1. Matemáticas
Nelson Rodríguez
Juan Duarte
Lizzie Zambrano
Carolina Martínez

2. Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White
Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina
Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media |
Mónica López Castro
Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa |
Heublyn Castro Valderrama
Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama
Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander
Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar
Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros
Fundación Manuel Mejía
© 2010
Ministerio de Educación Nacional Dirección General | Mauricio Perfetti del Corral
Todos los derechos reservados
Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte
Prohibida la reproducción total o
parcial, el registro o la transmisión Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño
por cualquier medio de
recuperación de información, sin Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López
permiso previo del Ministerio de
Educación Nacional.
Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz
© Ministerio de Educación Nacional Asesoría Pedagógica | Carolina Cortés , Solman Yamile Díaz
ISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN
obra: XXX-XXX-XXX-XXX-X Autores | Nelson Rodríguez, Juan Duarte, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez.
Dirección de Calidad para la
Educación Preescolar, Básica Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón
y Media
Subdirección de Estándares y Evaluación Diseño y diagramación | Víctor Gómez
Ministerio de Educación Nacional Bogotá,
Ilustración | Richard Rivera Ortiz
Colombia, 2009
www.mineducacion.gov.co Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz

3. Presentación
En el marco de los modelos flexibles que promueve el Pro-
yecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional
consideró necesario hacer una revisión del modelo Postprima-
ria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de este
modelo, se actualizaron y complementaron los materiales
pedagógicos para su implementación en procura de aumen-
tar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes de
la zona rural y garantizar su permanencia en el sistema edu-
cativo.
La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada
por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios
realizados en el año 2005, por el Centro de estudios regiona-
les, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional
para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CER-
LALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar los
avances de la política educativa de calidad, específicamente
en lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque de
competencias y los estándares básicos de competencia, entre
otros.
Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural
cumplen un papel central para el desarrollo o el fortaleci-
miento de las competencias básicas. Es así como con esta
serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes
que adelantan sus estudios de educación básica secundaria
en instituciones o centros educativos con el modelo Postpri-
maria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren
una base para la realización de actividades pertinentes para
el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos
a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el
marco de los referentes de calidad de la política educativa.
Ministerio de Educación Nacional

4. Así es esta cartilla
Querido estudiante:
Bienvenido a este nuevo curso de Matemáticas de la Postprimaria rural.
Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para tí y para todos
los integrantes de tu comunidad educativa.
Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma
como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que
se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos
transversales y de los proyectos pedagógicos productivos.
La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso
y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento
adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un
compromiso serio que te ayude en tu formación personal.
En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás
unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.
Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te
disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia
el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que
has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria.
Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada
al conocimiento.
Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos
conocimientos estarán acompañadas de este ícono.
Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización,
y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten.
Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán
mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y
como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad
y con el lugar en el que vives.
4

5. Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que
te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad
en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones
diferentes a las presentadas en las actividades en las que
aprendiste algo nuevo.
Identificadas con este ícono encontrarás actividades de
aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido
te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida
cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras
áreas del conocimiento.
Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán
establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas
desarrollando tus competencias.
El análisis de los resultados que obtengas en su realización te
ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para
superar las dificultades que se hayan podido presentar o a
determinar las formas de mejorar tus competencias de manera
que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.
Si las actividades están acompañadas de este ícono, es
importante que las realices solo y pongas en ellas tu
mejor esfuerzo.
Cuando las actividades están acompañadas de este ícono,
debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda
respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que
la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de
competencias en todos los integrantes del grupo.
Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera
que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.

6. Tabla de contenido
MÓDULO
1 El fantástico
mundo
de los números | 8
Guía
1
¿Cómo se organizan
las sartas
de pescado? | 12
6 A duplicar
y triplicar | 44
2 ¿Sabes cómo
se comporta
una hormiga? | 16
7 Realizando cálculos
fácilmente | 48
3
3
¿Eres ordenado
u ordenada? | 20
¿Cuál es la ficha
2
que falta para completar el
rompecabezas? | 54
Usemos los MÓDULO
números
MÓDULO
enteros | 28 Guía
8 ¿Cómo hallar la
información oculta? | 58
Guía 4 Nos movemos
en la recta
para sumar | 32
9 ¡Decifremos
la respuesta! | 62
10 ¿Qué significa que
5
algo tiene x peso? | 66
¿Y cuál es
la diferencia? | 40

7. MÓDULO
4 La magia
del movimiento | 74
11
6
Guía Máquinas en
movimiento | 78 Interpreto
y concluyo sobre datos
de mi entorno | 118
12 Arte y movimiento | 82 MÓDULO
13 La pintura
y el movimiento | 86
Guía
17 ¿Cuál es la producción
promedio de Mauricio
en su finca? | 122
18
¿Sabes lo que significa
ser el mediano de la
5
familia? | 126
¿Como se deben
MÓDULO
acomodar las cosas para
ser trasportadas? | 94 19 ¿Sabes lo que es estar
de moda? | 130
Guía
14 ¿Cómo se expresa el
volumen? | 98
15 ¿Qué diferencia existe
entre la capacidad y el
volumen? | 104
16 ¿Cuántos cm3 de
medicina debo dar a
josefina? | 110

8. El fantástico
mundo
MÓDULO
de los números
¿Que vas a aprender?
Estándares básicos de competencias
Pensamiento numérico
Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de
variaciones en las medidas.
Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de
competencias relacionados con el pensamiento numérico, ya que a par-
tir de los números relativos es posible describir situaciones de la cotidia-
nidad y al mismo tiempo situaciones que corresponden específicamente
al campo de las matemáticas. Con el concepto de valor absoluto y las
relaciones de orden se comienza el estudio de las operaciones entre
números enteros.
En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo
y lo que se desarrolla en cada una de ellas.
8

9. Contenidos
Guías Contenidos Procesos
Números relativos
1 Números enteros >> Relacionar el lenguaje cotidiano con el
lenguaje y los símbolos matemáticos al
asignar números relativos a diferentes
situaciones.
2 Valor absoluto >> Usa modelos como la recta numérica
en sus validaciones acerca de las
propiedades de los números enteros.
>> Formula problemas a partir de
Orden en el conjunto de situaciones cotidianas que pueden ser
3 los números enteros. descritas con números relativos.
9

10. El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el
módulo.
Módulo 1
Pensamiento numérico
El concepto
de número
Como
Ente de conteo
Aplicado a
Los números relativos Los números enteros
Mediante los cuales
Resolver situaciones
¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?
Los números enteros tienen aplicaciones tanto en situaciones de la vida
cotidiana como en situaciones de las ciencias. Por ejemplo, para cono-
cer la variación de la temperatura, para conocer ganancias o pérdidas,
para el crecimiento o la disminución de la cantidad de agua en el río en
diferentes épocas del año.
Con los números relativos es posible conocer a partir de un punto de
referencia, qué tan cerca o qué tan lejos queda una vereda vecina, el río
más cercano, o la escuela.
Es posible conocer acontecimientos antes y después de un nacimiento
por ejemplo, o simplemente saber la altura o la profundidad respecto al
nivel del mar.
10

11. ¿Cómo se te va a evaluar?
En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus
compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en
cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números
naturales y la recolección de datos estadísticos.
La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades
evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.
Además encontraras dos secciones:
Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades,
problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así
como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para
expresar tus ideas y pensamientos.
Explora tus conocimientos
El director de la escuela organizó GRADO 7
la información de la cantidad de
estudiantes que hay en la escuela.
Cantidad de
Grado
estudiantes
6º. 12
7º. 8
8º. 5
9º. 9
Cada curso debe tener 9 estudiantes.
>> ¿Qué grupos tienen más de esa cantidad?
>> ¿Qué grupos tienen menos?
>> ¿Cuántos estudiantes menos hay en grado 7º?
>> ¿Cuántos estudiantes más hay en grado 6º?
>> Si a la escuela llegan 11 estudiantes nuevos, esa cantidad de estudiantes ¿es
suficiente para organizar otro grupo?
>> Si los estudiantes ingresan a 8º, grado, ¿cuántos estudiantes sobrepasan el
cupo?
>> Si se reparten seis estudiantes para grado 8º y el resto en grado 9º, ¿en cuánto
sobrepasarían el cupo deseado en cada curso?
11

12. Guía
Los hermanos Castillo, cada viernes muy temprano en su canoa
a pescar. Horas más tarde regresan con lo que han pescado para
venderlo en el mercado, el fin de semana.
¿Cómo se Una vez son tratados para su consumo,
organizan los pescados son ubicados en una cuerda,
las sartas de uno tras otro, formando una fila. Esto
pescado? comúnmente se conoce como una sarta.
Para la organización de las ventas en
el mercado, los hermanos Castillo han
elaborado la siguiente tabla:
Clase de Número de pescados
pescado en la sarta
Bocachico 5
Bacalao 3
Trucha 4
Mojarra 9
>> Si en cada sarta colocan seis pescados, ¿es suficiente el número
de pescados que hay de cada clase para armar las sartas?
>> Si se quisiera conformar una sarta con las mojarras, ¿cuántos
pescados sobrarían?
>> Si quiere formar tres sartas completas de truchas, ¿cuántos
pescados faltarían?
>> En la siguiente figura se representa la loma donde viven los
hermanos Castillo y el sitio en el que realizan la pesca.
Loma
Nivel del
agua
Lago
>> ¿Cómo puedes escribir los números para diferenciar la altura
de la loma de la profundidad del lago?
12

13. Para responder las preguntas anteriores, fue necesario tomar
una referencia numérica que sirve como punto de partida
para expresar, en este caso, la cantidad de pescados que
sobran o faltan para completar una sarta, una altitud o una
profundidad.
Cuando se ubica un punto de referencia, se da lugar a la
determinación de los números relativos.
Los números relativos se asocian a expresiones como:
antes, después, menos que, más que, a la derecha, a la
izquierda, por encima de, por debajo de, deudas, ganancias.
Para escribir números relativos se emplean notaciones
como:
+3, -5, -200, +6, +18, -367, -45, +19.
Por ejemplo, si una sarta de pescados se organiza con
cinco unidades, la cantidad de pescados que sobra después
de organizar la sarta, se indica con números positivos.
En el caso contrario, es decir, que falten peces para com-
pletar una sarta, entonces se utilizan los números negativos.
Por ejemplo, con el número -1 se representa el número de
truchas que faltan para completar una sarta.
Con el número +4, se indica la cantidad de mojarras que
sobran después de formar una sarta.
>> ¿Con cuál número relativo se indica la cantidad de
bacalaos que faltan para completar una sarta?
>> ¿Qué situación se representa con el número -2?
>> ¿Qué número se está tomando como referencia en esta Los números
situación? que están
>> Para indicar la altura de la loma de figura anterior, ¿cuál acompañados por el
es el punto de referencia? signo +, se conocen
>> ¿La profundidad del lago la indicas con una cantidad como enteros
positiva o negativa? positivos; y los que
>> ¿Y la altura de la loma? están acompañados
por el signo -,
La unión de los enteros positivos, los enteros negativos y se conocen como
el cero, forman el conjunto de los números enteros. enteros negativos.
13

14. Este conjunto se denota así:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}
Z = Z- U {0} U Z+
Usualmente los números enteros se representan sobre una
línea recta. Sobre ella se escoge un punto para ubicar el cero,
luego, se toma una unidad de referencia y, hacia la derecha
se ubican los enteros positivos. Con un proceso similar, y con
la misma unidad, se ubican los enteros negativos hacia la
izquierda de cero.
...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5...
Enteros negativos Cero Enteros positivos
Indica hacia qué lado de la recta se ubican los números: 7;
13; -9; 20; -15;
>> ¿Cuál es el punto de referencia?
>> ¿Ese valor es positivo o negativo?
>> ¿Cómo se representa el conjunto de los números
negativos?
>> ¿Cómo se representa el conjunto de los números
positivos?
>> En la figura anterior, Cuenta las unidades que hay desde
0 hasta 4. ¿Cuántas hay?
>> Cuenta las unidades que hay desde 0 hasta -4. ¿Cuántas
hay?
>> ¿Cómo son esas distancias?
>> Repite la actividad, contando las unidades que hay,
primero, entre 0 y 3, luego 0 y -3. ¿Cómo son esas
Los números distancias?
que están a la
misma distancia de Observa la figura:
cero, pero tienen 2 2
signos diferentes se
denominan números
opuestos. ...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5...
>> 2 es el opuesto de +2 o, +2 el opuesto de -2.
>> ¿Cuál es el opuesto de 1?
>> ¿Cuál es el opuesto de -4?
>> ¿Cuál es el opuesto de 3?
>> ¿Cuál es el opuesto de -5?
14

15. >> ¿Cuál es el opuesto de 0?
>> Si a representa un número entero, ¿cómo se representa su opuesto?
Forma pareja con uno de tus compañeros.
1. Escriban la situación opuesta y el número opuesto.
a. Llegué una hora antes a la práctica de baloncesto.
b. Caminando a la escuela me demoro 25 minutos más que en bicicleta.
c. Ayer perdí $ 1500.
d. Rodrigo llegó un minuto después de Ángela.
2. El doctor Antonio va de visita a San Juan. Él quiere saber en dónde quedan ubicados
el montallantas, el hospital, el hotel, el restaurante y el monumento principal.
Preguntándole a las personas que pasan por su vía, Antonio recoge la siguiente
información: El monumento principal queda a un kilómetro pasando el puente. Tres
kilómetros después del monumento se encuentra el montallantas. El hospital queda un
kilómetro antes del puente y dos kilómetros antes del hospital queda el restaurante. El
hotel está a cinco kilómetros del montallantas.
a. Representen la situación en una recta numérica, tomando como punto de referencia
el puente. Consideren cada unidad como un kilómetro.
b. Escriban el número relativo que representa la ubicación de cada uno de los sitios de
interés para Antonio.
c. ¿Qué sitios se encuentran ubicados en números relativos opuestos?
d. ¿Cuáles son esos números?
e. Si se toma el hospital como punto de referencia, ¿qué sitios se encuentran ubicados
en números relativos opuestos? ¿Cuáles son esos números?
3. Analicen la figura.
Q W E T Y U I P L K
>> Marquen numéricamente cada uno de los puntos suponiendo que Y es el punto de
referencia.
4. Realicen el mismo ejercicios suponiendo que U es el punto de referencia.
15

16. Guía
¿Has visto el trabajo que realiza una hormiga?
Ellas se encargan de llevar el alimento desde la superficie hasta
el hormiguero y pueden cargar hasta el doble de su peso en la
¿Sabes comida que llevan. Pueden comunicarse para indicar direcciones
cómo se acerca del sitio donde se encuentra la comida y dar alarma a sus
compañeras para realizar un trabajo en equipo.
comporta
una
hormiga? Imagínate que uno de esos hormigueros se encuentra ubicado
entre dos árboles de naranjo; cada mañana las hormigas salen a
buscar su alimento distribuyéndose en sentidos contrarios, como
lo muestra la figura.
...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5...
>> ¿Qué número relativo representa la posición del hormiguero?
>> ¿Qué número relativo representa la posición del árbol a la
derecha del hormiguero?
>> ¿Qué número relativo representa la posición del árbol a la
izquierda del hormiguero?
>> Si cada unidad representa un metro, ¿qué distancia hay del
hormiguero a cada uno de los árboles?
En la situación anterior, la ubicación de los árboles de naranjo
respecto a la ubicación del hormiguero, se puede represen-
tar con los números relativos
16

17. -4 y +4, respectivamente, sin embargo, en ambos casos se
observa que las hormigas recorren 4 metros.
La distancia que separa a un número del punto 0 en la recta
numérica, se denomina valor absoluto.
El valor absoluto de -4 y +4 es 4, puesto que cada uno de
esos números se encuentra a cuatro unidades del cero en la
recta numérica.
Para indicar que se desea hallar el valor absoluto de un
número entero a, se acostumbra encerrarlo entre barras ver-
ticales así: |a|.
Sobre la recta numérica se puede verificar que el valor
absoluto de cada par de números opuestos es siempre el
mismo.
6 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7...
2 2
...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5...
|-2| = 2 y |2| = 2
En tu cuaderno representa una recta numérica y repre-
senta los valores absolutos indicados.
|-8| y |8|
|-13|y |13|
>> ¿Cómo son los resultados obtenidos en cada caso?
17

18. 1. Indica algunos sitios reconocidos que se encuentren en la
vereda o región donde vives. Pueden ser el puesto de salud, la
iglesia, la tienda, la plaza, el parque.
a. Toma uno de esos sitios como punto de referencia, por
ejemplo el parque, y estima la distancia de ese punto a los
diferentes sitios que escogiste.
b. En tu cuaderno, representa sobre una recta numérica cada
uno de los sitios. Considera que cada unidad corresponde a
100 metros.
c. Indica cuál es el número relativo que representa la
ubicación de cada uno de los sitios y cuál su valor absoluto.
d. ¿Cuál de los lugares que mencionaste está más cerca de tu
casa?
e. ¿Cuál está más lejos?
f. Estima la distancia que debes recorrer para llegar a uno de
esos sitios, desde tu casa.
g. Imagínate que tu casa y todos esos sitios se encuentran en
una recta. Representa esa recta y esos sitios, tomando como
punto de referencia tu casa.
h. Escribe el valor relativo que tiene cada uno de esos sitios, al
ubicarlos en la recta numérica Luego halla su valor absoluto.
2. Representa la siguiente situación.
Dos lanchas parten de la orilla de un río. Una recorre 35
kilómetros hacia el norte de la vereda y la otra, 40 kilómetros
hacia el sur.
a. ¿Qué punto se toma de referencia en esta situación?
b. ¿Qué número representa ese punto de referencia?
c. ¿Cuál número entero representa la posición de la lancha
que parte hacia el norte, respecto al punto de partida?
d. ¿Cuál número entero representa la posición de la lancha
que parte hacia el sur, respecto al punto de partida?
e. Calcula el valor absoluto de +40.
f. Calcula el valor absoluto de -40.
g. ¿Qué puedes concluir respecto a las distancias recorridas
por las lancha?
18

19. 3. Muy temprano en la mañana María y Francisco salen a sus
trabajos respectivos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
trabajo de Francisco
trabajo de María
a. Si cada unidad representa 1000 kilómetros, ¿qué distancia
recorre cada uno?
b. ¿Quién recorre mayor distancia?
c. ¿Qué valores absolutos estás calculando?
5. Dos caballos parten de una finca, como muestra la figura.
K -3 -2 -1 p 1 2 M
Uno de los caballos llega al punto K y el otro al punto M.
>> Si una unidad representa 1000 decámetros, ¿qué distancia
recorrió cada caballo?
>> Representa cada distancia con su valor absoluto.
6. Responde las preguntas argumentando tu respuesta.
>> Consideren el conjunto de los números enteros.
a. ¿Qué números enteros tienen valor absoluto mayor que 7?
b. ¿Cuáles tienen valor absoluto menor que 7?
c. ¿Cuál es el valor absoluto de cero?
d. ¿Por qué el valor absoluto de un número es siempre
positivo?
19

20. Guía
Las actividades que realizamos a diario siguen
cierto orden.
>> Por ejemplo, ponerse los zapatos después de las medias.
¿Eres >> Enjabonarse después de estar mojado con el agua.
ordenado u >> Colocar crema en el cepillo de dientes antes de cepillarlos.
ordenada?
1. Describe el orden en que realizas las actividades en la mañana.
2. ¿Tienes un horario de clases en la escuela?
3. ¿Qué clase tienes a la primera hora de los viernes?
4. ¿Tienes tus objetos personales ordenados?
5. Escribe en tu cuaderno, las actividades que haces entre las
siete de la mañana y las siete de la noche en un día hábil de la
semana.
a. ¿Todos los días realizas las mismas actividades?
b. ¿Cuál es la que más te gusta? ¿Por qué?
c. Escribe al frente de cada actividad la hora aproximada en la
que la realizas.
6. Traza una recta numérica y ordena las actividades que
escribiste en el punto anterior, tomando como punto de
referencia las doce del día.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
20

21. a. ¿Cuál es la hora cero?
b. ¿Realizas más actividades antes o después de la hora cero?
c. ¿Cuáles de esas actividades realizas después de la hora cero?
d. ¿Qué número relativo indica la hora a la que llegas a la
escuela?
e. ¿Qué haces antes de esa hora?
f. ¿Qué actividad realizas dos horas antes de la hora cero?
g. ¿Qué actividad realizas tres horas después de la hora cero?
Cuando representas las actividades que realizas en un día
sobre una recta, lo haces de manera ordenada.
Por ejemplo, el baño lo tomas después de levantarte; el
desayuno lo tomas antes del almuerzo; te lavas las manos
antes de comer.
Así como las actividades que realizas en el día se pueden
ordenar, en el conjunto de los números enteros también se
establecen relaciones de orden. Es decir se puede determinar
qué número está antes o después de otro y por tanto, decir
cuál de ellos es mayor o cuál es el menor.
En la figura se ubicaron algunos números enteros en una
recta numérica.
d e c a b
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Cuando ubicas
Observa que algunos números enteros se ubican a la dere- números enteros en
cha o la izquierda de otro tomado como referencia. una recta numérica
Por ejemplo, el número 4 está ubicado a la izquierda del horizontal, es mayor
número 6, o el número 6 está ubicado a la derecha del número aquel número entero
4, en estos casos es sencillo determinar cuál de ellos es el que se encuentre a la
mayor. ¿Cuál es? derecha de otro. Esta
>> ¿Cómo representas matemáticamente esta relación? relación se establece
>> ¿El número -2 está ubicado a la derecha o la izquierda mediante los signos:
del número 1? < (mayor que) o >
>> ¿Cuál es mayor? (mayor que).
21

22. >> ¿El número -2 queda está ubicado a la derecha o la
izquierda del número
>> -5? ¿Cuál es mayor en este caso?
>> ¿Qué signo debes colocar entre esos números si deseas
compararlos?
En tu cuaderno representa cada pareja de números en una
recta numérica.
3 y -7; 6 y -4; 8 y -3
Concluye:
Si un número es positivo y el otro negativo, ¿cuál es menor?
>> Representa en tu cuaderno sobre una recta numérica las
siguientes parejas de números:
-4 y -9; -1 y -12; -7 y -15
Concluye:
Si los dos números son negativos ¿cuál es mayor?
>> ¿Si se representan en la recta numérica dos números
positivos, ¿cuál es mayor?
1. En tu cuaderno, representa en la recta numérica los siguientes
conjuntos de números enteros.
a. Los enteros mayores que 2 pero menores que 12.
b. Los enteros positivos menores que 12.
c. Los enteros mayores que -6, pero menores que 8.
d. Los enteros negativos mayores que -8.
e. Los enteros mayores que -4, pero menores que 4.
f. Los enteros menores que 5.
g. Los enteros mayores que -2.
h. Los enteros mayores que 6.
2. Completa cada frase en tu cuaderno.
a. +6 está a la __ de +2. Se puede escribir +6 ___+2.
b. -7 está a la __ de -5. Se puede escribir -7 ___ -5.
c. +8 está a la __ de -2. Se puede escribir +8 ___ -2.
d. -10 está a la __ de -4. Se puede escribir -10 ___ -4.
22

23. 3. Escribe el signo que permite comparar las siguientes parejas
de números:
a. 2 y 3 b. 9 y -6 c. -4 y 2
d. -1 y -7 e. -5 y -8 f. -12 y 3
4. Escribe tres números enteros que estén entre:
a. -5 y +6 b. 0 y +8
c. 0 y -5 d. -17 y +12
5. En tu cuaderno, representa en la recta numérica los siguientes
conjuntos de números enteros.
a. Los enteros mayores que 2 pero menores que 12.
b. Los enteros positivos menores que 12.
c. Los enteros mayores que -6, pero menores que 8.
d. Los enteros negativos mayores que -8.
e. Los enteros mayores que -4, pero menores que 4.
f. Los enteros menores que 5.
g. Los enteros mayores que -2.
h. Los enteros mayores que 6.
6. Cuando se comparan números enteros en una recta vertical,
¿cuál es mayor?
Realiza una representación gráfica.
7. Los puntos K, L y M ubicados en la recta, representan números
enteros. Determina el signo de cada número y la relación de
orden que existe entre ellos.
M L 0 K
23

24. 1. Miguel y sus hermanos se reúnen a jugar en la canchas
de baloncesto que hay en el polideportivo del pueblo.
Ellos practican el lanzamiento desde la mitad de la
cancha y anotan con números positivos los aciertos y
con números negativos los lanzamientos perdidos.
En una serie de cuatro juegos, Miguel obtuvo los
siguientes puntajes -12, -8, -4, 5.
a. a. ¿Puedes afirmar que el primer puntaje fue el mayor?
¿Por qué?
b. b. ¿Crees que Miguel fue mejorando sus lanzamien-
tos? Explica tu respuesta.
c. c. ¿Cada vez que Miguel jugó, obtuvo un puntaje mejor
que el anterior? Explica.
2. José y Ramón los hermanos de Miguel, obtuvieron en el
primer juego, -11 y -9 puntos, respectivamente. Entonces
decidieron apostar una empanada con gaseosa. Decidie-
ron que el ganador sería aquel que elevará más su pun-
taje inicial.
Los puntajes correspondientes se anotan en la siguiente
tabla.
Primer Segundo Tercer Cuarto
juego juego juego juego
José -11 -4 7 9
Ramón -9 -4 9 11
¿Quién ganó la empanada con gaseosa?
Explica tu procedimiento para hallar la respuesta.
24

25. 3. El siguiente diagrama es un plano cartesiano.
Su representación consiste en trazar dos rectas
perpendiculares de modo que su intersección se convierta
en un punto de referencia para dar coordenadas de lugares
u objetos.
Para cualquier punto que se ubique en el plano, la primera
coordenada corresponde a las unidades contadas sobre
la recta horizontal a partir del punto de referencia. Será
positiva si el conteo se hace hacia la derecha o negativa
si se hace hacia la izquierda. La segunda coordenada
corresponde a las unidades contadas sobre la recta
vertical, a partir del punto de referencia. Será positiva si
el conteo se hace hacia arriba o negativa si el conteo se
hace hacia abajo.
Y B
A B
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 A
-1 X
-2
-3
-4
a. Las coordenadas del punto A son (5, 6). ¿Cuántas uni-
dades se desplazó desde el punto de referencia hacia
la derecha?
b. ¿Cuántas unidades se desplazó desde el punto de refe-
rencia hacia arriba?
Escribe las coordenadas del punto B y explica lo que
significa cada número.
c. Desplaza el punto A dos unidades hacia abajo y tres
unidades hacia la izquierda. ¿Cuál es su nueva ubica-
ción?
d. Desplaza el punto B, cinco unidades hacia la izquierda
y una unidad hacia abajo. ¿Cuál es su nueva ubicación?
25

26. Que aprendí
1. Al subir una montaña, la temperatura baja 5 ºC cada 300
metros. En la base de la montaña la temperatura es de
20 ºC. la montaña tiene una altura aproximada de 2500
metros desde la base de la cima. ¿Cuál será la tempera-
tura en la cima?
Completa, en tu cuaderno la tabla como ayuda.
Altura (m) 0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400
Temperatura (oC) 20 15
2. Mateo realiza las siguientes transacciones en un banco:
Consigna $ 130 000
Retira $ 60 000
Consigna $ 170 000
Retira $ 95 000
>> Escribe cada movimiento de la cuenta con un número
entero.
>> Si tenía $ 90 000, ¿cuánto dinero le queda en la cuenta?
3. En la figura se han representado algunos sitios sobre una
recta.
ALCALDIA
Si el río es el punto de referencia, escribe el valor
relativo que representa:
a. La escuela.
b. La estación de gasolina
c. La Alcaldía
d. El hospital.
e. El restaurante.
26

27. 4. Si cada unidad representa 1000 metros, escribe la distan-
cia de:
a. El río al restaurante.
b. La Alcaldía al hospital.
c. La torre eléctrica a la estación de gasolina.
d. La escuela al río.
e. Explica cómo calculaste cada una de esas distancias.
¿Cómo me ven los demás?
Trabajemos en grupos.
5. En la gráfica se representa la temperatura registrada en
una ciudad, durante una semana.
Y
9 (J, 9) (V, 9)
3 (D, 3)
(S, 1)
(M, 0)
0 X
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Días de la
semana
-3 (Mc, -3)
-9 (L, -9)
a. ¿Qué día estuvo más baja la temperatura?
b. ¿El miércoles hizo más que el viernes?
c. ¿Cómo escribir la temperatura del miércoles para dife-
renciarla de la del sábado?
d. Utilicen números enteros para ordenar las temperatu-
ras de menor a mayor.
e. ¿Qué significa la pareja (D, -5)?
6. Mencionen tres situaciones en las cuales se utilicen los
números enteros.
Me autoevalúo
>> Utilizo los números enteros en situaciones de comparación.
>> Utilizo lenguaje matemático para relacionarlo con
números enteros para modelar situaciones.
>> Comparo números enteros de menor a mayor y viceversa.
>> Resuelvo situaciones que requieran de números relativos.
>> Utilizo la recta numérica para ubicar un punto de referencia
y determinar los valores relativos.
>> Trabajo con mis compañeros aportando mis ideas y
respetando las de ellos.
27

28. Usemos
los números
MÓDULO
enteros
¿QUE VAS A APRENDER?
Estándares básicos de competencias
Pensamiento numérico
Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la
teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas
de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, divi-
sión y potenciación.
Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y pro-
piedades de las operaciones.
Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicati-
vas, en diferentes contextos y dominios numéricos.
Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de
competencias relacionados con el pensamiento numérico, ya que a par-
tir de las operaciones con los números enteros es posible describir situa-
ciones de la cotidianidad de manera que se comprendan los diferentes
significados de los números enteros, de sus propiedades y de las relacio-
nes entre las operaciones
28

29. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se
desarrolla en cada una de ellas.
Contenidos
Guías Contenidos Procesos
>> Establece conexiones entre las distintas
4 Adición de números enteros representaciones de los números
enteros y entre las operaciones y sus
representaciones.
Sustracción de números en-
5 teros
>> Comunica a otros sus ideas sobre las
operaciones con números enteros de
manera clara y coherente.
Multiplicación y división de >> Justifica sus respuestas, procedimientos
5 números enteros y estrategias empleadas en diversas
situaciones de los números enteros.
Simplificación de signos de >> Resuelve problemas cuya solución
6 las operaciones requiere de los números enteros.
29

30. El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el
módulo.
Módulo 2
Pensamiento numérico
Significado de los
número enteros
En contexto de
Adición Sustrac ción Multiplicación División
Con signos Definida como Con signos a÷b=c
iguales la operación iguales Definida para
Con signos inversa de la Con signos números tales
diferentes suma diferentes que a = b × c
a – b = a + (-b)
¿PARA QUÉ TE SIRVE LO QUE VAS A APRENDER?
Las operaciones con números enteros tienen aplicaciones tanto en
situaciones de la vida cotidiana como en situaciones de las ciencias.
Por ejemplo, para resolver expresiones matemáticas como x + 10 = -12;
para saber cuánto se disminuye una deuda a la que se le abona cierta
cantidad, para conocer cuánto dinero tenía hace tres meses, comparado
con el que tengo ahora si la cantidad ahorra es la misma.
Con las operaciones con los números enteros puedes conocer datos
interesantes, cómo saber cuántos años vivió una persona de otra época
o conocer la distancia ente un punto y otro.
30

31. ¿Cómo se te va a evaluar?
En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus
compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en
cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números
naturales y la recolección de datos estadísticos.
La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades
evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.
Además encontraras dos secciones:
Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades,
problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así
como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para
expresar tus ideas y pensamientos.
EXPLORA TUS CONOCIMIENTOS
>> ¿En la región donde vives o cerca de
ella, hay petróleo?
>> ¿Conoces los derivados de ese
mineral?
>> ¿Hay estufa gas en tu casa?
Si la respuesta a la pregunta anterior es
no, explica cómo cocinan los alimentos, en
tu casa.
¿Sabes cómo se extrae el petróleo?
El petróleo se extrae mediante la perfo-
ración de un pozo sobre un yacimiento. El
trépano o broca es la herramienta de corte
que permite perforar.
a. El trépano puede perforar 60 m por
hora. ¿Cuántos metros habrá per-
forado en 5 horas? ¿Qué número
entero expresa esta profundidad?
b. Si el trépano se encuentra a -720
m, ¿cuántas horas han transcurrido
desde que se inició la perforación?
31

32. Todos los movimientos describen una trayectoria, aunque a
Guía veces no pueda percibirse. Por ejemplo, cuando vas para la
escuela sigues un camino que describe una trayectoria, ya
sea recta o curva.
Cuando ves pasar un avión por el aire, también se puede
describir su trayectoria, lo movimientos que realiza la Tierra,
aunque no se puedan ver, si se pueden describir.
Nos Para describir la trayectoria de un desplazamiento, es
importante indicar si el movimiento se hace hacia la izquierda,
movemos hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo. Además se debe
en la recta indicar las unidades que se recorren en el desplazamiento.
para sumar
Las siguientes situaciones representan trayectorias
sobre una línea recta. Léelas atentamente. Luego
resuélvelas.
1. Roberto lleva todos los días el alimento a los animales de la
finca. Al llegar a la caballeriza, primero camina cuatro metros
hacia el caballo Pintica, y luego camina tres metros más en la
misma dirección hacia donde está el caballo Rúper.
Traza una recta numérica y representa la situación. Considera
que cada unidad representa un metro.
a. ¿En qué punto de la recta termina el primer
desplazamiento?
b. ¿En qué punto de la recta comienza el segundo
desplazamiento?
c. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra Roberto,
después de realizar los desplazamientos?
32

33. 2. Roberto prepara los caballos Pintica y Rúper para participar
en una competencia que se está organizando a las afueras
del pueblo. Pintica ha acumulado algunos puntos a favor
obtenidos en competencias en las que ha participado
anteriormente, pero Rúper, solo ha acumulado puntos contra.
Primera Segunda
Competidor Puntaje
competencia competencia Puntaje
Puntos Puntos Puntos Puntos Primera Segunda final
ganados perdidos ganados perdidos Competencia Competencia
Pintica 1 0 2 0 1 2 3
Rúber 0 3 0 2 -3 -2 -5
>> ¿Qué proceso matemático se siguió para hallar el puntaje
final?
En la figura se representa el desplazamiento que hace Roberto
en la caballeriza.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> ¿Cómo se representa matemáticamente esa situación?
>> Escribe en tu cuaderno la operación que está
representada.
Lee nuevamente los datos de la tabla acerca de los puntos
acumulados por los caballos en las competencias.
En la columna de los puntajes finales, se observan números
positivos y negativos.
>> ¿Por qué el primer puntaje final de Pintica, es positivo?
>> ¿Por qué el primer puntaje final de Rúper es negativo?
>> ¿La suma de números enteros positivos, es positiva o
negativa?
>> ¿La suma de números enteros negativos, es positiva o
negativa?
33

34. Observa cómo se representa la adición de números positivos
(+1) + (+2):
+3
+2
+1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Esta es la representación de enteros negativos:
-5
-2
-3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
La suma de números enteros del mismo signo se repre-
senta con una flecha cuyo origen es el origen de la primera
flecha y su extremo es el extremo de la segunda flecha.
Representa en tu cuaderno, sobre una recta numérica la
suma de las adiciones:
(-3) + (-7) y (-6) + (-5).
>> ¿Qué suma obtuviste en cada caso?
Encuentra el valor absoluto de cada uno de los sumandos
en las adiciones anteriores.
|3| = ? |-7| = ? |-6| = ? |-5| = ?
Halla la suma de los valores absolutos de cada par de
números y compara los resultados con los que obtuviste en
En general, la representación gráfica.
la suma de enteros
negativos del mismo >> ¿Qué tienen de diferente?
signo se obtiene >> ¿Qué puedes hacer para que los resultados sean iguales?
adicionando sus
valores absolutos Una mañana Roberto entró a las caballerizas y caminó 7
y escribiendo en el metros a su derecha, para alimentar al caballo Pillus, y luego
resultado, el signo de se devolvió 3 metros, en línea recta, para sacar agua de un
los números. tanque que se encuentra en ese punto.
34

35. Observa la representación gráfica.
(+4)
(-3)
(+7)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
¿A qué distancia del punto inicial se encuentra Roberto?
Explica cómo hallaste la respuesta.
Si Roberto camina cinco metros a su derecha y luego se
devuelve en línea recta nueve metros, ¿en qué punto queda?
(-4)
(-9)
(+5)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ahora Roberto entra a la caballeriza y camina siete metros
a su izquierda y se devuelve cinco metros.
(-2)
(+5)
(-7)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
¿A cuántos metros queda de la posición inicial?
En tu cuaderno, representa en una recta numérica la
siguiente situación.
>> Roberto llega a la caballeriza y camina ocho metros a
la izquierda. Luego se devuelve once metros, en línea
recta. ¿Cuál es su nueva posición respecto al punto de
inicio?
>> ¿La suma de números enteros de diferente signo
siempre es positiva? ¿Por qué?
>> ¿La suma de números enteros de diferente signo
siempre es negativa? ¿Por qué?
35

36. En conclusión, la suma de números enteros de diferente signo
se obtiene restando los valores absolutos (el mayor del menor)
y colocándole al resultado el signo del número que tenga mayor
valor absoluto.
Observa el ejemplo.
Analiza la siguiente operación:
(+30) + (-46)
Se hallan los valores absolutos de cada número:
|+30| = 30 y |-46| = 46
Ahora se restan esos resultados
46 – 30 = 16
Luego se coloca al resultado el signo del número con mayor
valor absoluto:
(+30) + (-46) = -16
Cuando un número es positivo, generalmente se omite el
signo + en su escritura, es decir, (+30) se puede escribir sim-
plemente 30.
1. Traza en tu cuaderno una recta numérica.
Dibuja y recorta la flecha numérica que representa el número
(+6), en una tira de papel. Coloca sobre la recta el origen de la
flecha en cada número indicado a continuación. Lee en qué
número queda el extremo de la flecha en cada uno de los casos.
Ten en cuenta que la distancia entre las unidades de la recta
numérica y la flecha sean las mismas.
(+2), (-1), (+3), (-5), 0
2. Analiza, responde y representa gráficamente las siguientes
situaciones.
a. Luisa se desplaza 7 metros hacia la derecha, luego 5 metros
hacia la izquierda. ¿A qué distancia se encuentra del punto
de partida?
b. Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta situación?
c. José camina tres pasos a la izquierda y luego camina 8 pasos
36

37. a la derecha. ¿A cuántos pasos se encuentra de la posición
inicial?
Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta situación?
Reúnete con un compañero o compañera y realicen las
actividades que se proponen a continuación.
3. Ramón y Miguel son habitantes de una vereda de Pitalito, en el
departamento del Huila. Un día se encuentran en la tienda, se
saludan y sigue cada uno su camino en bicicleta.
Ramón partió hacia la derecha y Miguel a la izquierda de
la tienda, al cabo de una hora, Ramón había recorrido tres
kilómetros y Miguel cuatro kilómetros en línea recta; después
de una hora Ramón decidió devolverse tres kilómetros,
mientras que Miguel sólo se devolvió un kilómetro.
Representen gráficamente el recorrido de Ramón y Miguel al
cabo de una hora.
a. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Ramón, en la
primera hora?
b. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Miguel, al cabo
de la primera hora?
c. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Miguel después
de que se devolvió?
d. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Ramón después
de que se devolvió?
e. Representen en la recta numérica la posición final de
Ramón y la de Miguel, con respecto a la tienda.
f. ¿Cuántos kilómetros en total recorrió Ramón?
g. ¿Cuántos recorrió Miguel?
4. Cada integrante del grupo, realice la siguiente. Luego reúnanse
y discutan los resultados obtenidos. Escriban una conclusión.
Ubíquense frente a al escritorio o pupitre de cada uno.
Desplácense ocho pasos a la derecha y luego cinco pasos a la
izquierda. Marquen con un lápiz el punto a donde llegaron.
37

38. Ahora vuelvan al punto de inicio y desplácense cinco pasos
a la izquierda y luego ocho pasos a la derecha. ¿A qué punto
llegaron?
>> ¿Obtuvieron el mismo resultado con respecto al punto inicial
en los dos casos?
>> Con ayuda de la recta numérica verifiquen que:
4 + (-6) = (-6) + 4
>> ¿Qué conclusión obtienen?
>> ¿Recuerdan que nombre recibe esa propiedad de la adición?
5. Representen sobre una recta numérica las siguientes adiciones.
a. (-8) + 0
b. 7 + 0
c. 0 + (-11)
>> ¿Cómo son los resultados?, ¿por qué se obtuvieron esos
resultados?
>> ¿Recuerdan que propiedad de la adición es?
>> ¿Pueden concluir que la adición de números enteros cumple
esa propiedad?
6. Representen las adiciones:
a. (-3) + 3
b. 5 + (-5)
c. 8 + (-8)
>> ¿Qué tienen de particular esas adiciones?
>> ¿Cuál es la suma?, ¿es igual en todos los casos?
>> Concluyan:
>> ¿Qué número se obtiene al adicionar un número con su
opuesto?
Esta propiedad de la adición de números enteros se conoce como
la propiedad del inverso aditivo.
7. Comprueben, con representaciones en la recta numérica, que
la adición de números enteros cumple la propiedad asociativa.
38

39. 39

40. Todas las personas somos diferentes. Algunas son altas y
Guía otras son bajas. Algunas tienen sus ojos de color claro y
otras tienen ojos negros. Además de las diferencias físicas,
también existen diferentes culturas a la que pertenecen dife-
rentes grupos de personas.
Cada una de esas diferencias nos hace especiales y únicos.
¿Qué cualidades te hacen diferente al resto de tus compañe-
¿Y cuál es la ros de clase?
diferencia?
En matemáticas la diferencia es uno de los términos
de la sustracción. La diferencia indica cuánto falta,
cuánto sobra, cuánto más, cuánto menos, etc.
Reúnete con un compañero o
compañera. Lean la siguiente
situación.
María, José, Teresa y Luis son
compañeros de la clase. Un día salen
de la escuela al mismo tiempo y se
desplazan así: María 100 metros
hacia la derecha, José, 130 metros
hacia la derecha; Teresa 20 metros
a la izquierda y Luis 80 metros a la
izquierda de la escuela.
Representen sobre una recta numérica los desplazamientos de
María, José, Teresa y Luis.
¿A qué diferencia en metros de distancia se encuentran:
>> ¿José de María?
>> ¿Luis de Teresa?
>> ¿María de Teresa?
>> ¿Teresa de José?
>> ¿Luis de María?
>> ¿José de Luis?
>> ¿Qué operación realizaron, para obtener la diferencia de
metros de distancia entre estudiantes que salieron de la
escuela?
40

41. >> ¿Recuerdas cuál es la operación inversa de la adición?
>> ¿Cómo compruebas que 10 - 6 = 4?
>> ¿Qué número le adicionas a 6 para obtener 10?
Para realizar sustracciones entre números enteros, debes
realizar el mismo proceso: se debe encontrar un número
entero, tal que sumado con el sustraendo dé el minuendo.
>> ¿Cuál es el minuendo en la sustracción anterior?
>> ¿Cuál es el sustraendo?
>> ¿Cuál es la diferencia?
Realiza en tu cuaderno, las siguientes operaciones y
observa lo que sucede cuando se resta a un número entero
diferentes números consecutivos.
(+7) – (+2) (-7) – (+2)
(+7) – (+1) (-7) – (+1)
(+7) – 0 (-7) – 0
(+7) – (-1) (-7) – (-1)
(+7) – (-2) (-7) – (-2)
Escribe las sustracciones que tienen el mismo resultado.
(+7) – (+2) = (+5) y (+7) + (-2) = (+5)
(-7) – (-2) = (-5) y (-7) + (+2) = (-5)
Continua.
>> ¿Cuál es el signo de la primera operación?
>> ¿Cuál es el signo de la segunda?
En cada caso, compara los números que están en el sus-
traendo. ¿Cómo son?
>> ¿Una sustracción se puede expresar como una adición?
>> Escribe una conclusión al respecto.
41

42. En conclusión: restar un número es lo mismo que sumar
su opuesto.
Ejemplos:
8 - 3 = 8 + (-3) = 5
10 - 4 = 10 + (-4) = 6
Toda sustracción
puede expresarse 3 - (-5) = 3 + (5) = 8
como una adición: (-6) - (-2) = (-6) + (2) = (-4)
a – b = a + (-b)
Recuerda que en los enteros positivos se puede omitir el
signo +.
Al igual que en la adición, la sustracción de enteros tam-
bién se representa sobre una recta numérica.
Observa la representación de las sustracciones anteriores.
+5
-3
+8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Representa la segunda sustracción.
Observa la representación de la tercera sustracción.
+8
+5
+3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Recuerda que -(-5) significa el opuesto de -5.
Representa la cuarta sustracción.
42

43. 1. Responde las preguntas.
a. Mercede tiene 4 granadillas. ¿Cuántas debe adicionar para obtener 12?
b. Para la segunda ronda del campeonato de microfútbol, el equipo arrayanes empieza
con 14 puntos en contra. ¿Cuántos puntos debe ganar para obtener una puntuación
final de 8 puntos?
c. ¿Qué número debes adicionar a 2 para obtener (-5)?
d. ¿Qué número debes adicionar a (-6) para obtener (-8)?
2. Escribe las siguientes sustracciones como adiciones.
a. 12 - 6 b. 5 - 11 c. -25 – (-6) d. 20 – (-8)
e. 7 – 0 f. 40 – 30 g. -10 – (-5) h. 13 – 18
3. Resuelve las sustracciones anteriores.
4. Escribe la sustracción que está representada en cada caso. El minuendo está
representado por la primera flecha.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Reúnete con un compañero o compañera para realizar las siguientes actividades.
Comprueben si (+17) – [(+11) – (+5)] = [(+17) – (+11)] – (+5).
>> Realicen primero las operaciones entre los signos de agrupación.
>> ¿Se puede afirmar que la sustracción cumple la propiedad asociativa?
>> Confirmen su conclusión con otro ejemplo.
Verifiquen si (+12) – (+4) = (+4) – (+12).
>> ¿Se puede afirmar que la sustracción cumple la propiedad conmutativa?
>> Den otro ejemplo.
Determinen con varios ejemplos, qué sucede si se sustrae a un número entero su opuesto
aditivo.
>> ¿Cumple la sustracción la propiedad del inverso aditivo? ¿Por qué?
43

44. Duplicar y triplicar son expresiones que se escuchan con
Guía frecuencia. Por ejemplo, para informar que la cantidad de
agua lluvia que cayó este año, duplicó la cantidad de agua
que cayó el año pasado o que las ganancias por la venta de
guayaba en época de cosecha, triplicó las ganancias de hace
dos años.
A duplicar y
triplicar
Adicionar dos veces una cantidad es calcular el
duplo de ese número.
Adicionar tres veces una cantidad es conocer el
triple de ese número.
>> ¿Cuál es el duplo de tres?
>> Observa cómo representarlo.
>> Construye en tu cuaderno rectas numéricas y en ellas
representa el producto 2 × 3.
(+6)
(+3)
(+3)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 × 3 significa dos veces tres.
>> ¿Cuál es el triple de dos?
>> Observa cómo representarlo.
>> En la siguiente recta se encuentra representado el producto
3 × 2.
(+6)
(+2)
(+2)
(+2)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
>> ¿Por qué la flecha que va desde 0 hasta 2, se repite tres veces?
>> ¿Qué significa matemáticamente la expresión 3 × 2?
44

45. >> Traza en tu cuaderno, una recta numérica para representar el
producto de (-2) × 3
>> Comienza representando el producto 2 × 3.
(-6)
(+6)
(+3)
(+3)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
>> El tres se duplica y se invierte el sentido de la flecha. ¿Por qué?
>> ¿Cuál es el producto de (-2) × 3?
>> Representa ahora el producto de dos números negativos.
(-2) × (-3)
(+6)
(-6)
(+3)
(+3)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
>> ¿Cuántas veces se representa el factor (-3)?
>> ¿Por qué se invierte el sentido de la flecha?
>> ¿Cuál es el producto de (-2) × (-3)?
>> Representa el producto de 3 × (-2).
>> Explica el procedimiento que sigues.
Utiliza las representaciones anteriores y escribe.
>> ¿Qué signo tiene el producto de (-2) × 3?
¿Qué signo tiene el producto de 3 × (-2)?
>> ¿Qué signo tiene el producto de (-2) × (-3)?
Utilizando representaciones en la recta numérica indica,
¿cuál es el producto de:
a. (-5) × 4
b. (-4) × 5
c. (-5) × (-4)
45

46. Indica cuál es el signo del producto en cada caso.
Aplicando la propiedad distributiva, también se puede jus-
tificar el producto de dos números negativos. Observa.
Para multiplicar
dos números enteros, (-5) × [(6 + (-5)] = (-5) × 6 + (-5) × (-5)
se multiplican sus (-5) × 1 = -30 +
valores absolutos. >> ¿Qué número debe ir en el recuadro?
Si los números >> ¿Cómo lo sabes?
tienen igual signo, el
resultado es positivo. Encuentra los productos teniendo en cuenta la regla anterior.
Si tienen signos (-8) × 9 (-12) × 3
diferentes tienen (-4) × (-7) (-8) × (-8)
signos negativos.
>> ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación?
>> ¿Cómo compruebas que 24 ÷ 6 = 4?
Recuerda que con la división es posible hallar un factor
desconocido en una multiplicación.
Halla el facto desconocido en cada caso. Realiza la activi-
dad en tu cuaderno.
a. –9 × = –18 b. –9 × = 18
c. × (-15) = 345 d. × 15 = 345
e. 1 × = 19 f. -1 × = -19
g. 1 × = -19 h. -7 × = 28
En tu cuaderno, escribe las divisiones correspondiente y
completa las igualdades.
Multiplicación División Multiplicación División
a. –9 × = –18 –18 ÷ (–9) = e. 1 × = 19
b. –9 × = 18 f. -1 × = -19
c. × (-15) = 345 g. 1 × = -19
d. × 15 = 345 h. -7 × = 28
Utiliza los resultados anteriores para extraer una regla
para dividir números enteros.
Para dividir
números enteros se
dividen sus valores Analiza.
absolutos. Si los >> ¿Es posible encontrar siempre el cociente de dos
números tienen igual números enteros?
signo, es resultado >> Muestra ejemplos o contraejemplos.
es positivo. Si son de
diferente signo, el Ten en cuenta que el divisor debe ser un número diferente
resultado es negativo. de 0.
46

47. Forma un grupo con dos compañeros o compañeras
de la clase.
Lean cada una de las situaciones que se presentan a
continuación. Luego escriban la expresión matemática que la
representa y resuélvanlas.
a. Mariana vende jugos y gaseosas en el paso del peaje para
entrar al departamento del Tolima. Cada semana ahorra $
25 000 de sus ventas. ¿Cuánto habían variado sus ahorros
en cinco semanas?
b. Mariana ahorra $ 25 000 cada semana en su venta de
jugos y gaseosa. ¿Cuánto dinero tenía hace cinco semanas
comparado con el que tiene ahora?
c. Mariana gasta $ 25 000 cada semana en los productos
que compra. ¿Cuánto habían variado sus ahorros en cinco
semanas?
d. Mariana gasta $ 25 000 cada semana en los productos que
compra. ¿Cuánto dinero de más tenía hace cinco semanas,
comparado con el que tiene ahora?
e. Mariana estuvo de viaje por Chaparral y cada día gastaba $
25 000. Si en total gastó $ 200 000, ¿cuántos días estuvo de
viaje?
Contesten las siguientes preguntas.
a. Comparen los resultados de las operaciones (–3) × 7 y 7 ×
(–3). ¿Son iguales o diferentes? Expliquen.
b. ¿Cuál es el resultado de la operación [(–2) × 5)] × 4?
c. ¿Y de (–2) × [(5 × 4)]?
d. ¿Se altera el resultado de una multiplicación de tres o más
factores si se asocian de maneras distintas?
e. ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número
entero por 1?
f. Resuelvan estas operaciones:
g. [–3 × (–6 + 2)] y [–3 × (–6) + (–3 × 2)]
h. ¿Cuál es el resultado de la primera operación? ¿Y de la
segunda?
>> Escriban cuáles son las propiedades de la multiplicación. Den
ejemplos de cada una.
>> Confirmen si esas propiedades se cumplen o no en la división.
Den ejemplos o contraejemplos.
47

48. Guía
En el diagrama se muestra el recorrido entre
fusagasugá y la línea
Realizando
cálculos
fácilmente
a. ¿Qué altura tiene el Boquerón, respecto al nivel del mar?
b. Estima la altura de Cajamarca.
c. ¿Cuál es la altura respecto al nivel del mar de Gualanday?
d. ¿Cuántos metros de altura tiene la línea.
e. Escribe las operaciones que permiten hallar la altura de La
Tebaida.
Utilizando números relativos la expresión que permite hallar
la altura de La tebaida, es: (+1800) + (-1400) + (+100) +
(+1400) + (+1200) + (-1900)
¿Esta expresión es igual a la que escribiste en la actividad
anterior?
Para facilitar los cálculos con números enteros los signos +
de los números enteros positivos pueden suprimirse.
(+1800) + (-1400) + (+100) + (+1400) + (+1200) + (-1900) =
1800 + (-1400) + 100 + 1400 + 1200 + (-1900)
¿Esta expresión te parece más sencilla? ¿Por qué?
Todavía se observan signos dobles en la expresión.
Observa cómo se simplifica.
Al adicionar un número entero negativo se puede escribir
directamente como la sustracción del número positivo.
1800 – 1400 + 100 + 1400 + 1200 – 1900
¿Cuál es la altura de La Tebaida?
48

49. Si una operación comienza con un número negativo se puede suprimir el parénte-
sis de éste. Por ejemplo, en lugar de escribir (-13) + 45 se escribe
-13 + 45.
Estas indicaciones deben tenerse en cuenta cuando se quiere simplificar expresio-
nes con signos de agrupación. Si aparecen varios signos de agrupación en el cálculo,
se debe efectuar las operaciones de adentro hacia afuera.
Es importante distinguir entre el signo de la operación y el signo del número. Por
ejemplo:
17 + {[(-6) + (-17 – 11)] + 24}
17 + {[(-6) + (-28)] + 24}
17 + {[(-34)] + 24}
17 + {(-34) + 24}
17 + {(-10)}
17 + (-10)
17 – 10 = 7
Forma grupo con tus compañeros para realizar las siguientes
actividades.
1. Realicen en tu cuaderno las siguientes operaciones en el orden en el que se indican.
(-8) + 3 × (-2) (-8) + 3 × (-2)
¿Son iguales los resultados?
Para solucionar expresiones en las cuales se plantean varias operaciones, primero se
calculan las multiplicaciones y las divisiones, y luego las sumas y las restas en el orden
en que aparecen. Si hay signos de agrupación, primero se realizan las operaciones
agrupadas.
Según lo anterior, ¿cuál es el resultado correcto en las operaciones anteriores?
2. Antonio realizó las siguientes transacciones en su cuenta del banco.
Retiró $ 280 000 el lunes, retiró $ 157 000 el martes, consignó $ 325 000 el miércoles,
consignó $ 200 000 el jueves, retiró $ 327 000 el viernes. ¿Cuál era su saldo al final de la
semana?
49

50. 1. Responde con base en la información de la tabla, ¿cuál es
la temperatura final en cada ciudad?
Ciudad Temperatura inicial Variación
A 12º C Subió 3º C
B 8º C Bajó 2º C
C 3º C bajo cero Subió 6º C
D 5º C bajo cero Subió 7º C
2. Un tanque de agua deja escapar diariamente 430 milili-
tros por la llave y 150 mililitros por una grieta. ¿Cuánta
agua en total se escapa diariamente del tanque?
3. El alcalde la Villanueva lleva un registro de los habitantes
del pueblo, con las modificaciones sucedidas durante su
mandato.
Población inicial: 4871
Inmigrantes 329
Desplazamientos
Emigrantes 562
Nacimientos 65
Natalidad
Defunciones 43
a. Escribe el número relativo correspondiente a cada
suceso.
b. ¿Cuántos habitantes tiene Villanueva al terminar el
alcalde su período?
4. Resuelve cada situación.
a. a. El equipo de fútbol de una vereda terminó la peor
temporada con diferencia de goles de –81. Si juga-
ron 27 partidos y en cada uno de ellos obtuvieron la
misma diferencia de goles, ¿cuál fue la diferencia de
goles en cada partido?
50

51. b. Durante un cambio inesperado de temperatura en una
ciudad, la temperatura descendió 3 ºC cada minuto.
¿Cuánto tiempo transcurrió para que la temperatura
bajara 21 ºC?
5. Teresa, Felipe y Rodrigo juegan a lanzar dos dados cúbi-
cos uno azul y el otro rojo. Con el dado azul se gana el
número de puntos obtenidos en el lanzamiento, mientras
que con el dado rojo, se pierde el número de puntos que
se obtenga.
Después de varios lanzamientos, Teresa, Felipe y Rodrigo
registraron sus resultados en la siguiente tabla.
Jugador
Puntaje Teresa Felipe Rodrigo
A favor 24 45 30
En contra -12 -35 -18
Puntaje final
a. Completa la tabla.
b. Si teresa lanzó el dado azul seis veces y cada vez
obtuvo el mismo puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo en
cada lanzamiento?
c. ¿Cuántas veces lanzó Felipe el dado rojo, si en todos
los lanzamientos obtuvo -5?
d. Plantea una secuencia de lanzamientos con la que
Rodrigo pudo obtener los resultados que muestra la
tabla.
6. Cuando se abre el desagüe de un tanque que contiene
1 896 litros de agua, este se desocupa totalmente en 12
horas.
a. ¿Qué cantidad de agua sale cada hora por el desagüe?
b. ¿Al cabo de cuántas horas de abierto el desagüe, el
contenido del tanque es de 790 litros de agua?
51

52. Que aprendí
1. Don Miguel recibe el siguiente extracto bancario.
¿Cuál es el saldo que tiene don Miguel después de la tran-
sacción de la fecha 22-03-2010?
BancoMas
SEÑOR(A): MIGUEL PEREZ
NIT: 654,654,951
DESDE 2010 MAR 15 A 2010 MAR 30
135648564
ESTADO DE CUENTA, CONSOLIDADO EN PESOS
RECUERDE QUE SI TIENE DUDAS DE SU CUPO DISPONIBLE, PUEDE CONSULTARLOS EN LA
SUCURSAL TELEFÓNICA O VIRTUAL DE SU BANCO
FECHA LIMITE DE PAGO PAGO SALDO VALOR PAGADO
2010/ ABR 06
RESUMEN
CONSUMO Y INTERESES INTERESES ABONO SALDO ACTUAL SALDO
SALDO
CARGOS(*) CORRIENTES DE MORA EN MORA
FECHA CONCEPTO VALOR SALDO
15-03-2010 Saldo anterior 1 250 000
18-03-2010 Cargo compra –250 000
19-03-2010 Traslado en efectivo 480 000
21-03-2010 Pago de servicios –75 000
22-03-2010 Cargo compra –80 000
23-03-2010 Cargo compra –80 000
25-03-2010 Ingreso en efectivo 450 000
28-03-2010 Cuota de manejo –8 000
29-03-2010 Pago de servicios –75 000
2. ¿Cuál de estas columnas completa la tabla? Argumenta tu
respuesta.
a. Saldo b. Saldo c. Saldo d. Saldo
1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000
250 000 1 000 000 –250 000 –1 000 000
–480 000 1 480 000 480 000 1 480 000
75 000 1 405 000 –75 000 1 405 000
80 000 1 325 000 –80 000 –1 325 000
80 000 1 245 000 –80 000 1 245 000
–450 000 1 695 000 450 000 1 695 000
8 000 1 687 000 –8 000 –1 687 000
–75 000 1 612 000 –75 000 –1 612 000
52

53. 3. Si don Miguel paga $ 75 000 pesos mensuales por con-
cepto de servicio de agua, ¿cuál sería el registro total en el
extracto bancario por el pago de un año de este servicio?
¿Cómo me ven los demás?
Trabaja en grupo. Consulten a su profesor cuando sea nece-
sario.
4. Escriban un ejemplo de cada una de las propiedades de la
adición de números enteros.
5. Realicen apareamiento entre los enunciados de la dere-
cha y los de la izquierda, de tal forma que indiquen la
propiedad que se aplicó.
(-5) + 3 = 3 + (-5) Clausurativa.
(-8) + 0 = 0 + (-8) = -8 Conmutativa.
(-2) + 4 = 2 Asociativa.
7 + (-7) = (-7) + 7 = 0 Modulativa.
(4 + 3) + (-2) = 4 + (3 + (-2)) Invertiva.
6. Respondan las preguntas
a. ¿Cuál es el inverso aditivo de 4?
b. ¿Cuál es el módulo de la adición de enteros?
c. ¿Qué propiedad se cumple en la igualdad 4 + 10 = 10
+ 4?
d. ¿Qué propiedad permite afirmar que la suma de (-8) y
(+7) es un número entero?
e. ¿Qué propiedad aplicas para resolver la suma: ((+1) +
(-8)) + (+5)? Resuélvela.
Me autoevalúo
>> Reconozco situaciones de uso de los números enteros.
>> Realizo operaciones de adición y sustracción de
números enteros.
>> Aplico correctamente las propiedades de la adición de
los números enteros.
>> Utilizo la multiplicación y la división de números enteros
en la solución de problemas.
>> Participo activamente en la clase.
>> Reconozco la importancia de ser ordenado al realizar las
actividades en el cuaderno.
53

54. ¿Cuál es la ficha
que falta para completar
el rompecabezas?
En nuestra cotidianidad encontramos dife-
MÓDULO
rentes situaciones en las que nos pregunta-
mos cuál es el valor o el objeto desconocido
u oculto que completa una escena, un juego,
una igualdad y hasta una frase. En matemá-
ticas, la capacidad de plantear y encontrar el
valor numérico oculto da la oportunidad de
aplicar y desarrollar competencias relaciona-
das con el pensamiento variacional y los site-
mas algebraicos.
¿Que vas a aprender?
Estándares básicos de competencias
Pensamiento numérico
Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de
variación en las medidas.
Pensamiento variacional
Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes
representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas.
54

55. Utilizo métodos informales (ensayo-error, complementa-
ción) en la solución de ecuaciones.
La realización de las actividades propuestas en las guías
que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares
básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los
pensamientos variacional y numérico, a través de los concep-
tos asociados a las ecuaciones y su resolución. En la tabla se
muestran los conceptos que aprenderás.
Guías Concepto de ecuación Procesos
7 Igualdades y ecuaciones >> Expresar enunciados
matemáticos mediante el
lenguaje algebraico en el
Solución de ecuaciones de
8 la forma x + a = b
planteamiento de ecuaciones.
>> Justificar el proceso seguido
para resolver ecuaciones.
>> Resolver problemas mediante
Solución de ecuaciones de
9 la forma ax + b = c
el planteamiento de
ecuaciones.
55

56. El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.
Módulo 3
Pensamiento variacional
y sistemas algebraicos
Igualdad
puede ser
Identidad Ecuación
Tiene Es Se puede expresar
de la forma
Un valor Equivalente a x+a=b
desconocido otra ó
llamado incógnita ax + b = c
Cuando
Tienen la misma
soluciónotra
¿Para qué te sirve?
Las ecuaciones sirven básicamente para resolver problemas. Son
utilizadas para describir cualquier fenómeno de la naturaleza,
desde el movimiento del aire o del agua o la resistencia de las
estructuras y tienen su aplicación directa en cuestiones tan norma-
les como en hacer unos aviones más seguros, rápidos y cómodos,
en explicar fenómenos financieros o, incluso, en la modelización
de comportamientos sociales.
56

57. ¿Cómo se te va a evaluar?
En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos
en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y
analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los
conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales
y la recolección de datos estadísticos.
La evaluación será constante, dentro cada una de las guías
encontrarás actividades de evaluación que te permitirán reflexio-
nar acerca de cómo vas y que debes reforzar.
Además encontraras dos secciones:
Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen dife-
rentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a
poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos
individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar
tus ideas y pensamientos.
Explora tus conocimientos
Doña Olga tiene un terreno de con forma de cuadrilátero irregular al que le quiere
colocar una cerca con tres hiladas de alambre de púas.
Tres de los lados del terreno miden 18 m, 23 m y 17 m.
a. a. ¿Cuánto mide el cuarto lado, en una hilada se emplean 78 m de alambre?
b. b. ¿Cómo calculas el valor del cuarto lado? Describe tu estrategia.
c. c. ¿Cuál es la cantidad total de alambre que debe comprar?
57

58. Guía
Organícense en grupos de tres estudiantes y
realicen las siguientes actividades en el cuaderno.
>> Lean la información y respondan las preguntas que se
formulan a continuación.
¿Cómo
hallar la Doña Olga debe determinar el peso de un bulto de maíz y
información uno de arroz, pero no dispone de una báscula adecuada para
oculta? ello. Sin embargo, logró establecer algunas relaciones que le
permitirán calcular los pesos mencionados.
100kg
MAIZ
+ 25kg =
Hallar información
desconocida implica
encontrar los
métodos, procesos g
ARRO
Z 150k
y cálculos que se + 50kg =
deben realizar para
acceder a ella.
>> ¿Qué significado tiene el signo igual en las relaciones
planteadas por Doña Olga?
>> ¿Qué cantidad deben sumar a 25 para obtener 100?
>> ¿Qué cantidad deben sumar a 50 para obtener 150?
>> ¿Qué estrategia siguieron para determinar estos valores?
Expliquen.
>> ¿Cuántos kilogramos pesa el bulto de maíz?
¿Y el de arroz?
Comparen las estrategias utilizadas por ustedes con las
Dos expresiones que tuvieron en cuenta los integrantes de otros grupos las
matemáticas forman utilizadas por otro grupo para responder las preguntas.
una igualdad cuando
tienen el mismo >> ¿Los resultados obtenidos son iguales a los de ustedes o
valor. Las igualdades diferentes?
son utilizadas >> ¿La estrategia utilizada es igual o diferente?
para estudiar >> Hagan una puesta en común con todo el curso y pidan
muchos conceptos ayuda a su profesora o profesor para determinar la
matemáticos. estrategia más apropiada para resolver la situación.
58