Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 8 – Função Logarítmica
Amintas Paiva Afonso
LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
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xab =log ⇔ abx
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LogaritmosLogaritmos
xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
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LogaritmosLogaritmos
x=8log2
⇔ 82 =x
3=x
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xab =log
Base do logaritmoBase do logaritmo
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LogaritmosLogaritmos
Consequência da definiçãoConsequência da definição
01log1 =⇒ bP
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LogaritmosLogaritmos
Propriedades OperátóriasPropriedades Operátórias
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LogaritmosLogaritmos
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LogaritmosLogaritmos
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LogaritmosLogaritmos
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
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Função LogarítmicaFunção Logarítmica
DefiniçãoDefinição
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Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxf 2log=
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Função LogarítmicaFunção Logarítmica
( ) xxg
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Representação GráficaRepresentação Gráfica
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
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Crescente
10 << b...
Função ExponencialFunção Exponencial
x
y
1
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a ≠ 1
Ex:
y = 2 x
Ex:
y = (1/2 )x
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
x
y
1
y = loga x
a > 1
y = loga x
0 < a ≠ 1
y = log2 x
y = log1/2 x
Função InversaFunção Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
f(x) = ax
f -1
(x) = loga x
a > 1
Crescente
1
Função InversaFunção Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
1
f(x) = ax
f -1
(x) = loga x
0 < a ≠ 1
Decrescente
ExercícioExercício
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
inversa da funçã...
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) 53log2 =−x
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−= x
x=+ 332
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Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 295log 1 =−− xx
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Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx
03 >−x 3>⇒ x...
ExercícioExercício
(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão
( ) ...
ExercícioExercício
(UDESC 2006-1) Se , então o valor de(UDESC 2006-1) Se , então o valor de
x é:x é: 3
5
2loglog 88 =+ xx
...
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
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Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b
( ) ( )xgxf ≥
10 << b
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Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
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Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
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4
+ + ++ + +...
InversaInversa
Funções inversas
 De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo,
veremos que a escolha...
ExemploExemplo
Uma aplicação da função logarítmica
 A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da
energia liber...
ExemploExemplo
 Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:
 Onde:
Ms: magnitude na escala Richter;
...
ExemploExemplo
 Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude
A = 1000 µm e uma freqüência de 0,1 Hz. A ...
ExemploExemplo
O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no
século XX.
ExemploExemplo
Funções inversas
 A vida média do estrôncio-90 90
Sr, é de 25 anos. Isso significa que
a metade de qualque...
ExemploExemplo
Funções inversas
 Portanto, a função para este caso é:
 Como a função logarítmica inversa dessa função é:...
Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1,...
Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráf...
Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter
y = ...
Métodos de Cálculo I
Assíntotas
 Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se
pelo menos uma da...
Métodos de Cálculo I
Exemplos
−∞=
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)(lim xf
ax
x
y
x=a
Métodos de Cálculo I
 Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical
é a função logaritmo natural...
Métodos de Cálculo I
 Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex
tem o eixo x como
assíntota horizontal.
 Pa...
Exercícios
Responda
a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E
decrescente?
b) Qual o domínio? E qual a imagem de um...
Respostas
Decrescente se Crescente se
2y - 1
Exercícios
 O número de bactérias de uma cultura, t horas
após o início de certo experimento, é dado pela
expressão N = 1...
Exercícios
 Numa certa cultura, há 1000 bactérias num
determinado instante. Após 10 min, existem 4000.
Quantas bactérias ...
Exercícios
 Estima-se que a população de uma certa cidade
cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento
estimado para ...
Exercícios
 Resolva a equação 3x
= 5.
 Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva
a equação 52x
– 7 . 5x
+ 12 =...
Exercícios
 Sabemos que o número de bactérias numa
cultura, depois de um tempo t, é dado por N =
N0.er.t
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Exercícios
 Em quantos anos 500g de uma substância
radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3%
ao ano, se reduzirão a ...
Exercícios
 Segundo o Banco Mundial, a previsão do
crescimento demográfico na América Latina, no
período de 2004 à 2020, ...
Exercícios
 Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de
aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em
quantos meses essa ...
Exercícios
 O dono de uma concessionária de veículos usa a
expressão V = 40 000.(0,96)t
para calcular, em
reais, o valor ...
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  1. 1. Ensino Superior Matemática Básica Unidade 8 – Função Logarítmica Amintas Paiva Afonso
  2. 2. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo 0>a 01 >≠ b Condição de ExistênciaCondição de Existência
  3. 3. xab =log ⇔ abx = LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
  4. 4. LogaritmosLogaritmos x=8log2 ⇔ 82 =x 3=x 8log2 38log2 = xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
  5. 5. LogaritmosLogaritmos Consequência da definiçãoConsequência da definição 01log1 =⇒ bP 1log2 =⇒ bP b nbP n b =⇒ log3 cacaP bb =⇔=⇒ loglog4 abP ab =⇒ log 5
  6. 6. LogaritmosLogaritmos Propriedades OperátóriasPropriedades Operátórias ( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒ ba b a P ccc logloglog2 −=      ⇒ ( ) anaP b n b loglog3 ⋅=⇒
  7. 7. LogaritmosLogaritmos Mudança de BaseMudança de Base b a a c c b log log log = ba b a a cc c c b loglog log log log −≠=
  8. 8. LogaritmosLogaritmos (UDESC 2006-1) Se , e ,(UDESC 2006-1) Se , e , pode-se afirmar que:pode-se afirmar que: 3log =ba 4log =ca x c b a =log x c b a =log cb c b aaa logloglog −= 43log −= c b a 1log −= c b a c b a =−1 b c a =
  9. 9. LogaritmosLogaritmos (UDESC 2007-2) A expressão que representa a(UDESC 2007-2) A expressão que representa a solução da equação 11solução da equação 11xx – 130 = 0 é:– 130 = 0 é: 130 11x log= 11 130x log= 130 11 log x = 130 11 x log   =  ÷   11 130x log= a) b) c) d) e) b c log a c b a= → = 11 130x = 130 11 a b c x = = = 11 130log x= 11 130x log=
  10. 10. Função LogarítmicaFunção Logarítmica DefiniçãoDefinição RRf →+ * : ( ) xxf blog= * +RDomínioDomínio ( ) Rf =Im ImagemImagem R ( ) * += RfD
  11. 11. Função LogarítmicaFunção Logarítmica Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxf 2log= 1 x y 1 2 1− 2 1 0
  12. 12. Função LogarítmicaFunção Logarítmica ( ) xxg 2 1log= 1 2 x y 1− 1 0 Representação GráficaRepresentação Gráfica
  13. 13. Função LogarítmicaFunção Logarítmica ( ) xxg 2 1log= 1 2 x y 1− 1 1 x y 1 2 1− 2 1 0 0 ( ) xxf 2log= 1>b Crescente 10 << b eDecrescent Representação GráficaRepresentação Gráfica
  14. 14. Função ExponencialFunção Exponencial x y 1 y = ax a > 1 y = ax 0 < a ≠ 1 Ex: y = 2 x Ex: y = (1/2 )x
  15. 15. Função LogarítmicaFunção Logarítmica x y 1 y = loga x a > 1 y = loga x 0 < a ≠ 1 y = log2 x y = log1/2 x
  16. 16. Função InversaFunção Inversa x y 1 y = loga x y = ax y = x f(x) = ax f -1 (x) = loga x a > 1 Crescente 1
  17. 17. Função InversaFunção Inversa x y 1 y = loga x y = ax y = x 1 f(x) = ax f -1 (x) = loga x 0 < a ≠ 1 Decrescente
  18. 18. ExercícioExercício (UDESC 2007-2) A expressão que representa a(UDESC 2007-2) A expressão que representa a inversa da funçãoinversa da função ( ) ( )3 1f x log x= + é:é: ( )1 3 1x f x− = + ( )1 3 1x f x− = − ( )1 3 1f x x− = − ( ) ( )1 3 1 x f x− = − ( ) ( )1 1 3x f x log + − = a) b) c) d) e) ( )3 1y log x= + 3 1 3 1 3 1 y x x x y y = + = + − = ( )1 3 1x f x− = −
  19. 19. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) 53log2 =−x 325 −= x x=+ 332 35=x 03 >−x 3>x { }35=S
  20. 20. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) ( ) 295log 1 =−− xx ( ) 951 2 −=− xx 95122 −=+− xxx 095 >−x 5 9 >⇒ x 01>−x 1>⇒ x 11≠−x 2≠⇒ x 01072 =+− xx 21 =x 51 =x { }5=S
  21. 21. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx 03 >−x 3>⇒ x 04 >+x 4−>⇒ x 41 =x 3>⇒ x { }4=S ( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx 8122 =−+ xx 0202 =−+ xx 52 −=x 0202 =−+ xx
  22. 22. ExercícioExercício (UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão ( ) 25log 2 4 1 −=−x ( )2 2 5 4 1 −=      − x 05 >−x 9=x verdadeira é:verdadeira é: ( ) 25log 2 4 1 −=−x 251016 2 +−= xx 9102 +− xx 11 =x 92 =x 5>x C.EC.E
  23. 23. ExercícioExercício (UDESC 2006-1) Se , então o valor de(UDESC 2006-1) Se , então o valor de x é:x é: 3 5 2loglog 88 =+ xx 23 5 28 x= 3 5 2loglog 88 =+ xx ( ) 3 5 2log8 =⋅ xx ( ) 23 5 3 22 x= 25 22 x= 2 16 x= 2 232 x= 4±=x 0>x C.EC.E 4=x
  24. 24. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( )xgxf bb loglog ≥ 1>b ( ) ( )xgxf ≥ 10 << b ( ) ( )xgxf ≤ ( ) 5log3log 22 >−x 53 >−x 8>x 03 >−x C.EC.E 3>x { }3/ >∈= xRxS ] [+∞= ,3S
  25. 25. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( )xgxf bb loglog ≥ 1>b ( ) ( )xgxf ≥ 10 << b ( ) ( )xgxf ≤ ( ) ( )2log82log 3 2 3 2 −<− xx 282 −>− xx 6>x 082 >−x C.EC.E 4>x 02 >−x 2>x I II 4>=∩ xIII
  26. 26. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx 8122 <−+ xx ( ) ( ) 3 22 2log43log <+⋅− xx ( ) ( ) 3 22 2log43log <+⋅− xx 0202 <−+ xx 51 −=x 42 =x x5− – – – – – –– – – – – – + + ++ + + 4 + + ++ + + 45 <<− x
  27. 27. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx x5− – – – – – –– – – – – – + + ++ + + 4 + + ++ + + 45 <<− x 03 >−x C.EC.E 3>x 04 >+x 4−>x 3>∴x { }43/ <<∈= xRxS 0202 <−+ xx
  28. 28. InversaInversa Funções inversas  De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo, veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.  A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax . Seu gráfico é a reflexão de y = ax com relação a reta y = x.  Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é uma função de crescimento muito lento.
  29. 29. ExemploExemplo Uma aplicação da função logarítmica  A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o logaritmo decimal;  Os valores desta escala são chamados de magnitudes;  Durante um terremoto um sismógrafo registra essa magnitude durante um certo intervalo de tempo;
  30. 30. ExemploExemplo  Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:  Onde: Ms: magnitude na escala Richter; A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros); f: freqüência da onda (medida em hertz). 30,3).(log10 += fAMs
  31. 31. ExemploExemplo  Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude A = 1000 µm e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse terremoto é:  Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a destruição total das construções de uma grande cidade.  Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.  O valor acima é considerado moderado. 33,5 30,32 30,3100log 30,3)1,0.1000(log 30,3).(log 10 10 10 = += += += += s s s s s M M M M fAM
  32. 32. ExemploExemplo O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no século XX.
  33. 33. ExemploExemplo Funções inversas  A vida média do estrôncio-90 90 Sr, é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer quantidade de 90 Sr vai se desintegrar em 25 anos.  Considere que uma amostra de 90 Sr tem uma massa de 24 mg. Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, então: )24.(2)24.( 2 1 ....)( )24( 2 1 )24( 2 1 . 2 1 )50( 2 1 )75( )24( 2 1 )24( 2 1 . 2 1 )25( 2 1 )50( )24( 2 1 )0( 2 1 )25( 24)0( 25 25 32 2 t t tm mm mm mm m − === === === == =
  34. 34. ExemploExemplo Funções inversas  Portanto, a função para este caso é:  Como a função logarítmica inversa dessa função é:  Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5 mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula: 25 2.24)( t tm − = )ln24(ln 2ln 25 )(1 mmf −=− anosf f mmf 6,56 693,0 225,39 693,0 )609,1178,3.(25 )5( )5ln24(ln 2ln 25 )5( )ln24(ln 2ln 25 )( 1 1 1 ≅= − = −= −= − − −
  35. 35. Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,∞) tendo o eixo y como assíntota vertical. 1) Construir o gráfico de y = lnx; -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -4 -2 0 2 4
  36. 36. Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos 2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico y = ln(x-2);
  37. 37. Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos 3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter y = ln(x - 2) -1;
  38. 38. Métodos de Cálculo I Assíntotas  Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: ∞= → )(lim xf ax ∞=− → )(lim xf ax ∞=+ → )(lim xf ax −∞= → )(lim xf ax −∞=− → )(lim xf ax −∞=+ → )(lim xf ax
  39. 39. Métodos de Cálculo I Exemplos −∞= → )(lim xf ax x y x=a
  40. 40. Métodos de Cálculo I  Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical é a função logaritmo natural y=lnx.  O eixo y funciona como uma assíntota. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -4 -2 0 2 4 −∞=+ → )(lim 0 xf x
  41. 41. Métodos de Cálculo I  Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como assíntota horizontal.  Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando x → 0- , t →- ∞, portanto: 0lim = −∞→ x x e 0lim = −∞→ x x e 0limlim 1 0 == −∞→→ − t t x x ee
  42. 42. Exercícios
  43. 43. Responda a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E decrescente? b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica? c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função logarítmica? d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?
  44. 44. Respostas Decrescente se Crescente se 2y - 1
  45. 45. Exercícios  O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N = 1200.20,4.t . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?
  46. 46. Exercícios  Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt , em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?
  47. 47. Exercícios  Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento estimado para um período de 24 anos?
  48. 48. Exercícios  Resolva a equação 3x = 5.  Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
  49. 49. Exercícios  Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N = N0.er.t , em que é o número inicial (quando t = 0) e r a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa decrescimento é de 5% ao minuto?
  50. 50. Exercícios  Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-r.t , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
  51. 51. Exercícios  Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
  52. 52. Exercícios  Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1.300,00? Use uma calculadora para fazer os cálculos.
  53. 53. Exercícios  O dono de uma concessionária de veículos usa a expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t anos de uso. Para o cálculo do valor de um automóvel de outra marca, é usada a expressão V1 = 50000.(0.9)t . Usando logaritmos, determine após quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de mercado.

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