5. 183
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. จงแสดงอาณาบริเวณซึ่งถูกกําหนดดวยระบบอสมการตอไปนี้
(1) x + 3y ≤ 15 (2) 2x + 3y ≥ 6
4x + y ≤ 16 3x – 2y ≤ 9
x ≥ 0 x + 5y ≤ 20
y ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
2. จงเขียนระบบอสมการซึ่งมีกราฟดังที่กําหนดใหตอไปนี้
(1)
(2)
3. จงหาคาต่ําสุด และสูงสุดของ M ที่สอดคลองตามอสมการขอจํากัดที่กําหนดใหตอไปนี้
(1) M = x + 2y (2) M = 2x + y
3x + 2y ≥ 12 x + 2y ≤ 48
x + 3y ≥ 11 x + y ≤ 30
x ≥ 0 2x + y ≤ 50
y ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
Y
X
(10, 38)
x + 5y = 200
2x + 3y = 134
(0, 40)
(67, 0)
O
x + 2y = 193x + 2y = 29
(19, 0)
(5, 7)
29
(0, )
2
Y
XO
6. 184
4. โรงงานไอศกรีมผลิตไอศกรีมสามรส ไดแก รสสตรอเบอรี่ รสช็อกโกแลต และรสวานิลา
โดยผลิตไดวันละ 200 ถัง ไอศกรีมรสสตรอเบอรี่ กําไรถังละ50บาท ไอศกรีมรสช็อกโกแลต
กําไรถังละ 40 บาท และไอศกรีมรสวานิลา กําไรถังละ 30 บาท ตามปกติความตองการของ
ตลาดในแตละวัน ไอศกรีมรสวานิลาขายไดไมเกิน 60 ถัง และไอศกรีมรสช็อกโกแลตขายได
มากกวาไอศกรีมรสสตรอเบอรี่เสมอ แตโรงงานก็ผลิตไอศกรีมช็อกโกแลตไดเต็มที่วันละ
ไมเกิน 80 ถัง
(1) ถาโรงงานผลิตไอศกรีมรสสตรอเบอรี่และไอศกรีมรสช็อกโกแลตวันละ x และ y ถัง
ตามลําดับ จงเขียนอสมการขอจํากัด
(2) ถาโรงงานตองการกําไรสูงสุด จงเขียนฟงกชันจุดประสงค และหากําไรสูงสุด
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. (1) (2)
2. (1) x + 5y ≤ 200 (2) x + 2y ≥ 19
2x + 3y ≤ 134 3x + 2y ≥ 29
x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0 y ≥ 0
3. (1) กราฟของอสมการขอจํากัดคือ
Y
X
(0, 6)
3x + 2y = 12
(2, 3)
O
x + 3y = 11
(11, 0)
Y
(0, 5)
(3, 4)
(4, 0)
O
x + 3y = 15
4x + y = 16
X
(0, 4)
(5, 3)
(3, 0)
O
3x – 2y = 9x + 5y = 20
Y
X
2x + 3y = 6
(0, 2)
7. 185
จากกราฟจะเห็นวา ไมสามารถหาคาสูงสุดของฟงกชันจุดประสงคที่สอดคลองกับ
อสมการขอจํากัดได คาต่ําสุดของฟงกชันจุดประสงคหาไดจากการพิจารณาจุดมุม (0, 6),
(2, 3) และ (11, 0) เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา 8
เปนคาต่ําสุดของ M ดังนี้
(x, y) M = x + 2y
(0, 6)
(2, 3)
(11, 0)
12
8
11
(2) กราฟของอสมการขอจํากัดคือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขางตนคือ (0, 0), (0, 24), (12, 18 ), (20, 10) และ (25, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา M ดังนี้
(x, y) M = 2x + y
(0, 0)
(0, 24)
(12, 18)
(20, 10)
(25, 0)
0
24
42
50
50
คาต่ําสุดของ M คือ 0 เมื่อ x = 0 และ y = 0
ทุกจุด (x, y) บนเสนตรง 2x + y = 50 เมื่อ x ∈ (20, 25) ใหคาสูงสุดของ M เทากับ 50
Y
X
x + 2y = 48
(12, 18)
2x + y = 50
(0, 24)
(20, 10)
O
(25, 0)
x + y = 30
8. 186
4. (1) อสมการขอจํากัด คือ
200 – x – y ≤ 60 (ไอศกรีมรสวานิลาขายไดไมเกิน 60 ถัง )
y ≥ x (ไอศกรีมรสช็อกโกแลตขายไดมากกวารสสตรอเบอรี่)
y ≤ 80 (ผลิตไอศกรีมช็อกโกแลตไดไมเกิน 80 ถังตอวัน)
(2) ฟงกชันจุดประสงค คือ P = 50x + 40y + 30(200 – x – y ) = 6000 + 20x + 10y
กราฟของอสมการขอจํากัดคือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขางตนคือ (60, 80), (70, 70) และ (80, 80)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) P = 6000 + 20x + 10y
(60, 80)
(70, 70)
(80, 80)
8000
8100
8400
จุดมุม (80, 80 ) ใหคา P สูงสุด
ดังนั้น โรงงานควรผลิตไอศกรีมรสสตรอเบอรี่ 80 ถัง ไอศกรีมรสช็อกโกแลต 80 ถัง
และไอศกรีมรสวานิลา 200 – 80 – 80 = 40 ถัง ซึ่งจะไดกําไรวันละ 8400 บาท
(60, 80) (80, 80)
(70, 70)
140
120
100
80
60
40
20
20 40 60 80 100 120 140O
Y
X
x = y
y = 80
200 – x – y = 60
หรือ y = –x + 140
9. 187
เฉลยแบบฝกหัด 3.1
1. (1, 1) อยูในกราฟของอสมการ 2x + y > 2
(–1, 3), 1 1
( , )
4 2
อยูในกราฟของอสมการ 2x + y < 2
(2, –2) อยูบนเสนตรงซึ่งเปนกราฟของ 2x + y = 2
2. (1) x < 2 (2) y > 3
(3) y ≤ 3 (4) x ≥ –1
(5) 2x + 2y < 4 (6) y + 2x > 2
(7) 3y – x ≤ 6 (8) x ≤ 2y – 2
X
Y
x = 2
X
Y
y = 3
O O
X
Y
y = 3
O X
Yx = –1
O
X
Y
(0, 2)
O
(2, 0) X
Y
(1, 0)O
(0, 2)
X
Y
(–6, 0)
O
(0, 2)
X
Y
O
(–2, 0) (0, 1)
10. 188
เฉลยแบบฝกหัด 3.2
1. (1) (2)
(3) (4)
(5) (6) ไมมีบริเวณที่ซอนทับกันของ
อสมการ 0 ≤ x ≤ 2 และ
y ≥ 0 และ 2x – 3y ≥ 12
2. (1) 2x + y ≤ 4 (2) x – y ≥ 1
x ≥ 0 x + 2y ≤ 6
y ≥ 0 y ≥ 0
(3) 2x + y ≤ 10 (4) 4x + y ≤ 16
4x – y ≤ 8 x + 3y ≤ 15
x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
(5) 3x + 2y ≥ 12 (6) 3x + y ≥ 180
x + 3y ≥ 11 x + y ≥ 100
x ≥ 0 2x + 5y ≥ 260
y ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
X
Y
x = 1
O
x = –1
X
Y
O
y = 2
X
Y
O
x = y
(0, 1)
3 3
( , )
4 4
(3, 0)
x + 3y = 3
X
Y
O
y – 2x = 2
(0, 2)
(–1, 0)
X
Y
O
(0, 1)
(1, 0)
y = –2
x + y = 1