1. Bài t p ð i S Tuy n Tính 1
Bài t p S PH C
LÝ THUY T:C n làm rõ các v n ñ sau
1. S ph c là gì? Th nào là liên h p c a m t s ph c? Khi nào hai s ph c b ng nhau?
2. Các phép toán c a s ph c và s ph c liên h p? Modun c a s ph c?
3. a. Các d ng bi u di n c a s ph c?
b. Có th vi t d ng lư ng giác c a s ph c là cosu – isinu; sinu ± icosu?
c. Khi nào thì s d ng d ng ñ i s c a s ph c; khi nào s d ng d ng lư ng giác?
d. Nâng s ph c lên lũy th a và khai căn s ph c? Có th tìm lũy th a p c a z v i p
b t kỳ?
4. Hàm s mũ v i s mũ ph c? Tính ch t? Công th c Euler?
BÀI T P
Bài 1. Tính:
1. (-3 + i)(14 + 2i) ð/s -40 + 20i 2.
2 + 3i
ð/s:
− 10 + 11i
3.
(1 + 2i )2 ð/s: − 7 + i
1 − 4i 17 1− i 2
4.
(1 + 2i )2 − (1 − i )3 ð/s 5.
(1 + i )9 ð/s: 2 6. 3 − 4i ð/s: ± ( 2 – i)
(3 + 2i )3 − (2 + i )2 (1 − i )7
7. (1 − i )
2+i 2−i 3
( )
3442
+ i ð/s: 2 + i 9. (1 + 3i )3 + 1 + i 3
9
ð/s: -21721 i 8. +
1− i 1+ i 2
Bài 2. Bi u di n các s ph c sau dư i d ng ñ i s x + iy; x, y ∈ R.
a. (1 + i)12 ð/s: -64 b. 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)99. ð/s(1 + 250)i
−6
1− i 
c.   ð/s: –i d. cos z. T ñó suy ra cos (1 – 2i) e. sin z. T ñó suy ra sini.
 2
( ) (
Bài 3. Cho z = 2 cos π 4 + i sin π 4 và w = 3 cos π 6 + i sin π 6 )
Tìm d ng lư ng giác c a:
a. zw; b. z/w; c. w/z ; d. z5/w2 .
Bài 4. Bi u di n các s ph c sau dư i d ng lư ng giác:
 2π 2π  1− i 3π 3π
a. z = − 2 + 2i 3 ð/s: z = 4 cos + i sin  b. ð/s: cos + i sin
 3 3  1+ i 2 2
Biên so n: Nguy n Vũ Th Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa V t Lý – ðHSP Tp.HCM

2. Bài t p ð i S Tuy n Tính 2
π π 6π 6π π π 2π 2π
c. − cos + i sin ð/s: cos + i sin d. sin + i cos ð/s: cos + i sin
7 7 7 7 3 3 3 3
e. 1 + cos
π
7
+ i sin
π
7
ð/s: f. z = (1 + i)(1 + i 3 )( 3 - i) ð/S: (
2 cos 5π
12
+ i sin 5π
12
)
(1 + i )5 (1 − i 3 ) ð/s: (cos11π 12 + i sin11π 12)
5
7
f. z = 2
( )
4
2
3+i
3 2 1
g. z = cos 450 + isin 300 ð/s (cosα + isinα) ; cosα = , sinα =
2 3 3
Bài 5. Tìm z n u:
(1 + i )4 ; (1 + i )(3 + i )(− 2 − i )
3
 − 2 +i 6 
a. b.   c.
(1 + 6i )(2 − 7i )  1+ i 3 
  i(3 + 4i )(5 + i )
Bài 6: Tìm modun và argument chính c a các s ph c:
a. 4 + 3i, -4 + 3i, -4 – 3i, 4 – 3i b.4 + i ð/s: ( 17 ; arctg 14 )
17
−3−i  3 +i
Ñs :  10 ;−π + arctg 1  d..   17/2
c.  2 3  1 + i  ð/s: (2 ; 7π/12)
2    
Bài 7. Tìm z tho :
-9 i
1. z2 = 1 + i 2. iz + (2 - 10i)z = 3z + 2i. ð/s: z = -
41 41
2. z2 = -8 - 6i ð/s: z = ±(1 - 3i) 4. z2 - (3 + i)z + 4 + 3i = 0.ð/s: z = 2 - i; 1 + 2i
5. z − 1 − i = 2 z − 5 − 2i ð/S: (x–19/3)2 + (y–7/3)2 = 68/9
1 3
6. z 2 = z ð/s: z = 0; 1; − ± 7. cosz = 2 ð/s: z = - i ln(2 ± 3)
2 2
3
Bài 8. Tìm các giá tr c a căn nh ng s ph c sau: i , 4 1 , 1 − i , 3 + 4i
Bài 9. Ch ng minh |z1 + z2| ≤ |z1| +|z2| . Gi i thích khi nào có d u ñ ng th c?
Bài 10. Ch ng minh  
z
 -1 ≤ |arg z| & gi i thích ý nghĩa hình h c.
|z| 
Bài 11.Ch ng minh 1 - z1 z2  - |z1 - z2| = (1 - |z1| )(1 - |z2| ).
2 2 2 2
 
Bài 12. V i m i z ∈ C, ch ng minh r ng: Re z + Im z ≤ 2 z
Biên so n: Nguy n Vũ Th Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa V t Lý – ðHSP Tp.HCM