2. Objetivos
• Definir qué es factorización de
números reales
• Factorizar polinomios utilizando
los siguientes métodos
– Factor en común
– Agrupación
– Diferencia de cuadrados
– Suma y resta de cubos
Forma x + bx + c
2
–
– Forma ax + bx + c
2
3. ¿Qué es
factorización?
• Si a es factor de b
entonces ac = b, donde
a, b y c son reales.
– Ejemplos
• 3 es factor de 12 porque
(3)(4) = 12
• Número primo
– Es un entero mayor que
uno cuyos únicos
factores son el 1 y el
mismo.
• Ejemplos
–5
– Menciona otros
4. Factorización
prima de un
número
• Hagamos la factorización
prima de:
12 12 12
¿Cuántas
factorizaciones
primas tiene el
12?
5. Factorización prima de
un número
• Hagamos la factorización
prima de:
24
24 24
¿Cuántas
factorizaciones
primas tiene el
24?
6. Teorema
fundamental de la
Aritmética
• El Teorema
fundamental
de la
Aritmética
establece que
existe una
única
factorización
prima de un
número dado
7. ¿Qué es
factorización de
polinomios?
• Expresar un
polinomio como
producto de dos
o más
polinomios
primos
• Existen
diferentes
métodos para
factorizar
polinomios.
Veamos cuáles
son.
8. Métodos de
Factorización
• Factor en común
• Agrupación
• Diferencia de
cuadrados
• Suma o resta de
cubos
• Factorización de
trinomios de la
forma:
– x2+ bx + c
• Factorización de
trinomios de la
forma:
– ax2+ bx + c
9. Factor en común
• Propiedad distributiva
a(b+c) = ab + ac
ab+ac = a(b+c)
• La primera permite cambiar
un producto en suma y la
segunda una suma en
producto.
• En la factorización se
trabaja con la segunda
10. Veamos lo
siguiente
• Monomio como factor en
común
• http://sipan.inictel.gob.pe/i
nternet/av/fcomun1.htm
• Polinomio como factor en
común
• http://sipan.inictel.gob.pe/i
nternet/av/fcomun2.htm
• http://mediateca.educa.ma
drid.org/reproducir.php?
id_video=ht9o834m1wqkp7
ua
11. Monomio como
factor
• Ejemplos
3ab + 9b 2a + 4a
2 4
4 x ( a + b) + 5 y ( a + b)
12. Método por
agrupación
• http://sipan.inictel.gob.pe/i
nternet/av/fcomun3.htm
13. Método por
agrupación
La propiedad distributiva nos
permitió factorizar
polinomios tales como:
a + ab = a (a + b)
2
También podemos factorizar
polinomios tales como:
a + ab + ac + cb
2
Esto se
= ( a + ab ) + ( ac + cb )
2 conoce
como el
= a( a + b ) + c( a + b )
método de
agrupación
= ( a + b )( a + c )
14. Veamos otros
ejemplos…
cx + by + cy + bx xz + x − 6 z − 6
17. Diferencia de
cuadrados
• La diferencia
( a + b )( a − b ) = a − b
2 2
de dos
cuadrados se
factoriza
a − b = ( a + b )( a − b )
2 2
como el
producto de
la suma y la
diferencia de
dos números
18. Diferencia de
cuadrados
• http://sipan.inictel.gob.pe/i
nternet/av/dcuadra.htm
19. Diferencia de
cuadrados
• Para que un • Cuadrado
polinomio sea la perfecto
diferencia de – Un número que
dos cuadrados se obtiene al
perfectos debe multiplicar otro
número por sí
cumplir con lo mismo.
siguiente: – Ejemplos
– Tener dos • 1, 4, 9, 16, …
términos. • x², x4, x4, x6…
– Incluir la el exponente
operación de es par
resta o tomar • 4 x², 9 y²,
el opuesto (a+b)²,…
– Cada término
debe ser una
cuadrado
perfecto
20. Ejemplos
x −9
2 8a 2 − 18
4 x − 25 y
2 2 ( a + b) 2
− 16a 2
3 x 2 − 3xy + x 2 − y 2
22. Ejemplos
( x + 3)( x − 3 x + 9) =
2
( x − 2)( x + 2 x + 4) =
2
23. Factorización de
Suma o resta de
cubo
Suma de cubos
http://sipan.inictel.gob
.pe/internet/av/sdcub
os1.htm
Resta de cubos
http://sipan.inictel.gob
.pe/internet/av/sdcub
os2.htm
24. Factorización de
Suma o resta de
cubo
a + b = (a + b)(a − ab + b )
3 3 2 2
a −b = (a − b)(a + ab + b )
3 3 2 2
28. Factorización de
trinomios
de la forma: x2+ bx + c
• Vamos a acceder a la
siguiente página
– http://sipan.inictel.gob.pe/in
ternet/av/tformax.htm
– http://mediateca.educa.mad
rid.org/reproducir.php?
id_video=s7jg8jc41ajlspe9
– Otros ejemplos
29. Factorización de
trinomios
de la forma: x2+ bx + c
x − 4x + 3
2
x + 15 x + 56
2
30. Factorización de
trinomios
de la forma: ax2+ bx + c
• http://sipan.inictel.gob.pe/i
nternet/av/tformbx.htm
31. Monomio
como
Agrupación
factor
Diferencia Suma o
de Factorización Resta de
cuadrados cubos
de polinomios
Trinomios Trinomios
x2+ bx + c ax2+ bx + c
