capitulo n1

1. Prólogo 7
Prólogo
Nuestra forma habitual de vida queda enmarcada, hoy en día, por la cultura de la comunicación. En
todos los procesos de comunicación que se nos ocurren juegan un papel capital las ondas, sean
sonoras, luminosas o de radio. Esta motivación, llamemos externa, no es la única desde el punto de
vista de la formación en física básica. Una de las cuestiones fundamentales a las que debe responder
cualquier modelo físico corresponde a cómo describir los estados del sistema objeto de estudio; esta
descripción se da, de forma extrema, mediante partículas o mediante ondas. La elección entre ambas
descripciones se realiza en función de la posibilidad o no de localizar el sistema; así, la descripción
ondulatoria es adecuada para, por ejemplo, el estudio del movimiento de la superficie del agua o de la
propagación de la luz. Al finalizar el primer cuarto de nuestro siglo hubo que aceptar que ambas
descripciones, tan aparentemente contrapuestas, eran complementarias para una descripción adecuada
del comportamiento microscópico.
El objetivo de este libro es introducir al lector en el estudio de las oscilaciones y las ondas. Como el
tipo de lector que esperamos es el de estudiante de primer año de universidad de una carrera
científico-técnica, nos hemos apoyado en aquellos conocimientos que se le suponen. Así suponemos
que lo que debe saber de ondas, de su formación propedéutica, lo sabe; la misma hipótesis en lo que
se refiere a sus conocimientos matemáticos. Algunos de los conocimientos matemáticos empleados en
el libro los aprende el estudiante en el mismo curso, pero sabemos de la imposibilidad de simultanear
ese aprendizaje con las necesidades de diversas asignaturas; los autores entienden que los elementos
matemáticos que se van introduciendo, derivación parcial, exponencial compleja o las ecuaciones
diferenciales lineales por ejemplo, no causan problemas de comprensión.
Los tres primeros capítulos están dedicados a oscilaciones y se ha optado por un lenguaje mecánico
estableciendo posteriormente analogías eléctricas. No hemos introducido los osciladores acoplados
como paso natural hacia las ondas, por lo que se da un salto en el vacío entre las oscilaciones y las
ondas, sólo cubierto por algún ejemplo. Tras una introducción formal, en el capítulo cuarto, se pasa a
describir ondas en una cuerda elástica, ondas acústicas y ondas electromagnéticas en los tres
siguientes. Nos hemos limitado a casos que puedan tratarse como unidimensionales. Las ecuaciones
de Maxwell, que nos llevan a las ondas electromagnéticas, las hemos tratado tanto en forma integral
como diferencial, para que el estudiante elija según su preparación; si puede, no vendrá mal la doble
lectura. Tras el breve capítulo dedicado a las ondas estacionarias, viene uno dedicado a la
superposición de ondas y configuración de paquetes; algo más extenso de lo habitual pues
entendemos fundamental su contenido y que no hay porqué posponerlo; sumar funciones sinusoidales
está en las posibilidades de todos los estudiantes con un ordenador a su alcance. Los fenómenos
típicamente ondulatorios de interferencia y difracción cierran el libro presentándose de una forma
totalmente limitada.
© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones
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2. 8 Oscilaciones y ondas
Se han intercalado algunos problemas desarrollados como ejemplos y otros propuestos como
ejercicios , con respuesta, que no pretenden ser exhaustivos, ni mucho menos, pero que esperamos
puedan ayudar a una mejor comprensión de los temas planteados o iniciar inquietudes para
profundizar en ellos.
Estaríamos encantados de recibir cuantos comentarios y críticas se nos quieran hacer para mejorar la
calidad y la utilidad del libro. Sería provechoso en nuestra actividad docente y, si Edicions UPC lo
cree conveniente, para una posterior edición.
Barcelona, septiembre de 1994
Los autores
© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

3. Índice 9
Indice
1 Oscilaciones libres
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Exponenciales complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Energía de un oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Oscilador mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Un oscilador molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Oscilador eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.9 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Oscilaciones libres amortiguadas
2.1 Oscilador armónico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Amortiguamiento débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Casos sobreamortiguado y crítico
2.3.1 Caso sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Amortiguamiento crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Energía de un oscilador débilmente amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Oscilaciones forzadas
3.1 Introducción. Principio de superposición: excitación armónica . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Regímenes transitorio y permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Amplitud de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Estudio de la fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Impedancia de un oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Intercambios de energía en un oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 Estudio de la potencia absorbida en función de la frecuencia. Resonancia . . . . . . . 74
© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

4. 10 Oscilaciones y ondas
4 Fenómenos ondulatorios
4.1 Descripción de una onda. Ecuación de onda unidimensional. Medios lineales: superposición
de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Ondas armónicas: notacion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Fase y velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Ondas en el espacio
4.4.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2 Ondas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Ondas transversales progresivas en una cuerda
5.1 Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Impedancia característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Potencia suministrada a la cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Cambio de medio de propagación. Transmisión y reflexión de una onda progresiva . . . . .99
5.5 Transmisión y reflexión de la energía de una onda progresiva . . . . . . . . . . . . . 101
6 Ondas acústicas
6.1 Ondas longitudinales en un medio elástico lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Impedancia. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3 Reflexión de una onda de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4 Ondas sonoras. Velocidad de fase del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5 Audición. Nivel de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Ondas electromagnéticas
7.1 Ondas electromagnéticas en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Ondas electromagnéticas planas polarizadas en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Desde las ecuaciones de Maxwell en forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 Energía de una onda electromagnética. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
75 Cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas. Presión de radiación . . . . . . 128
7.6 Propagación de ondas electromagnéticas en un medio dieléctrico. Indice de refracción . . 130
7.7 Ondas electromagnéticas en un medio conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8 Ondas estacionarias
8.1 Ondas estacionarias unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Ondas en medios limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3 Energía en la ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

5. Índice 11
9 Superposición de ondas. Paquetes de ondas
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 Superposición de dos ondas armónicas que difieren en fase
9.2.1 Caso en que las dos ondas tengan la misma amplitud, A1 = A2 = A . . . . . . 145
9.2.2 Caso en que las dos ondas tengan distinta amplitud, A ≠ B . . . . . . 146
9.2.3 Caso particular: superposición de dos ondas armónicas con distinta frecuencia . . . 146
9.3 Superposición de N ondas armónicas que difieren en fase . . . . . . . . . . . . . 149
9.4 Superposición de N ondas armónicas con distinta frecuencia . . . . . . . . . . . . . 151
9.5 Velocidades de fase y de grupo. Relación de dispersión . . . . . . . . . . . . . 152
9.6 Incertidumbre en la definición de un paquete de ondas . . . . . . . . . . . . . 153
10 Interferencia y difracción
10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.2 Interferencia de dos ondas: diagrama de fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3 Interferencia de ondas procedentes de N fuentes igualmente espaciadas . . . . . . 166
10.4 Difracción por una rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
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