1. Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a
CCIR / Matem´ticas
a
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CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

2. El m´todo gr´fico de soluci´n de problemas de programaci´n lineal
e
a
o
o
(PL) s´lo aplica a problemas con dos variables de decisi´n; sin
o
o
embargo, ilustra adecuadamente los conceptos que nos permitir´n
a
entender la naturaleza del problema PL y de all´ entender los
ı
m´todos de soluci´n algebraicos.
e
o
Primeramente graficaremos la regi´n factible. Despu´s ilustraremos
o
e
el comportamiento de funciones lineales para entender c´mo
o
determinar los puntos ´ptimos.
o
CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

3. Ejemplo 1
Suponga que se desea resolver el problema PL:
Max z = 3 x + 2 y
sujeto a
2x
x
x
x
+ y
+ y
y
CCIR / Matem´ticas
a
≤
≤
≤
≥
≥
100
80
40
0
0
R5
R4
R3
R1
R2
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

4. Nuestra primera meta es graficar en el plano la regi´n factible; es
o
decir, graficar la totalidad de puntos del plano que satisfacen las
restricciones. Notemos que las restricciones se deben cumplir
simult´neamente. Es decir, que los puntos deben cumplir la
a
restricci´n R1 , la restricci´n R2 , y as´ sucesivamente hasta la
o
o
ı
restricci´n R5 . Desde el punto de vista de teor´ b´sica de
o
ıa a
conjuntos, la regi´n factible es la intersecci´n de los conjuntos que
o
o
satisfacen por separado cada una de las restricciones. Para avanzar
en nuestra meta, debemos saber c´mo determinar los puntos del
o
plano que satisfacen una desigualdad lineal. Distinguimos dos
casos:
cuando en la desigualdad s´lo aparece una variable de decisi´n
o
o
(es decir, la otra variable tiene coeficiente cero)
cuando en la desigualdad aparecen las dos variables de
decisi´n (es decir, ambas tienen coeficientes diferentes de cero
o
en tal desigualdad)
CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

5. ´
Cuando solo aparece una variable
En este caso, cuando cambiamos el s´
ımbolo de desigualdad por el
s´
ımbolo de igualdad lo que obtenemos es el conjunto frontera del
conjunto de puntos que cumple la desigualdad. En este caso, dicha
frontera es una l´
ınea horizontal o vertical: por inspecci´n, es f´cil
o
a
determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad.
x ≤ 40
x ≥0
y ≥0
40
y =0
x =0
x = 40
CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

6. Cuando aparecen las dos variables
Nuevamente, cambiamos el s´
ımbolo de desigualdad por el s´
ımbolo
de igualdad y lo que obtenemos es una l´
ınea recta. Esta recta es
f´cil de graficar usando la t´cnica de intersecci´n con los ejes:
a
e
o
hacemos cero una de las variables y despejamos para la otra
variable. De nuevo, la recta es la frontera de nuestro conjunto: por
inspecci´n, es f´cil determinar el lado de dicha frontera que cumple
o
a
la desigualdad.
100
80
x + y = 80
2 x + y = 100
2 x + y ≤ 100
50
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a
x + y ≤ 80
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a
80

7. ´
Region factible
Se forma haciendo una intersecci´n de los conjuntos de puntos que
o
hemos encontrado (El punto S(20, 60) se determina resolviendo el
sistema 2 x + y = 100 y x + y = 80; el punto R(20, 60) se
determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x = 40).
T (0, 80)
S(20, 60)
R(40, 20)
P(0, 0)
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a
Q(40, 0)
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

8. Crecimiento de z = 3 x + 2 y
De momento, nos olvidamos de la regi´n factible y vemos en qu´
o
e
direcci´n crece la funci´n z: siendo el gradiente de la funci´n
o
o
o
∂z
∂z
z =< ∂x = 3, ∂y = 2 > determinamos que en tal direcci´n crece
o
z; direcciones perpendiculares a z (< 2, −3 >) dan las curvas de
nivel.
z = 210
z = 180
z = 150
z = 120
z = 90
z = 60
z = 30
z =0
z
CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

9. ´
´
Localizacion del Optimo
Ahora graficamos las curvas de nivel de z encima de la regi´n
o
factible y determinamos aquel punto de la regi´n factible que
o
queda en la curva de nivel de mayor valor (caso de maximizaci´n).
o
T (0, 80)
z = 210
z = 180
z = 150
z = 120
S(20, 60), ´ptimo con z = 180
o
z = 90
z = 60
z = 30
z =0
z
R(40, 20)
P(0, 0)
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a
Q(40, 0)
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

10. Ejemplo 2
Se desea resolver el problema PL:
Min z = 4 x − y
sujeto a
−2 x
3x
2x
x
x
+ 3y
+ 5y
+ 2y
y
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a
≤ 90
≤ 245
≥ 40
≤ 40
≥
0
≥
0
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

11. ´
Region factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y determinamos por
inspecci´n el lado de la recta que cumple la desigualdad.
o
Y (0, 49)
S(15, 40)
x ≤ 40
T (0, 30)
R(40, 25)
U(0, 20)
−2 x + 3 y ≤ 90
Z (−45, 0)
O
3 x + 5 y ≤ 245
P(20, 0)
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a
Q(40, 0)
2 x + 2 y ≥ 40
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a
X (81.6, 0)

12. ´
´
Localizacion del optimo
En este caso el problema es de minimizaci´n; as´ en la direcci´n
o
ı,
o
opuesta al gradiente la funci´n se minimiza. Para determinar el
o
o
´ptimo, debemos buscar la curva de nivel en la direcci´n opuesta al
o
gradiente de menor valor que toca a la regi´n factible.
o
z = −60
z = −30
z =0
z = 30
z = 60
z = 90
z = 120
z = 150
z = 180
z = 210
S(15, 40)
M´
ınimo con z = −30
T (0, 30)
R(40, 25)
U(0, 20)
O
P(20, 0)
Q(40, 0)
z
CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

13. Ejemplo 3
Suponga que se desea resolver el problema PL:
Max z = 2 x + y
sujeto a
2x
x
x
x
+ y
+ y
y
CCIR / Matem´ticas
a
≤
≤
≤
≥
≥
100
80
40
0
0
R5
R4
R3
R1
R2
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

14. ´
Region factible
En este ejemplo, la regi´n factible es la misma que en el ejemplo 1.
o
Pero ha cambiando la funci´n objetivo; el gradiente es
o
z =< 2, 1 > y las curvas de nivel son tales que son paralelas a
uno de los lados de la regi´n factible. Y esa curva es la de mayor
o
valor en el problema de maximizaci´n. Por tanto, habr´ infinitas
o
a
¯
soluciones: todos los puntos del segmento SR son m´ximos.
a
T (0, 80)
z = 120
z = 100
z = 80
z = 60
S(20, 60)
z = 40
z = 20
z =0
R(40, 20) z
P(0, 0)
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a
Q(40, 0)
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

15. Ejemplo 4
Se desea resolver el problema PL:
Max z = x + y
sujeto a
6x
20 x
+ 5y
+ 20 y
y
x
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a
≥ 300
≤ 100
≥ 30
≥
0
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

16. ´
Region factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y determinamos por
inspecci´n el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este
o
ejemplo la regi´n factible es vac´ no hay valores de x y de y
o
ıa:
que satisfagan simult´neamente todas las restricciones.
a
y
R(0, 60)
Q(0, 50)
6 x + 5 y ≥ 300
y ≥ 30
T (0, 30)
20 x + 20 y ≤ 100
P(50, 0)
x
O
x ≥0
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Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

17. Ejemplo 5
Se desea resolver el problema PL:
Max z = −3 x + y
sujeto a
−4 x
2x
x
x
+ 3y
+ 3y
− y
y
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a
≤ 60
≥ 30
≤ 20
≥ 0
≥ 0
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

18. ´
Region factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y determinamos por
inspecci´n el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este
o
ejemplo la regi´n factible es infinita: se extiende
o
indefinidamente entre dos rectas que se abren.
−4 x + 3 y ≤ 60
T (0, 20)
x − y ≤ 20
2 x + 3 y ≥ 30
R(0, 10)
O
Q(15, 0)
P(20, 0)
CCIR / Matem´ticas
a
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

19. ´
´
Obtencion del optimo
A pesar que la regi´n factible es no acotada, el gradiente crece en
o
una direcci´n hacia donde la regi´n est´ acotada: por tanto, el
o
o
a
o
´ptimo existe y est´ en el punto T (0, 20).
a
T (0, 20)
z
R(0, 10)
z = 80
Q(15, 0) P(20, 0)
O
z = 60
z = 40
z = 20
z =0
z = −20
z = −40
z = −60
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Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

20. Ejemplo 6
Se desea resolver el problema PL:
Max z = 3 x − y
sujeto a
−4 x
2x
x
x
+ 3y
+ 3y
− y
y
CCIR / Matem´ticas
a
≤ 60
≥ 30
≤ 20
≥ 0
≥ 0
Soluci´n Gr´fica de un PL
o
a

21. ´
´
Obtencion del optimo
Este problema tiene la misma regi´n factible que el problema
o
previo pero la funci´n crece en direcci´n opuesta entonces es
o
o
posible encontrar puntos sobre la frontera x − y = 20 con
evaluaci´n cada vez mayor. El problema no tiene m´ximo; el valor
o
a
de la funci´n no es acotado.
o
T (0, 20)
R(0, 10)
Q(15, 0) P(20, 0)
O
z = −60
z = −40
z = −20
z =0
z
z = 20 a
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o
a

22. Aprendizajes?
Sobre la regi´n factible:
o
puede ser vac´ (ejemplo 4), acotada (ejemplos 1,2 y 3) o
ıa
infinita (ejemplos 5 y 6).
cuando no es vac´ . .
ıa.
es faceteada: sus caras son realizadas por cortes rectos;
por ello es que es convexa, es decir, no tiene partes sumidas;
por ello es que para dos puntos en la regi´n factible, el
o
segmento que los une est´ totalmente dentro de la regi´n
a
o
factible.
cuando es acotada y no vac´ . .
ıa.
los puntos extremos la definen completamente.
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o
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23. Aprendizajes?
Una funci´n lineal definida sobre un segmento de recta se
o
convierte en una funci´n lineal en una variable; y por lo tanto,
o
toma sus valores m´ximos o m´
a
ınimos en los extremos del
intervalo (a´n en el caso que sea constante la funci´n).
u
o
Al optimizar un PL que tiene regi´n factible acotada y no
o
vac´ los valores m´ximos y m´
ıa,
a
ınimos los toma en un punto
extremo de la regi´n factible (en una esquina del poliedro que
o
es la regi´n factible).
o
Al optimizar un PL que tiene regi´n factible no acotada
o
pueden ocurrir dos posibilidades:
que el m´ximo o el m´
a
ınimo lo tome en un punto extremo ´
o
que el problema no sea acotado: es decir, que no es posible
encontrar un valor ´ptimo porque siempre es posible encontrar
o
un punto en la regi´n factible con una evaluaci´n mejor.
o
o
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