1. Тригонометр
Сонгох тест:
4à. Áîäëîãî:
√2 cos α−2 cos(
π
4
−α)
2 sin(
π
6
+α)−√3 sin α
=
Áîäîëò:
√2 cos α−2 cos(
π
4
−α)
2 sin(
π
6
+α)−√3 sin α
=
√2 cos α−2(cos
𝜋
4
cos 𝛼+sin
𝜋
4
sin 𝛼)
2(sin
𝜋
6
cos 𝛼−sin 𝛼 cos
𝜋
6
)−√3 sin α
=
√2 cos α−2(
√2
2
cos 𝛼+
√2
2
sin 𝛼)
2(
1
2
cos 𝛼−
√3
2
sin 𝛼)
=
=
√2 cos 𝛼−√2 cos 𝛼−√2 sin 𝛼
cosα−√3sinα
=
√2 cos 𝛼−2(cos
𝜋
4
cos 𝛼−2 sin
𝜋
4
sin 𝛼)
2sin
π
6
cosα+2cos
π
6
sinα−√3 sinα
=
√2 cos 𝛼−√2 cos 𝛼−√2 sin 𝛼
cosα+√3sinα+√3sinα
=
−√2 tan 𝛼
4á. Áîäëîãî:
𝐜𝐨𝐬 𝜶−𝟐 𝐜𝐨𝐬(
𝝅
𝟑
+𝜶)
𝐬𝐢𝐧(𝜶−
𝝅
𝟔
)−√3 sin α
=
Áîäîëò:
cos 𝛼−2 cos(
𝜋
3
+𝛼)
2 sin(𝛼−
𝜋
6
)−√3 sin α
=
cos 𝛼−2 cos
𝜋
3
cos 𝛼−2 sin
𝜋
3
sin 𝛼
2 sin 𝛼 cos
𝜋
6
−2 cos 𝛼 sin
𝜋
6
−√3 sin α
=
cos 𝛼−cos 𝛼+√3 sin α
√3 sin α−cos α−√3 sin α
= =
−√3 tan 𝛼
5à. Áîäëîãî:
sin 2𝑡−2 cos(
𝜋
2
+𝑡)
cos(
𝜋
2
−𝑡)−sin 𝑡2 =
Áîäîëò:
sin 2t−2 cos(
π
2
+t)
cos(
π
2
−t)−sin t2 =
2 sin t cos t−(2 sin 90 cos t+2 cos 90 sin t)
cos
π
2
cos t+sin
π
2
sin t− sin t2 =
(2 sin t cos t−cos t)
sin t− sin t2 =
=
2 cos(sin t−1)
sin t(1−sin t)
/-1
=-2ctgt
5á. Áîäëîãî:
1−cos 2t+sin 2t
1+cos 2t+sin 2t
• tan(
π
2
− t)=
Áîäîëò:
1−cos 2t+sin 2t
1+cos 2t+sin 2t
• tan(
π
2
− t)=
tan(
π
2
− t)=ctg 𝛼
=
1−1+2 sin t+sin 2t2
1+2 cot2 𝑡−1+ sin 2t
=
2 sin 𝑡(sin 𝑡+ cos 𝑡)
2 cos 𝑡(cos 𝑡+sin 𝑡)
= tan 𝑡
tan 𝑡 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑡 = 1
6a. Áîäëîãî:
1+cos 40+cos 80
sin80+sin 40
• tan 40 =
1+cos 40+cos 2∙40
sin2∙40+sin40
=
1+cos40+2 cos2 40−1
2 sin 40 cos 40+sin40
=
cos40(1+2 cos40)
sin 40(2 cos 40+1)
=ctg40 𝑡𝑎𝑛 40 = 1
6á. Áîäëîãî:
1−cos25+cos50
sin 50−sin25
− tan 65 =
1−cos25+cos2∙25
sin 2∙25−sin25
=
−1−cos25+2 cos2 25−1
2 sin 25 cos25−sin25
=
cos25(2 cos 25−1)
sin 25(2 cos 25−1)
= 𝑐𝑡𝑔25
Ctg25-tg(90-25)= ctg25-ctg25=0

2. Нөхөх тест:
28А Áîäëîãî: Tgx>1
 x € ]ab0; 900[ U ]cde0; fgh0[
x € [00; 3600[
Бодолт :
Y=tgx
Y=1 гэдгээс tg450=1 tg2250=1 болж байгаа юм. Tg-ийн график дээр зурахад Tg
π/4, π/2, 3π/2 гэсэн давтамжаар явж байгаа учир ab= 450, cde= 2250, fgh=2700 болж
байгаа юм.
28Б. Áîäëîãî: Tgx<-√3
 x € ]ab0; cde0[ U ]2700; fgh0[
x€ [00; 3600[
Бодолт :
Y=tgx
Y=-√3 гэдгээс Tg-ын 1200, 3000 гэсэн утгуудыг авах ба мөн tg-ын график дээр
зурахад үүсэх давтамж нь π/2, 2π/3, 4cos23x-1болж байгаагаас ab=900, cde=1200,
fgh=3000 болж байгаа юм.
29А. Áîäëîãî: 4cos23x-1>0
 x € [a0; bc0[ U ]de0; fg0[
x € ]00; 1000]
Бодолт :
Y=4cos23x-1
4cos23x-1>0 гэдгээс 4cos23x>1 гэдгээс cos23x>1/4 гэдгээс cos3x>1/2 болно.Cos-ын
график дээрхи давтамжийн утгуудаас авч үзэхэд 0, π/3, 2π/3, 4π/3 болж 00, 600,
1200, 2400 утгуудыг авч байгаа ба бид cos3x гэсэн учир a=00, bc=200, de=400, fg=800
болж байгаа юм.
29Б. Áîäëîãî: Cos3x+sin3x>1
 x € ]abc0
; def0
[
x € ]1000
; 2000
]
Áîäîëò:
y= Cos3x+sin3x
Cos3x+sin3x>1 гэдгээс (Cos3x+sin3x)2>12 гэдгээс cos23x+sin6x + sin23x>1 гэдгээс
1+sin6x>1 гэдгээс sin6x>0 болно. Sin-ын графикийн давтамжийн утгуудыг авахад
5π/9,2π/3 болж байгаагаас abc=1000, def=1200 болж байгаа юм.
30А. Áîäëîãî: (Cosα-1/2)(sinα-√3/2) ≥0

3.  α € {ab0} U [cde0,fgh0]
00 ≤ α ≤ 1800
Áîäîëò: Y= (Cosα-1/2)(sinα-√3/2)
(Cosα-1/2)(sinα-√3/2) ≥0 гэдгээс cosα-1/2=0, sinα-√3/2=0 гэдгээс cosα=1/2, sinα= √3/2
болно. Sin, Cos-ын график дээрхи давтамжийн утгууд мөн 00 ≤ α ≤ 1800 гэдгийг
үндэслэн утгуудаа авахад π/3, 2π/3, π болж байгаагаас ab=600, cde=1200, fgh=1800
болж байгаа юм.
30Б. Áîäëîãî: (tgx-√3)(ctgx-√3) ≥ 0
 x € [π/a; π/c] U [π/c,π]
x € [00; π]
Áîäîëò: Y = (tgx-√3)(ctgx-√3)
(tgx-√3)(ctgx-√3) ≥ 0 гэдгээс (tgx-√3)(ctgx-√3) ≥ 0 гэдгээс tgx-√3=0, ctgx-√3=0 болно
гэдгээс tgx=√3, ctgx=√3 болно. Tg ctg-ын давтамжийн утгуудаас хамааран π/6, π/3,
π/2 болж байгаа ба эдгээр нь 300, 600, 900 гэдгээс π/300=60, π/600=30 , π/900=20
болж, a=60, b=30,c= 20 болж байна.

4. Хязгаар
Сонгох тест
14А. 𝐋𝐢𝐦
𝒏→а 𝟔
а 𝟑−√х
𝒂 𝟐− √ 𝒙𝟑 =?
Энэхүү бодлогыг бодохын тулд 𝒂 𝟐
− √ 𝒙𝟑
-г (𝒂 𝟐
) 𝟑
-√𝒙 𝟑𝟑
хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй.
(𝒂 𝟐
) 𝟑
-√𝒙 𝟑𝟑
энэ томъёоны задаргаа нь (𝒂 𝟐
− √ 𝒙
𝟑
)(𝒂 𝟒
+ 𝒂 𝟐
√ 𝒙
𝟑
+ √𝒙 𝟐𝟑
) юм. 𝒂 𝟒
+ 𝒂 𝟐
√ 𝒙
𝟑
+ √𝒙 𝟐𝟑
үржигдхүүнээр хүртвэр хуваарийг зэрэг үржүүлж өгнө.
𝐋𝐢𝐦
𝒏→а 𝟔
а 𝟑−√х
𝒂 𝟐− √ 𝒙𝟑 ·
𝒂 𝟒+𝒂 𝟐
√ 𝒙𝟑
+ √ 𝒙 𝟐𝟑
𝒂 𝟒+𝒂 𝟐 √ 𝒙
𝟑
+ √ 𝒙 𝟐𝟑 =𝐥𝐢𝐦
𝒏→а 𝟔
(а 𝟑−√х)(𝒂 𝟒+𝒂 𝟐
√ 𝒙𝟑
+ √ 𝒙 𝟐𝟑
)
(𝒂 𝟐) 𝟑 − √ 𝒙 𝟑𝟑 =𝐥𝐢𝐦
𝒏→а 𝟔
(а 𝟑−√х)(𝒂 𝟒+𝒂 𝟐
√ 𝒙𝟑
+ √ 𝒙 𝟐𝟑
)
𝒂 𝟔−𝒙
=
𝐥𝐢𝐦
𝒏→а 𝟔
(а 𝟑−√х)(𝒂 𝟒+𝒂 𝟐
√ 𝒙𝟑
+ √ 𝒙 𝟐𝟑
)
(а 𝟑−√х)(а 𝟑+√х)
=𝐥𝐢𝐦
𝒏→а 𝟔
𝒂 𝟒+𝒂 𝟐
√ 𝒙𝟑
+ √ 𝒙 𝟐𝟑
(а 𝟑+√х)
=
Одоо ингээд n-ийн оронд өгөгдсөн тоог орлуулъя.
=
𝒂 𝟒+𝒂 𝟐 √ 𝒂 𝟔𝟑
+ √(𝒂 𝟔) 𝟐𝟑
а 𝟑+√ 𝒂 𝟔
=
𝒂 𝟒+𝒂 𝟐 𝒂 𝟐+𝒂 𝟒
𝒂 𝟑+𝒂 𝟑
=
𝟑𝒂 𝟒
𝟐𝒂 𝟑
=
𝟑
𝟐
𝒂
14Б. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙
√𝒃+𝒙
𝟑
− √𝒃−𝒙
𝟑 =?
Энэхүү бодлогыг бодохын тулд √𝒃 + 𝒙
𝟑
− √𝒃 − 𝒙
𝟑
− г (√𝒃 + 𝒙
𝟑 𝟑
) − (√𝒃 − 𝒙
𝟑 𝟑
) болгох
хэрэгтэй.
(√𝒃 + 𝒙
𝟑 𝟑
) − (√𝒃 − 𝒙
𝟑 𝟑
)= (√𝒃 + 𝒙
𝟑
− √𝒃 − 𝒙
𝟑
)(√𝒃 + 𝒙 𝟐𝟑
+ √𝒃 𝟐 − 𝒙 𝟐𝟑
+ √𝒃 − 𝒙 𝟐𝟑
)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙
√𝒃+𝒙
𝟑
− √𝒃−𝒙
𝟑 ·
√ 𝒃+𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃 𝟐−𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃−𝒙 𝟐𝟑
√ 𝒃+𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃 𝟐−𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃−𝒙 𝟐𝟑 =𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙( √ 𝒃+𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃 𝟐−𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃−𝒙 𝟐𝟑
)
( √𝒃+𝒙
𝟑 𝟑
)−( √𝒃−𝒙
𝟑 𝟑
)
=
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙( √ 𝒃+𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃 𝟐−𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃−𝒙 𝟐𝟑
)
𝒃+𝒙−𝒃+𝒙
=𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙( √ 𝒃+𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃 𝟐−𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃−𝒙 𝟐𝟑
)
𝟐𝒙
=
=𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√ 𝒃+𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃 𝟐−𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒃−𝒙 𝟐𝟑
𝟐
=
√𝒃
𝟑
+ √𝒃
𝟑
+ √𝒃
𝟑
𝟐
=
𝟑 √ 𝒃 𝟐𝟑
𝟐
15А. 𝐥𝐢𝐦
х→+∞
𝟔𝒙 𝟔+𝟒𝒙 𝟐+𝟓
𝟑𝒙 𝟔+𝟐𝒙+𝟕
= 𝐥𝐢𝐦
х→+∞
𝟔𝒙 𝟔
𝒙 𝟔 +
𝟒𝒙 𝟐
𝒙 𝟔 +
𝟓
𝒙 𝟔
𝟑𝒙 𝟔
𝒙 𝟔 +
𝟐𝒙
𝒙 𝟔+
𝟕
𝒙 𝟔
= =
𝟔+𝟎+𝟎
𝟑+𝟎+𝟎
= 𝟐
15Б. 𝐋𝐢𝐦
х→+∞
𝟓𝒙 𝟑−𝟖𝒙 𝟐+𝟗
𝟏𝟎𝒙 𝟑+𝟐𝒙−𝟏𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
х→+∞
𝟓𝒙 𝟑
𝒙 𝟑 −
𝟖𝒙 𝟐
𝒙 𝟑 +
𝟗
𝒙 𝟑
𝟏𝟎𝒙 𝟑
𝒙 𝟑 +
𝟐𝒙
𝒙 𝟑−
𝟏𝟎
𝒙 𝟑
=
𝟓+𝟎+𝟎
𝟏𝟎+𝟎+𝟎
=
𝟏
𝟐
Одоо ингээд n-ийн оронд өгөгдсөн тоог орлуулъя.

5. 16A. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙
√𝟏+𝒙
𝟑
− √𝟏−𝒙
𝟑 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙
√𝟏+𝒙
𝟑
− √𝟏−𝒙
𝟑 ∙
√( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
√( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑 =
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙)∙( √( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
)
√(𝟏+𝒙) 𝟑𝟑
− √(𝟏−𝒙) 𝟑𝟑 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙)∙( √( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
)
(√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙)∙(√𝟏+𝒙+√𝟏−𝒙)
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
√𝟏+𝒙+√𝟏−𝒙
=
√ 𝟏 𝟐𝟑
+ √ 𝟏 𝟐𝟑
+ √ 𝟏 𝟐𝟑
√𝟏+√𝟏
=
𝟏+𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
=
𝟑
𝟐
16Б. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
√𝟗+𝟐𝒙−𝟓
√ 𝒙𝟑
−𝟐
=?
Энэхүү бодлогыг бодохын тулд √ 𝒙𝟑
− 𝟐 -г (√ 𝒙𝟑
) 𝟑
− 𝟐 𝟑
хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй. (√ 𝒙𝟑
) 𝟑
−
𝟐 𝟑
энэ томъёоны задаргаа нь (√ 𝒙
𝟑
− 𝟐) ∙ (√𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟐 ∙ √ 𝒙
𝟑
+ 𝟒) юм. (√𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟐 ∙ √ 𝒙
𝟑
+ 𝟒)
үржигдхүүнээр хүртвэр хуваарийг зэрэг үржүүлж өгнө.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
(√𝟗+𝟐𝒙−𝟓)∙(√𝟗+𝟐𝒙+𝟓)∙( √ 𝒙 𝟐𝟑
+𝟐∙ √ 𝒙
𝟑
+𝟒)
( √ 𝒙
𝟑
−𝟐)∙(√𝟗+𝟐𝒙+𝟓)∙( √ 𝒙 𝟐𝟑
+𝟐∙ √ 𝒙
𝟑
+𝟒)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
(𝟗+𝟐𝒙−𝟐𝟓)∙( √ 𝒙 𝟐𝟑
+𝟐∙ √ 𝒙
𝟑
+𝟒)
(( √ 𝒙𝟑
) 𝟑−𝟐 𝟑)∙(√𝟗+𝟐𝒙+𝟓)
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
𝟐∙(𝒙−𝟖)∙( √ 𝒙 𝟐𝟑
+𝟐∙ √ 𝒙
𝟑
+𝟒)
(𝒙−𝟖)∙(√𝟗+𝟐𝒙+𝟓)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
𝟐∙( √ 𝒙 𝟐𝟑
+𝟐∙ √ 𝒙
𝟑
+𝟒)
(√𝟗+𝟐𝒙+𝟓)
=
Oдоо х тооны оронд 8-г орлуулъя.
=
𝟐∙( √(𝟐 𝟐) 𝟑𝟑
+𝟐∙ √ 𝟐 𝟑𝟑
+𝟒)
√𝟗+𝟏𝟔+𝟓
=
𝟐∙(𝟐 𝟐+𝟐 𝟐+𝟒)
√𝟐𝟓+𝟓
=
𝟐∙(𝟒+𝟒+𝟒)
𝟓+𝟓
=
𝟐𝟒
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟓
17А. 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞
𝟐√ 𝒏 𝟐+𝒏−𝟏−√ 𝒏 𝟐+𝟏
√ 𝒏 𝟐−𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞
𝟐√ 𝒏 𝟐+𝒏−𝟏−√ 𝒏 𝟐+𝟏
√ 𝒏 𝟐−𝟏
∙
√ 𝒏 𝟐−𝟏
√ 𝒏 𝟐−𝟏
= 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞
𝟐√ 𝒏 𝟐+𝒏−𝟏∙√ 𝒏 𝟐−𝟏−√( 𝒏 𝟐+𝟏)( 𝒏 𝟐−𝟏)
𝒏 𝟐−𝟏
=
𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞
𝟐√ 𝒏 𝟐
𝒏 𝟐+
𝒏
𝒏 𝟐−
𝟏
𝒏 𝟐∙√ 𝒏 𝟐
𝒏 𝟐−
𝟏
𝒏 𝟐−√(
𝒏 𝟐
𝒏 𝟐+
𝟏
𝒏 𝟐)(
𝒏 𝟐
𝒏 𝟐−
𝟏
𝒏 𝟐)
𝒏 𝟐
𝒏 𝟐−
𝟏
𝒏 𝟐
=
𝟐√𝟏+𝟎−𝟎∙√𝟏−𝟎−√(𝟏+𝟎)(𝟏−𝟎)
𝟏−𝟎
=
𝟏
𝟏
= 𝟏
17Б. 𝐥𝐢𝐦 𝒏→𝟏𝟎
√𝒏−𝟏−𝟑
𝒏−𝟏𝟎
𝐥𝐢𝐦 𝒏→𝟏𝟎
√𝒏−𝟏−𝟑
𝒏−𝟏𝟎
∙
√𝒏−𝟏+𝟑
√𝒏−𝟏+𝟑
= 𝐥𝐢𝐦 𝒏→𝟏𝟎
𝒏−𝟏−𝟗
(𝒏−𝟏𝟎)(√𝒏−𝟏+𝟑)
=
𝟏
√𝟏𝟎−𝟏+𝟑
=
𝟏
𝟑+𝟑
=
𝟏
𝟔
18A. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒
𝒙−𝟒
√ 𝒙−𝟐
𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒
𝒙−𝟒
√ 𝒙−𝟐
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒
(√ 𝒙−𝟐)(√ 𝒙+𝟐)
√ 𝒙−𝟐
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒√ 𝒙 + 𝟐 = √𝟒 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
18Б. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑
𝒙 𝟐−𝒙−𝟔
𝒙−𝟑
Oдоо х тооны оронд 8-г орлуулъя.

6. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑
𝒙 𝟐−𝒙−𝟔
𝒙−𝟑
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑
(𝒙+𝟐)(𝒙−𝟑)
𝒙−𝟑
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟓
Õÿçãààð
ͺõºõ òåñò:
10a. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟐
𝒙 𝟐−𝒙−𝟔
𝒙+𝟐
= 𝐚𝐛
𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟐
𝒙 𝟐−𝒙−𝟔
𝒙+𝟐
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟐
(𝒙+𝟐)(𝒙−𝟑)
𝒙+𝟐
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟐 𝒙 − 𝟑 = −𝟐 − 𝟑 = −𝟓
10б. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟑
𝒙 𝟐+𝒙−𝟔
𝒙+𝟑
= 𝒂𝒃
𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟑
𝒙 𝟐+𝒙−𝟔
𝒙+𝟑
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟑
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟑)
𝒙+𝟑
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟑 𝐱 − 𝟐 = −𝟑 − 𝟐 = −𝟓
11a. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟏
|𝒙−𝟏|
𝒙−𝟏
= 𝒂𝒃 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏+
|𝒙−𝟏|
𝒙−𝟏
= 𝒄
𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟏
𝐱−𝟏
𝒙−𝟏
=
−𝟏−𝟏
−𝟏−𝟏
= 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏+
𝒙−𝟏
𝒙−𝟏
= 𝟎
11б. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑−
𝒙−𝟑
|𝒙−𝟑|
= 𝒂𝒃 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑+
|𝒙−𝟑|
𝒙−𝟑
= 𝒄
𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑−
𝒙−𝟑
|𝒙−𝟑|
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑−
𝒙−𝟑
𝒙−𝟑
=
−𝟑−𝟑
−𝟑−𝟑
= 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑+
|𝒙−𝟑|
𝒙−𝟑
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑+
𝒙−𝟑
𝒙−𝟑
=
𝒙−𝟑
𝒙−𝟑
= 𝟎
12à. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙
√𝟏+𝒙
𝟑
− √𝟏−𝒙
𝟑 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙
√𝟏+𝒙
𝟑
− √𝟏−𝒙
𝟑 ∙
√( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
√( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑 =
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙)∙( √( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
)
√(𝟏+𝒙) 𝟑𝟑
− √(𝟏−𝒙) 𝟑𝟑 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙)∙( √( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
)
(√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙)∙(√𝟏+𝒙+√𝟏−𝒙)
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√( 𝟏+𝒙) 𝟐𝟑
+ √ 𝟏−𝒙 𝟐𝟑
+ √( 𝟏−𝒙) 𝟐𝟑
√𝟏+𝒙+√𝟏−𝒙
=
√ 𝟏 𝟐𝟑
+ √ 𝟏 𝟐𝟑
+ √ 𝟏 𝟐𝟑
√𝟏+√𝟏
=
𝟏+𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
=
𝟑
𝟐
12á. lim
𝑛→∞
1
𝑛2
(1 + 2 + 3+, , , +𝑛) =
𝑐
𝑑
lim
n→∞
1
n2
(1 + 2 + 3+, , , +n) = lim
n→∞
n+n2
2
n2
= lim
n→∞
n+n2
2n2
= lim
n→∞
n
n2+
n2
n2
2n2
n2
=
0+1
2
=
1
2
c=1 d=2
13a. lim
𝑛→∞
(1+𝑛)2
2𝑛2
=
𝑎
𝑏

7. lim
n→∞
(1+n)2
2n2
= lim
n→∞
1+2n+n2
2n2
= lim
n→∞
1
n2+
2n
n2+
n2
n2
2n2
n2
=
0+0+1
2
=
1
2
a=1 b=2
13á.lim
n→∞
(2𝑛+1)4−(𝑛−1)4
(2𝑛+1)4+(𝑛−1)4
=
𝑐𝑓
𝑒𝑓
lim
n→∞
(2𝑛+1)4−(𝑛−1)4
(2𝑛+1)4+(𝑛−1)4
= lim
n→∞
16n4+32n3+12n2+8n+1−n4+4n3−6n2+4n−1
16n4+32n3+12n2+8n+1+n4−4n3+6n2−4n+1
=
lim
n→∞
15n4+36n3+6n2+12n
17n4+28n3+18n2+4n
= lim
n→∞
15n4
n4 +
36n3
n4 +
6n2
n4 +
12n
n4
17n4
n4 +
28n3
n4 +
18n2
n4 +
4n
n4
=
15+0+0+0
17+0+0+0
=
15
17
cf=15 ef= 17
14a. .lim
n→∞
(3𝑛+2)2−(𝑛−1)2
(3𝑛+2)2+(𝑛−1)2
=
𝑎
𝑏
lim
n→∞
(3𝑛+2)2−(𝑛−1)2
(3𝑛+2)2+(𝑛−1)2
= lim
n→∞
9n2+12n+4−n2+2n−1
9n2+12n+4+n2−2n+1
= lim
n→∞
8n2+14n+3
10n2+10n+5
= lim
n→∞
8n2
n2 +
14n
n2 +
3
n2
10n2
n2 +
10n
n2 +
5
n2
=
8+0+0
10+0+0
=
8
10
a=8 b=10
14á. lim
n→∞
(2n+1)3
3n3
=
c
d
lim
n→∞
(2n+1)3
3n3
= lim
n→∞
8n3+12n2+6n+1
3n3
= lim
n→∞
8n3
n3 +
12n2
n3 +
6n
n3+
1
n3
3n3
n3
=
8+0+0+0
3
=
8
3
c=8 d=3
15à. lim
x→−2
x3+3x2+2x
x2−x−6
= −
a
b
lim
x→−2
x3+3x2+2x
x2−x−6
= lim
x→−2
x(x2+3x+2)
x2−x−6
= lim
x→−2
x(x+2)(x+1)
(x−3)(x+2)
= lim
x→−2
x(x+1)
x−3
= lim
x→−2
x2+x
x−3
=
4−2
−2−3
=
−
2
5
a=2 b=5
15á. lim
x→1
(x−1)√2−x
x2−1
=
c
d
. lim
x→1
(x−1)√2−x
x2−1
= lim
x→1
(x−1)√2−x
x2−1
·
√2−x
√2−x
= lim
x→1
(x−1)(2−x)
(x−1)(x+1)√2−x
= lim
x→1
(√2−x)
2
(x+1)√2−x
= lim
x→1
√2−x
(x+1)
=
√2−1
(1+1)
=
1
2
c=1 d=2
16à. lim
x→∞
(
x3
2x2−1
−
x2
2x+1
) =
a
b

8. lim
x→∞
(
x3
2x2−1
−
x2
2x+1
) = lim
x→∞
2x4+x3−2x4−x2
(2x2−1)(2x+1)
= lim
x→∞
x3−x2
4x3+2x2−2x−1
= lim
x→∞
x3
x3−
x2
x3
4x3
x3 +
2x2
x3 −
2x
x3−
1
x3
=
1−0
4+0−0−0
=
1
4
a=1 b=4
16á. lim
x→∞
3x2+1
5−12x2
= −
c
d
lim
x→∞
3x2+1
5−12x2
= lim
x→∞
3x2
x2 +
1
x2
5
x2−
12x2
x2
=
3+0
0−12
= −
1
4
c=1 d=4
17à. lim
x→0
√1+x23
−1
x2
=
𝑎
𝑏
Энэхүү бодлогыг бодохын тулд (√1 + x23
)
3
− 13
гэсэн томъёоны задаргааг
ашиглах хэрэгтэй. Задаргаа нь : (√1 + x23
)
3
− 13
= (√1 + x23
− 1) ·
((√1 + x23
)
2
+ √1 + x23
+ 1) болно.
((√1 + x23
)
2
+ √1 + x23
+ 1) -р хүртвэр хуваарийг зэрэг үржүүлж өгнө.
. lim
x→0
√1+x23
−1
x2
= lim
x→0
√1+x23
−1
x2
·
(( √1+x23
)
2
+ √1+x23
+1)
(( √1+x23
)
2
+ √1+x23
+1)
= lim
x→0
( √1+x23
)
3
−13
x2·(( √1+x23
)
2
+ √1+x23
+1)
=
lim
x→0
1+x2−1
x2·(( √1+x23
)
2
+ √1+x23
+1)
= lim
x→0
x2
x2·(( √1+x23
)
2
+ √1+x23
+1)
= lim
x→0
1
( √1+x23
)
2
+ √1+x23
+1
=
1
( √1+023
)
2
+ √1+023
+1
=
1
1+1+1
=
1
3
a=1 b=3
17á. lim
x→0
√1+x
3
− √1−x
3
x
=
c
d
Энэхүү бодлогыг бодохын тулд(√1 + x
3
)
3
− (√1 − x
3
)
3
гэсэн томъёоны
задаргааг ашиглах хэрэгтэй. Задаргаа нь : (√1 + x
3
)
3
− (√1 − x
3
)
3
=
(√1 + x
3
− √1 − x
3
) · ((√1 + x
3
)
2
+ √1 − x23
+ (√1 − x
3
)
2
) болно .
((√1 + x
3
)
2
+ √1 − x23
+ (√1 − x
3
)
2
)- р хүртвэр хуваарийг зэрэг үржүүлж өгнө.

9. . lim
x→0
√1+x
3
− √1−x
3
x
= lim
x→0
√1+x
3
− √1−x
3
x
·
( √1+x
3
)
2
+ √1−x23
+( √1−x
3
)
2
( √1+x
3
)
2
+ √1−x23
+( √1−x
3
)
2 =
lim
x→0
( √1+x
3
)
3
−( √1−x
3
)
3
x(( √1+x
3
)
2
+ √1−x23
+( √1−x
3
)
2
)
= lim
x→0
1+x−1+x
x(( √1+x
3
)
2
+ √1−x23
+( √1−x
3
)
2
)
=
lim
x→0
2x
x(( √1+x
3
)
2
+ √1−x23
+( √1−x
3
)
2
)
= lim
x→0
2
( √1+x
3
)
2
+ √1−x23
+( √1−x
3
)
2 =
2
( √1+0
3
)
2
+ √1−023
+( √1−0
3
)
2 =
2
1+1+1
=
2
3
c=2 d=3
18a. lim
n→∞
(√n2 − 1 − n − 1) = −𝑎
lim
n→∞
(√n2 − 1 − n − 1) = lim
n→∞
√
n2
n2
−
1
n2
−
n
n
−
1
n
= 1 − 1 = 0
18б. . lim
x→16
√x
4
−2
√x−4
=
a
b
lim
x→16
√x
4
−2
√x−4
= lim
x→16
√x
4
−2
( √x
4
−2)( √x
4
+2)
= lim
x→16
1
√x
4
+2
=
1
√16+2
4 =
1
2
a=1 b=2

10. Прогресс индукц
Сонгох тест
8a. 𝒂 𝟏 = −𝟐 𝒔 𝟒𝟎 = 𝟏𝟐𝟒𝟎 𝒂 𝟒𝟎 =?
𝒔 𝒏 =
𝒂 𝟏+𝒂 𝒏
𝟐
𝒏 ⇒ 𝒔 𝟒𝟎 =
𝒂 𝟏+𝒂 𝟒𝟎
𝟐
40
𝟏𝟐𝟒𝟎 =
−𝟐+𝒂 𝟒𝟎
𝟐
𝟒𝟎 ⇒ 𝟐𝟒𝟖𝟎 = 𝟒𝟎(−𝟐 + 𝒂 𝟒𝟎) ⇒ 𝒂 𝟒𝟎 = 𝟔𝟒
8b. 𝒂 𝟏 = −𝟐 𝒂 𝟒𝟎 = 𝟏𝟒𝟖𝟎 𝒅 =?
𝒔 𝒏 =
𝟐𝒂 𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅
𝟐
𝒏 ⇒ 𝒔 𝟒𝟎 =
𝟐(−𝟐) + ( 𝟒𝟎 − 𝟏) 𝒅
𝟐
𝟒𝟎
𝟏𝟒𝟖𝟎 =
−𝟒 + 𝟑𝟗𝒅
𝟐
𝟒𝟎 ⇒ 𝟕𝟖 = 𝟑𝟗𝒅 ⇒ 𝒅 = 𝟐
9a. 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 = 𝟏𝟓 𝒃 𝟏 = 𝒒 + 𝟒. 𝟓 𝒃 𝟒 =? өсөх
𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝒏−𝟏
⇒ 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 = 𝟏𝟓 ⇒
𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒒 = 𝟏𝟓 ⇒ 𝒃 𝟏( 𝟏 + 𝒒) = 𝟏𝟓
10a. 𝒃 𝟕 =
𝟔𝟒
𝟕𝟐𝟗
𝒃 𝟏𝟏 =
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
𝒒 =?
𝒃 𝟕 𝒒 𝟒
= 𝒃 𝟏𝟎 𝒒 𝟒
=
𝒃 𝟏𝟏
𝒃 𝟕
=
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
∗
𝟕𝟐𝟗
𝟔𝟒
=
𝟏𝟔
𝟖𝟏
𝒒 = √
𝟏𝟔
𝟖𝟏
=
𝟒 𝟐
𝟑
10b. 𝒃 𝟓 =
𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟒𝟑
𝒃 𝟖 =
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
q=?
𝒃 𝟓 𝒒 𝟑
= 𝒃 𝟖 ⇒ 𝒒 𝟑
=
𝒃 𝟖
𝒃 𝟓
=
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
∗
𝟐𝟒𝟑
𝟐𝟓𝟔
=
𝟔𝟒
𝟐𝟕
⇒ 𝒒 = √
𝟔𝟒
𝟐𝟕
𝟑
=
𝟒
𝟑
11a. 𝒃 𝟓 =
𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟒𝟑
𝒃 𝟖 =
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
𝒃 𝒏 =?
𝒃 𝟓 𝒒 𝟑
= 𝒃 𝟖 ⇒ 𝒒 𝟑
=
𝒃 𝟖
𝒃 𝟓
=
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
∗
𝟐𝟒𝟑
𝟐𝟓𝟔
=
𝟔𝟒
𝟐𝟕
⇒ 𝒒 = √
𝟔𝟒
𝟐𝟕
𝟑
=
𝟒
𝟑

11. 𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝒏−𝟏
⇒ 𝒃 𝟓 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟒
⇒ 𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟓
𝒒 𝟒
=
𝟏
𝟑
𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝒏−𝟏
=
𝟏
𝟑
(
𝟒
𝟑
)
𝒏−𝟏
11b. 𝒃 𝟕 =
𝟕𝟐𝟗
𝟔𝟒
𝒃 𝟏𝟏 =
𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝒃 𝒏 =?
𝒃 𝟕 𝒒 𝟒
= 𝒃 𝟏𝟏 ⇒ 𝒒 𝟒
=
𝒃 𝟏𝟏
𝒃 𝟕
=
𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
𝟏𝟎𝟐𝟒
∗
𝟔𝟒
𝟕𝟐𝟗
=
𝟏𝟔
𝟖𝟏
⇒ 𝒒 = √
𝟏𝟔
𝟖𝟏
𝟒
=
𝟐
𝟑
𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝒏−𝟏
⇒ 𝒃 𝟕 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟔
⇒ 𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟕
𝒒 𝟔
= 𝟏
𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝒏−𝟏
= 𝟏 ∗ (
𝟐
𝟑
)
𝒏−𝟏
= (
𝟐
𝟑
)
𝒏−𝟏
12a) 𝒃 𝟒 = 𝟐𝟒 𝒃 𝟖 = 𝟑𝟖𝟒 𝒃 𝟏 =?
𝒃 𝟒 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟑
⇒ 𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟒
𝒒 𝟑
𝒃 𝟖 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟕
⇒ 𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟖
𝒒 𝟕
𝒃 𝟒
𝒒 𝟑
=
𝒃 𝟖
𝒒 𝟕
⇒ 𝒒 𝟕
𝒃 𝟒 = 𝒃 𝟖 𝒒 𝟑
⇒
𝒒 𝟒
𝟐𝟒 = 𝟑𝟖𝟒
𝒒 𝟒
=
𝟑𝟖𝟒
𝟐𝟒
= 𝟏𝟔 𝒒 = 𝟐
𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟒
𝒒 𝟑
=
𝟐𝟒
𝟖
= 𝟑
12b) 𝒃 𝟓 = 𝟏𝟔𝟐 𝒃 𝟖 = 𝟒𝟑𝟕𝟒 𝒃 𝟏 =?
𝒃 𝟓 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟒
⇒ 𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟓
𝒒 𝟒
𝒃 𝟓
𝒒 𝟒
=
𝒃 𝟖
𝒒 𝟕
⇒ 𝒒 𝟕
𝒃 𝟓 = 𝒃 𝟖 𝒒 𝟒
⇒ 𝒃 𝟖 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟕
⇒ 𝒃 𝟏 =
𝒃 𝟖
𝒒 𝟕
𝒒 𝟑
𝟏𝟔𝟐 = 𝟒𝟑𝟕
𝒒 𝟑
=
𝟒𝟑𝟕𝟒
𝟏𝟔𝟐
= 𝟐𝟕 𝒒 = 𝟑

12. 13a) 6 ба 18-н хоёрын хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй геометр
прошресс үүсгэх 3 тоог ол.
𝟔; 𝒃 𝟐; 𝒃 𝟑; 𝒃 𝟒; 𝟏𝟖 𝒃 𝟐, 𝒃 𝟑, 𝒃 𝟒 =?
𝒃 𝟑
𝟐
= 𝒃 𝟏 𝒃 𝟓 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟖 = 𝟏𝟎𝟖 ⇒ 𝒃 𝟑 = √𝟏𝟎𝟖 = 𝟔√𝟑
𝒃 𝟐
𝟐
= 𝒃 𝟏 𝒃 𝟑 = 𝟔 ∗ 𝟔√𝟑 = 𝟑𝟔√𝟑 ⇒ 𝒃 𝟐 = √ 𝟑𝟔√𝟑 = 𝟔√𝟑
𝟒
𝒃 𝟒
𝟐
= 𝒃 𝟑 𝒃 𝟓 = 𝟔√𝟑 ∗ 𝟏𝟖 = 𝟏𝟎𝟖√𝟑 ⇒
𝒃 𝟒 = √ 𝟏𝟎𝟖√𝟑 = 𝟔√ 𝟑√𝟑 = 𝟔√𝟐𝟕
𝟒
13b) 4 ба 64-н хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 6 гишүүнтэй геометр
прогресс үүсгэх 4 тоог ол.
𝟒; 𝒃 𝟐; 𝒃 𝟑; 𝒃 𝟒; 𝒃 𝟓; 𝟔𝟒 𝒃 𝟐, 𝒃 𝟑, 𝒃 𝟒, 𝒃 𝟓 =?
𝒃 𝟑 𝒃 𝟒 = 𝒃 𝟐 𝒃 𝟓 = 𝒃 𝟏 𝒃 𝟔 = 𝟒 • 𝟔𝟒 = 𝟐𝟓𝟔
𝒃 𝟏 𝒃 𝟏 𝒒 𝟓
= 𝟐𝟓𝟔 ⇒ 𝒃 𝟏
𝟐
𝒒 𝟓
= 𝟐𝟓𝟔 ⇒ 𝒒 𝟓
=
𝟐𝟓𝟔
𝟏𝟔
= 𝟏𝟔 ⇒ 𝒒 = 𝟐
𝟏
𝟓
𝒃 𝟐 = 𝒃 𝟏 𝒒 = 𝟒 • 𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟐
𝟕
𝟓 𝒃 𝟑 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟐
= 𝟒 • (𝟐
𝟏
𝟓)
𝟐
= 𝟐
𝟗
𝟓
𝒃 𝟒 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟑
= 𝟒 • (𝟐
𝟏
𝟓)
𝟑
= 𝟐
𝟏𝟏
𝟓 𝒃 𝟓 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟒
= 𝟒 • (𝟐
𝟏
𝟓)
𝟒
= 𝟐
𝟏𝟑
𝟓
14a) 𝒃 𝟏 = √ 𝒂 𝒃 𝟓 = √ 𝒂
𝟑
𝒃 𝟒𝟗 =?
𝒃 𝟓 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟒
⇒ 𝒒 𝟒
=
𝒃 𝟓
𝒃 𝟏
=
√ 𝒂𝟑
√ 𝒂
= 𝒂−
𝟏
𝟔 ⇒ 𝒒 = (𝒂−
𝟏
𝟔)
𝟏
𝟒
= 𝒂−
𝟏
𝟐𝟒
𝒃 𝟒𝟗 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟒𝟖
= 𝒂
𝟏
𝟐 (𝒂−
𝟏
𝟐𝟒)
𝟒𝟖
= 𝒂
𝟏
𝟐 𝒂−𝟐
= 𝒂−
𝟑
𝟐
14b) 𝒃 𝟏 = √𝒃
𝟑
𝒃 𝟔 = √𝒃
𝟒
𝒃 𝟐𝟏 =?
𝒃 𝟔 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟓
⇒ 𝒒 𝟓
=
𝒃 𝟔
𝒃 𝟏
=
√𝒃
𝟒
√𝒃
𝟑 = 𝒃−
𝟏
𝟏𝟐 ⇒ 𝒒 = (𝒃−
𝟏
𝟏𝟐)
𝟏
𝟓
= 𝒃−
𝟏
𝟔𝟎

13. 𝒃 𝟐𝟏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝟐𝟎
= 𝒃
𝟏
𝟑 (𝒃−
𝟏
𝟔𝟎)
𝟐𝟎
= 𝒃
𝟏
𝟑 𝒃−
𝟏
𝟑 = 𝒃 𝟎
= 𝟏
43a) 𝑠 𝑛 = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 нийлбэрийг ол.
𝑠 𝑛 =
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
𝑛 =
2 + 2𝑛
2
𝑛 =
2(1 + 𝑛)
2
𝑛 = 𝑛(1 + 𝑛)
43b) 𝑠 𝑛 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) нийлбэрийг ол.
𝑠 𝑛 =
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
𝑛 =
1 + 2𝑛 − 1
2
𝑛 =
2𝑛
2
𝑛 = 𝑛2
44a) 𝑠 𝑛 = 2 + 5 + 8 + 11 + ⋯ + (3𝑛 − 1) нийлбэрийг ол.
𝑠 𝑛 =
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
𝑛 =
2 + 3𝑛 − 1
2
𝑛 =
3𝑛 + 1
2
𝑛
44b) 𝑠 𝑛 = 1 + 4 + 7 + 10 + ⋯ + (3𝑛 − 2) нийлбэрийг ол.
𝑠 𝑛 =
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
𝑛 =
1 + 3𝑛 − 2
2
𝑛 =
3𝑛 − 1
2
𝑛
45À) 𝑠 𝑛 = 1 + 4 + 42
+ 43
+ ⋯ + 4 𝑛
𝑞 =
𝑏2
𝑏1
=
4
1
= 4 𝑏1 = 1 𝑠 𝑛 =
𝑏1(𝑞 𝑛−1)
𝑞−1
=
1(4 𝑛−1)
3
=
45Á) 𝑠 𝑛 =
2
3
+
2
32
+ ⋯ +
2
3 𝑛
нийлбэрийг ол.
q =
b2
b1
=
2
9
•
3
2
=
1
3
sn =
b1(qn
− 1)
q − 1
=
2
3
[(
1
3
)
n
− 1]
1
3
− 1
=
2
3
[(
1
3
)
n
− 1] (−
3
2
) = − [(
1
3
)
n
− 1] = 1 − (
1
3
)
n
46À) 𝑠 𝑛 = 2 + 5 + 13 + ⋯ + (2 𝑛−1
+ 3 𝑛−1)
𝑠 𝑛 = 20
+ 30
+ 21
+ 31
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 2 𝑛−1
+ 3 𝑛−1
𝑠 𝑛 = 20
+ 21
+ 22
+ ⋯ + 2 𝑛−1
+ 30
+ 31
+ 32
+. . +3 𝑛−1
𝑠 𝑛 =
𝑏1( 𝑞 𝑛
− 1)
𝑞 − 1
+
𝑏1( 𝑞 𝑛
− 1)
𝑞 − 1
=
1(2 𝑛
− 1)
2 − 1
+
1(3 𝑛
− 1)
3 − 1

14. 𝑠 𝑛 = (2 𝑛
− 1) +
(3 𝑛
− 1)
2
=
2 𝑛+1
− 2 + 3 𝑛
− 1
2
𝑠 𝑛 =
2 𝑛+1
+ 3 𝑛
− 3
2
46Á) 𝑠 𝑛 = 2 • 2 + 3 • 22
+ 4 • 23
+ ⋯ + ( 𝑛 + 1)2 𝑛
𝑠 𝑛 = (1 + 1)21
+ (2 + 1)22
+ (3 + 1)23
+ ⋯ + ( 𝑛 + 1)2 𝑛
𝑠 𝑛 = 2 + 2 + 2 ∗ 22
+ 22
+ 3 ∗ 23
+ 23
+ ⋯ + 𝑛 ∗ 2 𝑛
+ 2 𝑛
=
= 2 + 22
+ 23
+ ⋯ + 2 𝑛
+ 2 + 2 ∗ 22
+ 3 ∗ 23
+ ⋯ + 𝑛 ∗ 2 𝑛
=
2(2 𝑛
− 1)
2 − 1
47А) 𝑏5 = 162 𝑏8 = 4374 𝑏1 =?
𝑏5 = 𝑏1 𝑞4
⇒ 𝑏1 =
𝑏5
𝑞4
𝑏5
𝑞4
=
𝑏8
𝑞7
⇒ 𝑞7
𝑏5 = 𝑏8 𝑞4
⇒ 𝑏8 = 𝑏1 𝑞7
⇒ 𝑏1 =
𝑏8
𝑞7
𝑞3
162 = 437
𝑞3
=
4374
162
= 27 𝑞 = 3
48Б) 𝑏1 = √𝑏
3
𝑏6 = √𝑏
4
𝑏21 =?
𝑏6 = 𝑏1 𝑞5
⇒ 𝑞5
=
𝑏6
𝑏1
=
√𝑏
4
√𝑏
3 = 𝑏−
1
12 ⇒ 𝑞 = (𝑏−
1
12)
1
5
= 𝑏−
1
60
𝑏21 = 𝑏1 𝑞20
= 𝑏
1
3 (𝑏−
1
60)
20
= 𝑏
1
3 𝑏−
1
3 = 𝑏0
= 1

15. 9a. 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 = 𝟏𝟓 𝒃 𝟏 = 𝒒 + 𝟒. 𝟓 𝒃 𝟒 =? өсөх
𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 𝒒 𝒏−𝟏
⇒ 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 = 𝟏𝟓 ⇒
𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒒 = 𝟏𝟓 ⇒ 𝒃 𝟏( 𝟏 + 𝒒) = 𝟏𝟓
10a. 𝒃 𝟕 =
𝟔𝟒
𝟕𝟐𝟗
𝒃 𝟏𝟏 =
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
𝒒 =?
𝒃 𝟕 𝒒 𝟒
= 𝒃 𝟏𝟎 𝒒 𝟒
=
𝒃 𝟏𝟏
𝒃 𝟕
=
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
∗
𝟕𝟐𝟗
𝟔𝟒
=
𝟏𝟔
𝟖𝟏
𝒒 = √
𝟏𝟔
𝟖𝟏
=
𝟒 𝟐
𝟑
10b. 𝒃 𝟓 =
𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟒𝟑
𝒃 𝟖 =
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
q=?
𝒃 𝟓 𝒒 𝟑
= 𝒃 𝟖 ⇒ 𝒒 𝟑
=
𝒃 𝟖
𝒃 𝟓
=
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
∗
𝟐𝟒𝟑
𝟐𝟓𝟔
=
𝟔𝟒
𝟐𝟕
⇒ 𝒒 = √
𝟔𝟒
𝟐𝟕
𝟑
=
𝟒
𝟑
11a. 𝒃 𝟓 =
𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟒𝟑
𝒃 𝟖 =
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
𝒃 𝒏 =?
𝒃 𝟓 𝒒 𝟑
= 𝒃 𝟖 ⇒ 𝒒 𝟑
=
𝒃 𝟖
𝒃 𝟓
=
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
𝟔𝟓𝟔𝟏
∗
𝟐𝟒𝟑
𝟐𝟓𝟔
=
𝟔𝟒
𝟐𝟕
⇒ 𝒒 = √
𝟔𝟒
𝟐𝟕
𝟑
=
𝟒
𝟑

16. Прогресс индукц
Нөхөх тест
39a) 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 15 өсөх арифметик прогресс бa
𝑎1 − 1, 𝑎2 − 1, 𝑎3 + 1 геометр прогресс бол геометр проãрессын s10-г ол
𝑎1 + 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 2𝑑 = 15 ⇒ 3𝑎1 + 3𝑑 = 15 ⇒ 𝑎1 + 𝑑 = 5 = 𝑎2
( 𝑎2 − 1)2
= ( 𝑎1 − 1)( 𝑎3 + 1)
⇒ (5 − 1)2
= (𝑎1 − 1)(𝑎2 + 𝑑 + 1)
⇒ 16=( 𝑎1 − 1)( 𝑑 + 6) ⇒ энд a1 = 5 − d орлуулгийг хийнэ.
⇒ 16 = (5 − 𝑑 − 1)( 𝑑 + 6) ⇒ 16 = (4 − 𝑑)( 𝑑 + 6)
⇒ 𝑑2
+ 2𝑑 − 8 = 0 ⇒ 𝑑1.2
−2±√4+4∗8
2
⇒ 𝑑1 = 2 𝑑2 = −4
a1 = 5 − 2 = 3 𝑠10 =
2𝑎1+9𝑑
2
10 = 120
39 Á.) 𝑏1 𝑏2 𝑏3 = 27 буурах геометр прогресс ба
𝑏1 − 1; 𝑏2 + 1; 𝑏3 − 1 тоонууд арифметик прогресс үүсгэх бол геометр прогрессийн
s6 − г ол.
𝑏1 𝑏1 𝑞𝑏1 𝑞2
= 27 ⇒ 𝑏1
3
𝑞3
= 27 ⇒ 𝑏1 𝑞 = 3 = 𝑏2
𝑏2 + 1 =
𝑏3 − 1 + 𝑏1 − 1
2
=
𝑏2 𝑞 + 𝑏1 − 2
2
4 ∗ 2 = 3𝑞 + 𝑏1 − 2 ⇒ 8 = 3𝑞 + 𝑏1 − 2
энд b1 =
3
q
орлуулгийг хийнэ.
8 = 3𝑞 +
3
𝑞
− 2 ⇒ 𝑞2
− 10𝑞 + 3 = 0 ⇒ 𝑞1 = 3 𝑞2 =
1
3
𝑏1 =
3
𝑞
= 3 • 3 = 9

17. s6 =
b1(q6−1)
q−1
=
9((
1
3
)
6
−1)
−
2
3
=
9(
1
729
−1)
−
2
3
=
9(−
728
729
)
−
2
3
=
364
27
40a) 4.x.y түүнууд арифметик прогресс үүсгэнэ.хэрэв у дээр 4-г нэмбэл геотетр
прошресс үүсдэг бол х-ын утгын олонлогийг ол.
4,x,y 4,x,y+4
𝑥 =
4+𝑦
2
(
4+𝑦
2
) 2
= 4( 𝑦 + 4)
𝑦2+16+8𝑦
4
= 4𝑦 + 16 ⇒
𝑥2
= 4(𝑦 + 4) 𝑦2
− 8𝑦 − 48 = 0 ⇒ 𝑦1 = 12 𝑦2 = −4
𝑥1 =
4 + 12
2
= 8 𝑥2 =
4 − 4
0
= 0
𝑥 {0; 8}
40b) х,у,18 тоонууд геометр прогресс үүсгэнэ. У дээр 4-г нэмбэл арифметик
прогресс үүсдэг бол у-ын утгын олонлогийг ол.
x,y,18 x.y+4,18
y2
= 18x y =
18+x
2
− 4 =
10+x
2
y + 4 =
18+x
2
(
10+x
2
)
2
= 18x ⇒ x2
+ 20x + 100 = 72x
x2
− 52x + 100 = 0 ⇒ x1 = 50 x2 = 2
y1 =
10 + 50
2
= 30 y2 =
10 + 2
2
= 6 y {6; 30}

18. Хавтгайн геометр
Сонгох тест
1а. Бодлого: Талууд нь а, b, с урттай гурвалжны медиануудаар байгуулсан
гурвалжны медиануудын урт аль нь вэ?
А.
𝟒
𝟓
а;
4
5
𝑏;
𝟒
𝟓
𝒄 B.
𝟑
𝟓
𝒂;
𝟑
𝟓
𝒃;
𝟑
𝟓
𝒄 C.
𝟑
𝟒
𝒂;
𝟑
𝟒
𝒃;
𝟑
𝟓
𝒄 D.
𝟐
𝟑
𝒂;
𝟐
𝟑
𝒃;
𝟐
𝟑
𝒄
Бодолт:
x; y; z=?
a b ma mb
c mc
I-р гурвалжны хувьд:
ma
2+mb
2+mc
2=
3
4
(a2+b2+c2)
II- р гурвалжны хувьд:
x2+y2+z2=
3
4
(ma
2++mb
2+mc
2)
Энэ хоёроос:
x2+y2+z2=
3
4
∗
3
4
(a2+b2+c2)
x2+y2+z2=
9
16
(a2+b2+c2)
x2+y2+z2=
3
4
a2;
3
4
b2;
3
4
c2
x =
3
4
a; y =
3
4
b; z =
3
5
c
1б. Бодлого: a,b талтай ABCD параллелограммын DA, DC талын дундажууд
болон В оройг холбоход үүссэн гурвалжны медианы урт өгсөн хоёр тал болон
BD=d диагоналиар илэрхийлбэл аль нь вэ?
А.
𝟒
𝟓
а;
4
5
𝑏;
𝟒
𝟓
𝒄 B.
𝟑
𝟓
𝒂;
𝟑
𝟓
𝒃;
𝟑
𝟓
𝒄 C.
𝟑
𝟒
𝒂;
𝟑
𝟒
𝒃;
𝟑
𝟓
𝒄 D.
𝟐
𝟑
𝒂;
𝟐
𝟑
𝒃;
𝟐
𝟑
𝒄
Бодолт: b
В C
BD=d
a
M AN=ND
CM=MD
A N D BMN-н медианууд x, y, z=?
mc
m
Z
y
С
..
С
..
d

19. ABD-н хувьд:
AN=ND тул BN нь нэг медиан. BM нь мөн нэг медиантай тэнцүү. MN нь мөн
нэг медиантай тэнцүү болно.
(1) BN2+BM2+MN2=
3
4
(a2+b2+c2)
BNM-н хувьд:
(2) x2+y2+z2=
3
4
(BN2+BM2+MN2)
1 ба 2оос: x2+y2+z2=
3
4
a2;
3
4
b2;
3
4
c2
x =
3
4
a; y =
3
4
b; z =
3
5
c
2а. Бодлого: Гурвалжны хоёр талын урт 12,8 нэгж, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн
биссектрисийн сууриар гурав дахь талын хуваагдсан хоёр хэсгийн нэг нь 6 нэгж
урт бол нөгөө хэсгийн урт хэд вэ?
А. 9 B.4 C.4; 6 D. 4; 9
Бодолт:
a)
12
6
=
8
𝑥
12 8 𝑥 =
48
12
= 4 нэгж
6 х
б)
8 12
8
6
=
12
𝑥
𝑥 =
72
8
= 9 нэгж
6 х
2б. Бодлого: Гурвалжны нэг тал 14 нэгж бөгөөд түүнд налсан нэг өнцгийн
биссектрис эсрэг орших талаа 7,9 нэгж урттай хэсгүүдэд хуваасан бол гурав дахь
талын урт хэд байх вэ?
D
..

20. А.
𝟗𝟖
𝟗
;
𝟕𝟔
𝟗
B. 16; 18 C. 18;
𝟗𝟖
𝟗
D.
𝟕𝟔
𝟗
; 16
a)
𝑥
7
=
14
9
x 14 𝑥 =
98
9
7 9
б)
14 x
14
7
=
𝑥
9
𝑥 = 18
7 9
3a. Гурвалжны хоёр тал, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн биссектрисийн урт
харгалзан 12, 24, 8√3 нэгж бол энэ өнцөг хэдэн градус байх вэ?
A
A.600 B. 750 C. 300 D. 1200
BC=√12 ∙ 24 − 𝐴𝐷 ∙ 𝐷𝐶 AC=12√3
12
𝑥
=
24
𝑦
12⁄ P=
36+12√3
2
= 18 + 6√3
A C
x B y
𝟏
𝒙
=
𝟐
𝒚
𝟐𝒙 = 𝒚 S=√(18 + 6√3) ∙ (6 + 6√3) ∙ (6√3 − 6) ∙ (18 − 6√3) =
288-xy=192 √(324 − 108) ∙ (108 − 36) = √216 ∙ 72 = 72√3
xy=96
x•2x=96/2 S=144•sin𝛼= 72√3 sin𝛼 = 60°
x2=48 x=4√3 y=8√3
С
..

21. 3б.Адил хажуут гурвалжны нэг хажуу талын медиан периметрийг 15 ,6 см
урт хэсгүүдэд хуваасан бол гурвалжны талуудыг ол.
А. 3,9,9 Б.5,8,8 С.13,4,4 Д.1,10,10
2х х 2х+х=15 3х=15 х=5
х+у=6 5+y=6 y=1
x талууд: 2х=10, 1,10
х
у
4б. Гурвалжны гурван өндрийн урвуу хэмжигдхүүний нийлбэр ямар байх вэ?
A .
𝟏
𝒓
B.
𝟏
𝑹
C.
𝑹
𝒓 𝟐
D. гурвалжны хэлбэрээс хамаарна
Багтаасан тойргийн радиус-R
Багтсан тойргийн радиус-r
1
ℎ1
+
1
ℎ2
+
1
ℎ3
=?
(1) h1=
𝑏𝑐
2𝑘
ℎ2 =
𝑎𝑐
2𝑅
ℎ3 =
𝑎𝑏
2𝑅
(2)
1
h1
+
1
h2
+
1
h3
=
bc
2k
+
ac
2R
+
ab
2R
=
2R(a+b+c)
abc
𝑆 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
томьёноос abc=4RS болно.
(3)
1
h1
+
1
h2
+
1
h3
=
2R(a+b+c)
4RS
=
(a+b+c)
2S
S=
(a+b+c)r
2S
томьёоноос a+b+c=
2𝑆
𝑟
болно.
(4)
1
h1
+
1
h2
+
1
h3
=
2S
r
∗
1
2S
=
1
r
5a. АВС гурвалжны ВС, АС талуудад буулгасан өндөр харгалзан АН1, ВН2
бөгөөд ВС=16, CA=12, BH2-AH1=2 бол эдгээр өндрийн урт хэл байх вэ?
A.3, 5 B.8, 10 C. 6, 8 D. 5, 7
A
..
b a
c
h1 h2
h3
С
..

22. H1 AH1=h1
BH2=h2
BC=16
A H2 C
(3) AH1C~ BH2C (1),(2)-c h1=h2-2
AH1
BH2
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
4h2-8=3h2
h1
h2
=
12
16
4h1=3h2 h1=6 c. 6 , 8
5б. Бодлого: АВС гурвалжны АН1, ВН2 өндрүүд Н цэгт огтлолцжээ. Хэрэв өнцөг
H1HB=300, AH1=3√3, BH1= 4, өнцөг B нь өнцөг А-аас их бол ВС, АС хоёр талын
урт хэд байх вэ?
А. 6√𝟑, 5 B. 8, 10√𝟏𝟎 C. 6√𝟑, 8 D. 9, 13
∠ 𝐻 1 𝐻𝐵 = 30° (1)∆𝐵𝐻1 𝐻~∆𝐴𝐻1
BH1=4
𝐵𝐻1
𝐴𝐻1
=
𝐵𝐻
𝐴𝐶
∡𝐵 =? 𝐴𝐶 =?
4
3√3
=
𝐵𝐻
𝐴𝐶
(2)
𝐵𝐻1
𝐵𝐻
= 𝑆𝑖𝑛30°
𝐵𝐻1
𝐵𝐻
=
1
2
BH=4•2=8
(1),(2)-c
8
𝐴𝐶
=
4
3√3
AC=6√3
∆𝐵𝐻1 𝐻~∆𝐵𝐻2 𝐶
𝐵𝐻1
𝐵𝐻2
=
𝐵𝐻
𝐵𝐶
BC=
𝐵𝐻2∙𝐵𝐻
𝐵𝐻1
=BH2•2
(3)∆AH1C~BH2C
AH1
BH2
=
AC
BC
BH2 =
BC
2
BC = BH2 •
BC
2
∙ 2
6a. Бодлого: АВС гурвалжны С өнцгийн биссектрисийн L3 суурийг дайрсан АС
талтай параллель шулуун ВС талыг Е цэгт огтолжээ. Хэрэв ВС=a, AC=b бол L3E
хэрчмийн урт ямар байх вэ?
А.
𝒂𝒃
𝒂+𝒃
B.√𝒂𝒃 C.
𝟏
𝟐
√𝒂𝒃 D.
𝟐𝒂𝒃
𝒂+𝒃
.

23. 1) L3E// AC тул ∡BL3E= ∡L3AC
∡ BEL3= ∡ECA
2)
LE
𝑏
=
LB
AB
=
BE
𝑎
3) L3E//AC ∡EL3C=𝛼 тул L3C=EC
LE
b
=
LB
𝐿𝐵+𝐿𝐴
=
a−LE
a
a·L3E = ba-L3E
L3E =
ab
a+b
7.А. Тэгш өнцөгт гурвалжны катет 9 нэгж, багтсан тойргийн радиус 3 нэгж бол
өндрийн сууриар гиптонузын хуваагдсан хэсгүүд хэд хэдэн нэгж байх вэ?
r=
2𝑆∆
𝑎+𝑏+𝑐
(1) 3=
9𝑎
𝑥+𝑦+9+𝑎
(3) a=9-x+y
(2) 92
+ 𝑎2
= (𝑥 + 𝑦)2
12=9-x=y
x+y=√92 + 𝑎2 y-x=3
(1),(2) c :3=
9𝑎
√92+𝑎2+9+𝑎
(2) x+y=√81 + 144=√225=15
3√92 + 𝑎2 = 9𝑎 − 27 − 3𝑎 {
𝑦 − 𝑥 = 3
𝑥 + 𝑦 = 15
= 2𝑦 = 12
3√92 + 𝑎2 = 6𝑎 − 27 y=6
(√92 + 𝑎2)
2
= (2𝑎 − 9)2
x=9
81+𝑎2
= 4 ∙ 𝑎2
− 36𝑎 + 81 6:9
3𝑎2
− 36 = 0
3a(a-12)=0
a=12
7.Б. Катетууд нь 3:7 гэж харьцдаг тэгш өнцөгт гурвалжны гиптонузэд буулгасан
өндөр 42 см бол түүний сууриар гиптонузын хуваагдсан хэсгүүд хэд хэдэн нэгж вэ?
8.А. Адил хажуут хоёр гурвалжны хажуу талуудын урт тэнцүү байжээ. Хэрэв
нэгнийх нь суурь, хажуу тал хоёр 8:5 харьцаатай, оройн өнцгүүдийн нийлбэр π
байсан бол талуудын урт хэд хэд байх вэ?

24. 8б. Адил хажуут хоёр гурвалжны оройн өнцгүүдийн нийлбэр π, сууриудын харьцаа
нь 9:40 байжээ. Хэрэв хажуу талууд нь ижилхэн 41 см байсан бол сууриудын уртыг
ол.
9.А. Тал нь диогналуудынхаа арифметик дунджаас √1.5 дахин бага ромбын
өнцгүүдийг ол.
. 1)
d1+d2
2
= √1.5·a
2)
d1
2sinα
=
d2
2sinβ
=
a
sin90
a=
d1
2sinα
=
d2
2sinβ
d1+d2
2
= √1.5·a
d1+d2
2
= √1.5 •
d1
2sinα
2√1.5•d1=2sinα(d1+d2)
sinα=
√1.5•d1
d1+d2
d2 =
2sinβ•d1
2𝑠𝑖𝑛𝛼
=
d1sinβ
sinα
sinα =
√1.5•d1
d1+
d1sinβ
sinα
=
√1.5•d1•sinα
d(sinα+sinβ)
√1.5 = sinα+sinβ α+β=900
√1.5 = sinα+sin(900
-α) √1.5 = sinα+cosα
(√1.5)2
= (sinα+cosα)2
1.5=sin2
α+2sinαcosα+cos2
α
1.5=1+sin2α sin2α=0.5 2α=300
Ромбын нэг өнцөг 2α=300
Нөгөө өнцөг α+β=900
β= 90-15=75 2β=1500
9.Б. Тал нь диогналуудынхаа геометр дундаж болдог ромбын өнцгүүдийг ол.
1)
c
m
=
a
𝑛
a=
cn
𝑚
2) c2=a2+(m+n)2 a=√c2 − (m + n)2
(
cn
𝑚
)2= (√c2 − (m + n)2)2
c2n2
m2
= c2- (m+n)2 c2n2

25. m2 –n2 c2n2=c2m2-m2(m+n)2 c2m2-c2n2=m2(m+n)2
c2 =
m2(m+n)2
m2 –n2
= √
m2(m+n)
m –n
=m√
m2(m+n)
m –n
10.А. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектрис хөндий орших катетийг m,n
(m>n) урттай хэсгүүдэд хуваасан бол гипотенузын урт ямар байх вэ?
10.Б. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектрис хөндий орших катетийг m,n
(m>n) урттай хэсгүүдэд хуваасан бол нөгөө катетийн урт аль нь вэ?
ªã¿¿ëáýðòýé áîäëîãî
ͺõºõ òåñò
21a. Áîäëîãî: Õî¸ð òîîíû íýã íü íºãººãººñºº 8-ààð èõ áà íýãíèéõ íü
7
13
íü íºãººãèéíõºº
3
5
–
òàé òýíö¿¿ áàéñàí áîë óã õî¸ð òîîíû èõ íü áàãà íü áàéíà.
Áîäîëò: Õî¸ð òîîã õ áà ó-ýýð îðëóóëàí áîäîæ áîëíî.
X=y+8
7
13
x =
3
5
y 35y+280=39y
35x=39y 4y=280 x=70+8=78
35(y+8)=39y y=70 =78
=70
21á. Áîäëîãî: Õî¸ð òîîíû íü íºãººãººñºº 34-ººð áàãà áà íýãíèéõ íü
11
15
íü íºãººãèéíõºº
4
7
–
òàé òýíö¿¿ áàéñàí áîë óã õî¸ð òîîíû áàãà íü èõ íü áàéíà.
Áîäîëò: Õî¸ð òîîã õ áà ó-ýýð îðëóóëàí áîäîæ áîëíî.
cdab
abñ dåf
ab cd

26. 22à. Áîäëîãî: 600 õóóäàñ öààñààð õî¸ð òºðëèéí äýâòýð õèéõäýý íýãèéã íü 48
õóóäàñòàé íºãººã íü 60 õóóäàñòàé õèéæýý. Òýãâýë õàìãèéí îëîíäîî äýâòýð õèéíý.
Áîäîëò: 48 õóóäàñòàé 10 äýâòýð-48*10=480
600-480=120 õóóäàñ ¿ëäýíý (120õóóäñààð 60 õóóäàñòàé 2 äýâòýð )
Íèéò 12 äýâòýð õàìãèéí èõäýý õèéíý.
22á. Áîäëîãî: 480 õóóäàñ öààñààð õî¸ð òºðëèéí äýâòýð õèéõäýý íýãèéã íü 36
õóóäàñòàé íºãººã íü 48 õóóäàñòàé õèéæýý. Òýãâýë õàìãèéí îëîíäîî äýâòýð õèéíý.
Áîäîëò: 36 õóóäàñòàé 12 äýâòýð-36*12=432
480-432=48 õóóäàñ ¿ëäýíý (48õóóäñààð 48 õóóäàñòàé 1 äýâòýð )
Íèéò 13 äýâòýð õàìãèéí èõäýý õèéíý.
23a. Áîäëîãî: Áè ãýäýã òîî ñàíààä, ñàíàñàí òîîíîîñîî öèôð¿¿äèéí íèéëáýðèéã íü
õàñàâ. Ãàðñàí òîîãîî 2-îîð ¿ðæ¿¿ëæ, 12-èéã õàñààä, 3-ò õóâààõàä 38 ãàðàâ. Ñàíàñàí òîîíû
àðàâòûí îðîíû öèôð íü íýãæèéí îðíû öèôðýýñ 1-ýýð áàãà áà ýíý òîîã 2-ò õóâààæ 13-èéã
õàñâàë ãàðíà.
Áîäîëò: ab
((a-b)*2-12):3=38 a+1=b
(a-b)*2-12=114
𝑎𝑏
2
-13=cd
(a-b)*2=126
ab-a-b=63
ab-a-b=63 a(b-1)-b=63
, a+1=b a=b-1
a(a+1)-a-a-1=63 b2
-2b+1-b=63
a2
+a-a-a-1=63 b2
-b+64=0
a2
-a-64=0 b1=9 b2=-8 b=9
=78
(a+8)(a-9)=0 78-7-8=63
a1=9 a2=-9
78
2
=39
a=9 39-13=26 =26
b=9+1
23á. Áîäëîãî: : Áè ãýäýã òîî ñàíààä, ñàíàñàí òîîíîîñîî öèôð¿¿äèéí íèéëáýðèéã íü
õàñàâ. Ãàðñàí òîîãîî 2-ò õóâààæ, 12-èéã íýìýýä, 3-ò õóâààõàä 13 ãàðàâ. Ñàíàñàí òîîíû
ab
ab
ab
cd
ab
cd
ab
cd

27. àðàâòûí îðîíû öèôð íü íýãæèéí îðíû öèôðýýñ 1-ýýð èõ áà ýíý òîîã 5-ò õóâààæ 17-èéã
íýìáýë ãàðíà.
Áîäîëò:
(𝒂𝒃−𝒂−𝒃)+𝟏𝟐𝟎
𝟐
𝟑
=13 ab-a-b=54 a=b+1
𝑎𝑏
5
+ 17=cd
ab-a-b=54 a(b-1)-b=54 (b+1)(b-1)-b=54 b2
-b-55=0
a=b+1 b1,2=
1±√1+220
2
b=5 a=5+1=6
=65
65
5
=13 13+17=30 =30
24à. Áîäëîãî: Îäîî õ¿¿ íü ýöãýýñýý 3 äàõèí ä¿¿ áºãººä õýäýí æèëèéí äàðàà 2 äàõèí ä¿¿
áîëîõ áà òýð ¿åä ýöãèéí íàñ õ¿¿ãèéí íàñíû íèéëáýð 72 áîëîõ áîë îäîî ýöýã íü íàñòàé áà
æèëèéí äàðàà ýöýã õ¿¿ õî¸ðûí íàñíû íèéëáýð 110 áîëíî.
Áîäîëò: X¿¿ãèéí íàñûã-õ
Ýöãèéí íàñûã-ó=3x
(x+y)2=y+z x+z+y+z=72 x+y+2z=72 4x+2z=72 2x+z=36
2x+2z=y+z 2x+z=y y=36 =36 x=36:3=12 õ¿¿ãèéí
íàñ
36+cd+12+cd=120 2cd+48=110 2cd=62 =31
24á. Áîäëîãî: Îäîî õ¿¿ íü ýöãýýñýý 5 äàõèí ä¿¿ áºãººä õýäýí æèëèéí äàðàà 3 äàõèí ä¿¿
áîëîõ áà òýð ¿åä ýöãèéí íàñ õ¿¿ãèéí íàñíû ÿëãàâàð 32 áîëîõ áîë îäîî ýöýã íü íàñòàé áà
æèëèéí äàðàà ýöýã õ¿¿ õî¸ðûí íàñíû íèéëáýð 100 áîëíî.
Áîäîëò: X¿¿ãèéí íàñûã-õ
Ýöãèéí íàñûã-ó=3x
Õýäýí æèë-z
(x+z)3=y+z y+z-(x+z)=32 y+z-x-z=32 y-x=32 5x-x=32 x=8
y=5*8=40 =40 cd+8+cd+40=100 2cd+48=100 2cd=52
=52
25à. Áîäëîãî: ¯çýã äýâòýð õî¸ð, íîì õàðàíäàà õî¸ðîîñ 4äàõèí õÿìä. ¯çýã, äýâòýð,
õàðàíäààíû ¿íý íîìíîîñ 2 äàõèí õÿìä, äýâòýð, õàðàíäàà, ном нийлээд 8000 төгрөг, үзэг
дэвтрээс 5 дахин үнэтэй бол үзэг төгрөг, ном дэвтрээс дахин үнэтэй байна.
Áîäîëò: ¯çýã-à Íîì- c Äýâòýð-b Õàðàíäàà-d
4(a+b)=c+d 2(a+b+d)=c b+d+c=8000 a=5b a=? x*b=c x=?
4a+4b=c+d 4*5b+4b=c+d 24b=c+d 12b+2d=c c=20b =20
ab cd
ab cd
abcd ef
ab cd
ab
cd
ab
cd
ef

28. 2a+2b+2d=c 24b=12b+2d+d 3d=12b d=4b
b+d+c=8000
a=5b b+d+c=b+4b+c=5b+c=8000=a+c
4a+4b=c+d 2(a+b+d)=c c=5d=5*4b=20b c=20b
4a+4b=2c-4d c=5d b+d+c=8000
5b+c=8000 5b+20b=8000 25b=8000 b=320
A=b*5=320*5=1600 =1600òºã
25á. Áîäëîãî: ¯çýã äýâòýð õî¸ð, íîì õàðàíäàà õî¸ðîîñ 4äàõèí õÿìä. Äýâòýð, õàðàíäààíû ¿íý
íîìíîîñ 2 äàõèí õÿìä, äýâòýð, õàðàíäàà, ном нийлээд 8400 төгрөг, õàðàíäàà дэвтрээс 1750
òºãðºãººð èë¿¿ үнэтэй бол äýâòýð төгрөг, 6 øèðõýã ном ¿çýãíээс дахин
үнэтэй байна.
Áîäîëò: Үзэг-х Дэвтэр-у Ном-z Харандаа-n гэж орлуулъя
(x+y)4=z+n 16800-2z=z 3z=16800 z=5600
(y+n)2=z (x+525)4=7875 4x+2100=7875 4x=5775
y+n+z=8400 y+n=8400-z y+n=2800 y+y+1750=2800 2y=1050 y=525
n=y+1750
26a. Áîäëîãî: Xо¸р натурал тоонû хамгийн бага åрөнхий хуваагдагч ба хамгийн
бага åрөнхийлөн хуваагчуудûнх нü ялгавар уг хо¸р тоонûхоо найлбэртэй тэíö¿¿ ба
хо¸р тоонû зөрөө íü 8 бол бага íü èõ íü байна.
26á. Áîäëîãî: Õо¸р натурал тоонû хамгийн бага åрөнхий хуваагдагч ба хамгийн
бага åрөнхийлөн хуваагчуудûнх нü нийлбэр уг хо¸р тоонûхоо нийлбэртэй 4 дахин
их ба хо¸р тоонû зөрөө íü 10 бол бага íü èõ íü байна.
27à. Áîäëîãî:
𝒎
𝒏
áутархай үл хураагдах ба
2𝑛−𝑚
3𝑛+4𝑚
нü хураагдах бутархай бол уг
бутархай -д хураагдана,
27á. Áîäëîãî:
𝒎
𝒏
áутархай үл хураагдах ба
3𝑛+2𝑚
4𝑛−𝑚
нü хураагдах бутархай бол уг
бутархай -д хураагдана,
28à. Áîäëîãî: 3-т, 5-т, 10-тын 40-н ширхэг дэвсгэрт нийлээд 300 доллар болж
байв. Xэрэв бүх дэвсгэрт нийлээд тэгш ширхэг байсан бол 3-тынх нü ширхэг,
10-т íü ширхэг, байсан байна.
Áîäîëò : 3т-х 5т-у 10т-z гэе.
3x+5y+10z=300
x+y+z=40 Эндээс үзэхэд 10z гэдэг нь тэгш тоо болно мөн тэгээр төгсөөд 10д
хуваагддаг тоо байх ёстойгоос гадна z<30 байх ёстой. Харин 5у нь мөн сондгой
тоо болох ба 5д хуваагддаг тоо болно. Эндээс шийдүүдийг орлуулан шалгавал:
abc
dde
abcd
ab cd
ab cd
ab
ab
ab
cd

29. x=10 y=2 z=28 болчихоор шийдгүй болно.
x=10 y=4 z=26 болчихоор шийдгүй болно.
x=10 y=6 z=24 Õàðèí ýíý ¿åä áèäýíä ºãñºí íºõöºëèéã õàíãàõ øèéä íü îëäîæ áàéãàà þì.
x=10 y=8 z=22 болчихоор шийдгүй болно.
x=10 y=10 z=20 болчихоор шийдгүй болно.
Èéìýýñ ab=10 cd=24áîëæ áàéãàà þì.
28á. Áîäëîãî: : 3-т, 5-т, 10-тын 45-н ширхэг дэвсгэрт нийлээд 350 доллар болж
байв. Xэрэв бүх дэвсгэрт нийлээд ñîíäãîé ширхэг байсан бол 3-тынх нü
ширхэг, 5-т íü ширхэг, байсан байна.
Бодолт: 3т-х 5т-у 10т-z гэе
3x+5y+10z=350
x+y+z=45 Эндээс үзэхэд 10z гэдэг нь тэгш тоо болно мөн тэгээр төгсөөд 10д
хуваагддаг тоо байх ёстойгоос гадна z<35 байх ёстой. Харин 5у нь мөн сондгой
тоо болох ба 5д хуваагддаг тоо болно. Эндээс шийдүүдийг орлуулан шалгавал:
x=5 y=5 z=35 болчихоор шийдгүй болно.
X=5 y=7 z=33 болчихоор шийдгүй болно.
X=5 y=9 z=31 болчихоор шийдгүй болно.
X=5 y=11 z=29 болчихоор шийдгүй болно.
X=5 y=13 z=27 харин энэ үед бидэнд өгсөн нөхцөлийг хангах шийд нь îëäîæ
байгаа юм. Иймээс а=5 bc=13 болно.
29à. Áîäëîãî: Xо¸р хайрцагт нийлээд 30аас олон бөмбөг байв. эхний хайрцаг
дахü бөмбөгийн тоог 2-оор багасгахад хо¸р дахü хайрцагны бөмбөгний тоог 3
дахин нэмэгдүүлснээс их ба эхний хайрцаг дахü бөмбөгний тоог 3 дахин
нэмэгдүүлсэн нü нөгөө хайрцаг дахü бөмбөгний тоог 2 дахин нэмэгдүүлсэнээс их
бөгөөд 60-аас зөрөөтэй бол эхний хайрцагт ширхэг, хо¸р дахü хайрцагт
бөмбөг байжээ.
29á. Áîäëîãî: Xо¸р бригад нийлээд 27-оос олон хунтэй. Эхний бригадын хуний
тоо хо¸р дахü бригадын хуний тоог 12-оор багасгахад хо¸р дахин ихэсгэснээс их
ба хо¸р дахü бригадын хүний тоо эхний бригадын хүний тоог 10-аар хорогдуулаад
9 дахин нэмэгдүүлсэнээс их бол íэгдүгээр бригад хунтэй, хо¸рдугаар бригад
хунтэй байжээ.
30à. Áîäëîãî:
Өгүүлбэртэй бодлого
bc
a
ab c
ab cd

30. 1А. Манай анги 29-өөс олон 4-аас цөөн сурагчидтай.5
9
нь охид бол хэдэн
хөвгүүдтэй вэ?
А.14 B.15 C.16 D.17
9
9
-ыг ангийн бүх хүүхэд гэе.
5
9
нь охид юм бол
9
9
−
5
9
=
4
9
нь хөвгүүд болно.
4
9
х
9
9
х
4
9
Ангийн хүүхдийн тоо
9𝑥
4
. Иймд ангийн хөвгүүдийн тоо 4-т хуваагддаг байх ёстой .
Иймд 16 болно.
9
4
∙ 16 = 36 (ангийн бүх хүүхдийн тоо)
Хэрэв 4-т хувааглахгүй бол бутахрай тоо гарах тул боломжгүй юм.
1.Б Манай анги 21-ээс олон 58-аас цөөн сурагчидтай . Хөвгүүд 45% нь бол
хэдэн охидтой вэ?
А.20 B.22 C.24 D.26
Ангийн хүүхдийн тоо – 100%
Хөвгүүд –45%
Охид – 100%-45% =55%
55% охид x гэе
100%
100𝑥
55
Тэгвэл ангийн хүүхдийн тоо
100𝑥
55
=
20𝑥
11
болно. Иймд ангийн охидын тоо 11-т
хуваагддаг байх ёстой тул 22 болно. Бусад тохиолдолд бутархай тоо гарах тул
боломжгүй.
20𝑥
11
=
20∙22
11
= 20 = 20 ∙ 2 = 40 21→58 хооронд байна.
2А. Квадратын талын уртыг 10% ихэсгэхэд талбай нь хэдэх хувиар ихсэх вэ ?
А.18% B.19% C.20% D.21%D

31. Квадратын талын уртыг х гэе. Тэгвэл квадратын талбай S=𝑥2
болно.
x 100% у=
𝑥
10
(10%)
У 10%
x+
𝑥
10
=
10𝑥+𝑥
10
=
11𝑥
10
= 1,1𝑥 𝑆(кв) = (1,1𝑥)2
= 1,21𝑥2
1,21х2
− х2
= 0,21х2
𝑥2
100% z=
0.21𝑥2∙100%
𝑥2
= 21%
0,21𝑥 z%
21% нь 0,21х2
тул 21% -аар өссөн.
2Б. Кубын ирмэгийг 10% багасгахад бүтэн гадаргуу нь хэлэн хувиар багасах вэ?
А.18% B.19% C.10% D.21%
Кубын ирмэгийг х гэе . тэгвэл бүтэн гадаргуу нь 8х болно. Учир нь куб 8 ирмэгтэй .
100% - 10%= 90% (үлдсэн)
100% х у=0,9х гадаргуу 8·09х=7,2х
90% у 8х-7,2х=0,8х
8х 100% у=10%
0,8х у
Бүтэн гадаргуу нь 10% -иар багасна.
3А. Сургууль төгсөгчид бие биендээ зургаа дурсгахад 930 зураг солилцжээ.
Төгсөгчид хэд байсан бэ?
А.30 B.31 C.32 D.33
Төгсөгчдийн тоог х гэе . Нэг хүн өөрийгөө хасаад х-1 хүнд зургаа дурсгана.
Бүх солилцсон зурагны тоо x(x-1)=𝑥2
− 𝑥 = 930
𝑥2
-x-930=0

32. 𝑥1.2=
1±√1+930∙4
2
=
1±61
2
𝑥1=31 𝑥2 ≠ −30 Иймд 31 төгсөгч байсан.
3Б. Шигшээ тэмцээнд оролцон шатарчлан тоглосон даамчид нийт 120 өрөг
тоглосон бол тэмцээнд хэдэн даамчин оролцсон бэ?
А.12 B.14 C.16 D.18
Нийт даамчдын тоог х гэе .Тэгвэл эхний хүн х -1 өрөг 2 дахь хүн х-2 өрөг г.м өрөг
тоглоно. (өөрийгөө хасаад)
х-1+х-2+х-3+.....+х-х=120
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=120
Иймд 16 даамчин байсан.
16-1+16-2+16-3+.....+16-15+16-16=120 гэж батлагдлаа.
4А. Хоёр тооны нэгийг 50% ихэсгэж , нөгөөг нь х% ихэсгэхэд үржвэр нь 80% ихсэв
. х –ийн утгыг ол.
А.15% B.16% C.18% D.20%
Хоёр тооны нэгийг а нөгөөг нь в гэе.
а 100х а+0,5а=1,5а
0,5а 50х
в 100х
вх
100
вх
100
х·х
а·в 100% 100+80=180%
1,8а·в 180%
1,5а·
вх
100
= 1,8а ∙ в
1,5х
100
= 1,8 х=120%
120%-100%=20%
20% -иар өссөн.

33. 4Б. Хоёр тооны нэгийг 25% , нөгөөг х хувь багасгахад үржвэр нь 20% багасав . х-
ийн утгыг ол?
А.30% B.32% C.36% D.38%
Хоёр тооны нэгийг а нөгөөг нь в гэе.
100а+ 25%=125% болсон.
а 100% у=1,25а в 100х у=
в(100−х)
100
у 125% у 100-х
1,25а·
в(100−х)
100
= 0,8а ∙ в
а·в 100% у=100%-20%=80%
0,8а·в у
1,25(100-х)=80
100-х=64
х=36%
5А.Нэгэн сургуулийн сурагчдын
1
8
нь онц ,
1
6
нь сайн ,
3
5
нь дунд дүнтэй суралцаж
байжээ. Хамгийн цөөндөө хэдэн сурагч хангалтгүй дүнтэй вэ?
А.11 B.12 C.13 D.14
1
8
нь онц
1
6
нь сайн
3
5
нь дунд 5,6,8 –ын ХБЕХ =120
1
8
=
15
120
1
6
=
20
120
3
5
=
72
120
120
120
нийт хүүхдийн тоо
120−15−20−72
120
=
13
120
муу буюу хангалтгүй хүүхдийн тоо(13)
5Б. Нэгэн сургуулийг сурагчдын
1
10
нь онц ,
5
26
нь сайн ,
3
5
нь дунд дүнтэй шалгагджээ.
Хамгийн цөөндөө хэдэн сурагч хангалтгүй үнэлгээ авсан бэ?
А.15 B.25 C.24 D.14
5,26,10 –ын ХБЕХ=130

34. 1
10
+
5
26
+
3
5
+ х =
130
130
х
130
=
130−13−25−78
130
х=14 хамгийн цөөндөө
6А. Нэг сургууль 203-аас олон 397-с цөөн оюутантай. Тэдгээрийн 18% нь төгсөх
4-р ангид , 25% нь 3-р ангид ,28% нь 2-р ангид сурдаг бол 1-р анги хэдэн
оюутантай вэ?
А.86 B.87 C.88 D.90
1-р ангийн оюутны тоог х гэе.
100% =18%+25%+28%+х х=29%(1-р ангид)
29% 86 х=296,5 тул биш 29% 87 х=300
100% х 100% х тул болно
Учир нь 87⋮29 тул . Бусад нь бутархай гарах тул боломжгүй.
6Б. Нэг сургууль 203-аас олон 397-с цөөн оюутантай. Тэдгээрийн 18% нь төгсөх 4-
р ангид , 25% нь 3-р ангид 28% нь 2-р ангид сурдаг бол энэ жил төгсөх хэдэн
оюутантай вэ?
А.51 B.52 C.53 D.54
18%+25%+28%+29%=100% төгсөх оюутны тоог а гэе.
18% а (203-397)=
100а
18
Иймд а тоо нь 18д
100% (203-397) хуваагддаг тоо байх тул болно. 54/18=3
18% 54 х=300
100% х
7А.Нэг сургуулийн 1-р ангид 300-аас олон, 400-аас цөөн оюутан байсныг 8 ба 9-
өөр нь бүлэглэхэд адил 7 үлдэж байсан бол яг хэдэн оюутан байсан бэ?
А.359 B.367 C.383 D.394
Нийт байсан оюутны тоог х гэе. 8+9=16 Х-г 16-лд хуваахад 7 үлдэгдэл өгдөг
байна.
359/16=22+7(үлд) Иймд 359 оюутан байсан.

35. 7Б. Нэгэн сумын сургууль 280-аас олон , 440-с цөөн сурагчидтай , тэдгээрийг 9 ба
10 аар нь бүлэглэхэл яг үлдэгдэлгүй тохирч байв. Сургууль хэдэн сурагчидтай вэ?
А.290 B.300 C.360 D.400
9 ба 10 аар бүлэглэнэ гэхээр нийт хүүхдийн тоо 9+10=19-д хуваагддаг байсан.
290,360,300 нв үлдэгдэлтэй хуваагдах туд биш болно. Иймд сургууль нийт 400
сурагчидтай байжээ.
8А.Номын хуудас дугаарлахад 756 цифр ашиглагджээ. Ном хэдэн хуудастай вэ?
А.287 B.288 C.289 D.290
1 оронтой тоо- 9ш -5х 9+90=99ш 756-99=657ш 3 оронтой тоо
2 оронтой тоо- 90ш -45х 657/3=219 х
219+5+45=269х
8Б.Номын сүүлчийн хуудас 370-аар дураарлаглсан бол номын хуудас
дугаарлахад хичнээн цифр ашиглагдсан бэ?
А.1000 B.1001 C.1002 D.1003
Эхний 4 хуудас 8 цифр , 5 дахь хуудас 3 цифр . Дараагийн 44 хуудас 44·4=176 50
дахь хуудас 5 цифр
8+3+176+5=192 цифр
Үлдсэн хуудасны тоо 185-50=135 135·6=810
Бүгд: 192+810=1002 цифр ашиглагдсан.
9А. Өвс хатахдаа жингийнхээ
3
5
хэсгийг алдана. 1000т хатсан өвс бэлтгэхийн тулд
хичнээн тонн өвс хадвал зохих вэ?
А.2220 B.2400 C.2500 D.3000
5
5
-
3
5
=
2
5
хэсэг нь хатсан өвс . Нийт хадах өвсийг х гэе .
2х
5
= 1000т 2х=5000т х=2500т

36. 9Б. Алим хатахдаа 75% хөнгөрнө. 50 кг хатсан алим бэлтгэхэд хичнээн хэмжээний
шинэ алим шаагдагдах вэ?
А.150 B.175 C.200 D.225
100%-75%=25% хатсан алим 25% 50кг х=2000кг
100% х кг
10А. Хоёр тооны нийлбэрийн квадратаас тэдгээрийн квадратын нийлбэрийг
хассан ялгавар 2146 бол тэр 2 тооны үржвэр нь хэд вэ?
А.1053 B.1063 C.1073 D.1083
Хоёр тоог х , у гэе. (𝑥 + 𝑦)2
− ( 𝑥2
+ 𝑦2) = 2146 х·у=?
х2
+ 2ху + у2
− х2
− у2
=2146 2ху=2146 ху=1073 болно.
10Б.Хоёр тоонб кубын ялгавраас ялгаврын кубыг хасахад 924 гарах , харин
тэдгээрийн нийлбэрийн кубээс кубийг нийлбэр хассан нь 4158 бол тэдгээр 2 тооны
харицааг ол?
А.3:5 B.7:11 C.2:3 D.9:13
Хоёр тоог х , у гэе.
{
х3
− у3
− (x − y)3
= 924
(x + y)3
− (x3
+ y3) = 4158
={
x3
− y3
− (x3
− y3
− 3x2
y + 3xy2) = 924
x3
− y3
+ 3x2
y + 3xy2
− x3
− y3
= 4158
=
+ {
3x2
y − 3xy2
= 924
3x2
y + 3xy2
= 4158
=6x2
y = 5082 x2
y = 847 3x2
y = 2541
3x2
y − 3xy2
− 3x2
y − 3xy2
= −924 − 4158
-6xy2
= −3234 xy2
= 539
х:у=? x2
y: xy2
= х: у = 847: 539 = 11: 7
11А. Дараалсан 2 сондгой эерэг бүхэл тооны квадратын ялгавар 152 бол бага нь
аль вэ?
А.35 B.37 C.39 D.41
Дараалсан 2 сондгой тооны багыг нь х гэвэл нөгөөдөх нь х+2 болно.
(x + 2)2
− x2
= 152 x2
+ 4x + x − x2
= 152 4x=148 x=37

37. 11Б.Дараалсан 2 бүхэл эерэг тооны нийлбэрийн квадрат нь квадратын нийлбэрээс
5512-оор их бол тэр 2 тооны ихийг нь заа.
А.51 B.52 C.53 D.54
Дараалсан 2 бүхэл эерэг тооны багыг нь х гэвэл нөгөөдөх нь х-2 болно.
(2х + 2)2
− 5512=x2
+ (x − 2)2
4x2
+ 8x + 4 − 5512 = 2x2
− 4x +4
x2
+ 6x − 2756 =0
𝑥1.2 =
−6±√36+11024
2
=
−6±105
2
x=50 x+2=52
12А.Оюутан 3 өдөр шалгалт өгөхөөр бэлтгэхдээ эхний өдөр бүх асуултийн
1
4
дараа
өдөр эхний өдрийнхөөс 20% илүү , сүүлчийн өдөр үлдэх 27 асуултыг бэлтгэв.
Хэдэн асуулт байсан бэ?
А.48 B.56 C.60 D.64
эхний өдөр
1
4
, дараа өдөр
3
10
, 3 дах өдөр 27
1
4
+
3
10
+ х=
20
20
5+6
20
+ х =
20
20
х=
9
20
9
20
27 х=
27
1
∙
20
9
= 60 асуулт байсан .
1 х
12Б. Орчуулагч эхний 7 хоногт номын яг хагасыг , 2 дахь 7 хоногт 60%-тай тэнцэх
хуудас орчуулж , харин сүүлийн 7 хоногт үлдэх 48 хуудас орчуулсан бол ном хэдэн
хуудастай байсан бэ?
А.220 B.240 C.260 D.280
Номын хуудсыг х гэе . Эхний 7 хоног 0,5х
0,5х 100% у=0,3х (2 дахь 7 хоног)
у 60%
0,5х+0,3х=0,8х х-0,8х=0,2х (сүүлийн 7 хоног)

38. 0,2х=48 х=240 хуудас
13А. Барааны үнийг эхлээд 20% , дараа нь 15% , сүүлийн улаа 10%
хямдруулахад анхныхаасаа хэдэн хувь хямдрах вэ?
А.38,8% B.39,8% C.40% D.45%
Анхны үнийг х гэе .
х 100% у=0,8х (эхний нэмэлтийн дараа)
у 100%-20%
0,8х 100% у=0,68х(2 дахь нэмэлтийн дараа)
у 100%-15%
0,68х 100% у=0,612х(сүүлийн нэмэлтийн дараа)
у 100%-10%
нийт х-0,612х=0,388х хямдарсан
х 100% z=38,8% хямдарсан.
0,388х z%
13Б. Цалинг эхлээд 15%,дараа нь 10% , сүүлчийн удаа 5% нэмэхэд анхныхаасаа
хэдэн хувиар өссөн бэ?
А.30% B.31,825% C.32,825% D.33,825%
Анхны цалинг х гэе .
х 100% у=0,15х эхний цалин нэмэлтийн дараа
у 15% х+0,15х=1,15х болсон.
1,15х 100% у=0,115% 1,15х+0,115%=1,265х болсон
у 10%
1,265х 100% у=0,06325х

39. у 5%
Бүхний нэмэлтийг дараа цалин 1,265х+0,06325х=1,32825х болсон . Үүнээс
анхны цалинг хасвал нийт нэмэгдсэн цалингийн хэмжээ гарна . 1,32825х-
х=0,32825х
х 100% z=32,825% -иар өссөн .
0,32825х z%
14А. Тракторчин гурван хэсэг газар хагалах ёстой байлаа. Эхний талбай нь нийт
талбайн 40% ба 2-р талбай нь 1-р талбайн 40% , 3-р талбайн хэмжээ 4,4 га бол
нийт таобайн хэмжээ аль нь вэ?
А.8 B.9 C.10 D.11
Нийт талбайг х гэе .
х 100% у=0,4х (1-р талбайн хэмжээ)
у 40%
0,4х 100% у=0,16х (2-р талбайн хэмжээ)
у 40%
0,4х+016х=0,56х х-0,56х=0,44х (3-р талбайн хэмжээ)
0,44х=4,4га х =10 га
15А. Үйлдвэр шинэ технологи нэвтрүүлэх, үйлдвэрээ өргөтгөх, ажилчдынхаа
мэргэжлийг дээшлүүлэх замаар бүтээгдхүүн гаралтаа 3 жил дараалан адил хувиар
нэмэгдүүлж 1,728 дахин өсгөжээ. Жилийн өсөлтийн хувийг ол.
А.15% B.18% C.20% D.25%
Жилийн өсөлтийн хувийг х гэе .
Өсөөгүй байсан бүтээгдхүүн гаралтыг а гэе. а=1,728а
а 100% у=
𝑎(100%+х)
100
(эхний жилийн өсөлт)
у 100%+х

40. 𝑎(100%+х)
100
100% у=
𝑎(100%+х)2
(100)2
(2 дахь жилийн өсөлт)
у 100+х
𝑎(100%+х)2
(100)2
100% у=
𝑎(100%+х)3
(100)3
(3 дахь жилийн өсөлт)
у 100+х
1,728а=
𝑎(100%+х)3
(100)3
1203
= (100 + х)3
120=100+х х= 20%жилийн өсөлт
15Б. Нэгэн дээд сургуулийн оюутны тоо 3 жил дараалан жил бүр ижил хувиар
өсөж 8000-аас 9261 болжээ. Жилийн өсөлт нь хэдэн хувь бэ?
А.4,5% B.5% C.5,5% D.0,6%
Жилийн өсөлтийн хувийг х гэе.
8000 100% у=80(100+х)( эхний жилийн өсөлт)
у 100%+х
80(100+х) 100% у=
(100+х)2·4
5
(2 дахь жилийн өсөлт)
у 100%+х
(100+х)2·4
5
100% у=
(100+х)3
125
у 100%+х (3 дахь жилийн өсөлт)
(100+х)3
125
=9261 (100 + х)3
=(1105)3
100+х=1105 х=5%