Mécanique 12 : chute avec frottements

1. Cours M2: pr´sentation
e
Chute libre avec frottements

2. Plan
1. Introduction

3. Plan
1. Introduction
2. Probl`me 3
e

4. El´ments de bases du probl`me 3
e
e

5. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
%

6. Plan
1. Introduction
2. Probl`me 3
e

7. Plan
1. Introduction
2. Probl`me 3
e
3. Syst`me
e

8. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
%

9. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
§
Le parachutiste
¦
%
¤
¥

10. Plan
1. Introduction
2. Probl`me 3
e
3. Syst`me
e

11. Plan
1.
2.
3.
4.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee

12. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
§
Le parachutiste
¦
%
¤
¥

13. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%

14. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
z
h
O
Figure 1

15. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
z
h
O
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
¨
©

16. Plan
1.
2.
3.
4.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee

17. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces

18. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces

19. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
z
h
O
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
¨
©

20. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
Le poids du parachutiste et la
force de frottements de l’air sur
lui
z
h
O
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
¨
©

21. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces

22. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements

23. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
Le poids du parachutiste et la
force de frottements de l’air sur
lui
z
h
O
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
¨
©

24. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
Le poids du parachutiste et la
force de frottements de l’air sur
lui
z
h
'
O
$
Deux types frottements possibles :
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
%
¨
©

25. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
Le poids du parachutiste et la
force de frottements de l’air sur
lui
'
Deux types frottements possibles :
−
→
→
• frottements lin´aires : f = −k −
e
v
z
h
O
$
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
%
¨
©

26. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
Le poids du parachutiste et la
force de frottements de l’air sur
lui
'
Deux types frottements possibles :
−
→
→
• frottements lin´aires : f = −k −
e
v
−
→
→
v
frottements quadratiques : f = −k v −
•
z
h
O
$
Figure 1
Base cart´sienne ` une dimene
a
sion
%
¨
©

27. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements

28. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton

29. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e

30. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e

31. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution

32. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e

33. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b.
dt

34. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt

35. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt

36. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
• Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le
e
e
second membre b :
Si b = cste alors sp = cste

37. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
• Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le
e
e
second membre b :
Si b = cste alors sp = cste
• Solution globale : s = sh + sp .

38. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
• Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le
e
e
second membre b :
Si b = cste alors sp = cste
• Solution globale : s = sh + sp .
D´termination des constantes de s ` l’aide des conditions
e
a
initiales.

39. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution

40. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e

41. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe

42. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires
e

43. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires
e
|vz | = g τ 1 − exp −
t
τ

44. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires
e
|vz | = g τ 1 − exp −
t
τ
vlim
69.5
|vz |(m.s−1 )
60
40
Cas des frottements lin´aires
e
20
0
0
10
20
t(s)
Figure 1
30
40

45. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe

46. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite

47. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
7.3.3 Temps caract´ristique
e

48. Temps caract´ristique et r´gimes
e
e

49. Temps caract´ristique et r´gimes
e
e
vlim
69.5
|vz |(m.s−1 )
60
40
R´gime transitoire
e
R´gime permanent
e
20
0
0
τ 10
20
30 5τ 40
t(s)
Figure 2
50

50. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
7.3.3 Temps caract´ristique
e

51. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
7.3.3 Temps caract´ristique
e
7.4 Position

52. z=f(t), frottements lin´aires
e

53. z=f(t), frottements lin´aires
e
z(t) = g τ 2 1 − exp −
t
τ
−gτt +h

54. z=f(t), frottements lin´aires
e
z(t) = g τ 2 1 − exp −
t
τ
−gτt +h
0.4
t
τ
0.5
4,000
3,000
1 − exp −
z(m)
5,000
2,000
1,000
0
0.3
0.2
0.1
0
10
20
t(s)
30
40
Figure 3
0
0
10
20
t(s)
30
40

55. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e

56. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e

57. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite

58. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e

59. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e

60. La m´thode d’Euler
e

61. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e

62. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a

63. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e

64. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a

65. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e

66. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
40
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

67. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
40
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

68. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
40
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

69. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
B
40
A
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

70. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

71. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

72. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
dv
dt
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
=
t=10 s
∆v
∆t

73. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?

74. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

75. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

76. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

77. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

78. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25

79. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
δv
δt
0
5
10
15
t(s)
20
25

80. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
δv
δt
0
5
10
15
t(s)
20
25
Si on consid`re un intervalle de temps δt suffisamment petit :
e

81. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
δv
δt
0
5
10
15
t(s)
20
25
Si on consid`re un intervalle de temps δt suffisamment petit :
e
dv
dt
=
t
δv
δt

82. La m´thode d’Euler
e

83. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e

84. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0

85. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
Mise en œuvre de la m´thode
e
lorsque δt → 0

86. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;

87. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

88. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;
• On calcule :
2
v1 = v0 + δv = v0 + (A v0 + B) × δt

89. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;
• On calcule :
2
v1 = v0 + δv = v0 + (A v0 + B) × δt
• Et ainsi de suite.

90. La m´thode d’Euler
e

91. La m´thode d’Euler
e
• Un tableur viendra nous assister dans la r´p´tition des calculs.
e e

92. La m´thode d’Euler
e
• Un tableur viendra nous assister dans la r´p´tition des calculs.
e e
• Le choix du pas de calcul δt doit ˆtre judicieux : il faut
e
prendre un intervalle suffisamment petit pour que
l’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que les
calculs ne soient pas trop longs.

93. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e

94. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

95. Vitesse, frottements quadratiques

96. Vitesse, frottements quadratiques
vlim
69.5
vz (m.s−1 )
60
Cas des frottements
40
quadratiques
δt = 0.3
20
0
0
10
20
t(s)
Figure 4
30
40

97. Position, frottements quadratiques

98. Position, frottements quadratiques
5,000
z(m)
4,000
3,000
2,000
1,000
0
0
10
20
t(s)
Figure 5
30
40

99. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

100. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas
9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chute
d’un parachutiste ?