1. LÍMITES- ASÍNTOTAS
1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.
Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse una función. Son de 3 tipos: verticales,
horizontales y oblicuas.
• La recta ax = es asíntota vertical
de la función ( )xf si:
( ) ( )afxf
ax
=
→
lim
• La recta by = es asíntota
horizontal de la función ( )xf si:
( ) bxf
x
=
∞→
lim
• La recta nmxy += es A.O de la
func. ( )xf si:
( )
( )[ ]




∞≠=−
∞≠≠=
∞→
∞→
nnmxxf
mmm
x
xf
x
x
conlim
y0conlim
1

2. Ejemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )
1
2
−
=
x
x
xf
( ) { }1Dom101 −ℜ=⇒=⇒=− xfxx
verticalasíntotaes1
0
1
1
lim
0
1
1
lim
0
1
1
lim 2
1
2
1
2
1
=⇒






+∞==
−
−∞==
−
⇒∞==
−
+
→
−
→
→
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
horizontalasíntota
0
1
1
lim
lim
1
lim
1
lim
2
2
2
2
2
2
2
∃/⇒∞==
−
=
−
=
∞
∞
=
−
∞→
∞→
∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
( )
oblicuaasíntotaes1
1
1
lim
1
1
lim
1
lim
1
1
1
lim
lim
limlim1lim
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+=⇒









=



−
=





−
−⋅−
=∞−∞=





−
−
=
==
−
=
−
=
∞
∞
=
−
=−=
∞→∞→∞→
∞→
∞→
∞→∞→∞→
xy
x
x
x
xxx
x
x
x
n
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
m
xxx
x
x
xxx
Ejemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )
1
3 2
2
+
+=
x
x
xf
No hay asíntotas verticales pues la función está definida en todo ℜ
horizontalasíntotaes4413
1
lim3lim
1
3lim 2
2
2
2
=⇒=+=
+
+=





+
+
∞→∞→∞→
y
x
x
x
x
xxx
Ejemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )
25
5
2
−
+
=
x
x
xf
( ) { }5Dom50252
±−ℜ=⇒±=⇒=− xfxx
verticalasíntotaes5
0
10
25
5
lim 25
=⇒∞==
−
+
→
x
x
x
x
( )( ) 10
1
5
1
lim
55
5
lim
0
0
25
5
lim
5525
−=
−
=
−+
+
==
−
+
−→−→−→ xxx
x
x
x
xxx
2

3. horizontalasíntotaes00
1
0
25
lim
5
lim
25
5
lim
25
5
lim
2
2
2
2
2
2
2
=⇒==
−
+
=
−
+
=
∞
∞
=
−
+
∞→
∞→
∞→∞→
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
Ejemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )
1
22
+
+
=
x
xx
xf
( ) { }1Dom101 −−ℜ=⇒−=⇒=+ xfxx
verticalasíntotaes1
0
1
1
2
lim
0
1
1
2
lim
0
1
1
2
lim 2
1
2
1
2
1
−=⇒






−∞=
−
=
+
+
+∞=
−
=
+
+
⇒−∞=
−
=
+
+
+
−→
−
−→
−→
+
−
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
horizontalasíntota
0
1
1
lim
2
lim
1
2
lim
1
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
∃/⇒∞==
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
∞→
∞→
∞→∞→
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
( )
oblicuaasíntotaes1
1
1
lim
1
12
lim
1
2
lim
1
1
1
lim
2
lim
2
lim
2
lim1
2
lim
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+=⇒









=





+
=





+
+⋅−+
=∞−∞=





−
+
+
=
==
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
=+
+
=
∞→∞→∞→
∞→
∞→
∞→∞→∞→
xy
x
x
x
xxxx
x
x
xx
n
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
m
xxx
x
x
xxx
Ejemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )
1
2
2
2
+
+
=
x
xx
xf
No hay asíntotas verticales pues la función está definida en todo ℜ
horizontalasíntota11
1
1
1
lim
2
lim
1
2
lim
1
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=⇒==
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
∞→
∞→
∞→∞→
y
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
3

4. oblicuaasíntotaes0
1
0
lim
2
lim
2
lim
2
lim1
2
lim
3
3
3
2
3
3
3
2
3
22
2
∃/⇒==
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
=+
+
=
∞→
∞→
∞→∞→∞→
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
m
x
x
xxx
2. LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.
2.1 Cuando ax →
• Caso 1: si ( ) ( )xQgrxPgr <
( )
( )
0lim =
±∞→ xQ
xP
x
• Caso 2: si ( ) ( )xQgrxPgr =
( )
( ) n
n
x b
a
xQ
xP
=
±∞→
lim siendo na y nb los coeficientes
principales de P y Q respectivamente.
• Caso 3: si ( ) ( )xQgrxPgr >
( )
( )
±∞=
±∞→ xQ
xP
x
lim
4