1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
บทนา
เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
สื่อการสอน เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
- การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
- ทบทวนการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การหาค่าสุดขีด
- การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
4. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
5. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่าน
สามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับ
นี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
หมวด บทนา
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
ตระหนักถึงความสาคัญและประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของกาหนดการเชิงเส้น
วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาสื่อบทนา: เพื่อให้ผู้เรียนเกิดแรงบันดาลใจในการเรียน
ได้เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา
เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ
ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ
ไม่ควรนาเนื้อหาในสื่อบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้
การใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม
ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง โลกกาลังวุ่นวายและคละคลุ้งไปด้วยฝุ่นควันแห่งภัยสงคราม ความหายนะ
และความยากลาบากเกิดขึ้นทั่วทุกหย่อมหญ้า สาเหตุก็มาจากการขับเคี่ยวอย่างเข้มข้นของมหาอานาจทั้งสองฝ่าย
ความได้เปรียบในด้านต่างๆ ทั้งสรรพกาลัง อาวุธยุทโธปกรณ์ เสบียงกรัง เป็นสิ่งที่โหยหาของผู้ที่ต้องการเป็นฝ่าย
กาชัย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ยุทธวิธีในการจัดสรรสิ่งเหล่านี้ให้ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเกิดประสิทธิผลมากที่สุด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงที่กลิ่นอายของสงครามเพิ่งจะเริ่มครุกรุ่น ลีโอนิด แคนโตโรวิช (Leonid Kantorovich, ค.ศ. 1912 –
1986) นักคณิตศาสตร์หนุ่มชาวรัสเซียวัย 27 ปี เริ่มที่จะสนใจศึกษาและวางรากฐานเกี่ยวกับปัญหา กาหนดการเชิง
เส้น ซึ่งเป็นสร้างแบบจาลองเชิงเส้นเพื่อใช้หาค่าที่เหมาะสมที่สุด ภายใต้เงื่อนไขข้อจากัดบางประการ
งานทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ทั้งงานที่เป็นที่รู้จักกันในวงกว้างหรือเฉพาะกลุ่ม กว่าที่โลกจะได้เห็นว่างาน
เหล่านั้นสามารถนาไปประยุกต์ใช้ได้จริง ก็ต่อเมื่อเวลาได้ผ่านล่วงไปแล้วนานแสนนาน และหลายต่อหลายครั้ง
เจ้าของผลงานต้องดับสูญไปเสียก่อนที่จะได้ชื่นชมรมเยศกับความสาเร็จที่น่าอิ่มเอมนี้
แต่เหตุการณ์เช่นนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับงานของแคนโตโลวิช ไฟสงครามได้ขับแสงส่องให้เห็นค่าของ
กาหนดการเชิงเส้น ความจาเป็นในการลาเลียงทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจากัดให้เกิดประโยชน์สูงสุด การลดค่าใช้จ่าย
ในกองทัพให้มากที่สุดแต่ยังคงมีประสิทธิภาพไม่น้อยลงกว่าเดิม รวมถึงการปฏิบัติการทางการทหารที่ประหยัด แต่
ให้ผลการทาลายล้างศัตรูสูงสุด เป็นแรงผลักดันสาคัญที่ทาให้ งานด้านกาหนดการเชิงเส้น ได้รับการพัฒนาและถูก
นามาใช้
ในตอนนั้น โลกก็ยังมิได้รู้จักกับศาสตร์ใหม่สาขานี้ เพราะองค์ความรู้ด้านกาหนดการเชิงเส้น ถือว่าเป็น
ความลับทางการทหาร จวบจนสงครามสิ้นไปแล้วถึง 2 ปี จอร์จ ดานต์ซิก (George Dantzig, ค.ศ. 1914 - 2005) ได้
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับปัญหากาหนดการเชิงเส้น โดยนาเสนอวิธีการแก้ปัญหาที่เรียกว่า วิธีซิมเพล็กซ์ หลังจากนั้น
ความลับเกี่ยวกับกาหนดการเชิงเส้นในการสงครามก็ได้รับการเปิดเผยต่อสาธารณชน
หัวใจสาคัญของกาหนดการเชิงเส้นอยู่ที่การเสาะแสวงหาค่าที่เหมาะสมที่สุด ภายใต้ทรัพยากรและเงื่อนไข
อันจากัด เพื่อการบริหารจัดการที่มีประสิทธิภาพ เมื่อมองในมุมนี้ กาหนดการเชิงเส้น มีเค้าลางมาก่อนแล้วตั้งแต่
ราวต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ในยุคของ ฟูรีแยร์ (John Baptiste Joseph de Fourier, ค.ศ.1768 - 1830) เกาส์ (Carl
Friedrich Gauss, ค.ศ.1777 - 1855) และโคชี (Augustin Louis Cauchy, ค.ศ. 1789 - 1857) ซึ่งมีแนวคิด ของการ
คัดกรองและกาจัดสิ่งที่ไม่ใช่คาตอบที่ต้องการจานวนมหาศาลให้ออกไป จนเหลือทิ้งไว้แต่เพียงสิ่งที่น่าจะเป็น
คาตอบในปริมาณที่สามารถจัดการได้
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พัฒนาการของแนวคิดนี้ได้สืบเนื่องต่อมาถึง แคนโตโรวิช และดานต์ซิก แต่การเติบโตของศาสตร์แขนงนี้
ก็ยังมิได้หยุดอยู่แค่นั้น หากแต่ได้รับการสานต่อจากนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อมาทั้ง จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John von
Neumann, ค.ศ. 1903 - 1957) ผู้นาเสนอวิธีภาวะคู่กัน เพื่อใช้แก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น และ นาเรนดรา คามาคา
(Narendra Karmarkar, ค.ศ. 1957 ถึงปัจจุบัน) ผู้ทาให้ทฤษฎีทางกาหนดการเชิงเส้นรัดกุมและสามารถนาไปใช้ได้
ในวงกว้าง
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในปัจจุบันกาหนดการเชิงเส้น ถือว่าเป็นหนึ่งในศาสตร์เกี่ยวกับการวิจัยดาเนินการ (Operations Research)
ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ เกี่ยวกับการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด (Optimization) และประจวบกับใน
ช่วงเวลานั้น พัฒนาการขององค์ความรู้ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์เป็นไปอย่างก้าวกระโดด ความเจริญของประดิษฐ
กรรมพลิกโลกนี้ นับว่าเป็นส่วนสาคัญยิ่งในการสนับสนุนให้การทางานด้านกาหนดการเชิงเส้นเป็นไปอย่างรวดเร็ว
มีประสิทธิภาพ และสามารถแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้มากขึ้น ยังผลให้กาหนดการเชิงเส้นสามารถนาไปใช้งานได้จริง
ในกลุ่มงานที่หลากหลาย อาทิ วงการอุตสาหกรรม การเงินการธนาคาร เศรษฐศาสตร์ การตลาด วิศวกรรม เป็นต้น
การวิจัยดาเนินการ (Operations Research) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ ที่ใช้เพื่อช่วยในการ
ตัดสินใจ แก้ไขข้อขัดข้องเกี่ยวกับการปฏิบัติงานและหาแนวปฏิบัติเพื่อให้ผลดีที่สุด โดยสามารถใช้ได้
ทั้งในวงการธุรกิจ อุตสาหกรรม และวงการอื่นๆ
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากประกายความคิดของหนุ่มน้อย แคนโตโลวิช ภายหลังต่อมาอีกถึง 36 ปี ผ่านช่วงความยากลาบากของสงคราม
ผ่านการฟื้นฟูเยียวยารักษาทั้งสภาพกายและจิตใจ ผ่านการพัฒนาสานต่อจากรุ่นสู่รุ่น จนสามารถนานาไปใช้ในวง
กว้างได้อย่างมีประสิทธิภาพจนที่ประจักษ์
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในปี ค.ศ. 1975 คณะกรรมการมูลนิธิรางวัลโนเบล จึงมีมติมอบรางวัลอันทรงเกียรติ สาขาเศรษฐศาสตร์
ให้กับ แคนโตโลวิช และ จาลลิง คูปแมน (Tjalling Koopmans, ค.ศ. 1910 - 1985) ในผลงานด้านการจัดการ
ทรัพยากรซึ่งอาศัยเทคนิควิธีทางกาหนดการเชิงเส้น
รางวัลโนเบล ก่อตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1895 โดย อัลเฟรด โนเบล (Alfred Nobel, ค.ศ. 1833 -1896) นักเคมี
ชาวสวีเดน โดยพิจารณามอบเหรียญรางวัล ใบประกาศเกียรติคุณ และเงินรางวัลราว 44 ล้านบาท
ให้กับผลงานวิจัยหรือสิ่งประดิษฐ์ที่สร้างคุณประโยชน์ให้กับมนุษยชาติ ใน 5 สาขาวิชา ได้แก่ สาขา
เคมี สาขาการแพทย์ สาขาวรรณกรรม สาขาสันติภาพ และสาขาฟิสิกส์ โดยภายหลังธนาคารกลางของ
ประเทศสวีเดน(Sveriges Riksbank) ได้ตั้งรางวัลเพิ่มในสาขาเศรษฐศาสตร์ เพื่อเป็นที่ระลึกให้กับ
อัลเฟรด โนเบล สังเกตได้ว่าไม่มีรางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์ แต่ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์หลาย
ท่านก็เคยได้รับรางวัลโนเบลหากแต่เป็นในสาขาอื่น ทั้งที่เกี่ยวข้องกับการนางานทางคณิตศาสตร์ไป
ประยุกต์ใช้ หรือที่ไม่เกี่ยวข้อง เช่น แคนโตโลวิช ร่วมกับ จาลลิง คูปแมน ได้รับรางวัลในสาขา
เศรษฐศาสตร์ จากผลงานเกี่ยวกับการจัดสรรทรัพยากรให้เกิดประโยชน์สูงสุด จอห์น ฟอบส์ แนช
จูเนียร์ (John Forbes Nash, Jr., ค.ศ. 1928 ถึงปัจจุบัน) ร่วมกับไรน์ฮาร์ด เซลเทน (Reinhard Selten,
ค.ศ. 1930 ถึงปัจจุบัน) และจอห์น ฮาร์ซานยี (John Harsanyi, ค.ศ. 1920 - 2000) ได้รับรางวัลในสาขา
เศรษฐศาสตร์ จากผลงานเกี่ยวกับทฤษฎีเกม เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell, ค.ศ. 1872 -
1970) ได้รับรางวัลในสาขาวรรณกรรม
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รางวัลด้านคณิตสาสตร์ แม้ว่ารางวัลโนเบลจะไม่มีการพิจารณามอบในสาขาคณิตศาสตร์ แต่สาหรับ
ในวงการคณิตศาสตร์ยังมีรางวัลทรงเกียรติระดับโลกที่มีศักดิ์เทียบเท่ากับรางวัลโนเบล คือ เหรียญ
รางวัลฟิลด์ (Fields Medal) ก่อตั้งโดย จอห์น ชาร์ลส์ ฟิลด์ส (John Charles Fields, 1863 - 1932) รางวัล
นีจะพิจารณามอบรางวัลทุกๆ 4 ปี ให้กับนักวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่มีอายุต่ากว่า 40 ปี โดยเริ่มมอบครั้ง
้
แรกใน ค.ศ. 1936 นอกจากนี้ยังมีรางวัลด้านคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่จัดขึ้นโดยรัฐบาลหรือองค์กรของ
ประเทศต่างๆ เช่น รางวัลอาเบล (Abel Prize) รางวัลชอร์ (Shaw Prize) รางวัลมิลเลนเนียม
(Millennium Prize) รางวัลนานาชาติกษัตริย์ไฟซัล (King Faisal International Prize) รางวัลวูล์ฟ (Wolf
Prize)
สงครามเป็นของเลว หากแต่ผลพวงของสงคราม ที่ถูกนามาใช้อย่างถูกต้อง กลับก่อให้เกิดประโยชน์ต่อ
มนุษยชาติอย่างมหาศาล ดังเช่น กาหนดการเชิงเส้น
เราตระหนักได้แล้วว่า ทรัพยากรที่สาคัญที่สุดก็คือ มนุษย์ และการจัดการที่สาคัญที่สุด ก็คือการจัดการทาง
ความคิดของทรัพยากรที่สาคัญที่สุดอย่างถูกต้อง เพราะนั่นย่อมจะทาให้เราได้มาซึ่งสิ่งที่เหมาะสมสูงที่สุด สาหรับ
หมู่มวลทรัพยากรที่สาคัญที่สุดเหล่านั้น
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์
เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กาหนดการเชิงเส้น
ทบทวนการวาดกราฟของสมการ อสมการ
การวาดกราฟของระบบอสมการ
การสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
ฟังก์ชันจุดประสงค์
อสมการข้อจากัด
การแก้ปัญหาค่าสุดขีดโดยใช้กาหนดการเชิงเส้น
การปรับปรุงคาตอบให้สอดคล้องกับโลกจริง
คาตอบเป็นจานวนจริง
คาตอบเป็นจานวนเต็ม
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
16