1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
บทนา
เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
สื่อการสอน เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
- ขั้นตอนวิธีการหาร
- การหารลงตัว
- จานวนเฉพาะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
- ตัวหารร่วมมาก
- ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
- จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
- ตัวคูณร่วมน้อย
4. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
5. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
6. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีจานวน
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนัก เรีย นทุ ก โรงเรีย นที่ ใ ช้ สื่ อชุ ดนี้ ร่วมกั บ การเรีย นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎี จานวน
เบื้องต้น นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไป
แล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
หมวด บทนา
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
ตระหนักถึงความสาคัญและประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาสื่อบทนา: เพื่อให้ผู้เรียนเกิดแรงบันดาลใจในการเรียน
ได้เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา
เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ
ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ
ไม่ควรนาเนื้อหาในสื่อบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้
การใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม
“คณิตศาสตร์ เปรียบดั่งราชินีแห่งวิทยาศาสตร์
แลทฤษฎีจานวน ก็ประดุจเสมอด้วยราชินีแห่งคณิตศาสตร์”
คาร์ล ฟรีดริซ เกาส์
เจ้าชายแห่งวงการคณิตศาสตร์
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
มนุษย์รู้จักนาจานวนมาใช้งานตั้งแต่เมื่อครั้งบุราณกาล ตั้งแต่สมัยที่ยังดารงชีพด้วยการไล่ล่าหาเก็บ
การรับรู้เชิงจานวนในเบื้องต้น เช่น การเปรียบเทียบความเท่า ความไม่เท่า ความมาก ความน้อย เป็นสิ่งที่
เกิดขึ้นได้โดยสานึกของมนุษย์และน่าจะรวมถึงสัตว์ชั้นสูงบางประเภท ต่อมาเมื่อมนุษย์มีความเป็นอารยะ
ขึ้น พัฒนาการด้านจานวนก็ยิ่งรุดหน้าขึ้นนั่นก็เป็นเพราะความจาเป็นในการใช้งานเพื่อรังสรรค์สานต่อ
ความเป็นอารยะนั้นเอง
เป็นเรื่องธรรมดาที่เชื่อได้ว่าเพราะความจาเป็นที่ต้องใช้การนับ เพื่อช่วยบันทึกจดจาข้อมูลต่างๆ
ในชีวิตประจาวันของมนุษย์ เป็นเหตุให้จานวนชุดแรกที่ถูกมนุษย์ค้นพบและนามาใช้งาน จึงเป็นจานวน
นับ หรือเรียกในอีกชื่อว่า จานวนธรรมชาติ ตามเหตุแห่งการบังเกิด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาจึงเกิดการพัฒนาแตกขยายจานวนชุดต่างๆ ออกไปตามยุคตามสมัยและตามความจาเป็น การ
สร้างสรรค์ความรู้ใหม่ การต่อยอดประสานความรู้เก่า การแลกเปลี่ยนเรียนรู้ทั้งโดยที่ตั้งใจหรือด้วยความ
บังเอิญ การติดต่อสื่อสารทั้งฉันท์กัลยาณมิตรหรืออริราชศัตรู สิ่งเหล่านี้ล้วนแต่เป็นเหตุปัจจัยให้มนุษย์มี
จานวนที่หลากหลายอย่างเพื่อรองรับการใช้งานอย่างในปัจจุบัน
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพราะด้วยความบริบูรณ์ของการเป็นจานวนที่เต็มหน่วยเป็นสิ่งซึ่งมีเสน่ห์ งดงาม ชวนค้นหา เหล่า
จึงน่าจะเป็นเหตุให้หลังจากที่มนุษย์ก้าวข้ามพ้นจากการใช้งานจานวนในการดารงชีพขั้นพื้นฐาน มาสู่การ
เรียนรู้เพื่อพัฒนาสติปัญญา มนุษย์จึงเลือกที่จะศึกษาทฤษฎีจานวนในฐานะทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เป็น
สาขาแรกๆ ซึ่งนอกจากจะสามารถพัฒนาปัญญาความคิดและนาไปประยุกต์ใช้งานได้จริงแล้ว ยัง
ตอบสนองต่อความเชื่อ หลักปรัชญา โหราศาสตร์ หรือแม้แต่พิธีกรรมศักดิ์สิทธิ์ ดังเช่นที่พีทาโกรัสแห่ง
ซามอส นักทฤษฎีจานวนยุคแรก เชื่อและสั่งสอนสานุศิษย์ ว่า
“ทุกสรรพสิ่งล้วนแทนได้ด้วย จานวน”
ทุกสรรพสิ่งล้วนแทนด้วยจานวน หรือ ALL is number เป็นคากล่าวของพีทาโกรัส ปราชญ์ชาวกรีก
ผู้ก่อตั้งสานักพีทาโกเรียน ซึ่งเป็นสถาบันที่ศึกษาเกี่ยวกับปรัชญา ทฤษฎีจานวน เรขาคณิต ดนตรี และ
ดาราศาสตร์ สานักพีทาโกเรียน มีอิทธิพลมากทั้งในด้านการเมืองและด้านการแสวงหาความรู้ใหม่ โดย
ถือว่าผลงานของสมาชิก เป็นผลงานของสานัก ตัวอย่างผลงานของสานักพีทาโกเรียน เช่น ทฤษฎีบท
พีทาโกรัส การค้นพบจานวนอตรรยะ สมบัติของจานวนบางประเภท จานวนเชิงรูปภาพ เป็นต้น ทั้งนี้
ในคากล่าวข้างต้น คาว่า จานวน หมายถึง จานวนตรรกยะบวกและศูนย์เท่านั้น
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพราะความง่ายในการเข้าถึงปัญหาและความงดงามของการแก้ปัญหา ที่มิได้จากัดว่าต้องใช้เพียง
ศาสตร์ชั้นสูง จึงทาให้การสานต่องานของศาสตร์สาขานี้เป็นไปอย่างต่อเนื่อง คึกคัก และเกิดขึ้นทั่วทุกมุม
โลก ในห้วงแห่งพัฒนาการที่นับเนื่องนานเนานั้น เพชรน้างามเม็ดหนึ่งที่ขับแสงจรัสจรุงด้วยผลงานอัน
ทรงค่า และยังทรงอิทธิพลทางปัญหาความคิดต่อโลกยุคหลังยาวนานกว่าสองพันปี มหามณีเม็ดนั้นก็คือ
มหาบุรุษที่ชื่อ ยุคลิด แห่งเกาะใหญ่เหนือแดนไอยคุปต์ ซึ่งขนานนามตามพระนามของพระเจ้า
อเล็กซานเดอร์ มหาราชผู้เกรียงไกร
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในผลงานชุด the elements จานวน 13 เล่ม ยุคลิดได้รวบรวม ประมวลมีซึ่งองค์ความรู้ด้านทฤษฎี
จานวนในยุคนั้น รวมทั้งผลงานที่ได้คิดขึ้นเอง โดยนามาเรียบเรียงและจดจารจารึกเป็นตาราไว้ถึง 3 เล่ม
เนื้อหาที่กล่าวถึง จานวนเต็มคี่ จานวนเต็มคู่ จานวนเฉพาะ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด ตัวหารร่วมมาก ตัว
คูณร่วมน้อย ในตารา 3 เล่มนั้น ยังคงเป็นทฤษฎีบทสาคัญที่จาเป็นต้องเรียนรู้ และนาไปใช้ในงาน
คณิตศาสตร์ในปัจจุบัน
หลังจากยุคของยุคลิด ด้วยเหตุปัจจัยที่แตกต่างกันไปในแต่ละยุคสมัย ทาให้ทฤษฎีจานวน พัฒนา
ไปได้อย่างเร็วบ้าง ช้าบ้าง แต่ก็ยังเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องควบคู่ไปกับพัฒนาการของคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ
ความต่อเนื่องนี้เกิดขึ้นได้ก็เพราะการสานงานต่อยอดองค์ความรู้ของนักทฤษฎีจานวนหลากหลายท่าน
the elements จานวน 3 เล่ม ที่มีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับทฤษฎีจานวน คือ the elements เล่มที่ 7 8 และ 9
โดย the elements เล่ม 7 มีเนื้อหากล่าวถึง จานวนคู่ จานวนคี่ จานวนเฉพาะ จานวนประกอบ จานวน
สมบูรณ์ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด the elements เล่ม 8 มีเนื้อหากล่าวถึง สัดส่วนต่อเนื่อง และ
ความสัมพันธ์ของสัดส่วนต่อเนื่องกับเรขาคณิต และ the elements เล่ม 9 มีเนื้อหากล่าวถึง ทฤษฎีบทที่
พิสูจน์ว่าจานวนเฉพาะมีเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่โดดเด่นในอับดับต้นๆ the elements
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อาทิ เอราโทสเทนีสแห่งไซรีน (Eratosthenes of Cyrene 276 – 194 ปี ก่อนคริสตกาล) ปราชญ์
บรรณารักษ์แห่งห้องสมุดอะเล็กซานเดรีย ผู้รังสรรค์ตระแกรงร่อนเพื่อคัดกรองจานวนเฉพาะ
ไดโอแฟนทัส แห่งอะเล็กซานเดรีย (Diophantus of Alexandria ประมาณ ค.ศ. 200 – 284) ผู้ซึ่ง
เราทราบอายุขัยที่แน่ชัดเมื่อแก้สมการตามบันทึกปริศนาคณิตศาสตร์โบราณ และเป็นผู้ให้กาเนิดสมการ
ไดโอแฟนไทน์ สมการที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม และต้องการหาผลเฉลยที่
เป็นจานวนเต็ม
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บันทึกปริศนาคณิตศาสตร์โบราณ เกี่ยวกับอายุขัยของไดโอแฟนทัส ถอดความได้ว่า ไดโอแฟนทัสมี
ชีวิตช่วงวัยเด็กเป็นหนึ่งส่วนหกของชีวิต อีกหนึ่งส่วนสิบสองของชีวิตต่อมาเป็นช่วงวัยหนุ่ม และเมื่อ
ผ่านไปอีกหนึ่งส่วนเจ็ดของชีวิตเขาได้แต่งงาน ในปีที่ห้าหลังจากการแต่งงานเขามีลูกชาย แต่ลูกชาย
คนนั้นก็มีอายุได้เพียงครึ่งหนึ่งของชีวิตเขา จากนั้นจึงเป็นช่วงสี่ปีสุดท้ายของชีวิต
ฟีโบนักชี (Leonardo of pisa Fibonacci ค.ศ. 1170 - 1250 ) ผู้เป็นต้นกาเนิดลาดับฟีโบนักชี
ลาดับมหัศจรรย์ที่สอดประสานได้ลงตัวกับปรากฏการณ์ต่างๆ ทางธรรมชาติ
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ปีแยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat ค.ศ. 1601 – 1665) ขุนนางราชสานักฝรั่งเศส ผู้เป็นบิดา
แห่งทฤษฎีจานวนสมัยใหม่ และสืบสานพัฒนางานต่อจากไดโอแฟนทัส
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์(Loenhard Euler ค.ศ.1707-1783) ผู้สร้างสรรค์ฟังค์ชันออยเลอร์-ฟี ปราชญ์
ผู้มีผลงานคณิตศาสตร์ในหลากหลายสาขาและสามารถยึดองค์โยงเชื่อมความรู้ที่หลากหลายนั้นเข้าไว้
ด้วยกัน
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777 - 1855) เจ้าชายแห่งวงการคณิตศาสตร์
ผู้พัฒนาแนวคิดของสมภาค หรือ คอนกรูเอนซ์ (congruence)
รามานุจัน (Srinivasa Ramanujan ค.ศ. 1887-1920) อัจฉริยะจากชมพูทวีป ผู้ศึกษาคณิตศาสตร์ด้วย
ตนเอง เขามีผลงานทางทฤษฎีจานวนมากมาย ร่วมกับ จี เอช ฮาร์ดี (Godfrey Harold Hardy ค.ศ. 1877 -
1947) ผู้เปิดโอกาสให้ก้าวเข้าสู่วงสังคมคณิตศาสตร์ และทาให้โลกได้รู้จักกับชายผู้นี้
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เออดอส (Paul Erdos ค.ศ. 1913 –1996) นักคณิตศาสตร์ผู้ให้บทพิสูจน์ที่สวยงามของ ทฤษฎี
บทจานวนเฉพาะ ที่ช่วยให้สามารถทราบจานวนโดยประมาณของจานวนเฉพาะในขอบเขตที่กาหนด
นอกจากนี้ เออดอส ยังได้ผลิตผลงานวิจัยทางคณิตศาสตร์ไว้กว่า 1500 เรื่อง ซึ่งถือว่ามากเป็นอับต้นๆ ของ
นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกตั้งแต่อดีตถึงปัจจุบัน
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การสร้างสรรค์พัฒนาองค์ความรู้ทางทฤษฎีจานวน นอกจากจะตอบสนองต่อความกระหายใคร่รู้
ของบรรดานักคณิตศาสตร์ทั้งหลายแล้ว สาหรับมนุษย์ผู้อื่นในประชาคมโลก ที่มิได้มีลมหายใจเข้า-ออก
เพื่อคณิตศาสตร์ ทฤษฎีจานวนเกี่ยวข้องกับเขาเหล่านั้นหรือไม่ ทฤษฎีจานวนจะสามารถตอบสนองต่อการ
สร้างคุณภาพชีวิตที่ดีกว่าในปัจจุบันได้อย่างไร
จานวนเฉพาะ เป็นสิ่งที่มหัศจรรย์ที่สุดในทฤษฎีจานวน จานวนเฉพาะคือจานวนสากลที่ไม่ขึ้นอยู่
กับระบบการนับในฐานใด นั่นหมายความว่า ไม่ว่าจะเป็นชาวบาบิโลนที่นับเลขฐาน 60 ชาวมายันที่นับเลข
ฐาน 20 ตลอดจนคอมพิวเตอร์ที่นับเลขฐาน 2 หรือแม้แต่มนุษย์ในดาราจักรอื่นที่อาจจะมีนิ้วเพื่อนับเพียง
ข้างละ 3 นิ้ว จานวนเฉพาะอย่างเช่นที่เรารู้จักนี้ ก็จะยังคงเป็น จานวนเฉพาะของในทุกอารยธรรม
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในหนังสือ the elements เล่มที่ 9 ยุคลิด ได้แสดงบทพิสูจน์ที่แสนสวยงามว่า “มีจานวนเพาะเป็น
จานวนอนันต์” และเพราะว่ายังไม่มีผู้ใดที่ค้นพบหรือสามารถพิสูจน์ได้ถึงแบบรูปของจานวนเฉพาะ จึง
ทาให้ปริศนาของแบบรูปของจานวนเฉพาะนี้ ถูกนามาใช้ในงานที่เกี่ยวข้องกับ ทฤษฎีรหัสลับ (Coding
Theory)
ความต้องการในการสื่อสารข้อความที่เป็นความลับ และจากัดวงของผู้รับสาร เริ่มพัฒนาก่อตัว
ขึ้นอย่างหลวมๆ ตั้งแต่เมื่อมนุษย์มีความสัมพันธ์ทางสังคมที่ซับซ้อนขึ้น รหัสลับถูกนามาใช้เพื่อสนองต่อ
ความต้องการนี้
จูเลียส ซีซาร์ (Julius Caesar 100 – 44 ปีก่อนคริสตกาล ) รัฐบุรุษโรมันได้นากองทัพที่ยิ่งใหญ่
เคลื่อนทัพไปทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือ เข้ารุกรานเกาะเล็กๆ เกาะหนึ่ง ซึ่งในปัจจุบันรู้จักกันในนาม เกาะ
อังกฤษ สงครามในครั้งนั้นมีหลักฐานบันทึกว่า จูเลียส ซีซาร์ ได้ใช้รหัสลับในการติดต่อสื่อสารกับกองทัพ
และทหารของเขา
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รหัสลับที่ในครั้งนั้น เป็นรหัสลับอย่างง่ายที่ใช้เพียงการนาเศษที่ได้จากการหารมาสร้างเป็นรหัส
ความลับจักยังคงเป็นความลับ ตราบเท่าที่วิธีการถอดรหัสยังไม่ได้รับการเปิดเผย วิธีการถอดรหัสหรือ
กุญแจถอดรหัส จึงเป็นสิ่งที่สาคัญที่สุดในการสร้างและถอดรหัสลับแบบนี้
ระหว่างสงครามโลกครั้งที่สอง กองทัพฝ่ายอักษะของเยอรมันได้สร้างเครื่องเข้ารหัสลับ ที่รู้จักกัน
ในชื่อว่า อีนิกมา (Enigma) ต่อมาภายหลังความลับของเครื่องนี้ ได้ถูกเปิดเผยโดยความพยายามอย่างยิ่งยวด
ของฝ่ายสัมพันธมิตร ความลับ ไม่เป็นความลับอีกต่อไป แต่ความลับที่เพิ่งถูกเปิดเผยนี้ ยังคงเป็นความลับที่
ฝ่ายอักษะไม่รู้
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การไขความลับครั้งนี้ นับได้ว่าปัจจัยสาคัญอีกประการหนึ่งที่ทาให้โลกครั้งที่สองได้ยุติลง และ
ทฤษฎีจานวนก็เป็นคณิตศาสตร์อีกสาขาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการเข้ารหัสและการถอดของเครื่องจักรชนิดนี้
แม้ว่าทฤษฎีรหัสลับ จะเริ่มต้นพัฒนาและถูกนาไปใช้ในงานที่เกี่ยวข้องกับ สงคราม แต่ภายหลังแนวคิดนี้
ได้ถูกนามาใช้ในงานด้านอื่นที่ต้องการรักษาความลับและความปลอดภัย เช่นกัน
ในปัจจุบันการแสดงถึงตัวตนที่แท้จริงของบุคคล ในโลกที่กาลังขับเคลื่อนอย่างรวดเร็วด้วย
เทคโนโลยีและวิทยาการที่ล้าหน้า เป็นสิ่งจาเป็น ในวงการเงินการธนาคารจึงได้นาทฤษฎีจานวนและ
ทฤษฎีรหัสลับ มาใช้ในเพื่อตอบสนองต่อความต้องการนี้ การใช้งานนี้สะท้อนได้จากการนาสมบัติเฉพาะ
ของจานวนเฉพาะมาสร้าง เพื่อเป็นรหัสลับ RSA
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รหัสลับ RSA มีแนวคิดเบื้องต้นจากการนาจานวนเฉพาะที่มีค่ามากสองจานวนมาคูณกัน ซึ่งผลลัพธ์ที่
ได้ย่อมเป็นจานวนที่มีค่ามาก และเนื่องจากสมบัติของจานวนเฉพาะและปริมาณของจานวนเฉพาะที่มี
มากมายเป็นอนันต์ สาหรับผู้ที่ไม่ได้เป็นผู้กาหนดจานวนเฉพาะทั้งสองแล้ว ย่อมเป็นเรื่องยากมากที่จะ
สืบค้นย้อนกลับไปได้ว่าจานวนเฉพาะสองจานวนที่คูณกันได้ผลลัพธ์นั้นคือจานวนใด
สิ่งเหล่ามิได้เป็นเรื่องไกลตัวเราเลย เราได้ใช้งานรหัส RSA อยู่ทั้งที่อาจจะรู้ตัวหรือไม่รู้ตัว เพราะในการ
กาหนดและไขความลับที่แสดงตัวตนเพียงหนึ่งเดียวของเจ้าของบัตร ATM หรือบัตรเครดิต ต่างๆ ก็ล้วนแต่
ต้องใช้องค์ความรู้ด้านทฤษฎีจานวนอยู่ทั้งสิ้น
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
“พระเป็นเจ้าสร้างไว้ก็แต่เฉพาะจานวนเต็ม
นอกนั้น ฝีมือมนุษย์ล้วนๆ”
เลโอพอลด์ โครเนคเคอร์
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์
เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ลาดับและอนุกรม
การหารลงตัว ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง
จานวนเฉพาะ ทฤษฎีบทหลักมูลทางเลขคณิต
ขั้นตอนวิธีการ การเขียนแสดงจานวนในรูปตัวเลขฐานต่างๆ
หาร
ตัวหารร่วมมาก ความหมายและวิธีการหาตัวหารร่วมมาก
ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
โจทย์ประยุกต์ตัวหารร่วมมาก
จานวนเฉพาะสัมพัทธ์และทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง
ความหมายและวิธีการหาตัวคูณร่วมน้อย
ตัวคูณร่วมน้อย โจทย์ประยุกต์ตัวคูณร่วมน้อย
ความสัมพันธ์ระหว่าง
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
25