Intervalos reais

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Intervalos reais

  1. 1. INTERVALOS REAIS
  2. 2. INTERVALOS REAIS Considere os conjuntos A = {x  ℤ /–3 ≤ x < 2} e B = {x  ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?  O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e 1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos, dentre os quais estão os elementos de A, logo A e B não são iguais.  O conjunto B pode ter seus elementos representados na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta. veja –3 2JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 2
  3. 3. INTERVALOS REAIS Muitas vezes trabalhamos com determinados subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados intervalos reais. Em geral eles são definidos por desigualdades.  Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são chamados de intervalos reais de extremos a e b.JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 3
  4. 4. INTERVALOS REAIS – LIMITADOS Intervalo fechado a, b.  Representações: [a, b] = {x  ℝ /a ≤ x ≤ b} Na reta real: a b Intervalo aberto a, b.  Representações: ]a, b[ = {x  ℝ /a < x < b} Na reta real: a bJOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 4
  5. 5. INTERVALOS REAIS – LIMITADOS Intervalo fechado em a e aberto em b.  Representações: [a, b[ = {x  ℝ /a ≤ x < b} Na reta real: a b Intervalo aberto em a e fechado em b.  Representações: ]a, b] = {x  ℝ /a < x ≤ b} Na reta real: a bJOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 5
  6. 6. OBSERVAÇÃO Observe que cada intervalo inclui todos os reais entre a e b; para os extremos a e b, temos:  Inclui os extremos  fechado  bolinha cheia (•)  colchetes normais [ ].  Não inclui os extremos  aberto  bolinha vazia (o)  colchetes invertidos ] [.JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 6
  7. 7. INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS Intervalo de a fechado até +.  Representações: [a, +[ = {x  ℝ / x ≥ a} Na reta real: a Intervalo de a aberto até +.  Representações: ]a, +[ = {x  ℝ /x > a} Na reta real: aJOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 7
  8. 8. INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS Intervalo de – até a fechado.  Representações: ]–, a] = {x  ℝ / x ≤ a} Na reta real: a Intervalo de – até a aberto.  Representações: ]–, a[ = {x  ℝ /x < a} Na reta real: aJOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 8
  9. 9. EXEMPLOS Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real A = [–3, 5[.  Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;  Representa todos os reais entre –3 e 5, incluindo o extremo -3, porém o extremo 5 não faz parte do intervalo. A = {x  ℝ / –3 ≤ x < 5} –3 5 Note, por exemplo, que: –3  A; 0  A; 3  A 4,99  A; 5  AJOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 9
  10. 10. EXEMPLOS Vamos analisar, agora, o intervalo B, representado na reta real. 2  temos um intervalo aberto de 2 a +;  estão indicados todos os reais maiores que 2;  o extremo 2 não faz parte do intervalo. B = {x  ℝ / x > 2} Note que: 0  B; 1  B; 1,9  B; 2  B; 2,001  B; 10000000  B; 1035  BJOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 10
  11. 11. OPERAÇÕES COMINTERVALOS REAIS
  12. 12. OPERANDO COM INTERVALOS REAIS Podemos efetuar, com intervalos, as operações usuais com conjuntos.  A  B  A interseção B: conjunto dos elementos comuns a A e B;  A  B  A união B: conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;  A – B  A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.  Na prática, operações que envolvem intervalos são efetuadas a partir da representação na reta real.JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 12
  13. 13. EXEMPLO Dado os intervalos A = ]–2, 6] e B = ]3, +[, obter A  B, A  B e A – B.  Cálculo de A  B. A = ]–2, 6] –2 6 B = ]3,+[ 3 A ⋂ B = ]3, 6] 3 6JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 13
  14. 14.  Cálculo de A  B . A = ]–2, 6] –2 6 B = ]3,+[ 3 A  B = ]–2, +[ –2JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 14
  15. 15.  Cálculo de A – B. A = ]–2, 6] –2 6 B = ]3,+[ 3 A – B = ]–2, 3] –2 3JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 15

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