Minist´erio da Educa¸c˜ao
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
Campus Campo Mour˜ao
Wellington Jos´e Corrˆea
Nome:...
4. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajet´oria da Terra ´e el´ıptica e o Sol ocupa a posi¸c˜ao de um
dos seus focos. Calcul...
10. Os Sistemas de Navega¸c˜ao Hiperb´olico foram desenvolvidos na Segunda Guerra Mundial
como ajuda na navega¸c˜ao dos na...
de uma praia reta, num sistema de coordenadas xy. Suponha tamb´em que um navio
esteja navegando paralelo `a praia, 200 km ...
Respostas
1. (a) Ox; 26, 4, 2
√
165 (b) N˜ao se trata de elipse. (c) Oy; 10, 6, 8.
2. (a)
x2
252 +
y2
92
= 1
(b)
x2
162 +
...
12. (a) plano
(b) plano
(c) elips´oide
(d) hiperbol´oide de uma folha em z
(e) cone em y
(f) parabol´oide em y
(g) sela em...
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  1. 1. Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus Campo Mour˜ao Wellington Jos´e Corrˆea Nome: 4a ¯Lista de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear No que segue , todas as bases utilizadas s˜ao ortonormais, e todos os sistemas de coordenadas ortogonais referem-se a uma base ortonormal positiva fixada. 1. Nos casos em que a equa¸c˜ao dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coorde- nados, especifique-o e calcule: a distˆancia focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor e fa¸ca um esbo¸co do gr´afico. (a) 4x2 + 169y2 = 676 (b) x2 4 + y2 = 0 (c) +x2 + 3y 5 2 = 9 2. Escreva uma equa¸c˜ao reduzida da elipse, nos casos: (a) O centro ´e O, os focos est˜ao em Ox, o eixo menor mede 6, e a distˆancia focal ´e 8. (b) O centro ´e O, os focos est˜ao em Oy, o eixo maior mede 10, e a distˆancia focal ´e 6. (c) Os focos s˜ao (0, −6) e (0, 6), e o eixo maior mede 34. (d) Os focos s˜ao (0, −5) e (0, 5), e um dos v´ertices ´e (−13, 0). (e) Os focos s˜ao (0, −2 √ 3) e (0, 2 √ 3), e a amplitude focal ´e 2. 3. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma ´orbita el´ıptica com altitude de peril´unio de 110 km (ponto mais pr´oximo da superf´ıcie da Lua) e a altitude de apol´unio de 314 km (o ponto mais distante da superf´ıcie lunar). Encontre uma equa¸c˜ao desta elipse se o raio da Lua for 1728 km e o centro da Lua em um dos focos. 1
  2. 2. 4. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajet´oria da Terra ´e el´ıptica e o Sol ocupa a posi¸c˜ao de um dos seus focos. Calcule o peri´elio e o af´elio da Terra (que s˜ao, respectivamente, a menor e a maior distˆancia da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distˆancia focal da trajet´oria da Terra, 0, 50 × 107 km; medida do eixo maior, 30 × 107 km 5. Determine, em cada caso, os v´ertices, os focos, as extremidades do eixo conjugado . Fa¸ca o esbo¸co da mesma. (a) x2 252 − y2 1442 = 3600 (b) x2 162 − y2 252 = 400 (c) x2 92 − y2 42 = 36 6. Obtenha, em cada caso, uma equa¸c˜ao reduzida da hip´erbole. (a) Os v´ertices s˜ao (± 2, 0) e os focos s˜ao (± 3, 0). (b) Os focos s˜ao (± 5, 0) e a amplitude focal ´e 9 2 . 7. Determine o foco, o v´ertice, o parˆametro e diretriz da par´abola P e fa¸ca um esbo¸co. (a) y2 = 4 x (b) y2 + 8x = 0 (c) 5y2 = 8 x (d) 5x2 = 8 y 8. Obtenha, em cada caso, uma equa¸c˜ao da par´abola de v´ertice (0, 0), conhecendo seu parˆametro p e a localiza¸c˜ao do foco. (a) p = 2/3 e o foco est´a no semi-eixo positivo das abscissas. (b) p = 4/3 e o foco est´a no semi-eixo negativo das ordenadas. 9. Identifique os gr´aficos das equa¸c˜oes abaixo completando quadrado. (a) x2 − 5y2 − 2x − 10y − 9 = 0 (b) 4x2 + 8y2 + 16x + 16y + 20 = 0 (c) x2 + 8x + 2y + 14 = 0 2
  3. 3. 10. Os Sistemas de Navega¸c˜ao Hiperb´olico foram desenvolvidos na Segunda Guerra Mundial como ajuda na navega¸c˜ao dos navios e s˜ao baseados na defini¸c˜ao de uma hip´erbole. Com esses sistemas, o navio recebe sinais sincronizados de r´adio a partir de dois transmissores `a grande distˆancia com suas posi¸c˜oes conhecidas. O receptor eletrˆonico do navio mede a diferen¸ca nos tempos de recep¸c˜ao entre os sinais e usa essa diferen¸ca para calcular a diferen¸ca 2a entre suas distˆancias dos transmissores. Essa informa¸c˜ao, coloca o navio em algum ponto da hip´erbole, cujos focos est˜ao nos transmissores e cujos pontos tˆem 2a como a diferen¸ca entre suas distˆancias dos focos. Repetindo esse processo, a posi¸c˜ao do navio pode ser aproximada como a intersec¸c˜ao de duas hip´erboles. (O moderno sistema de posicionamento global GPS ´e baseado no mesmo princ´ıpio.) Desse modo, fa¸ca o que se pede: (a) Conforme ilustrado na figura abaixo, suponha que dois observadores estejam posicio- nados nos pontos F1(c, 0) e F2(−c, 0) no sistema de coordenadas xy. Suponha tamb´em que o som de uma explos˜ao no plano xy seja ouvido pelo observador F1 e que t, segun- dos depois seja ouvido pelo observador F2. Supondo que a velocidade do som ´e uma constante v, mostre que a explos˜ao ocorreu em algum lugar da hip´erbole x2 v2t2/4 − y2 c2 − (v2t2/4) = 1 F1(c,0)F2(−c,0) x y Explos˜ao (b) Conforme ilustrado na figura a seguir, suponha que duas esta¸c˜oes de transmiss˜ao es- tejam posicionadas a 100 km uma da outra nos pontos A(−50, 0) e b(50, 0) ao longo 3
  4. 4. de uma praia reta, num sistema de coordenadas xy. Suponha tamb´em que um navio esteja navegando paralelo `a praia, 200 km mar adentro. Encontre a posi¸c˜ao do navio se as esta¸c˜oes transmitem simultaneamente um pulso, mas o pulso de B seja recebido pelo navio 100 microsegundos antes que o pulso da esta¸c˜ao A. 11. Um espelho parab´olico tem uma profundidade de 12 cm no centro e o diˆametro na face do espelho ´e de 32 cm. Ache a distˆancia do v´ertice ao foco. 12. Esboce o gr´afico das regi˜oes abaixo: (a) z = 3 (b) 6x + 3y − 4z = 12 (c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36 (d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36 (e) x2 = y2 − z2 (f) x2 36 + z2 25 = 4 y (g) x2 36 − z2 25 = 9 y (h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0 (i) y2 + 4z2 = 4 (j) z = x2 (k) z = √ 1 − x2 (l) z = cos y (m) x2 + y2 + z2 = 3 4
  5. 5. Respostas 1. (a) Ox; 26, 4, 2 √ 165 (b) N˜ao se trata de elipse. (c) Oy; 10, 6, 8. 2. (a) x2 252 + y2 92 = 1 (b) x2 162 + y2 252 = 1 (c) x2 2532 + y2 2892 = 1 (d) x2 42 + y2 162 = 1 (e) x2 1692 + y2 1442 = 1 3. x2 37636002 + y2 37531962 = 1 4. 14, 75 × 107 km e 15, 25 × 107 km 5. (a) (± 12, 0), (± 13, 0), (0, ± 5) (b) (± 5, 0), (± √ 41, 0), (0, ± 4) (c) (0, ± 4), (0, ± 4 √ 2), (± 4, 0) 6. (a) x2 42 − y2 52 = 1 (b) x2 162 − y2 92 = 1 7. (a) (1, 0), (0, 0), p = 1, r : x + 1 = 0. (b) (−2, 0), (0, 0), p = 2, r : x − 2 = 0. (c) (2/5, 0), (0, 0), p = 2/5, r : 5x + 2 = 0. (d) (0, 2/5), (0, 0), p = 2/5, r : 5y + 2 = 0. 8. (a) y2 = 8/3 x (b) x2 = −16/3 y 9. (a) (x − 1)2 5 −(y +1)2 = 1, hip´erbole (b) (x+2)2 + (y + 1)2 1/2 = 1, elipse (c) (x + 4)2 + 2y = 2, par´abola 10. (a) Sugest˜ao: sejam d1 e d2 as distˆancias do primeiro e do segundo observador respectiva- mente, do ponto da explos˜ao. Ent˜ao t=(tempo para o som da explos˜ao atingir o segundo observador)− (tempo para o som da explos˜ao atingir o primeiro observador)= d2 v − d1 v . Para as constante v e t, as diferen¸cas das distˆancias entre d2 e d1 ´e uma constante, ent˜ao a explos˜ao em algum lugar do ramo da hip´erbole cujos focos s˜ao onde est˜ao o observador. Conclua o exerc´ıcio usando o fato que d2 − d1 = 2a. (b) Use o item anterior. O navio est´a localizado na posi¸c˜ao x = 93, 625 km e y = 200 km. 11. A distˆancia ´e p = 16 3 cm. 5
  6. 6. 12. (a) plano (b) plano (c) elips´oide (d) hiperbol´oide de uma folha em z (e) cone em y (f) parabol´oide em y (g) sela em y (h) hiperbol´oide de duas folhas em y (i) cilindro em z (j) (k) (l) (m) esfera de raio √ 3. Sucesso!!! 6

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