2. I postulati di Euclide
Nella stesura degli Elementi, l’opera di formidabile
sistematizzazione della matematica ellenistica, svolta in
termini rigorosamente ipotetico-deduttivi, Euclide enuncia
cinque postulati. I primi quattro sono:
1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una
sola retta.
2. Si può prolungare una retta oltre i due punti
indefinitamente.
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere
un cerchio.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
3. Enunciato
Data una retta r ed un punto P esterno ad essa,
esiste una sola retta s parallela ad r e
contenente P.
4. Conseguenze
Il quinto postulato ha importanti
conseguenze; in particolare
il teorema della somma degli
angoli interni di un triangolo,
il teorema di Pitagora, il valore
di p.
5. Teorema della somma degli angoli interni di un triangolo
Enunciato
La somma degli angoli
interni di un
triangolo qualsiasi è
pari ad un angolo
piatto.
6. Teorema di Pitagora
Enunciato
In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui
cateti è equivalente (equiestesa) al quadrato costruito
sull'ipotenusa. (Con riferimento al disegno a destra Q = Q1 +
Q2)
7. Osservazioni
In base agli altri postulati della geometria di Euclide si può
dimostrare che esiste almeno una retta parallela ad r e
contenente P. Basta infatti condurre per P una qualsiasi
retta t trasversale, che formerà un angolo a con r, e quindi
costruire un angolo a' uguale ad a in P. La retta s, secondo lato
di a' è allora parallela a r per il teorema degli angoli alterni
interni.
Resta però il dubbio che ripetendo questo procedimento con
un'altra trasversale si ottenga la stessa retta parallela s.
Sembrerebbe "ovvio" che la parallela sia sempre la stessa ma
Euclide non riuscì a dimostrare questa unicità e si vide
costretto a introdurla per mezzo di un postulato (il cui
enunciato era in verità piuttosto diverso da quello usato oggi).
