Actividad sobre Diofanto de Alejandría, que pretende integrar el hábito de la lectura en el aula, con la introducción de aspectos teóricos de álgebra elemental. Dirigida al alumnado de primer ciclo de la ESO

1. Texto: Diofanto de Alejandría
Diofanto de Alejandría (griego antiguo: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, DióphantoshoAlexandreús), nacido
alrededor del 200/214 y fallecido alrededor de 284/298, fue un antiguo matemático griego. Es considerado
"el padre del álgebra".
El período que va del año 250 al 350 d.C. se suele considerar como laEdad de Plata de la matemática
griega. La vida de Diofanto de Alejandría, elalgebrista griego más importante, se desarrolla a comienzos de
este período.
Se conoce muy poco sobre su vida. En una colección de problemas, laAntología, que data de los siglos V
o VI ha quedado registrada su edad enla forma siguiente:
Epitafio
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La
duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una
duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de
existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo
dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra,
habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la
sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, ¿cuántos
años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte?
El problema consistía en determinar la edad de Diofanto. La solución resultaser 84 años.
Su trabajo destaca por encima del de sus contemporáneos, desgraciadamente nació demasiado tarde
para que pudiera tener una gran influenciaen su tiempo, pues una corriente de destrucción estaba acabando con lacivilización. Escribió varios libros que se han perdido. Su gran obra es laAritmética. Se conserva la
mitad de esta obra en manuscritos del siglo XIIIque son copia de versiones más antiguas. La Aritmética es
una colecciónde problemas independientes y, según Diofanto, fue escrita para ayudar auno de sus estudiantes. Una de sus contribuciones más importantes es laintroducción del simbolismo en el álgebra. Los
griegos clásicos no consideraron productos con más de tres factores ya que no tenían ningún significadogeométrico para ellos. x 2 era el área de un cuadrado y x 3 el volumen deun cubo. Diofanto consideró potencias como x 4 ; x 5 , etc. Desde el punto devista de una aritmética no condicionada por la geometría, tales
productostienen un significado. Diofanto utiliza la letra griega para nuestra x (estaletra no representaba
ningúnnúmero en el sistema griego de servirse de letras para designar números). Por el uso de símbolos
para la igualdad y paralas operaciones suma y producto, el álgebra de Diofanto se llama sincopada.El álgebra anterior a Diofanto indica las operaciones y la igualdad en ellenguaje escrito usual; estaálgebra se llama
retórica.
Una rama actual del álgebra se llama análisis diofántico. Para entender de qué se ocupa esta rama, pensemos en la ecuación con dos incógnitas x 2 y 5 0 . Se desea encontrar todas las soluciones enteras de
estaecuación. Diofanto se ocupaba de problemas de este tipo, incluso con ecuaciones de mayor grado y un
número mayor de incógnitas. Demuestra unagran habilidad para reducir las ecuaciones de los diferentes
tipos a formasque puede manejar más fácilmente. Este tipo de ecuaciones indeterminadas(ecuaciones en
las que existe más de una solución) no fueron consideradaspor los griegos anteriores a Diofanto.
Hay indicios de influencia babilónica, pero no hay prueba alguna deque haya una conexión directa entre
los trabajos de Diofanto y el álgebrababilónica. Pero sus números son completamente abstractos y no se
refierena medidas de granos o unidades monetarias como era el caso de egipcios ybabilonios. Otra diferencia es que Diofanto estaba interesado únicamenteen soluciones racionales exactas, mientras que los babilonios estaban siempre dispuestos a aceptar como soluciones aproximaciones de números irracionales.
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2. La Aritmética de Diofanto es sorprendentemente original, pero es posible que ello se deba a que puedan
haberse perdido otras colecciones deproblemas rivales. No obstante, lo cierto es que Diofanto ha tenido
unainfluencia sobre la teoría de números moderna mucho mayor que cualquierotro algebrista griego. Por
ejemplo, Fermat se vio conducido a su célebregran Teorema cuando intentaba generalizar un problema de
la Aritméticade Diofanto.
No tenía ningún método general, cada uno de los 189 problemas de laAritmética se resuelve de un modo distinto. No hace ningún intento porclasificarlos. Parece que no buscaba ideas generales, sino que se
contentabacon encontrar soluciones correctas. No encuentra todas las soluciones de lasecuaciones indeterminadas, sólo se limita a dar una solución. Pero esto escomprensible si tenemos en cuenta que lo que
quería era resolver un problemay no resolver una ecuación. De cualquier modo, su obra contemplada en
suconjunto es un monumento algebraico.
Actividades
(A) Antes de la lectura. Vamos a revisar someramente la vida y obra de un Matemático del que poco se
sabe, pero que, sin embargo, es reconocido como el “padre del álgebra”. Para poder establecer con
mayor detalle el porqué de esta afirmación, haremos previamente algunas actividades introductorias.
a. Busca en un diccionario el significado de la palabra álgebra. ¿Cuál es el origen de esta palabra?
b. ¿Qué relación tiene lo que estamos estudiando en el tema de expresiones algebraicas, con la
definición de álgebra que has encontrado?
c. Escribe la referencia bibliográfica de la obra en la que has buscado el significado de la palabra
álgebra.
(B) Lectura del documento. A continuación vamos a leer con cierto detenimiento el texto adjunto.
Haremos dos lecturas. La primera será individualizada, y en silencio. Una vez que todos/as hayamos
terminado, haremos una segunda lectura. Seleccionaremos al azar a dos compañeros/as que leerán el
texto adjunto. Una vez leído todo el documento, responderemos por escrito a las siguientes cuestiones:
a. ¿Crees que la biografía anterior es suficientemente informativa sobre la vida y obra de
Diofanto? ¿Echas en falta algo en ella?
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3. b. Durante el documento se habla de otro ilustre matemático, Pierre de Fermat, y de su célebre
gran Teorema. Busca el significado de la palabra Teorema, y busca igualmente información
sobre el teorema de Fermat, y explica qué afirma dicho resultado.
c. Indaga sobre el significado de álgebra retórica.
(C) Después de la lectura. No está del todo claro que el “epitafio” de Diofanto que aparece en el texto sea
el verdadero epitafio de este ilustre matemático. Sin embargo, vamos a ver que de él se obtiene
bastante información.
a. Escribe en lenguaje algebraico los elementos que aparecen en dicho epitafio:
Edad de Diofanto:
Periodo de Infancia:
Periodo hasta tener barba:
Periodo de matrimonio:
Tiempo que vivió su hijo:
b. Encuentra una ecuación que relacione los datos del epitafio y resuélvela, comprobando la
afirmación que se da en el documento de que Diofanto llegó a vivir 84 años:
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4. (D) En la dirección web:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Diophantus.html
podemos encontrar la siguiente información, que traducimos del inglés convenientemente:
… Diofanto estaba preocupado con los problemas particulares más a menudo que con los métodos generales.
La razón de esto es que a pesar de que hizo importantes avances en el simbolismo, aún le faltaba la notación
necesaria para expresar métodos más generales. Por ejemplo, él únicamente tenía notación para una incógnita
y cuando los problemas involucraban más de una simple incógnita, Diofanto se veía limitado a expresar 'primera incógnita', 'segunda incógnita', etc., en palabras. Tampoco tenía un símbolo para un número general n. En
donde nosotros escribiríamos
12 6 n
, Diofanto tenía que escribirlocon palabras:
2
n
3
... un número por un factor de seis aumentado más doce, el cual se divide por la diferencia
entre el cuadrado del número menos tres.
a. Describe qué hacemos en la actualidad para expresar varias incógnitas. ¿Es contradictoria la
afirmación de que Diofanto “Tampoco tenía un símbolo para un número general n” con el hecho de
que utilizaba un símbolo para representar a una incógnita? ¿Por qué?
b. Expresa en lenguaje ordinario las siguientes expresiones:
3n
2
2
2n
2(n
1
1)
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