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Figura 2 – Teleférico
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  1. 1. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA CAPÍTULO V Fios e Cabos SEMESTRE VERÃO 2004/2005 Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/9
  2. 2. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Capitulo V – Fios e Cabos 5.1 Considerações Gerais A diferença fundamental entre fio e cabo é sobretudo na área da sua secção, que é maior nos cabos e, por isso, estes têm uma maior capacidade de suportar cargas. De um modo geral chama-se fio ou cabo a qualquer sistema estrutural que possa ser considerado flexível em todos os seus pontos. Assim, é um fio ou um cabo um sistema infinitamente articulado, isto é, articulado em todos os seus pontos. Os cabos podem ser divididos em duas categorias, de acordo com o seu carregamento: cabos que suportam cargas concentradas; cabos que suportam cargas distribuídas: • cabos sujeitos ao seu peso próprio cuja configuração de equilíbrio é uma catenária - como exemplos têm-se os cabos transportadores, linhas de transmissão ou teleféricos; • cabos sujeitos a uma carga distribuída cuja configuração de equilíbrio é uma parábola de 2º grau - as pontes suspensas são o melhor exemplo. Todas as linhas de pequena flecha podem ser assimiladas, com erro desprezível, a suspensão parabólica, o que equivale admitir que a carga se distribuem uniformemente ao longo do vão e não, como é na realidade, distribuída ao longo do fio. Os cabos de pontes suspensas podem considerar-se assim carregados, uma vez que o peso dos cabos é muito pequeno comparado com o peso do tabuleiro. Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 2/9 Figura 1 – Linhas de transmissão
  3. 3. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Figura 2 – Teleférico Figura 3 – Ponte suspensa Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 3/9
  4. 4. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Figura 4 – Ponte suspensa 5.2 Cabos sujeitos a Cargas Concentradas A figura 5 mostra um cabo flexível (resistência à flexão pode ser desprezada) preso a dois pontos fixos A e B e sujeito a três cargas concentradas verticais Q1, Q2 e Q3. O peso do cabo é desprezível face às cargas que suporta. Assim, as forças internas em qualquer ponto do cabo reduzem-se a uma força de tracção com a direcção da tangente ao cabo nesse ponto. Figura 5 Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 4/9
  5. 5. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Na figura 6(a) encontra-se o diagrama de corpo livre de todo o cabo e na figura 6(b) o diagrama de corpo livre do troço AP. Figura 6 Conhecendo-se o vão (L), o desnivelamento vertical entre apoios (d), as distâncias entre as forças e os apoios (x1, x2 e x3) e ainda a posição de um qualquer ponto P (x e y) é possível calcular as reacções de apoio (VA, HA, VB, e HB), a configuração do cabo (definida por y1, y2 e y3) e o seu comprimento total. A partir do diagrama de corpo livre de todo o cabo: ∑MA = 0 ou ∑MB = 0 ∑Fx = 0 ∑Fy = 0 E a partir do diagrama de corpo livre do troço AP: ∑MP = 0 Com as quatro equações anteriores calculam-se as reacções de apoio. Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 5/9
  6. 6. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Para se calcular cada uma das ordenadas (y1, y2 e y3) dos pontos C1, C2 e C3 considera-se: • diagrama de corpo livre do troço AC1 ou BC1 e estabelecer-se a equação ∑MC1 = 0 → y1 • diagrama de corpo livre do troço AC2 ou BC2 e estabelecer-se a equação ∑MC2 = 0→ y2 • diagrama de corpo livre do troço AC3 ou BC3 e estabelecer-se a equação ∑MC3 = 0→ y3 No diagrama de corpo livre de um qualquer troço a equação ∑Fx = 0 conduz a T cos α = HA = HB, isto é, a componente horizontal da força de tracção é a mesma em qualquer ponto do cabo. Pode concluir-se que a força de tracção T é máxima quando cos α é mínimo, ou seja no troço de maior inclinação, que é logicamente adjacente a um dos dois apoios. 5.3 Cabos sujeitos a Cargas Distribuídas O cabo flexível preso a dois pontos fixos A e B e sujeito a uma qualquer carga distribuída (figura 7(a)) pende com a configuração de uma curva e a força interna num qualquer ponto é a força de tracção com a direcção da tangente à curva. A figura 7(b) representa o diagrama de corpo livre da parte compreendida entre o ponto mais baixo O e um dado ponto D do cabo onde actuam as forças de tracção To (horizontal) e T (direcção da tangente à curva em D) e a força resultante P da carga distribuída suportada pelo troço OD. (a) (b) (c) Figura 7 Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 6/9
  7. 7. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Na figura 7(c) encontra-se o polígono de forças fechado (porque o sistema está em equilíbrio), a partir do qual é possível obter as seguintes relações: 1 2 2 2 0 0 0 P T cos = T ; T sen = P; T = (T + P ) e tg = T θ θ θ Pode concluir-se que a componente horizontal da força de tracção é a mesma em qualquer ponto, a tracção mínima verifica-se no ponto mais baixo (θ = 0 → cos θ = 1) e a máxima num dos pontos de fixação. Na figura 8(a) o cabo AB suporta uma carga uniformemente distribuída, p, ao longo da horizontal e na figura 8(b) está o diagrama de corpo livre da parte compreendida entre o ponto mais baixo O e um dado ponto D. (a) (b) Figura 8 A partir da equação ∑M D = 0 → 0 0 2 x px T y− = chega-se a 2 0 2 x y p T= que é a equação de uma parábola com eixo vertical e vértice na origem das coordenadas. A distância horizontal L entre os apoios do cabo designa-se vão e a projecção vertical da distância h desde os apoios ao ponto mais baixo é denominada flecha (figura 9). Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 7/9
  8. 8. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA (a) (b) (c) Figura 9 O comprimento do cabo desde o seu ponto mais baixo O até ao apoio B pode ser obtido por 2 4 2 2 1 .... 3 5 B B B B B B y y s x x x       = + − +          mas para valores 0,5B B y x 〈 só é necessário calcular os dois primeiros termos da série. Exercício de Aplicação Enunciado Figura Considere a estrutura apresentada. Calcule: a) tracção máxima do cabo b) tracção mínima do cabo. 7,0m 6,0m 3,0 m2,0 m2,0 m 2,0 m 60 kN C 40 kN P D 2,0 m2,0 m 50 kN 30 kN F E B A Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 8/9
  9. 9. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 9/9 Exercício de Aplicação Enunciado Um cabo com os suportes ao mesmo nível vence um vão de 100 metros e suporta uma carga de 200 N/m (em projecção horizontal), sendo a tracção máxima de 20 kN, determine: a) as reacções nos suportes do cabo b) a flecha máxima dos cabos.

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