Matemática financeira para o bb casa do concurseiro

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Matemática financeira para o bb casa do concurseiro

  1. 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA AUTOR: Prof Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br
  2. 2. CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA EDITAL JANEIRO 2012 1. Porcentagem; 2. Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 3. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 4. Rendas uniformes e variáveis. 5. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos. 6. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. 7. Avaliação de alternativas de investimento. 8. Taxas de retorno A CASA DO CONCURSEIRO Estude com o curso que mais aprovou primeiro colocado no ultimo concurso do Banco do Brasil. Aprovamos o primeiro colocado nas seguintes cidades: Irecê – Vitória da Conquista; Jundiaí – São Paulo; Jequié – BA; Anápolis – GO; Sete Lagoas – MS; Pouso Alegre – MG; Lins – SP; Paraíso do Tocantins – TO Rio de Janeiro – RJ; Cabo Frio – RJ; Pelotas – RS; Novo Hamburgo – RS; Santo Amaro – SP; Varginha – BA; Bonito – MS; Juiz de Fora – MG (PNE); Disparado o curso que mais aprova em todo o país. Mais de 52% dos nossos alunos fora, aprovados nos últimos concursos do Banco do Brasil. A CASA DO CONCURSEIRO, UM ANO BRINCANDO DE APROVAR PRIMEIROS COLOCADOS!
  3. 3. Sumário MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA ..................................01 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 .................................................................10 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1......................................11 MÓDULO 2. TAXAS ............................................................................................13 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 .................................................................27 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1......................................30 MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ...39 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 .................................................................62 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1......................................75 MÓDULO 4. RENDAS UNIFORMES ...................................................................103 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ...............................................................115 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1....................................119 MÓDULO 5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ..........................128 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ...............................................................133 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1....................................136 MÓDULO 6. ANÁLISE DE INVESTIMENTO .........................................................142 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ...............................................................147 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1....................................152
  4. 4. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 1 MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.  Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser aplicado numa operação financeira.  Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.  Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros. o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.  Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros. o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando em capitalização simples ou em capitalização composta).  Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.  Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização.  Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.  Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão. o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples ou em capitalização composta). 1.1 TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS
  5. 5. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 2 DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. COMO FAZER 10 10% 0,10 100 20 20% 0,20 100 5 5% 0,05 100 38 38% 0,38 100 1,5 1,5% 0,015 100 230 230% 2,3 100             Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. 1.2 TAXA UNITÁRIA 1.3 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO 1.2.1 AGORA É A SUA VEZ: 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6%
  6. 6. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 3 120 Fator de Capitalização = 1,2 100  O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2 ENTENDENDO O RESULTADO: Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2. Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER: Acréscimo de 30% 1,3 Acréscimo de 15% 1,15 130 = 100% + 30% = 130% = 100 115 = 100% + 15% = 115% = 100 103 = 1Acréscimo de 3% 1,03 Acréscimo de 20 00% + 3% = 103% = 100 300 = 100% + 200% = 30 00% = 0 % 3 1 0     1.3.1 AGORA É A SUA VEZ: Acréscimo Calculo Fator 15% 20%
  7. 7. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 4 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. 80 Fator de Descapitalização = 0,8 100  O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65 o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8 ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor desse produto por 0,80. 1.4 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO
  8. 8. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 5 Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER: Desconto de 30% 0,7 Desconto de 15% 0,85 70 = 100% 30% = 70% = 100 85 = 100% 15% = 85% = 100 97 = 1Desconto de 3% 0,97 Desconto de 00% 3% = 97% = 100 50 = 100% 50% = 50% = 100 50% 0,5         1.4.1 AGORA É A SUA VEZ: Desconto Calculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse tipo. O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização. 1.5 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO
  9. 9. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 6 Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem definidos: Exemplo 1.5.1: Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em: a) 50% b) 30% c) 150% d) 56% e) 20% Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”). Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos: Após receber um acréscimo de 30%: 10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00 Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009: 13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60 Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano. Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%, e não de 50% como parecia inicialmente. COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA: Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3: o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3 o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2 1,3 x 1,2 = 1,56 Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2), logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%
  10. 10. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 7 COMO FAZER Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é: a) 10% maior b) 10 % menor c) Acréscimo superior a 5% d) Desconto de 84% e) Desconto de 16% Resolução: Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2 Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4 Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5 Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 – 0,84 = 0,16 Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E) Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é: a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) Exatamente igual Resolução: Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)
  11. 11. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 8 AGORA É SUA VEZ QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003, (A) 24 %. (B) 28 %. (C) 30 %. (D) 32 %. (E) 60 %. QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de: (A) 35%. (B) 45%. (C) 50%. (D) 60%. (E) 65%.
  12. 12. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 9 Resolução questão 1.5.1 Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%): 2003 2004 Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96 Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28 TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24 Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A Resolução questão 1.5.2 Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada vendedora. Maio Junho Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2 Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em junho = 1,2 * 1,25 = 1,5 Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5), houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C
  13. 13. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 10 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 1. (TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED) - Denis investiu uma certa quantia no mercado de ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantia que Denis investiu foi: (A) R$ 3 200,00 (B) R$ 3 600,00 (C) R$ 4 000,00 (D) R$ 4 200,00 (E) R$ 4 500,00 2. (SEFAZ PB 2006 - SUP) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de (A) 9% ao trimestre. (B) [(1,03)² - 1] ao bimestre. (C) 12 . [(1,36)1/12 ? 1] ao ano. (D) ao semestre. (E) . 3. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de R$ 48,00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucro de 40% sobre o preço de venda. O preço unitário de venda desse artigo é (A) R$ 78,00 (B) R$ 80,00 (C) R$ 84,00 (D) R$ 86,00 (E) R$ 90,00
  14. 14. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 11 RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 1 Questão 1 Fator para o lucro de 20%: 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1 + 0,2 = 1,2 Fator para a perda de 15%: 100% - 15% = 100/100 – 15/100 = 1 – 0,15 = 0,85 O detalhe é que Denis perdeu 15% apenas do que havia lucrado, e não do montante total. Ou seja: o fator de 0,85 será aplicado apenas ao lucro de 20%. Para saber o valor obtido ao final do período, multiplicamos os fatores: 0,2 * 0,85 = 0,17 Logo, ao final do período, Denis possuía 1,17 do valor investido inicialmente, que são R$ 5.265,00. Para saber o valor investido inicialmente, podemos chamar o capital investido de “C”, e estabelecer a seguinte relação: 1,17 de C é igual a 5.265. Matematicamente: 1,17C = 5.265 Calculando o capital inicial: C = 5.265/1,17 C = 4.500 RESPOSTA: Alternativa E Questão 2 Primeiro passo: converter a taxa nominal para uma taxa efetiva. Como a taxa foi dada ao ano com capitalização mensal, e 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao mês Com essa informação, podemos analisar as alternativas: a) Essa alternativa estaria correta se fossem juros simples, pois 3% * 3 = 9%. No regime de juros compostos, essa taxa seria um pouco maior, pois o cálculo seria 1,03³ = 1,092727, então a taxa seria de 9,2727% b) Para converter a taxa mensal de 3% para uma taxa bimestral, utilizamos o fator 100% + 3% = 100/100 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Como 1 bimestre possui 2 meses, elevamos esse fator ao quadrado, e depois subtraímos 1 do resultado, que é o mesmo 1 adicionado anteriormente para o caçulo da potência. Matematicamente, teríamos: 1,03² - 1, que é exatamente o sugerido pela alternativa. c) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma taxa efetiva ao ano seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) à potência 12 e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos:
  15. 15. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 12 [(0,36/12)+1]¹² - 1 d) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma taxa efetiva ao semestre seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) à potência 6 (1 semestre = 6 meses) e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos: [(0,36/12)+1]^6 – 1 e) Esse cálculo seria correto caso estivéssemos convertendo uma taxa efetiva de 36% ao ano para uma taxa mensal. Como 36% é uma taxa nominal, esse não é o cálculo correto. RESPOSTA: Alternativa B Questão 3 O problema informa que há um lucro de 40% sobre o preço de venda, e que descontado esse lucro, o valor do produto é de R$ 48,00. Precisamos fazer o raciocínio inverso do que fizemos até o momento, pois se antes pensávamos em um fator de aumento e aplicávamos sobre um valor para descobrir o novo valor, agora aplicaremos um fator de decréscimo sobre um certo valor X, sabendo que o resultado será R$ 48,00. Organizando matematicamente: Para descontar os 40%, o fator será: 100% - 40% = 60%, ou em valor unitário, 0,60. Esse fator deverá ser aplicado sobre o preço com o lucro para termos o resultado 48. Assim: 0,60X = 48 X = 48/0,60 X = 80 RESPOSTA: Alternativa B
  16. 16. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 13 MÓDULO 2. TAXAS Calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros: Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês? Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa taxa por 12, já que um ano possuir 12 meses. Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano. Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre? Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3 bimestres. Assim a taxa procurada é de 15% 5% 3  ao bimestre. COMO FAZER TAXA TAXA PROPORCIONAL 25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano) 15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m 60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre) 25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano) AGORA É A SUA VEZ QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL 2.1.1 50% a.bim ___________a.ano 2.1.2 6% a.mês _________a.quad. 2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim. 2.1.4 20% a. quadri __________a.Trim 2.1 TAXA PROPORCIONAL
  17. 17. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 14 GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.1.1 300% 2.1.2 24% 2.1.3 3% 2.1.4 15% Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas equivalentes, é necessário utilizar uma fórmula. Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta. Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,10 = 1,10 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses. (1,10)2 = 1,21 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,21 = 21% Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,20 = 1,20 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui três bimestres. (1,20)3 = 1,728 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,728 = 72,8% 2.2 TAXA EQUIVALENTE
  18. 18. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 15 COMO FAZER 20% a.bim equivale a: Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44% Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 2.2.1 21% a.sem. equivale a: Ao Ano Ao Trimestre GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.2.1 46,41% ao ano e 10% ao trimestre 2.2.2 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre Essas taxas são muito especuladas em aplicações financeiras. A grande diferença entre as duas é que na taxa bruta estão inclusos tributações e encargos, e a líquida está livre desses descontos. Por este motivo, muitas vezes necessitamos da taxa líquida para podermos comparar aplicações financeiras distintas. 10% a.m equivale a: Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21% Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10% QUESTÃO 2.2.2 30% a.mês. equivale a: Ao Bimestre Ao Trimestre 2.3 TAXA BRUTA X TAXA LIQUIDA
  19. 19. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 16 Exemplo 2.3.1: Supondo uma aplicação em um fundo de investimento que lhe proporcionou um retorno de 0,90% em um mês. Qual foi o seu ganho líquido se considerarmos que lhe foi cobrado 20% sobre o ganho a título de imposto de renda? Taxa Bruta: 0,90% Imposto de renda: 20% Taxa Liquida: Taxa Bruta - Imposto OBS: Muito cuidado: descontar o imposto não é subtrair. Calculando a taxa liquida: 0,90 x 0,80 (fator de descapitalização, ver tópico 1.4) = 0,72% Logo a taxa liquida do investidor foi de 0,72% COMO FAZER CALCULAR A TAXA LIQUIDA TAXA BRUTA 2% IMPOSTO 30% TAXA LIQUIDA 2% x 0,70 = 1,4% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 2.3.1 TAXA BRUTA 10% IMPOSTO 25% TAXA LIQUIDA QUESTÃO 2.3.3 TAXA BRUTA 20% IMPOSTO 15% TAXA LIQUIDA CALCULAR A TAXA LIQUIDA TAXA BRUTA 5% IMPOSTO 20% TAXA LIQUIDA 5% x 0,80 = 4% QUESTÃO 2.3.2 TAXA BRUTA 15% IMPOSTO 20% TAXA LIQUIDA QUESTÃO 2.3.4 TAXA BRUTA 8% IMPOSTO 30% TAXA LIQUIDA
  20. 20. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 17 GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.3.1 7,5% 2.3.2 12% 2.3.3 17% 2.3.4 5,6% Quando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Do que adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação, transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais? O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente. Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular a verdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real. Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de 20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 10%? O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, para descobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Para isso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher. Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula. Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxa real. 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 20% Inflação: 10% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essa divisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor: 2.4 TAXA REAL X TAXA APARENTE
  21. 21. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 18 ( ) (1 0,2) 1,2 1,0 taxa aparen 909 ( ) (1 0,10) 1,1 1, 1 1 repr0909 1( ) 0,0909es 9,09enta te i 100 nflaçã % % o            COMO FAZER Exemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 20%? 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 80% Inflação: 20% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção: ( ) (1 0,8) 1,8 1,5 ( ) (1 0,20 ta ) 1,2 xa aparente inflação 1,5 1 1 1 rep( ) 0,5 50rese 0 %nta10 %            AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foi de 20%? QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%?
  22. 22. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 19 Resolução questão 2.4.1 Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de desconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas as taxas: Rendimento de 50% = 1,5 Inflação de 20% = 1,2 Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25. Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temos uma taxa real de 25%. Resolução questão 2.4.2 Fator para aumento de 40%: 1,4 Fator para inflação de 60%: 1,6 Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875 Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houve rendimento negativo de 12,5%. TAXA NOMINAL Sempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante de uma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira, comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxa realmente cobrada. Exemplos de taxas nominais:  24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)  3% ao mês/bimestrais;  1,5% ao dia/semestral; 2.5 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA
  23. 23. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 20 TAXA EFETIVA Representa a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização. Exemplos de taxas efetivas:  24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)  3% ao mês/mensal;  1,5% ao dia/diária Podemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxa efetiva possui a capitalização igual ao prazo. Exemplos de taxas efetivas:  24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)  3% ao mês  1,5% ao dia TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA A única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxa proporcional (ver tópico 2.1). Exemplo 2.5.1 OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem ser abreviadas da seguinte maneira: 2% ao mês/mês = 2% ao mês 15% ao ano/ano = 15% ao ano 30%
  24. 24. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 21 Retomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa de juros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual. Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês. Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemos fazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada é composta. Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês com capitalização bimestral? 1º passo: Identificar a taxa Nominal: 20% a.m / a.bim 2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO, mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXA PROPORCIONAL. 20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim. 3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse caso ao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE.
  25. 25. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 22 40 % a. bim = (1,4)² = 1,96 4º Passo: identificar a taxa de juros: 1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre COMO FAZER Exemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestre com capitalização semestral? 10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional) 20% a.sem = (1,2)2 = 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres. Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% ao semestre com capitalização bimestral? 180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional) 30% a.bim = (1,6)2 = 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres. AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês com capitalização semestral? QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% ao trimestre com capitalização mensal?
  26. 26. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 23 QUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês com capitalização bimestral? Resolução questão 2.5.1 Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esse primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas de juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6. 0,05 x 6 = 0,3 Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la para uma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1 ano possui 2 semestres: 1,30² = 1,69 Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxa efetiva ao ano é de 69%. Resolução questão 2.5.2 Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esse primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas de juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3. 2,4 / 3 = 0,8 Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para uma taxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1 trimestre possui 3 meses: 1,80³ = 5,832 Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 5,832 = 4,832. Logo, a taxa efetiva ao trimestre é de 483,20%.
  27. 27. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 24 Resolução questão 2.5.3 Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esse primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas de juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2. 0,2 x 2 = 0,4 Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la para uma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1 semestre possui 3 bimestres: 1,40³ = 2,744 Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 2,744 = 1,744. Logo, a taxa efetiva ao semestre é de 174,4%.
  28. 28. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 25 QUESTÕES DE NIVELAMENTO Utilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 11 1,053 = 1,157 1,055 = 1,276 1,057 = 1,407 1,103 = 1,331 1,105 = 1,610 1,109 = 2,358 1,203 = 1,728 1,204 = 2,073 1,205 = 2,488 1,302 = 1,690 1,303 = 2,197 1,304 = 2,856 1,305 = 3,712 1. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de: (A)15% (B)60% (C)69% (D)79,53% (E) 169% 2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de: (A)15% (B)60% (C)69% (D)79,53% (E) 169% 3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de: (A)15% (B)60% (C)69% (D)79,53% (E) 169% 4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de: (A)15% (B)60% (C)69% (D)79,53% (E) 169%
  29. 29. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 26 5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado: (A)3,92% (B)5% (C)5,23% (D)7% (E) 47,10 6. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado: (A)3,92% (B)5% (C)5,23% (D)7% (E) 47,10 7. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a (A)20% ao quadrimestre (B)20% ao trimestre (C)15% ao trimestre (D)15% ao quadrimestre (E) 25% ao trimestre 8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa (A)Igual a 20% ao trimestre (B)Um pouco inferior a 20% ao trimestre (C)Igual a 30% ao trimestre (D)Igual a 30% ao quadrimestre (E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre 9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal é aproximadamente de: (A)120% (B)155,40% (C)185,6% (D)213,8% (E) 285,6% 10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com capitalização ao ano é aproximadamente de: (A)5% (B)15% (C)19% (D)20% (E) 22%
  30. 30. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 27 QUESTÕES FCC MÓDULO 2 1. (BB 2006 – MED) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005 foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma taxa de juros nominal igual a (A) 4% (B) 4,5% (C) 5% (D) 5,5% (E) 6% 2. (BB 2006 – MED) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de (A) 14,4% (B) 15,2% (C) 18,4% (D) 19% (E) 20% 3. (BB-DF 2006 – MED) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando: (A) i = 4 ⋅ [(1,12 )1/3 − 1] (B) i = 12 ⋅ [(1,12)1/4 − 1] (C) i = 12 ⋅ [(1,12)1/3 − 1] (D) i = (1,04 )12 − 1 (E) i = 12 ⋅ [(0,04) ÷ 3]
  31. 31. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 28 4. (BB-DF 2006 – MED) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem- se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de (A) 16% (B) 20% (C) 24% (D) 28% (E) 30% 5. (MPU 2007 - SUP) A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 51,2196% (B) 101,2196% (C) 151,5456% (D) 201,2196% (E) 251,5456% 6. (MPU 2007 – SUP) A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são, respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal (A) 42,5760% e 39,2400% (B) 31,1458% e 33,2118% (C) 36,0000% e 26,2477% (D) 39,2400% e 42,5760% (E) 33,2118% e 31,1458% 7. (MPU 2007 – SUP) Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos, tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes. Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é (A) 12,0000000%
  32. 32. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 29 (B) 12,1626149% (C) 12,2616639% (D) 12,3966612% (E) 12,6162419% 8. (MPU 2007 – SUP) A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de (A) 20,794963% (B) 19,500000% (C) 2,166667% (D) 2,121347% (E) 1,166667% 9. (DNOCS 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: (A) (B) (C) (D) (E) 10. (COPERGÁS - 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a (A) R$ 1.600,00. (B) R$ 1.538,23. (C) R$ 1.339,18. (D) R$ 1.219,59. (E) R$ 1.200,00.
  33. 33. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 30 RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO Questão 1 30% a.sem. = ? ao ano 2 semestres em 1 ano Taxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B Questão 2 30% a.sem = ? ao ano 2 semestres em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 30%  100/100 + 30/100  1 + 0,3  1,3 Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número de períodos. Assim: 1,3² = 1,69 Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo: 100% = 100/100 = 1. Assim: 1 – 1,69 = 0,69 0,69 = 69% ao ano RESPOSTA: Alternativa C Questão 3 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B Questão 4 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa equivalente: Calculando o fator: 100% + 5%  100/100 + 5/100  1 + 0,05  1,05 Como são 12 períodos: 1,05¹² =
  34. 34. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 31 Consultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pela propriedade das potências: 1,057 x 1,055 (na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados: 1,407 x 1,276 = 1,7953 Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos: 1 ,7953 – 1 = 0,7953 = 79,53% ao ano RESPOSTA: Alternativa D Questão 5 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestre RESPOSTA: Alternativa C Questão 6 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 15,7%  100/100 + 15,7/100  1 + 0,157  1,157 Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um período maior para um período menor. Ou seja: 1,157¹/³ = ? Trabalhando a potência, temos que: 1,157 = (1+i)³ Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157. Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dá como resposta 1,157). Valor encontrado: 1,05³ = 1,157 Se 1,157 = (1+i)³3 e 1,157 = 1,05³, i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5% RESPOSTA: Alternativa B Questão 7 107,3% ao ano = ? ao trimestre
  35. 35. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 32 4 trimestre em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 107,3  100/100 + 107,3/100  1 + 1,073  2,073 Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073 = 2,073 Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%. Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral: 107,3% ao ano = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 2,073¹/³ Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073 Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073 RESPOSTA: Alternativa B Questão 8 180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestre Taxa equivalente Fator: 2,8 Localizar na tabela 2,8 O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856: = 2,856 2,856 – 1 = 1,856, ou 185,6% Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodos menores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a 180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres) RESPOSTA: Alternativa E Questão 9 Taxa nominal x taxa efetiva 30% ao trimestre / capitalização mensal Primeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização 3 meses em 1 trimestre 30% / 3 = 10% ao mês Segundo passo: passar para taxa equivalente ao ano 12 meses em 1 ano 1,1¹² =
  36. 36. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 33 A tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que diz que, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes, podemos chegar ao valor: 1,331 x 2,358 = 3,138 3,138 – 1 = 2,138, ou 213,8% Taxa ao ano: 213,8% RESPOSTA: Alternativa D Questão 10 53,65% ao semestre / ano 2 semestres em 1 ano 53,65% x 2 = 107,30% ao ano Taxa efetiva ao trimestre: (4 trimestres em 1 ano) Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,073 1,20 – 1 = 0,20 Ou seja, 20% ao trimestre RESPOSTA: Alternativa D
  37. 37. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 34 RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 2 Questão 1 Coletando os dados do problema, temos: Inflação = 10%, ou seja: 0,10 Taxa real de juros = -0,5%, ou seja: -0,05 Taxa de juros nominal (taxa aparente): ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + taxa aparente = 1- 0,05 1 + 0,1 1 + taxa aparente = 0,95 x 1,1 1 + taxa aparente = 1,045 Taxa aparente = 1,045 – 1 Taxa aparente = 0,045, ou seja: 4,5% RESPOSTA: Alternativa B Questão 2 Coletando os dados: Taxa aparente: 44%, ou 0,44 Taxa de inflação: 25%, ou 0,25 Taxa real: ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + 0,44 = 1+ taxa real 1 + 0,25 1,44/1,25 = 1 + taxa real 1,152 = 1 + taxa real 1,152 – 1 = taxa real Taxa real = 0,152, ou 15,2%
  38. 38. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 35 RESPOSTA: Alternativa B Questão 3 Foi informada a taxa efetiva de 12% ao trimestre. Como foi pedida a taxa nominal ao ano com capitalização mensal: Primeiro passo: converter a taxa de 12% ao trimestre para uma taxa equivalente mensal (juros compostos). Para isso, transformamos 12% em fator unitário: 100% + 12% = 100/100 + 12/100 = 1 + 0,12 = 1,12. Como 1 trimestre = 3 meses, e estamos partindo de uma taxa em um período maior para um período menor, aplicando a fórmula “Fator elevado à razão entre a quantidade de períodos que queremos calcular e a quantidade de períodos que temos”, o cálculo a ser feito é: 1,121/3 , pois 1 é o período que queremos (1 mês), e 3 é o período que temos (3 meses, ou 1 trimestre). Após realizar esse cálculo, encontraríamos um fator, que deveria ser subtraído de 1 para encontrarmos a taxa ao mês. Além disso, para calcular a taxa nominal ao ano (taxa proporcional – juros simples), multiplicaríamos essa taxa por 12. Matematicamente, faríamos: (1,121/3 – 1) x 12 = taxa nominal ao ano com capitalização mensal. Organizando essa expressão conforme as alternativas, teríamos: i = 12 . [(1,12)1/3 - 1] RESPOSTA: Alternativa C Questão 4 Coletando os dados: Taxa aparente: 44%, ou 0,44 Taxa real: 12,5%, ou 0,125 Taxa de inflação = ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + 0,44 = 1+ 0,125 1 + inflação 1,44 = 1,125 * 1+inflação
  39. 39. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 36 1+inflação = 1,44/1,125 1+inflação = 1,28 Inflação = 1,28 – 1 Inflação = 0,28, ou 28% RESPOSTA: ALTERNATIVA D Questão 5 Coletando os dados: Taxa nominal, pois foi dada em um período diferente da capitalização: 36% ao ano / bimestral. Primeiro passo: converter para taxa efetiva ao bimestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 6 bimestres: 36% / 6 = 6% ao bimestre. Segundo passo: converter a taxa de 6% ao bimestre para uma taxa bianual. Como 2 anos possuem 12 bimestres: Fator para um aumento de 6% = 1+0,06 = 1,06 Aplicando a potência: 1,06¹² = 2,012196 Subtraindo o 1 que foi adicionado à taxa de 6% para cálculo: 2,012196 – 1 = 1,012196, ou seja: 101,2196%. RESPOSTA: ALTERNATIVA B Questão 6 Coletando os dados: Taxa nominal 1: 36% ao ano / semestral Taxa nominal 2: 36% ao ano / mensal Calculando a taxa efetiva para a primeira taxa: Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 2 semestres: 36% / 2 = 18% ao semestre Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Fator para 18% = 1+0,18=1,18. Como 1 ano possui 2 semestres: 1,18² = 1,3924. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo: 1,3924 – 1 = 0,3924, ou 39,24% ao ano Nesse ponto, já poderíamos marcar a resposta certa, mas segue o cálculo da taxa efetiva para a segunda taxa: Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao mês Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Fator para 3% = 1+0,03=1,03. Como 1 ano possui 12 meses:
  40. 40. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 37 1,03¹² = 1,42576. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo: 1,42576 – 1 = 0,42576, ou 42,576% ao mês. RESPOSTA: ALTERNATIVA D Questão 7 Se os juros mensais são 2%, e 1 semestre possui 6 meses, precisamos elevar o fator de aumento para 2% à potência 6. Fator: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02 1,02^6 = 1,126162419 Subtraindo os 100% somados anteriormente à taxa de 2% para cálculo: 1,126162419 – 1 = 0,126162419. Logo, a taxa de juros semestral é 12,6162419% RESPOSTA: Alternativa E Questão 8 Resolução 1: como calcular Para converter a taxa de 6,5% ao mês para uma taxa equivalente (juros compostos) trimestral, primeiro temos que transformar 6,5% em fator unitário: 100% + 6,5% = 100/100 + 6,5/100 = 1 + 0,065 = 1,065 Como 1 trimestre possui 3 meses, devemos elevar esse fator a 3: 1,065³ = 1,207949625 Subtraindo 1 desse fator (que é o 1 somado no início do cálculo): 1,207949625 – 1 = 0,207949625. Logo, a taxa de juros trimestral é 20,7949625, sendo mais próxima da taxa informada na alternativa A (a diferença se dá por conta de arredondamentos). Resolução 2: como ganhar tempo O problema pede a taxa equivalente (juros compostos). Como os juros compostos são um pouco maiores que os juros simples, podemos calcular a taxa proporcional (juros simples), e com o raciocínio de que os juros compostos são um pouco maiores, chegamos à alternativa correta. 6,5% x 3 = 19,5% Apenas a alternativa A traz uma taxa maior que 19,5%, sendo a única alternativa que satisfaz ao raciocínio exposto. RESPOSTA: Alternativa A Questão 9 Para esse problema, precisamos saber como transformar a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal em uma taxa para 18 meses.
  41. 41. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 38 Primeiro passo: como o problema informou uma taxa nominal, precisamos convertê-la para taxa efetiva. 1 ano = 12 meses. Assim: 24% / 12 = 2% ao mês. Segundo passo: transformar a taxa de 2% em fator unitário. 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1+0,02 = 1,02. Terceiro passo: como queremos a taxa de juros para toda a operação (18 meses), precisamos elevar o fator 1,02 à 18, e depois subtrair 1 do fator encontrado, que é o 1 somado no início do cálculo. Matematicamente: [(1,02^18) – 1] RESPOSTA: Alternativa A Questão 10 Coletando os dados: Capital (C) = 15.000 Prazo (t) = 6 meses Taxa (i) = 12% a.a. Taxa 2 (i) = 1% a.m. Prato 2 (t) = 2 meses Precisamos “somar” as duas taxas. Primeira taxa (juros simples = taxas proporcionais): 12% / 2 (pois 6 meses = meio ano) = 6% Fator: 100% + 6% = 1,06 Segunda taxa (juros compostos = taxas equivalentes): 100% + 1% = 1,01 Fator para 2 meses: 1,01² = 1,0201 Trabalhando com a taxa para acréscimos sucessivos: 1,06 x 1,0201= 1,081306 Taxa de juros total: 1,081306 – 1 = 0,081306. Calculando esses juros sobre 15.000: 15.000 x 0,081306 = 1.219,59 RESPOSTA: Alternativa D
  42. 42. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 39 MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS Como vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao capital. Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra composta e depois compararmos. Vamos analisar o exemplo abaixo: Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°? Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês. Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00 3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00 4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00 5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00 Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do período anterior) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00 3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10 4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41 5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05 3.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
  43. 43. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 40 Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos. GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1 Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples. FÓRMULAS: OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros Onde: J = Juros M = Montante C = Capital (Valor Presente) i = Taxa de juros; t = Prazo. A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de utilizar fórmula matemática. CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE J C i t   (1 )M C i t    3.2 JUROS SIMPLES
  44. 44. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 41 APLICANDO A FÓRMULA Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução Exemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros? Dados do problema: C = 100.000,00 t = 3 meses i = 2% ao mês OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não tem problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses. J = C x i x t J = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3 J = 6.000,00 Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00 RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS: Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de taxa de juros proporcional. Resolução: Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1) Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00 PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade, necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão. Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo do que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples, proporcional, e sim equivalentes.
  45. 45. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 42 Exemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros? Dados: C = 100.000,00 t = 3 meses i = 12% ao ano Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar o prazo em ano. Assim teremos: C = 100.000,00 t = 3 meses = 3 12 i = 12% ao ano Agora sim podemos aplicar a fórmula J = C x i x t J = 100.000 x 0,12 x 3 12 J = 3.000,00 ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamos resolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto. Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco. Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim: Dados: C = 100.000,00 t = 6 meses M = 118.000,00 J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) Aplicando a fórmula teremos:
  46. 46. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 43 18.000 100.000 6 18.000 18.000 0,03 100.000 6 600.000 3% ao mês i i i         Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples. Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital: 118.000 juros acumulado = 1,18 100.000  Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos: 1,18 – 1 = 0,18 = 18% 18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa proporcional e assim encontrar 3 % ao mês. ESTÁ FALTANDO DADOS? Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc. Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmos um valor para o dado que está faltando. Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações. Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu? Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos um montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital igual a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor. Dados: C = 100,00 t = 8 meses M = 200,00 (o dobro) J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) Substituindo na fórmula teremos
  47. 47. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 44 100 100 8 100 100 0,125 100 12,5% ao 8 80 ê 0 m s i i i         COMO RESOLVER Exemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos esse duplique de valor? Dados: C = 2.000,00 t = 5 anos M = 4.00,00 (o dobro) J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) i = ?? a.a Substituindo na fórmula teremos 2.000 2.000 5 2.000 2.000 0,2 2.000 5 10.000 20% ao ano i i i         Exemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação? Dados: C = 5.000,00 i = 2 % ao mês t = 1,5 anos = 18 meses J = ??? Substituindo na fórmula teremos 5.000 18 0, 1.800,00 02J J    
  48. 48. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 45 AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante nove meses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre? QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente 40 % ao fim de três anos. Resolução questão 3.2.1 Coletando os dados do problema, temos: Capital (C) = 5.700 Tempo (t) = 9 meses Juros simples (i) = 24% ao semestre Como o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses, precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples: 1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal. 24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04. A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema. Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simples Podemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos: J = 5.700 x 0,04 x 9 J = 2.052,00
  49. 49. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 46 Resolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulas Já sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9 meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valor aplicado, multiplicamos esse valor pelo capital: 5.700 x 0,36 = 2.052 Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundo caso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas. Resolução questão 3.2.2 O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber a taxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pela quantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim: 40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111... Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11% FÓRMULAS: OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros Onde: J = Juros M = Montante C = Capital (Valor Presente) i = Taxa de juros; t = Prazo. CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE J M C  (1 )t M C i   3.3 JUROS COMPOSTOS
  50. 50. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 47 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS Como notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que o prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo. Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos em provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que poderiam facilitarem estes cálculos. Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concurso público. 1. Questões que necessitam da utilização de tabela. 2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria questão. 3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de valores. Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos. JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA Esse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em concurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros compostos Vamos ver um exemplo. Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Dados do problema: C = 100.000,00 t = 8 meses i = 10% ao mês 8 8 (1 ) 100.000 (1 0,10) 100.000 (1,10) t M C i M M         O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo.
  51. 51. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 48 Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8. (1+i)t TAXA 5% 10% 15% 20% PRAZO 1 1,050 1,100 1,150 1,200 2 1,103 1,210 1,323 1,440 3 1,158 1,331 1,521 1,728 4 1,216 1,464 1,749 2,074 5 1,276 1,611 2,011 2,488 6 1,340 1,772 2,313 2,986 7 1,407 1,949 2,660 3,583 8 1,477 2,144 3,059 4,300 9 1,551 2,358 3,518 5,160 10 1,629 2,594 4,046 6,192 Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144 Substituindo na nossa fórmula temos: 8 100.000 (1,10) 100.000 2,144 214.400,00 M M M      O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00 JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no próprio texto da questão, conforme abaixo. Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144 Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o exemplo anterior. JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidade do candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação. Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar contas muito complexas, conforme abaixo.
  52. 52. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 49 Exemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Dados do problema: C = 100.000,00 t = 2 meses i = 10% ao mês 2 2 (1 ) 100.000 (1 0,10) 100.000 (1,10) 100.000 121.000,00 1,21 t M C i M M M M            Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00 COMO RESOLVER Exemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano? Dados do problema: C = 2.000,00 t = 2 anos i = 10% ao ano M = ??? 2 2 (1 ) 2.000 (1 0,20) 2.000 (1,2 2.880,00 0) 2.000 1,44 t M C i M M M M            Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma taxa de juros compostos de 10 % ao semestre? Dados:
  53. 53. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 50 C = 5.000,00 t = 1 ano ou 2 semestres i = 10% ao ano 2 2 (1 ) 5.000 (1 0,10) 5.000 (1,1 6.050,00 0) 5.000 1,21 t M C i M M M M            Como a questão quer saber qual os juros, temos: 6.050 5.000 1.050,00 J M C J J      Assim, os juros serão de R$ 1.050,00 Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa de juros mensais que este fundo remunerou ao investidor? Dados: C = 10.000,00 t = 2 meses M = 11.025,00 i = ??? ao mês 2 2 (1 ) 11.025 10.000 (1 ) 11.025 (1 ) 10.000 t M C i i i        
  54. 54. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 51 2 11.025 (1 ) 10.000 105 (1 ) 100 1,05 1 0,0 5% ao mês 5 i i i i         AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos a uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral? QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 20 % ao mês? Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses em R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o investidor?
  55. 55. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 52 Resolução questão 3.3.1 Coletando os dados, temos: Montante (M) = ? Capital (C) = 10.000 Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres) Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestral Antes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois o período de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxa para taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples): 20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres). Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas, devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano. Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo: Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos Podemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos: M = 10.000 (1+0,1)² M = 10.000 (1,01)² M = 10.000 x 1,21 M = 12.100 Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentes Após descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (que possui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos): Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência. 100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10. Como queremos calcular a taxa para 2 semestres: 1,10² = 1,21. Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de 10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque: M = C x F M = 10.000 x 1,21 M = 12.100
  56. 56. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 53 Observe que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença é que, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso, usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quando calculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de não precisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo. Resolução questão 3.3.2. Coletando os dados do problema: Juros (j) = ? Capital (C) = 20.000 Tempo (t) = 2 meses Taxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20 Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos. Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores: J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1 J = 20.000 x [(1,20)²] – 1 J = 20.000 x (1,44 – 1) J = 20.000 x 0,44 J = 8.800 Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes. Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas. Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de juros bimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1 (100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o período é de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resulta em [(1+0,20)²] – 1. Assim: 1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44. Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capital por essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemos quando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamos decorar fórmulas, e sim entender o processo. 20.000 x 0,44 = 8.800. Resolução questão 3.3.3 Coletando os dados:
  57. 57. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 54 Capital (C) = 100 Tempo (t) = 2 meses Montante (M) = 144 Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos Usando a fórmula M = C (1+i)^t, temos: 144 = 100 (1+i)² 144/100 = (1+i)² 1,44 = (1+i)² = 1+i 1,2 = 1+i 1,2 – 1 = i i = 0,2, ou 20% ao mês. Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes Podemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento de uma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso da fórmula de juros compostos. F = 144/100 F = 1,44 De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44 – 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxas equivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um período menor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque a forma de calcular esse tipo de taxa é: (essa fração pode ser transformada em uma raiz) 1,2. Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% ao mês. Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros, conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro. 3.4 DESCONTO SIMPLES
  58. 58. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 55 Comparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturas das nossas variáveis. O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido em desconto simples. O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face em desconto simples. DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumam exigir os dois tipos de descontos. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES  Mais comum e mais utilizado  Também conhecido como desconto bancário  Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”  O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro) FÓRMULAS: OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual Onde: DC = Desconto Comercial A = Valor Atual ou Valor Liquido N = Valor Nominal ou Valor de Face id = Taxa de desconto; t = Prazo. CALCULO DO VALOR DO DESCONTO CALCULO DO VALOR ATUAL c dD N i t   (1 )dA N i t   
  59. 59. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 56 Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o desconto comercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecida com a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando as duas fórmulas: Dc = N x i x t  J = C x i x t Só precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre o valor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente ao capital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante). Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t (lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar o valor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma para subtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t). Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m Dados: N = 10.000,00 t = 3 meses id = 5% ao mês 10.000 0,05 1.500,00 3 c d c D N i t D J        Agora vamos calcular o Valor Atual, que é o Valor Nominal subtraído dos descontos. 10.000 1.50 8.500,00 0A A    DESCONTO RACIONAL SIMPLES  Pouco utilizado no dia a dia, porém é cobrado em provas de concurso público
  60. 60. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 57  Também conhecido como desconto verdadeiro  Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”  O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)  Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título. FÓRMULAS: OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual Onde: Dr = Desconto Racional A = Valor Atual ou Valor Liquido N = Valor Nominal ou Valor de Face id = Taxa de desconto; t = Prazo. Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que o desconto racional é calculado sobre o valor atual. Assim, a fórmula se comporta exatamente como a fórmula de juros simples. Só precisamos substituir a nomenclatura, substituindo Capital por Valor Atual, Montante por Valor Nominal e juros por Desconto Racional. Comparando as duas fórmulas: Dr = A x i x t  J = C x i x t Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t (lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, precisamos apenas substituir a nomenclatura. Comparando as duas fórmulas: M = C (1+i x t) N = A (1+i x t) Passando os dados entre parênteses para o outro lado da igualdade, temos então: (1 )d N A i t    CALCULO DO VALOR DO DESCONTO CALCULO DO VALOR ATUAL r dD A i t   (1 )d N A i t   
  61. 61. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 58 Exemplo 3.4.2 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m Dados: N = 10.000,00 t = 3 meses id = 5% ao mês Como o valor do desconto depende do valor Atual que não foi fornecido pelo exercício, temos que calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto. (1 ) 10.000 (1 0,05 3) 10.000 (1 0,0 8.695 5 , 3) 65 d N A i t A A A           Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual. 10.000 8.695,65 1.304,35 r r D D    Similar ao desconto simples, porém iremos trocar a multiplicação da taxa pelo prazo pela potenciação. Também temos dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferença entre estas duas maneiras de cobrança de desconto é a mesma dos descontos simples comercial e racional. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO  Pouco utilizado no Brasil  Seu calculo é semelhante ao calculo de juros compostos  Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”  O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro) 3.5 DESCONTO COMPOSTO
  62. 62. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 59 FÓRMULAS: OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual Onde: DC = Desconto Comercial A = Valor Atual ou Valor Liquido N = Valor Nominal ou Valor de Face id = Taxa de desconto; t = Prazo. Para memorizar as fórmulas, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para o desconto simples, com a diferença de que, como aqui se tratam de juros compostos, o valor de t (prazo) não será multiplicado, mas usado como potência. Exemplo 3.5.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m Dados: N = 10.000,00 t = 2 meses id = 10% ao mês Existe uma fórmula que permite encontrar o valor do Desconto Comercial Composto a partir do valor Nominal do título. Mas o objetivo é minimizar ao máximo possível o numero de fórmulas para o aluno decorar. 2 (1 ) 10.000 (1 0,10) 10.000 8.100,0 0,81 0 t dA N i A A A         Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do Valor Atual. CALCULO DO VALOR DO DESCONTO CALCULO DO VALOR ATUAL (1 )t dA N i  
  63. 63. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 60 10.000 8.10 1.900,00 0c c D D    DESCONTO RACIONAL SIMPLES  É o desconto composto mais utilizado no Brasil  Também conhecido como desconto verdadeiro  Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”  O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)  Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título. FÓRMULAS: OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual Onde: Dr = Desconto Racional A = Valor Atual ou Valor Liquido N = Valor Nominal ou Valor de Face id = Taxa de desconto; t = Prazo. Para memorizar a fórmula, podemos aplicar o mesmo raciocínio utilizado no desconto simples, com a diferença de que, no caso do desconto composto, o prazo (t) se transforma em uma potência, pois os juros compostos se comportam de forma exponencial. Exemplo 3.5.2 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m Dados: N = 10.000,00 t = 2 meses id = 10% ao mês CALCULO DO VALOR DO DESCONTO CALCULO DO VALOR ATUAL (1 )t d N A i  
  64. 64. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 61 Calculando o valor atual teremos: 2 (1 ) 10.000 (1 0,10) 10.000 1,2 8.264 4 1 , 6 t d N A i A A A       Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual. 10.000 8.264,46 1.735,53 r r D D   
  65. 65. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 62 QUESTÕES FCC MÓDULO 3 1. (BB 2011/003 – MED) Faustino dispõe de R$ 22.500,00 e pretende aplicar esta quantia a juros simples, do seguinte modo: 3/5 do total à taxa mensal de 2,5% e, na mesma ocasião, o restante à taxa de 1,8% ao mês. Supondo que durante 8 meses sucessivos Faustino não faça qualquer retirada, ao término desse período o montante que ele obterá das duas aplicações será igual, em R$, a (A) 27.586,00 (B) 26.864,00 (C) 26.496,00 (D) 25.548,00 (E) 26.648,00 2. (BB 2006 – MED) Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i (i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal deste título é de (A) R$ 21 800,00 (B) R$ 22 000,00 (C) R$ 22 400,00 (D) R$ 22 800,00 (E) R$ 24 000,00 3. (SEFAZ - SP 2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ 21.780,00 (B) R$ 21.600,00 (C) R$ 20.702,00 (D) R$ 19.804,00 (E) R$ 19.602,00
  66. 66. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 63 4. (APOFP/SEFAZ-SP 2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a (A) 15 meses. (B) 16 meses. (C) 18 meses. (D) 20 meses. (E) 22 meses. 5. (APOFP/SEFAZ-SP – 2010) O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 20% (E) 24% 6. (APOFP/SEFAZ – 2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em (A) R$ 5.850,00 (B) R$ 6.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ 8.500,00 (E) R$ 10.000,00 7. (MPE-PE – 2012) Um empréstimo foi feito à taxa de juros de 12% ao ano. Se o valor emprestado foi de R$ 50.000,00 para pagamento em 30 anos, em
  67. 67. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 64 valores de hoje, o total de juros pagos por esse empréstimo, ao final dos 30 anos, corresponde ao valor emprestado multiplicado por: (A) 3,6 (B) 2,8 (C) 3,2 (D) 2,5 (E) 4,2 8. (BB 2011/002 - MED) O Banco CBA S.A. recomprou um CDB 60 dias antes do vencimento, cujo valor de resgate era de R$ 20.000,00, a uma taxa de 4% a.m.. O desconto obtido pelo banco no CDB foi (em R$) (A) 800,00 (B) 1.240,00 (C) 1.632,00 (D) 1.840,00 (E) 1.920,00 9. (MPU 2007) A taxa mensal de Desconto por Fora, a juros simples, que a empresa Insolvente Ltda. realizou em uma operação de desconto de 80 dias, de um título de R$ 2.400,00, na qual a empresa obteve R$ 1.800,00, foi de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 12,5000% (B) 25,0000% (C) 28,1250% (D) 32,3050% (E) 33,3333% 10. (BB 2011/002 - MED) A Empresa GiroLento S.A. descontou, na modalidade de desconto simples, uma duplicata de R$ 5.000,00 com vencimento em 15 dias, na sua emissão, a uma taxa de 3% a.m.. O valor líquido recebido pela empresa, considerando que a empresa de factoring não cobrou mais nenhuma despesa, foi (em R$) (A) 4.925,00
  68. 68. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 65 (B) 4.850,00 (C) 2.750,00 (D) 150,00 (E) 75,00 11. (MPU - 2007) A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ 22.500,00, aplicando R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por (A) 3 meses. (B) 6 meses. (C) 7 meses. (D) 9 meses. (E) 12 meses 12. (MPU 2006) A Empresa Gera Recursos S.A. necessita pagar seus compromissos mensais de R$ 2.250,00. Com uma disponibilidade de caixa de R$ 300.000,00, este recurso deve ser aplicado, para gerar o retorno desejado, à taxa mensal de (A) 7,5000% (B) 3,5000% (C) 0,3500% (D) 0,7500% (E) 0,0075% 13. (MPE-RS – 2008) Uma duplicata é descontada em um banco 45 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, apresentando um valor atual igual a R$ 20.055,00. Com a utilização de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de juros de 40% ao ano, o valor atual teria sido de R$ 20.000,00. Considerando o ano comercial em ambos os casos, a taxa de juros anual correspondente à operação de desconto comercial simples foi de (A) 36% (B) 48% (C) 24% (D) 45%
  69. 69. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 66 (E) 30% 14. (MP-RS 2008) Considere que em uma mesma data: I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante 15 meses. II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre, durante um ano. O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o valor do montante correspondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo aplicou no início foi de (A) R$ 12.500,00. (B) R$ 17.500,00. (C) R$ 16.500,00. (D) R$ 15.000,00. (E) R$ 16.200,00. 15. (SEFAZ/SP - 2009) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a (A) 12 meses. (B) 15 meses. (C) 18 meses. (D) 21 meses. (E) 24 meses. 16. (SEFAZ/SP - 2009) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias. I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples.
  70. 70. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 67 Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de (A) R$ 27.200,00 (B) R$ 27.800,00 (C) R$ 28.000,00 (D) R$ 28.160,00 (E) R$ 28.401,60 17. (SEFAZ/SP -2009) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 10.080,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00 18. (SEFIN/RO - 2010) Um título é descontado em um banco 45 dias antes de seu vencimento, considerando a convenção do mês comercial. A taxa de desconto utilizada pelo banco é de 3% ao mês. Caso a operação seja a do desconto racional simples, o valor presente do título é igual a R$ 40.000,00. Utilizando a operação do desconto comercial simples, o valor presente do título é (A) R$ 39.959,50 (B) R$ 39.919,00 (C) R$ 39.209,50 (D) R$ 38.949,00 (E) R$ 38.200,00
  71. 71. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 68 19. (SEFIN/RO - 2010) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a (A) R$ 5.000,00 (B) R$ 4.000,00 (C) R$ 3.000,00 (D) R$ 2.500,00 (E) R$ 2.000,00 20. (TRT 1ª REGIÃO - 2011) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12 800,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse capital deve ficar aplicado por um período de (A) 8 meses. (B) 10 meses. (C) 1 ano e 2 meses. (D) 1 ano e 5 meses. (E) 1 ano e 8 meses. 21. (TER/CE - 2009) Um capital de R$ 2 500,00 foi aplicado a juro simples e, ao final de 1 ano e 3 meses, o montante produzido era R$ 3 400,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de (A) 2,5%. (B) 2,4%. (C) 2,2%. (D) 1,8%. (E) 1,5%. 22. (TRF 4ª Região - 2010) Considere uma aplicação referente a um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Este mesmo capital aplicado a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante um certo período, apresenta o mesmo valor de juros que o da primeira aplicação. O
  72. 72. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 69 tempo de aplicação a que se refere o regime de capitalização simples é de, em meses, (A) 20. (B) 18. (C) 16. (D) 15. (E) 14. 23. (TRF 4ª Região – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de (A) 27%. (B) 24%. (C) 21%. (D) 18%. (E) 15%. 24. (RECEITA ESTADUAL/PB – 2006) Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu vencimento, um título de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa recebe na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$ 28.500,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de desconto comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$ 24.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, receberá (A) R$ 20.000,00 (B) R$ 21.000,00 (C) R$ 22.000,00 (D) R$ 22.200,00 (E) R$ 22.500,00 25. (RECEITA ESTADUAL/PB - 2006) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a
  73. 73. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 70 uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ 12.862,00 (B) R$ 12.750,00 (C) R$ 12.650,00 (D) R$ 12.550,00 (E) R$ 12.535,00 26. (RECEITA ESTADUAL/PB 2006) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é (A) R$ 7,50 (B) R$ 15,00 (C) R$ 22,50 (D) R$ 30,00 (E) R$ 37,50 27. (DNOCS - 2010) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de (A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00.
  74. 74. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 71 28. (TRT 18ª REGIÃO - 2008) Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de R$ 15.800,00 produza o montante de R$ 24.687,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de (A) 25% (B) 22,5% (C) 22% (D) 20% (E) 18,5% 29. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004 ) Uma duplicata, no valor nominal de R$ 1.800,00, foi resgatada antes do vencimento por R$ 1.170,00. Se a taxa de desconto comercial simples era de 2,5% ao mês, o tempo de antecipação foi de (A) 2 anos e 6 meses. (B) 2 anos e 4 meses. (C) 2 anos e 1 mês. (D) 1 ano e 6 meses. (E) 1 ano e 2 meses. 30. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Num mesmo dia, são aplicados a juros simples, 2/5 de um capital a 2,5% ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era (A) R$ 12 500,00 (B) R$ 12 750,00 (C) R$ 14 000,00 (D) R$ 14 500,00 (E) R$ 14 750,00 31. (TRT 3ª REGIÃO - 2009) João deseja tomar R$ 600,00 emprestados e ofereceu a um credor devolver essa quantia com mais 3% de juros ao final de um mês da data de empréstimo. O credor aceitou essa oferta, com a condição de que João, na hora do empréstimo, desembolsasse R$ 10,00 para pagamento de fotocópias de alguns documentos. Para João, dos números abaixo, o que mais se aproxima da taxa efetiva de juros dessa transação é
  75. 75. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br www.acasadoconcurseiro.com.br Página 72 (A) 3,42% (B) 3,76% (C) 4,20% (D) 4,51% (E) 4,74% 32. (TRT 15ª REGIÃO - 2009) Uma pessoa aplicou 2/3 de C reais à taxa mensal de 1,5% e, após 3 meses da data desta aplicação, aplicou o restante à taxa mensal de 2%. Considerando que as duas aplicações foram feitas em um regime simples de capitalização e que, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28.800,00, então o valor de C era (A) R$ 24 000,00 (B) R$ 24 200,00 (C) R$ 24 500,00 (D) R$ 22 800,00 (E) R$ 22 500,00 33. (BB 2010) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a (A) R$ 17.853,75. (B) R$ 17.192,50. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 15.870,00. (E) R$ 15.606,50. 34. (BB 2010) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de

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