płaszczyzna przechodzaca przez p, q, r, to − i − należa do
→ →
pq pr
S(P ) i jako liniowo niezależne stanowia jej baze. Stad P = af(p, q, r).
Uwaga 22. Prosta przechodzaca przez dwa różne punkty p i q bedziemy oznaczać pq,
a płaszczyzne przechodzaca przez trzy niewspółliniowe punkty p, q, r — przez pqr.
W dalszym ciagu znaczek nad elementem układu bedzie oznaczał, że element ten
został z układu usuniety, np.
(p0 , . . . , pj , . . . , pm ) = (pi )i=m .
i=0,i=j
Twierdzenie 23. Niech p0 , . . . , pm ∈ E. Nastepujace warunki sa równoważne:
(1) Układ (p0 , . . . , pm ) jest w położeniu ogólnym.
(2) Dla każdego j = 0, . . . , m układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest li-
p− 0
jp p− j
jp
−→
pj pm
niowo niezależny.
(3) Istnieje j = 0, . . . , m takie, że układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest
p− 0
jp p− j
jp
−→
p j pm
liniowo niezależny.
Dowód: 1 ⇒ 2) Przypuścmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ
− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest liniowo zależny.
−
(pj p0 −
pj pj −→
pj pm
Istnieja zatem takie liczby a0 , . . . , aj , . . . am , że
m
ai −→ = θ
p− i
jp
i=0,i=j
oraz pewien współczynnik al = 0. Wówczas
m
−→ = − ai −→
p− l
jp p− i ,
jp
i=0,i=j,l
al
skad
 
m m
ai − ai
pl =pj + −→ = pj +
p− l
jp − −→ + 1 −
pj p i −  −→
p− j
jp
i=0,i=j,l
al i=1,i=j,l
al
 
m m
ai ai
= − pi + 1 − −  pj ∈ af(p0 , . . . , pl , . . . , pm ),
i=0,i=j,l
al i=0,i=j,l
al
co jest sprzeczne z ogólnościa położenia układu (p0 , . . . , pm ).

7. 7
2 ⇒ 3) oczywiste.
3 ⇒ 1) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest
p− 0
jp p− j
jp
−→
pj pm
liniowo niezależny i przypuśćmy, że dla pewnego l = 0, . . . , m
m
pl = ai pi .
i=0,i=l
Wówczas
m
−→ =
p− l ai −→,
p− i
jp jp
i=0,i=j,l
co przeczy liniowej niezależności układu (− →, . . . , − →, . . . , − − ).
p− 0
jp p− j
jp
−→
pj pm
Twierdzenie 24. Niech p0 , . . . , pm ∈ E. Nastepujace warunki sa równoważne:
(1) Układ (p0 , . . . , pm ) jest baza punktowa przestrzeni E.
(2) Dla każdego j = 0, . . . , m układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest baza
p− 0
jp p− j
jp
−→
pj pm
przestrzeni liniowej S(E) = V .
(3) Istnieje j = 0, . . . , m takie, że układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest
p− 0
jp p− j
jp
−→
pj pm
baza przestrzeni liniowej S(E) = V .
(4) Każdy punkt p ∈ E można jednoznacznie przedstawić jako środek cieżkości
układu (p0 , . . . , pm ).
Dowód: Punkt 2 wynika z 1 na podstawie twierdzenia 21, a wynikanie 2 ⇒ 3 jest
oczywiste.
3 ⇒ 4) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest
p− 0
jp p− j
jp
−→
p j pm
baza przestrzeni V i niech p ∈ E. Wówczas istnieja takie liczby a0 , . . . , aj , . . . , am , że
m
−p =
p→ ai −→,
p− i
j jp
i=0,i=j
a co za tym idzie
m m
p= ai pi , gdzie aj = 1 − ai .
i=0 i=0,i=j
Jednoznaczość tego przedstawienia wynika z jednoznaczności przedstawienia wektora
− p w bazie przestrzeni V .
p→
j
4 ⇒ 1) Jeżeli każdy punkt można jednoznacznie przedstawić w postaci środka cieżzkości
układu (p0 , . . . , pm ), to w szczególności
pj = 1 pj + 0 pi dla j = 0, . . . , m
i=0,i=j
i żaden punkt pj nie jest środkiem cieżkości układu złożonego z pozostałych punktów.
Zatem układ (p0 , . . . , pm ) jest w położeniu ogólnym.
Bezpośrednio z założenia 4 wynika, że układ ten jest maksymalny.
Definicja 25. Niech p0 ∈ E oraz układ wektorów (v1 , . . . vn ) bedzie baza przestrzeni
V.
Układ (p0 ; v1 , . . . , vn ) nazywamy układem współrzednych przestrzeni E o poczatku
w punkcie p0 rozpietym na wektorach v1 , . . . , vn .

8. 8
Dla dowolnego punktu p ∈ E układ współczynników (a1 , . . . , an ) jednoznacznego
(na podstawie twierdzenia 22) przedstawienia punktu p w postaci p = p0 + n ai vi
i=0
nazywamy współrzednymi punktu p.
Przykład 26. W przestrzeni En czesto rozważamy standardowy układ współrzednych
o poczatku w punkcie (0, . . . , 0) i rozpiety na wektorach bazy kanonicznej e1 , . . . , en
przestrzeni Rn .
Definicja 27. Odcinkiem o końcach p, q ∈ E nazywamy zbiór
pq = {ap + bq; a + b = 1, a, b 0}.
Otoczka wypukła zbioru A ⊂ E nazywamy zbiór conv(A) wszystkich środków
cieżkości skończonych układów punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach.
Twierdzenie 28. Jeżeli p, q ∈ E, to
(1) pq ⊂ af(p, q).
(2) pq = conv(p, q).
(3) pq = {p + a− a ∈ [0, 1]}.
→
pq;
Dowód: wynika bezpośrednio z definicji.
Definicja 29. Zbiór A ⊂ E nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowlonych p, q ∈ A
odcinek pq zawiera sie w A.
Przykład 30. Zbiorami wypukłymi sa odcinki i wszystkie podprzestrzenie afiniczne,
w szczególności proste i płaszczyzny.
Twierdzenie 31. Jeżeli A ⊂ E, to conv(A) jest najmniejszym zbiorem wpukłym
zawierajacym zbiór A.
Dowód: Wykażemy najpierw, że conv(A) jest zbiorem wypukłym. Niech r1 , r2 ∈
conv(A). Wówcza istnieja takie punkty p0 , . . . , pm , q0 , . . . , ql ∈ A oraz układy nieujem-
nych wag (a0 , . . . , am ), (b0 , . . . , bl ), że
m l
r1 = ai pi , r2 = bj q j .
i=0 j=0
Niech r ∈ pq, r = (1 − a)r1 + ar2 , gdzie a ∈ [0, 1]. Wtedy
r = ((1 − a)a0 )p0 + . . . + ((1 − a)am )pm + (ab0 )q0 + . . . + (abl )ql ∈ conv(A),
bo liczby (1 − a)a0 , . . . , (1 − a)am , ab0 , . . . , abl sa nieujemne oraz
m l
(1 − a)a0 + . . . + (1 − a)am + ab0 + . . . + abl = (1 − a) ai + a bj = (1 − a) + a = 1.
i=0 j=0
Załóżmy teraz, że B ⊂ E jest zbiorem wypukłym zawierajacym A. Wykażemy
indukcyjnie, że dla dowolnego m ∈ N środek cieżkości dowolnego układu m + 1 punk-
tów ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B, z czego bedzie wynikała inkluzja
conv(A) ⊂ B.
Dla m = 0 stwierdzenie jest oczywiste, bo jedynym środkiem cieżkości układu
jednopunktowego (p0 ) jest 1p0 = p0 .
Przypuśćmy, że dla pewnego m 0 środek cieżkości dowolnego układu o co
najwyżej m + 1 punktach ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B. Niech

9. 9
p0 , . . . , pm , pm+1 ∈ A oraz a0 , . . . , am , am+1 0, a0 + . . . + am + am+1 = 1. Jedna z
wag aj = 1 (bo m + 2 = 1), wiec liczby
a0 aj am+1
,..., ,...,
1 − aj 1 − aj 1 − aj
tworza układ m + 1 nieujemnych wag. Z założenia indukcyjnego mamy, że
m+1
ai
pi ∈ B,
i=0,i=j
1 − aj
co wraz z wypukłościa zbioru B daje ostatecznie
m+1 m+1
ai
ai pi = aj pj + (1 − aj ) pi ∈ B
i=0 i=0,i=j
1 − aj
kończac indukcje.
Twierdzenie 32. Niech H bedzie hiperpłaszczyzna (kowymiaru 1) przestrzeni afi-
nicznej E. Zbiór EH można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy mnogościowej
zbiorów wypukłych W1 i W2 .
Ponadto zbiory W1 ∩ W2 = ∅ oraz zbiory W1 ∪ H i W2 ∪ H sa wypukłe.
Dowód: Niech p0 ∈ H oraz q ∈ E H. Ponieważ wektor − q nie należy do S(H)
p→0
oraz kowymiar H jest równy 1, wiec V = S(H) ⊕ lin(− q). Zatem każdy punkt p ∈ E
p→ 0
można jednoznacznie przedstawić w postaci
p = p0 + a − q + v,
p→
0
gdzie a ∈ R oraz v ∈ S(H).
Niech
W1 = {p0 + a− q + v; v ∈ S(H), a < 0},
p→
0 W2 = {p0 + a− q + v; v ∈ S(H), a > 0}.
p→
0
Oczywiście W1 ∩ W2 = ∅ i W1 ∪ W2 = E H, gdyż H = {p0 + v; v ∈ S(H)}.
Pokażemy, że W1 jest zbiorem wypukłym. Niech p, q ∈ W1 , czyli
p = p0 + a1 − q + v1 ,
p→
0 q = p0 + a2 − q + v2 ,
p→
0
gdzie v1 , v2 ∈ S(H) oraz a1 , a2 > 0.
Dla a ∈ [0, 1] otrzymujemy
p + a− =p0 + a1 − q + v1 + a ((a2 − a1 )− q + v2 − v1 )
→
pq p→
0 p→
0
− q + ((1 − a)v + av ) ,
→
=p0 + ((1 − a)a1 + aa2 ) p0 1 2
skad z uwagi na (1 − a)a1 + aa2 > 0 otrzymujemy, że p + a− ∈ W1 . To implikuje
→
pq
wypukłość zbioru W1 .
Analogicznie dowodzimy wypukłości zbiorów W2 , W1 ∪ H, W2 ∪ H.
Pokażemy teraz, że jeżeli U1 ∪ U2 = E H oraz zbiory U1 I U2 sa wypukłe, to
U1 = W1 i U2 = W2 lub U1 = W2 i U2 = W1 .
Przypuśćmy przeciwnie; istnieja wtedy punkty p1 ∈ W1 , p2 ∈ W2 należace do
jednego ze zbiorów Ui (np. U1 ). Mamy zatem, że
p = p + a −q + v ,
1 0 p→ 1 0 p = p + a −q + v ,
1 2 p→ 0 2 0 2
gdzie a1 < 0 i a2 > 0.

10. 10
Połóżmy a = a1a1 2 i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy p1 p2 ⊂
−a
U1 , a wiec p1 + a− → ∈ U1 ⊂ E H. Z drugiej strony
p− 2
1p
1p + a− → =p + a ((a − a )− q + v − v )
p−p
1 2 1 2 p→ 1 0 2 1
a1
=p1 − a1 − q +
p→
0 (v2 − v1 )
a1 − a2
a1 a2 a1
=p0 + v1 + (v2 − v1 ) = p0 − v1 + v2 ∈ H,
a1 − a2 a1 − a2 a1 − a2
sprzeczność.
Definicja 33. Dla hiperpłaszczyzny H przestrzeni afinicznej E każda z dwóch skła-
dowych wypukłych zbioru E H nazywamy półprzestrzenia otwarta, a sume półprze-
strzeni otwartej i wyznaczajacej ja hiperpłaszczyzny — półprzestrzenia. Pólprzestrzeń
wymiaru 1 (pochodzaca od hiperpłaszczyzny wymiaru 0 — punktu) nazywamy pół-
prosta, a półprzestrzeń wymiaru 2 (wyznaczona przez prosta) — półpłaszczyzna.
Uwaga 34. Półprosta wyznaczona przez punkt p i zawierajaca punkt q = p oznaczamy
przez pq → .
Jeżeli punkty p, q, r sa niewspółliniowe, to symbol pqr→ oznacza półpłaszczyzne
wyznaczona przez prosta pq i zawierajaca punkt q.
Analogicznie dla niewspółpłaszczyznowych punktów p, q, r, s symbolem pqrs→ ozna-
czamy półprzestrzeń trójwymiarowa wyznaczona przez płaszczyzne pqr i zawierajaca
punkt s.
Przykład 35. Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna H jest dana (na podstawie
uwagi 13) równaniem
a1 x1 + . . . an xn = b,
to każda z półprzestrzeni jest opisana jedna z nierówności
a1 x1 + . . . an xn b, a1 x1 + . . . an xn b,
a każda z nierówności
a1 x1 + . . . an xn < b, a1 x1 + . . . an xn > b
opisuje półprzestrzeń otwarta.