1. 72 2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
9. Μια κατασκευαστική εταιρεία διαθέτει δυο μηχανήματα Α και Β. Το μηχά-
νημα Β χρειάζεται 12 ώρες περισσότερο από ότι το μηχάνημα Α για να τε-
λειώσει ένα συγκεκριμένο έργο. Ο χρόνος που απαιτείται για να τελειώσει
το έργο, αν χρησιμοποιηθούν και τα δυο μηχανήματα μαζί είναι 8 ώρες. Να
βρείτε το χρόνο που θα χρειαζόταν το κάθε μηχάνημα για να τελειώσει το
έργο αυτό αν εργαζόταν μόνο του.
10. Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης x 4  10 x 2  α  0 είναι ο αριθμός 1.
Να βρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α,
αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α,
β και γ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ .
1. Η εξίσωση (α  1) x  α (α  1) έχει μοναδική λύση την x  α . Α Ψ
(για α=1 είναι 0x = 0 δηλ. ταυτότητα)
2. H εξίσωση  x  1 x  2   0 είναι αδύνατη. Α Ψ
(αφού οι εξισώσεις |x|=-1 και |x|=-2 είναι αδύνατες )
3. H εξίσωση  x  1 x  2   0 έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ
(4 ρίζες τις -1, 1, -2, 2 )
4. H εξίσωση  x  1 x  2   0 έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ
(τις x=1 και x=-1 αφού η εξίσωση |x|=-2 είναι αδύνατη)
5. Η εξίσωση x  x  2 έχει μοναδική λύση. (είναι αδύνατη) Α Ψ
6. Η εξίσωση x  2  x έχει μοναδική λύση. (την x=1) Α Ψ
7. Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης αx 2  βx  γ  0 είναι Α Ψ
ετερόσημοι, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. (αγ<0 οπότε -4αγ>0 άρα Δ>0)
8. Αν δύο εξισώσεις 2ου βαθμού έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε οι
συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x των εξισώσεων αυ- Α Ψ
τών είναι ίσοι.
2 2
(x -5x+6=0 και 2x -10x+12=0 έχουν ίδιες ρίζες τις 2 και 3 )
9. Η εξίσωση αx 2  2 x  α  0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και Α Ψ
άνισες.
2
(Δ=4+4α >0 για κάθε πραγματικό αριθμό α)
ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ

2. 2.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 73
10. Η εξίσωση x 2  4αx  4α 2  0 , με α  0 , έχει δύο ρίζες Α Ψ
πραγματικές και άνισες. (Δ=0 άρα έχει μια ρίζα διπλή)
11. Η εξίσωση α 2 x 2  2αx  2  0 , με α  0 , δεν έχει πραγματι- Α Ψ
κές ρίζες. 2
(Δ=-4α <0 αφού α ≠0 και δεν έχει πραγματικές ρίζες)
12. Η εξίσωση 2 x 2  3αx  α 2  0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. Α Ψ
2
(Δ=α ≥ 0 άρα έχει ή μια ρίζα διπλή ή δύο άνισες)
13.  1
Η εξίσωση x 2   α   x  1  0 , με α  0, 1 έχει δύο άνισες
 α Α Ψ
και αντίστροφες πραγματικές ρίζες. (Για α=-1 έχει διπλή ρίζα το x=-1)
x 2  3x  2
14. Οι εξισώσεις  0 και x 2  3 x  2  0 έχουν τις Α Ψ
x 1
ίδιες λύσεις. (Το 1 ρίζα μόνο της δεύτερης εξίσωσης)
15. 2 x 2  3x  1
Οι εξισώσεις  5 και (2 x 2  3 x  1)  5( x 2  1) Α Ψ
x2  1
έχουν τις ίδιες λύσεις. (Το -1 ρίζα μόνο της δεύτερης εξίσωσης)
16. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που να έχουν άθροι-
Α Ψ
σμα S  10 και γινόμενο P  16 .
-2-8=-10 και (-2)(-8)=16 άρα x=-2 και y=-8
17. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που να έχουν άθροι-
Α Ψ
σμα S  10 και γινόμενο P  25 .
5+5=10 και 5∙5=25 άρα x=y=5
18. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που να έχουν άθροι-
5 Α Ψ
σμα S  2 και γινόμενο P  2 .
2
( η εξίσωση x -2x+2=0 έχει Δ=-4<0 άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες)
II. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς:
1. Η εξίσωση (2 x  1)( x  2)  (3  2 x)( x  2) γράφεται ισοδύναμα:
(2 x  1)( x  2)  (3  2 x)( x  2)  2 x  1  3  2 x  4 x  4  x  1 .
Όμως και ο αριθμός x  2 επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.
Δεν απλοποιούμε μεταβλητή. Με την απλοποίηση του x+2 "χάθηκε" η λύση x= -2
2. Η εξίσωση 2 x  1  x  2 γράφεται ισοδύναμα:
2 x  1  x  2  2 x  1  x  2 ή 2 x  1  2  x  x  1 ή x  1 .
Όμως καμία από τις τιμές αυτές του x δεν επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.
Το πρώτο μέλος σαν απόλυτο είναι μη αρνητικός αριθμός οπότε πρέπει
x-2≥0 !Ôx≥2 άρα & το -1 & το 1 απορρίπτονται
ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ