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1
Equações do 2º grauEquações do 2º grau
As equações do segundo grau são
abordadas na história da matemática desde
a época dos egípcios, babilônios, gregos,
hindus e chineses.
O primeiro registro das equações
polinomiais do 2º grau foi feita pelos
babilônios. Eles tinham uma álgebra bem
desenvolvida e resolviam equações de
segundo grau por métodos semelhantes aos
atuais ou pelo método de completar
quadrados. Como as resoluções dos
problemas eram interpretados
geometricamente não fazia sentido falar em
2
Os BabilôniosOs Babilônios
Os Babilônios foram um povo da
Antiguidade que viveu no Médio
Oriente.  Escreviam os símbolos
numéricos com caracteres
cuneiformes, ou seja, em forma de
cunha, gravados em placas de argila
que depois eram cozidas.
   
As equações do 2º grau ou
equações quadráticas são da
forma: 
              
  ax² + bx +  c = 0,
em que a, b e c são números reais
com a diferente de zero.
               
a é o coeficiente de x²
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4
Equações CompletasCompletas do
2ºgrauºgrau
Uma equação do 2º grau éº grau é
completa quando a, b e c são
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Exemplos:
2 x² - 7x + 5 = 0 ( a = 2,b = -7,c = 5 )
3 x² + x + 2 = 0 ( a = 3,b = 1,c = 2 )
5
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grau
Exemplos:
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2 x² = 0 ( a = 2, b = 0, c = 0 )
Uma equação do segundo grau é
incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c =
0. Na equação
incompleta o coeficiente a é diferente
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6
Raízes de uma equação do 2º2º
graugrau
Resolver uma equação do 2º grau2º grau
significa determinar suas raízes.significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao
substituir a incógnita de uma
equação, transforma-a numa
sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma
equação denomina-se conjunto verdade
ou conjunto solução.
7
Resolução de EquaçõesResolução de Equações
IncompletasIncompletas
Equações do tipo ax² + bx = 0:
Neste caso, fatoramos a equação
para obter: x (ax + b) = 0 e a
equação terá duas raízes:
x' = 0   ou    x" = -b/a.
Equações do tipo ax² = 0: Basta
dividir toda a equação por a para
obter: x² = 0. Significando que a
equação possui duas raízes iguais
a zero.
8
Equações do tipo ax² + c = 0:
Novamente dividimos toda a equação
por a e passamos o termo constante
para o segundo membro para obter:
x² = -c/a.
Se -c/a for negativo, não existe solução
no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas
raízes com o mesmo valor absoluto
(módulo) mas de sinais contrários.
9
Fórmula Geral
Um fato curioso é que a fórmula acima, também
conhecida como Fórmula de Bhaskara não foi
descoberta por ele, mas pelo matemático hindu
Sridhara, pelo menos um século antes da publicação
de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio
Bhaskara, embora o material construído pelo
pioneiro não tenha chegado até nós ( nessas
resoluções todos os cálculos eram expressos em
palavras) . No Brasil, costuma-se chamar de fórmula
de Bhaskara à fórmula que dá as soluções da
equação do segundo grau. Além de ser
historicamente incorreto, esta nomenclatura não é
2a
4acbb
x
2
−±−
=
Resolução de Equações Completas
10
Delta ou DiscriminanteDelta ou Discriminante
                                   
                                     
De acordo com o valor de delta, é possível tirar
algumas conclusões sobre a equação.
•Se          , a equação terá duas raízes reais e
distintas.
•Se         , a equação terá duas raízes reais e
iguais.
O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva
ou geral é chamado de delta ou discriminante.
Dessa forma, a fórmula geral pode ser escrita
na forma:
11
Relações entre os coeficientes eRelações entre os coeficientes e
as raízes de uma equação do 2ºas raízes de uma equação do 2º
graugrau 
Soma das raízes (S )
         
Produto das raízes (P )
 Denominamos essas relações de relações de Girard.
P = xP = x'' . x" = c/a. x" = c/a
S = xS = x'' ++ x" = -b/ax" = -b/a
12
Composição de uma equação doComposição de uma equação do
2º grau, conhecidas as raízes2º grau, conhecidas as raízes 
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13
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  • 1. 1 Equações do 2º grauEquações do 2º grau As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do 2º grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados geometricamente não fazia sentido falar em
  • 2. 2 Os BabilôniosOs Babilônios Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveu no Médio Oriente.  Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.    
  • 3. As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma:                   ax² + bx +  c = 0, em que a, b e c são números reais com a diferente de zero.                 a é o coeficiente de x²                b é o coeficiente de x
  • 4. 4 Equações CompletasCompletas do 2ºgrauºgrau Uma equação do 2º grau éº grau é completa quando a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: 2 x² - 7x + 5 = 0 ( a = 2,b = -7,c = 5 ) 3 x² + x + 2 = 0 ( a = 3,b = 1,c = 2 )
  • 5. 5 Equações incompletas do 2ºº grau Exemplos: 4 x² + 6x = 0 ( a = 4, b = 6, c = 0 -3 x² - 9 = 0 ( a = -3, b = 0, c = -9 2 x² = 0 ( a = 2, b = 0, c = 0 ) Uma equação do segundo grau é incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.
  • 6. 6 Raízes de uma equação do 2º2º graugrau Resolver uma equação do 2º grau2º grau significa determinar suas raízes.significa determinar suas raízes. Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.
  • 7. 7 Resolução de EquaçõesResolução de Equações IncompletasIncompletas Equações do tipo ax² + bx = 0: Neste caso, fatoramos a equação para obter: x (ax + b) = 0 e a equação terá duas raízes: x' = 0   ou    x" = -b/a. Equações do tipo ax² = 0: Basta dividir toda a equação por a para obter: x² = 0. Significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
  • 8. 8 Equações do tipo ax² + c = 0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter: x² = -c/a. Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais. Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
  • 9. 9 Fórmula Geral Um fato curioso é que a fórmula acima, também conhecida como Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele, mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós ( nessas resoluções todos os cálculos eram expressos em palavras) . No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura não é 2a 4acbb x 2 −±− = Resolução de Equações Completas
  • 10. 10 Delta ou DiscriminanteDelta ou Discriminante                                                                           De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação. •Se          , a equação terá duas raízes reais e distintas. •Se         , a equação terá duas raízes reais e iguais. O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva ou geral é chamado de delta ou discriminante. Dessa forma, a fórmula geral pode ser escrita na forma:
  • 11. 11 Relações entre os coeficientes eRelações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2ºas raízes de uma equação do 2º graugrau  Soma das raízes (S )           Produto das raízes (P )  Denominamos essas relações de relações de Girard. P = xP = x'' . x" = c/a. x" = c/a S = xS = x'' ++ x" = -b/ax" = -b/a
  • 12. 12 Composição de uma equação doComposição de uma equação do 2º grau, conhecidas as raízes2º grau, conhecidas as raízes  xx²² - Sx + P = 0- Sx + P = 0
  • 13. 13 Não foi um único povo, nem uma única pessoa que inventou a fórmula da equação do 2º grau. Matemáticos de várias regiões do Velho Mundo, entre eles François Viéte, Thomas Harriot e René Descartes, acabaram deduzindo uma fórmula única, que tornou possível a resolução de qualquer equação do 2º grau, proporcionando assim aos estudantes de hoje conseguirem resolver em poucos minutos problemas que os mais brilhantes matemáticos da Antiguidade levavam meses para resolver! François Viéte Thomas Harriot René Descartes