Taller sobre raices bisección, secante y newton raphson

1. TALLER MÉTODOS DE BISECCIÓN, SECANTE Y NEWTON-RAPHSON
OSWALDO CUELLO
TECNOLOGÍA DE SISTEMAS
GRUPO 527
GUSTAVO ADOLFO DÍAZ
DOCENTE
INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ANTONIO JOSÉ CAMACHO
FACULTAD DE INGENIERÍAS
SANTIAGO DE CALI, OCTUBRE 16 DE 2014

2. 1. En una cuenta de ahorros con una cantidad inicial A0, el dinero en dicha cuenta
A(t) en el momento t, con una tasa de interés anual r, y una razón Q de
depósitos anuales, esta descrita por la ecuación:
En particular, si se abre una cuenta de ahorros en el banco ABC con
A0=400000 pesos, donde le pagan un interés anual r=2%, y tiene pensado
consignar a razón de Q=30000 pesos anuales.
¿Cuántos años necesitará para ahorrar A(t)=25000000 pesos?
Para dar respuesta a esta pregunta es necesario resolver la ecuación:
Calcule la raíz de la anterior ecuación utilizando los métodos de: Bisección,
Secante y Newton-Raphson. Para cada uno de los métodos:
 Indique los valores iniciales utilizados para resolver la ecuación.
Grafique la ecuación para obtener los valores iniciales a utilizar.
 Calcule las raíces con 4 cifras significativas. Indique el valor de
tolerancia utilizado.
 Indique el error de la solución obtenida con cada uno de los métodos.
Compare los resultados y concluya.
2. En 1984 el matemático noruego, Niels Henrik Abel, demostró que no existe
una formula general para obtener la solución de una ecuación polinomial de
grado 5 (o mayor) en términos de sus coeficientes. Siendo necesario en estos
casos utilizar métodos iterativos para obtener las soluciones.
 Seleccione una ecuación polinomial de grado 7 o superior, como por
ejemplo: x7-3x5+x2-2x+13=0 y halle al menos dos de sus raíces utilizando los
métodos de: Bisección, Secante y Newton-Raphson.
 Indique los valores iníciales y el valor de tolerancia utilizados para hallar las
raíces del polinomio. Compare el error de los resultados obtenidos con cada
uno de los métodos y concluya.
Nota: Grafique el polinomio seleccionado para obtener los valores iniciales a
utilizar con cada método.

3. DESARROLLO
1.
Grafica de la Función
Se tomaron como valores iniciales Xi = 190, Xd = 210 para los métodos de Bisección y
Secante y para el Newton Raphson Xi = 210.
Calculando las raíces por medio del método de Bisección
I Xi F(Xi) Xd F(Xd) Xm F(Xm) E=|Xm-1-Xm|
0 190 -7088769,77 210 1705583,57 200 -3129853,79 -
1 200 -3129853,79 210 1705583,57 205 -832921,211 5
2 205 -832921,211 210 1705583,57 207,5 404606,268 2,5
3 205 -832921,211 207,5 404606,268 206,25 -221891,667 1,25
4 206,25 -221891,667 207,5 404606,268 206,875 89399,5068 0,625
5 206,25 -221891,667 206,875 89399,5068 206,5625 -66732,4743 0,3125
6 206,5625 -66732,4743 206,875 89399,5068 206,7188 11211,5374 0,1563
7 206,5625 -66732,4743 206,7188 11211,5374 206,6406 -27790,9155 0,0781
8 206,6406 -27790,9155 206,7188 11211,5374 206,6797 -8297,3068 0,0391
9 206,6797 -8297,3068 206,7188 11211,5374 206,6992 1455,2101 0,0195
10 206,6797 -8297,3068 206,6992 1455,2101 206,6895 -3421,5245 0,0098
11 206,6895 -3421,5245 206,6992 1455,2101 206,6943 -983,2763 0,0049
12 206,6943 -983,2763 206,6992 1455,2101 206,6968 235,9372 0,0024
13 206,6943 -983,2763 206,6968 235,9372 206,6956 -373,677 0,0012
14 206,6956 -373,677 206,6968 235,9372 206,6962 -68,8718 0,0006

4. Calculando las raíces por medio del método de la Secante
I Xi E=|Xi+1 - Xi| F(Xi) F'(Xi) |F(Xi)| |F'(Xi)|
0 190 - -7088769,7704 357630,0351 7088769,7704 357630,0351
1 210 20,0000 1705583,5727 533524,1721 1705583,5727 533524,1721
2 206,1212 3,8788 -285567,9067 493699,5022 285567,9067 493699,5022
3 206,6775 0,5563 -9400,0576 499223,0855 9400,0576 499223,0855
4 206,6964 0,0189 54,1793 499412,1780 54,1793 499412,1780
5 206,6963 0,0001 -0,0102 499411,0941 0,0102 499411,0941
Calculando las raíces por medio del método de Newton-Raphson
I Xi E=|Xi+1 - Xi| F(Xi) F'(Xi) |F(Xi)| |F'(Xi)|
0 210 - 1705583,5727 533524,1721 1705583,5727 533524,1721
1 206,8032 3,1968 53427,5647 500479,6895 53427,5647 500479,6895
2 206,6964 0,1068 58,4707 499412,2638 58,4707 499412,2638
3 206,6963 0,0001 0,0017 499411,0944 0,0017 499411,0944
El valor de tolerancia que se usó para hallar las raíces es E=0,001.
En conclusión:
1. El método de Newton-Raphson fue el método más eficaz ya que solo hay
necesidad de hacer 4 iteraciones para llegar a la raíz aproximada.
2. Los métodos de Newton-Raphson y de la Secante nos muestran un valor igual
en la raíz pero a su vez es diferente que el del método de Bisección.
3. Al ser los valores diferentes se asume que la raíz está en el intervalo (206,6956,
206,6963).
2.
Grafica de la Función

5. Se tomaron como valores iniciales Xi = -2, Xd = -1,5 para los métodos de Bisección y
Secante y para el Newton Raphson Xi = -2.
Calculando las raíces por medio del método de Bisección
I Xi F(Xi) Xd F(Xd) Xm F(Xm) E=|Xm-1-Xm|
0 -2 -11 -1,5 23,9453 -1,75 18,5367 -
1 -2 -11 -1,75 18,5367 -1,875 8,3164 0,125
2 -2 -11 -1,875 8,3164 -1,9375 0,0451 0,0625
3 -2 -11 -1,9375 0,0451 -1,9688 -5,0952 0,0313
4 -1,9688 -5,0952 -1,9375 0,0451 -1,9531 -2,4341 0,0156
5 -1,9531 -2,4341 -1,9375 0,0451 -1,9453 -1,1724 0,0078
6 -1,9453 -1,1724 -1,9375 0,0451 -1,9414 -0,5582 0,0039
7 -1,9414 -0,5582 -1,9375 0,0451 -1,9395 -0,2552 0,002
8 -1,9395 -0,2552 -1,9375 0,0451 -1,9385 -0,1047 0,001
Calculando las raíces por medio del método de la Secante
I Xi E=|Xi+1 - Xi| F(Xi) |F(Xi)|
0 -2 - -11 11
1 -1,5 0,5 23,9453 23,9453
2 -1,8426 0,3426 11,6868 11,6868
3 -2,1692 0,3266 -59,8652 59,8652
4 -1,8959 0,2733 5,8255 5,8255
5 -1,9201 0,0242 2,6028 2,6028
6 -1,9396 0,0195 -0,2779 0,2779
7 -1,9377 0,0019 0,0145 0,0145
8 -1,9378 0,0001 -0,0009 0,0009
Calculando las raíces por medio del método de Newton-Raphson
I Xi E=|Xi+1 - Xi| F(Xi) F'(Xi) |F(Xi)| |F'(Xi)|
0 -2 - -11 202 11 202
1 -1,9454 0,0546 -1,1862 158,7107 1,1862 158,7107
2 -1,9379 0,0075 -0,0161 153,3267 0,0161 153,3267
3 -1,9377 0,0002 0,0144 153,1849 0,0144 153,1849
El valor de tolerancia que se usó para hallar las raíces es E=0,001.
En conclusión:
1. El método de Newton-Raphson fue el método más eficaz ya que solo hay
necesidad de hacer 4 iteraciones para llegar a la raíz aproximada.
2. Al ser los valores diferentes se asume que la raíz está en el intervalo ( -1,9395, -
1,9377).