Aplicación a las derivadas, ejemplo de optimización de funciones

1. Ejemplo 1
Se tienen 60 m de malla de alambre para encerrar un espacio rectangular para la
realización de un parque infantil. Se desea saber ¿Cuál es la mayor área que se puede
encerrar con dicha cantidad de malla de alambre?
Desarrollo
Datos del problema, A = x.y
gráfica y fórmulas que P = 2x +2y y =?
relacionan las variables.
x =?
De acuerdo a los datos tenemos que 2x + 2y = 60
Despejando la variable “y” y = (60 – 2x)/2 y = 30 – x
A = x(30 – x) Remplazando “y” en fórmula de área
A(x) = 30x – x2 Realizando la multiplicación
A`(x) = 30 – 2x Derivando la función
Haciendo A`(x) = 0, tenemos 30 – 2x = 0
Despejando x, tenemos que x = 15 Comprobamos si x = 15 es un máximo
Como A`` (x) = – 2 < 0 Si es un máximo y = (30 – 15) y = 15
La mayor área que se puede encerrar con los 60 m de malla es un cuadrado de 15 m de lado