Material do 1° encontro profap 2012

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Material do 1° encontro profap 2012

  1. 1. Não é incomum enfrentarmos situações em que, por “vício”, escrevemos e/ou lemosexpressões matemáticas de forma incorreta. Alguns desses erros são aceitáveis, pois nãopodemos exigir de nossos alunos da educação básica (ensino fundamental), que eles leiam certassentenças com todo o rigor matemático. Esses “erros aceitáveis” são o que chamamos de abusode linguagem. Porém, em outras, precisamos nos atentar para esse “vício”, pois ele pode, e comcerteza, deve dificultar ainda mais o entendimento de situações reais vivenciadas no ensino-aprendizagem de Matemática. É importante que nós professores de Matemática, tenhamos o hábito da leitura,“principalmente do lê e escrever matemática”. 1
  2. 2. Comecemos nossa discussão.Classifique como verdadeiro ou falso e/ou certo ou errado as seguintes implicações e/ousentenças: 1. x  1  0  x 2  3x  2  0 ______________________________________________ 2. Se x.( x 2  2 x  1)  0; então x  0 ou x  1 ou x  2 _________________________ 3. x2  2 x  1  0  x  1  0 ______________________________________________ 4. Se x  1  x  1  0 ____________________________________________________ 5. Se x  1 então x  1  0 __________________________________________________ 6. Seja  um plano e r uma reta desse plano, então r  _______________________ 7. Seja  um plano e r uma reta desse plano, então r   ______________________ 8. Seja P a propriedade de um quadrilátero ter seus quatro ângulos retos e por Q a propriedade de um quadrilátero ter seus lados opostos paralelos. Então podemos escrever P  Q ________________________________________________________ 9. Se a  b  c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo  a 2  b2  c 2 ______________________________________________________________________ 10. Se a  b  c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo então a 2  b2  c2 ______________________________________________________________________ 11. Se A  B e B  C  A  C _____________________________________ 12. A  B e B  C  A  C ______________________________________ 13. Se A  B e B  C então A  C ____________________________________ 14. A  B e B  A  A  B ________________________________________ 15. Se A  B e B  C  A  B ____________________________________Há diferentes maneiras de se ler a relação P  Q .Cite ao menos duas:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A implicação Q  P chama-se a recíproca de P  Q . Evidentemente, a recíproca de umaimplicação verdadeira pode ser falsa. A recíproca das implicações 1 e 8 acima, por exemplo, sãofalsas. Justifique._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Escreva por extenso as seguintes expressões: 2
  3. 3. a) a  b _________________________________________________________________ b) a  b _________________________________________________________________ c) (a  b)2 ______________________________________________________________ d) a  b2 ________________________________________________________________ ab e) ________________________________________________________________ 2 b f) a  ________________________________________________________________ 2Qual a negação de y  x ? ______________________________________________________A relação de inclusão Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A for também elemento de B, diz-se que Aé um subconjunto de B ou que A é parte de B. Para indicar este fato, usa-se a notação A  B . Exemplo: sejam T o conjunto dos triângulos e P o conjunto dos polígonos do plano.Todo triângulo é um polígono, logo T  P . Dê dois exemplos de relação de inclusão: I. Envolvendo conjuntos numéricos ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ II. Envolvendo conceitos geométricos ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ A relação A  B chama-se relação de inclusão. Quando A não é um subconjunto de B,escreve-se A  B . O que isto significa?_____________________________________________________________________________ Há duas inclusões extremas. A primeira é óbvia: para todo conjunto A, vale A  A(pois é claro que todo elemento de A pertence a A). A outra é, no mínimo, curiosa: tem-se  A , seja qual for o conjunto A. Justifique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Diz-se que A é um subconjunto próprio de B quando se tem A  B com A   e A B. A relação de inclusão goza de três propriedades fundamentais. Dados quaisquerconjuntos A, B e C tem-se: I. Reflexividade: A  A II. Antissimétrica: se A  B e B  A então A  B III. Transitividade: se A  B e B  C então A  C 3
  4. 4. Use a linguagem de conjuntos, para representar o *silogismo: todo ser humano é animal,todo animal é mortal, logo todo ser humano é mortal._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ * Um silogismo (do grego antigo συλλογισμός, "conexão de idéias", "raciocínio";composto pelos termos σύν "com" e λογισμός "cálculo") é um termo filosófico com o qualAristóteles designou a argumentação lógica perfeita e que mais tarde veio a ser chamada desilogismo, constituída de três proposições declarativas que se conectam de tal modo que apartir das duas primeiras, chamadas premissas, é possível deduzir uma conclusão. Use uma conecção entre a implicação e a relação de inclusão, para justificar aimplicação 8 acima.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Sejam P e Q propriedades referentes aos elementos dos conjuntos A e Brespectivamente. A negação da propriedade P, representada por P’ e a de Q, representada porQ’, são tais que: PQ se, e somente se, Q PA implicação Q  P chama-se contrapositiva da implicação P  Q .Recomendação: Muitas vezes é necessário negar uma implicação P  Q . É preciso ter cuidado aofazer isto. A negação de “todo homem é mortal” não é “nenhum homem é mortal”, mas “existe(pelo menos) um homem imortal”. Mais geralmente, negar que P  Q significa admitir queexiste (pelo menos) um objeto que tem a propriedade P mas não tem a propriedade Q. Isto ébem diferente de admitir que nenhum objeto com a propriedade P tem também a propriedade Q.Por exemplo, se P é a propriedade que tem um triângulo de ser isósceles e Q a propriedade deser equilátero, a implicação P  Q significaria que todo triângulo isósceles é equilátero (o queé falso). A negação de P  Q é a afirmação de que existe (pelo menos) um triângulo isóscelesnão-equilátero. Neste cotexto, convém fazer uma distinção cuidadosa entre a ideia matemática denegação e a noção (não-matemática) de contrário, ou oposto. Se um conceito é expresso poruma palavra, o conceito contrário é expresso pelo antônimo daquela palavra. Por exemplo, ocontrário de gigantesco é minúsculo, mas a negação de gigantesco inclui outras gradações alémde minúsculo. Classifique como verdadeiro ou falso a implicação abaixo e, expresse a sua negação: se P é a propriedade que tem um quadilátero de ser retângulo e Q a propriedade de serquadrado, então P  Q ._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Falemos agora de Reunião e Intersecção de Conjuntos Lembremos que, dados os conjuntos A e B, reunião A  B é o conjunto formado peloselementos de A mais os elementos de B, enquanto que a intersecção A  B é o conjunto dos 4
  5. 5. objetos que são ao mesmo tempo elementos de A e de B. Portanto, se considerarmos asafirmações x  A, x  B,veremos que x  A  B quando pelo menos uma dessas afirmações for verdadeira e, por outrolado, x  A  B quando ambas as afirmações acima forem verdadeiras. x  A  B significa " x  A ou x  B" x  A  B significa " x  A e x  B"Por exemplo, sejam A o conjunto dos elementos x, que satisfazem a condição x 2  3x  2  0 eB o conjunto dos elementos x, que cumprem a condição x 2  5x  6  0 . Assim, a afirmação " x 2  3x  2  0 ou x2  5x  6  0"equivale a " x {1,2,3},"e a afirmação " x 2  3x  2  0 e x2  5x  6  0"equivale a " x {2} ou x  2."Noutras palavras, A  B  {1,2,3} e A  B  {2}. É importante ressaltar que a palavra “ou” em Matemática tem um significado específicoum tanto diferente daquele que lhe é atribuído na linguagem comum. No dia-a-dia, “ou” quasesempre liga duas alternativas incompatíveis (“vamos de ônibus ou de trem?”). Em Matemática,a afirmação “P ou Q” significa que pelo menos uma das alternativas P ou Q é válida, podendoperfeitamente ocorrer que ambas sejam. A diferença entre o uso comum e o uso matemático do conectivo “ou” é ilustrada pelaanedota do obstetra que também era matemático. Ao sair da sala onde acabara de realizar umparto, foi abordado pelo pai da criança, que lhe perguntou: “Foi menino ou menina,doutor?”. Resposta do médico: “Sim.”Justifique a resposta do médico.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Considere os conjuntos:F = conjunto de todos os filósofosM = conjunto de todos os matemáticosC = conjunto de todos os cientistasP = conjunto de todos os professoresExprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos: 1) Todos os matemáticos são cientistas ________________________________________ 5
  6. 6. 2) Alguns matemáticos são professores ________________________________________ 3) Alguns cientistas são filósofos _____________________________________________ 4) Todos os filósofos são cientistas ou professores _______________________________ 5) Nem todo professor é cientista _____________________________________________Recomendações: 1. Nunca escreva (ou diga) coisas do tipo "se x 1  0  x2  2 x  1  0"O símbolo  não significa “então”, mais sim “implica”. Também é incorreto empregar osímbolo  com o significado conclusivo da palavra “portanto”. O símbolo adequado para estapalavra é  e não  . 2. As definições matemáticas consistem em atribuir nomes a objetos que gozam de certaspropriedades particularmente interessantes. Por exemplo, um número natural n chama-se primoquando 1 e n são os únicos números naturais que são seus divisores. Embora, estritamentefalando, não seja errado usar “se, e somente se,” numa definição, trata-se de um costumedidaticamente inadequado pois dá a impressão de um teorema, além de ocultar o fato de que setrata de simplesmente dar um nome a um conceito.Usando a 2ª recomendação, defina paralelogramo.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Comentário Sobre a Noção de IgualdadeUma coisa só é igual a si própria. Quando se escreve a  b , isto significa que a e b são símbolos usados para designar omesmo objeto. Por exemplo, se a é a reta perpendicular ao segmento AB, levantada a partir do seuponto médio e b é o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de A e B então a  b . Em Geometria, às vezes ainda se usam expressões como “os ângulos  e  são iguais”ou “os triângulos ABC e A’B’C’ são iguais” para significar que são figuras que podem sersuperpostas exatamente uma sobre a outra. A rigor, porém, esta terminologia é inadequada.Duas figuras geométricas que coincidem por superposição devem ser chamadas congruentes. Na linguagem corrente, às vezes se diz que duas pessoas ou objetos são iguais quandoum certo atributo, ao qual se refere o discurso naquele momento, é possuído igualmente pelaspessoas ou objetos em questão. Assim, por exemplo, quando dizemos que “todos são iguaisperante a lei”, isto significa que dois cidadãos quaisquer têm os mesmos direito e deveres legais. A relação “a é igual a b”, que se escreve a = b, goza das seguintes propriedades:Reflexividade: a = a;Simetria: se a = b então b = a;Transitividade: se a = b e b = c então a = c.Sobre funções 6
  7. 7. A função Afim Uma função f : R  R chama-se afim quando existem constantes a, b  R tais que f ( x)  ax  b para todo x  R . A função identidade f : R  R , definida por f ( x)  x para todo x  R , é afim.Também são afins as translações f : R  R , f ( x)  x  b . São ainda casos particulares defunções afins as funções lineares, f ( x)  x e as funções constantes f ( x)  b .Comentários sobre terminologia 1. Se uma função afim f é dada por f ( x)  ax  b , não é adequado chamar onúmero a de coeficiente angular da função f. O nome mais apropriado, que usamos, é taxa devariação (ou taxa de crescimento). Em primeiro lugar não há, na maioria dos casos, ânguloalgum no problema estudado. 2. A maioria dos nossos textos escolares refere-se à função afim como “função doprimeiro grau”. Essa nomenclatura sugere a pergunta: o que é grau de uma função? Função nãotem grau. O que possui grau é um polinômio. O mesmo defeito de nomenclatura ocorre tambémcom as funções quadráticas.Exemplo: O preço a pagar por uma corrida de taxi é dado por uma função afim f : x  ax  b ,onde x é a distância percorrida, o valor inicial b é a chamada bandeirada e o coeficiente a é opreço de cada quilômetro rodado.Pode-se a partir desse exemplo ilustrar o porquê do citado acima (em 1). Explique:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A função Quadrática Uma função f : R  R chama-se quadrática quando existem números reais a, b e c,com a  0 , tais que f ( x)  ax 2  bx  c para todo x  R . Por hora, faremos apenas um comentário sobre terminologia, vide item 2 acima.Recomendações 1. É importante ressaltar que f (x) é a imagem do elemento x  X pela função f,ou o valor no ponto x  X . Os livros antigos, bem como alguns atuais, costumam dizer “afunção f (x) ” quando deveriam dizer “a função f ”. Algumas vezes essa linguagem inexatatorna a comunicação mais rápida e fica difícil resistir à tentação de usá-la. Mas é indispensável acada momento ter a noção precisa do que se está fazendo. Quando se trata de função polinomial,por exemplo, o bom-senso nos leva a dizer “a função x 2  5x  6 ”em vez da forma mais correta “a função p : R  R tal que p ( x)  x 2  5 x  6Para todo x  R .” 7
  8. 8. 2. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domíniocontradomínio e a lei de correspondência x  f (x) . Mesmo quando dizemos simplesmente “afunção f ”, ficam subentendidos seu domínio X e seu contradomínio Y.Exemplo: em cada uma dos problemas a seguir (retirados do livro adotado na rede; páginas: 87,105 e 108), classifique como certo ou errado, a escrita matemática nos enunciados, corrigindo-os quando necessário. i. Dada a função f ( x)  x²  3x , determine: a) o valor de f para x = -7 b) os valores de x para que f ( x)  4 ii. A função g ( x)  2mx2  3mx  1 possui ponto de mínimo com coordenadas  3 13   ;  . 4 4  a) Qual o valor de m? b) Construa o gráfico dessa função iii. Utilizando uma malha quadriculada, construa os gráficos das funções f, g e h em um mesmo plano cartesiano.  f ( x)  3 x  2  g ( x)  3 x  1  h( x)  3x  4 iv. Para quais valores de n as retas que representam as funções f ( x)  (2n  1) x  5 e g ( x)  x  2 não são paralelas?Recomendações gerais Seja cuidadoso, a fim de evitar cometer erros. A autocrítica é o maior aliado do bomprofessor. Em cada aula, trate a si mesmo como um aluno cujo trabalho está sendo examinado.Pense antes no que vai dizer mas critique-se também depois: será que falei bobagem? Se acharque falou, não hesite em corrigir-se em público. Longe de desprestigiar, esse hábito fortalecerá aconfiança dos alunos no seu mestre. Esteja atento também à correção gramatical. Linguagem correta é essencial para alimpidez do raciocínio. Muitos colegas professores de Matemática, até mesmo autores de livros,são um tanto descuidados a esse respeito. Dizem, por exemplo, que “a reta intercepta o plano no ponto P”, quando deveriam dizer “intersecta” já que o ponto P é a intersecção, mas não ainterceptação de r com  . Eis aqui outros erros comuns de linguagem que devem ser evitados: “Maior ou igual a”. O correto é: “maior do que ou igual a” Não diga “completude”, diga “completeza”. (Belo  beleza; rico  riqueza;nobre  nobreza; completo  completeza.) Não diga “Espaço de tempo”. Espaço e tempo são conceitos físicos fundamentais eindependentes. Não se deve misturá-los. Diga “intervalo de tempo”. 8
  9. 9. Referências BibliográficasLima, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, Volume 1. Rio de Janeiro: SBM, ColeçãoProfessor de Matemática.Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Riode Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática. 9

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