Pumping Lemma para provar linguagens não regulares
•
0 gostou•2,124 visualizações
O documento apresenta o conceito de linguagens regulares e o Pumping Lemma, que é usado para provar que uma linguagem não é regular. Discute-se que linguagens regulares podem ser aceitas por autômatos finitos e definidas por gramáticas regulares. Exemplos ilustram como aplicar o Pumping Lemma para provar que linguagens como {anbn} e {ww} não são regulares.
Recomendados
Mais conteúdo relacionado
Pumping Lemma para provar linguagens não regulares
- 1. Linguagens Regulares Pumping Lemma Pumping Lemma Juliana F´elix Instituto de Inform´atica - UFG 13 de maio de 2013 Juliana F´elix Pumping Lemma 1/17
- 2. Linguagens Regulares Pumping Lemma 1 Linguagens Regulares Defini¸c˜ao 2 Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Juliana F´elix Pumping Lemma 2/17
- 3. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Linguagens Regulares Uma linguagem sobre um alfabeto Σ ´e regular se ela ´e: Juliana F´elix Pumping Lemma 3/17
- 4. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Linguagens Regulares Uma linguagem sobre um alfabeto Σ ´e regular se ela ´e: Um conjunto regular (express˜ao) sobre Σ; Juliana F´elix Pumping Lemma 3/17
- 5. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Linguagens Regulares Uma linguagem sobre um alfabeto Σ ´e regular se ela ´e: Um conjunto regular (express˜ao) sobre Σ; Aceita por um DFA, NFA ou NFA- ; Juliana F´elix Pumping Lemma 3/17
- 6. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Linguagens Regulares Uma linguagem sobre um alfabeto Σ ´e regular se ela ´e: Um conjunto regular (express˜ao) sobre Σ; Aceita por um DFA, NFA ou NFA- ; Gerada por uma gram´atica regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 3/17
- 7. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao L = {anbn|n ≥ 0} ´E poss´ıvel construir um NFA que reconhe¸ca L? Juliana F´elix Pumping Lemma 4/17
- 8. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao L = {anbn|n ≥ 0} ´E poss´ıvel construir um NFA que reconhe¸ca L? Estados ak’s contam o n´umero de a’s e os estados bk’s garantem um igual n´umero de b’s. Figura: Ideia de DFA para reconhecer L = {an bn |n ≥ 0} Juliana F´elix Pumping Lemma 4/17
- 9. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao O que percebemos? A m´aquina precisa se lembrar quantos as foram vistos `a medida que lˆe a entrada; Como o n´umero de as n˜ao ´e limitado, a m´aquina teria que registrar um n´umero ilimitado de possibilidades; Esse tipo de linguagem ´e dita n˜ao-regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 5/17
- 10. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos O que ´e? Pumping Lemma, ou lema do bombeamento, ´e usado para provar que uma linguagem n˜ao ´e regular; Juliana F´elix Pumping Lemma 6/17
- 11. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos O que ´e? Pumping Lemma, ou lema do bombeamento, ´e usado para provar que uma linguagem n˜ao ´e regular; Afirma que todas as linguagens regulares tˆem uma propriedade especial; Juliana F´elix Pumping Lemma 6/17
- 12. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos O que ´e? Pumping Lemma, ou lema do bombeamento, ´e usado para provar que uma linguagem n˜ao ´e regular; Afirma que todas as linguagens regulares tˆem uma propriedade especial; Se a linguagem n˜ao tem essa propriedade, ela n˜ao ´e regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 6/17
- 13. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Propriedade Todas as cadeias da linguagem cont´em uma parte (subcadeia) que pode ser ”bombeada”(repetida) um n´umero qualquer de vezes; Juliana F´elix Pumping Lemma 7/17
- 14. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Propriedade Todas as cadeias da linguagem cont´em uma parte (subcadeia) que pode ser ”bombeada”(repetida) um n´umero qualquer de vezes; A cadeia resultante do bombeamento permanece na linguagem; Juliana F´elix Pumping Lemma 7/17
- 15. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Defini¸c˜ao Se A ´e uma linguagem regular, ent˜ao existe um n´umero p (o comprimento do bombeamento) tal que, se s ´e qualquer cadeia de A de comprimento no m´ınimo p, ent˜ao s pode ser dividida em trˆes partes, s = xyz, satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes: 1 para cada i ≥ 0, xyi z ∈ A 2 |y| > 0, e 3 |xy| ≤ p. |s| ≥ p y = Juliana F´elix Pumping Lemma 8/17
- 16. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Simplificando Pumping: constru¸c˜ao de novas cadeias pela repeti¸c˜ao de subcadeias da cadeia original s = ababbaaab s = xyz com x = a, y = bab, e z = baaab xyi z = a(bab)i baaab Figura: Ilustra¸c˜ao de um DFA que reconhece s Juliana F´elix Pumping Lemma 9/17
- 17. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Como utiliz´a-lo Encontrar uma cadeia da linguagem que, quando bombeada, n˜ao satisfaz as regras da linguagem. A prova ´e por contradi¸c˜ao. Juliana F´elix Pumping Lemma 10/17
- 18. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Como utiliz´a-lo Encontrar uma cadeia da linguagem que, quando bombeada, n˜ao satisfaz as regras da linguagem. A prova ´e por contradi¸c˜ao. 1 Suponha que L ´e regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 10/17
- 19. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Como utiliz´a-lo Encontrar uma cadeia da linguagem que, quando bombeada, n˜ao satisfaz as regras da linguagem. A prova ´e por contradi¸c˜ao. 1 Suponha que L ´e regular. 2 Use o Pumping Lemma para garantir a existˆencia de p, tal que toda cadeia s com |s| ≥ p, satisfaz as condi¸c˜oes do lema. Juliana F´elix Pumping Lemma 10/17
- 20. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Como utiliz´a-lo Encontrar uma cadeia da linguagem que, quando bombeada, n˜ao satisfaz as regras da linguagem. A prova ´e por contradi¸c˜ao. 1 Suponha que L ´e regular. 2 Use o Pumping Lemma para garantir a existˆencia de p, tal que toda cadeia s com |s| ≥ p, satisfaz as condi¸c˜oes do lema. 3 Encontre uma cadeia w , com |w| ≥ p, que n˜ao satisfaz as condi¸c˜oes do lema. Juliana F´elix Pumping Lemma 10/17
- 21. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Como utiliz´a-lo Encontrar uma cadeia da linguagem que, quando bombeada, n˜ao satisfaz as regras da linguagem. A prova ´e por contradi¸c˜ao. 1 Suponha que L ´e regular. 2 Use o Pumping Lemma para garantir a existˆencia de p, tal que toda cadeia s com |s| ≥ p, satisfaz as condi¸c˜oes do lema. 3 Encontre uma cadeia w , com |w| ≥ p, que n˜ao satisfaz as condi¸c˜oes do lema. 4 A existˆencia de w contradiz o Pumping Lemma. Logo, L n˜ao ´e regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 10/17
- 22. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Exemplo 1 L = {anbn|n ≥ 0} Suponha que L ´e regular. Se L ´e regular, ent˜ao L ´e aceita por um DFA M com p estados e satisfaz o pumping lemma. Seja s = apbp. Ent˜ao s pode ser dividida em: x = ai y = aj z = ap−i−j bp onde i + j ≤ p e j > 0. Juliana F´elix Pumping Lemma 11/17
- 23. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Exemplo 1 (cont) Tomando i = 2, temos: xy2z = ai aj aj ap−i−j bp = apaj bp. Como xy2z /∈ L, n˜ao existe decomposi¸c˜ao poss´ıvel de s que satisfa¸ca as condi¸c˜oes do lema. Portanto, L n˜ao ´e regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 12/17
- 24. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Considere os trˆes casos para mostrar que o resultado ´e imposs´ıvel 1 A cadeia y cont´em apenas as. Neste caso, a cadeia xyyz tem mais as que bs e, portanto, n˜ao ´e um membro de L. Juliana F´elix Pumping Lemma 13/17
- 25. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Considere os trˆes casos para mostrar que o resultado ´e imposs´ıvel 1 A cadeia y cont´em apenas as. Neste caso, a cadeia xyyz tem mais as que bs e, portanto, n˜ao ´e um membro de L. 2 A cadeia y cont´em somente bs. Caso an´alogo ao 1. Juliana F´elix Pumping Lemma 13/17
- 26. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Considere os trˆes casos para mostrar que o resultado ´e imposs´ıvel 1 A cadeia y cont´em apenas as. Neste caso, a cadeia xyyz tem mais as que bs e, portanto, n˜ao ´e um membro de L. 2 A cadeia y cont´em somente bs. Caso an´alogo ao 1. 3 A cadeia y cont´em ambos, as e bs. Neste caso, a cadeia xyyz pode ter o mesmo n´umero de as e bs, mas estar˜ao fora de ordem, e tamb´em n˜ao pertence a L. Juliana F´elix Pumping Lemma 13/17
- 27. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Exemplo 2 L = {ww|w ∈ {0, 1}∗} Suponha que L ´e regular. Se L ´e regular, ent˜ao L ´e aceita por um DFA M com p estados e satisfaz o pumping lemma. Seja s = 0p10p1. Ent˜ao s pode ser dividida em: x = 0i y = 0j z = 0p−i−j 10p 1 onde i + j ≤ p e j > 0. Juliana F´elix Pumping Lemma 14/17
- 28. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Exemplo 2 (cont.) Tomando i = 2, temos: xy2z = 0i 0j 0j 0p−i−j 10p1 = 0p0j 10p1. Como xy2z /∈ L, n˜ao existe decomposi¸c˜ao poss´ıvel de s que satisfa¸ca as condi¸c˜oes do lema. Portanto, L n˜ao ´e regular. Juliana F´elix Pumping Lemma 15/17
- 29. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Exemplo 2 (cont.) Tomando i = 2, temos: xy2z = 0i 0j 0j 0p−i−j 10p1 = 0p0j 10p1. Como xy2z /∈ L, n˜ao existe decomposi¸c˜ao poss´ıvel de s que satisfa¸ca as condi¸c˜oes do lema. Portanto, L n˜ao ´e regular. E se s fosse 0p0p? Juliana F´elix Pumping Lemma 15/17
- 30. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Exerc´ıcios Use o Pumping Lemma para mostrar que cada um dos itens abaixo n˜ao ´e regular: 1 L = conjunto de pal´ındromes de comprimento par sobre {a, b}∗ 2 L = {ai bj c2j |i, j ≥ 0} 3 L = {ai bj ckdl |i = k ou j = l} Juliana F´elix Pumping Lemma 16/17
- 31. Linguagens Regulares Pumping Lemma Defini¸c˜ao Exemplos Pumping Lemma Juliana F´elix Instituto de Inform´atica - UFG 13 de maio de 2013 Juliana F´elix Pumping Lemma 17/17