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Noções básicas de computação
                     – Sistemas de Numeração




Profª Jocelma Rios
Mar/2012
O que pretendemos hoje:
●   Contar um pouco sobre a origem dos números e
    dos sistemas de numeração
●   Apresentar alguns sistemas de numeração
    utilizados no passado e atualmente
●   Mostrar as possibilidades de conversão entre
    os sistemas de numeração vinculados à
    computação
●   Refletir sobre a relação entre os sistemas
    de numeração estudados e o processamento
    computacional
A origem dos números

Na pré- história, será
que os homens já
contavam?
A origem dos números

●   Para descobrir sobre a origem dos números,
    precisamos conhecer um pouco da história
    humana, que pode ser feito através de:
       –   estudo das ruínas de antigas civilizações
       –   estudo de fósseis
       –   estudo da linguagem escrita
       –   avaliação do comportamento de diversos
             grupos étnicos desde o princípio dos
             tempos
A origem dos números

A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das atividades humanas,
voltadas para sua “civilização”, quando o
homem foi deixando de ser pescador e coletor
de alimentos para fixar-se no solo
O homem começou a produzir alimentos,
construir casas e domesticar animais,
aproveitando-se dos mesmos através do uso da
lã e do leite, tornando-se criador e
desenvolvendo o pastoreio... tudo isso
trouxe profundas modificações na vida humana
A origem dos números

Olhando ao redor, podemos observar como é
     grande a presença dos números...
A origem dos números

●   As primeiras formas de agricultura de que se
    tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10
    mil anos na região que hoje fica o Oriente
    Médio


●   A agricultura passou a exigir o conhecimento
    do tempo, das estações do ano e das fases da
    Lua, e assim começaram a surgir as primeiras
    formas de calendário
A origem dos números

No pastoreio, o pastor usava várias formas
para controlar o seu rebanho. Pela manhã,
ele soltava os seus carneiros e analisava ao
final da tarde se algum tinha sido roubado,
fugido, se perdido do rebanho ou se havia
sido acrescentado um novo carneiro ao
rebanho.
Assim, eles tinham a correspondência um a
um, onde cada carneiro correspondia a uma
pedrinha que era armazenada em um saco.
A origem dos números

No caso das pedrinhas, cada animal que saía
para o pasto de manhã correspondia a uma
pedra que era guardada em um saco de couro.
No final do dia, quando os animais voltavam
do pasto, era feita a correspondência
inversa, onde, para cada animal que
retornava, era retirada uma pedra do saco.
Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é
porque faltava algum dos animais, e se algum
fosse acrescentado ao rebanho, era só
acrescentar mais uma pedra.
A origem dos números

●   A palavra que usamos hoje, cálculo, é
    derivada da palavra latina calculus, que
    significa “pedrinha”
●   A correspondência
    unidade a unidade não
    era feita somente com
    pedras, mas eram usados
    também nós em cordas,
    marcas nas paredes,
    talhes em ossos,
    desenhos nas cavernas e
    outros tipos de marcação
Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades
foram representadas por expressões,
gestos, palavras e símbolos, sendo
que cada povo tinha a sua maneira
de representação
A faculdade humana natural de
reconhecimento imediato de
quantidades se resume a,
no máximo, quatro elementos
O senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um
atributo exclusivamente humano que
necessita de um processo mental
Numeração egípcia

Os egípcios usavam um sistema de agrupamento
            simples, com base 10.
Numeração Maia
Senso numérico

   ●   Este senso numérico que é a faculdade que
       permite reconhecer que alguma coisa mudou em
       uma pequena coleção quando, sem seu
       conhecimento direto, um objeto foi tirado ou
       adicionado, à coleção
   ●   O senso numérico não pode ser confundido com
       contagem, que é um atributo exclusivamente
       humano que necessita de um processo mental


  "Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo
quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números."
           História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.
Senso numérico

Temos também alguns animais, ditos irracionais,
como os rouxinóis e os corvos, que possuem este
senso numérico onde reconhecem quantidades
concretas que vão de um até três ou quatro
unidades


Existe um exemplo célebre sobre um corvo que
tinha capacidade de reconhecer quantidade...
Um corvo que sabia contar...
Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que
fez seu ninho na torre de observação de sua
mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o
pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o
corvo saía do ninho.
Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro,
mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía
do ninho.
De uma árvore distante, ele esperava atentamente
até que o homem saísse da torre e só então voltava
ao ninho.
Um corvo que sabia contar...

Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2
homens entraram na torre, um ficou dentro e o
outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi
enganado: manteve-se afastado até que o outro
homem saísse da torre. A experiência foi repetida
nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda sem
sucesso.
Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes,
todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro
enquanto os outros quatro saíam e se afastavam.
Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de
distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao
ninho e foi surpreendido.
Sistema de numeração egípcio

●   Um dos sistemas de numeração mais antigos que
    se tem notícia é o egípcio. É um sistema de
    numeração de base dez e era composto pelos
    seguintes símbolos numéricos:
Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html



           Sistema de numeração egípcio
       ●   Algumas das primeiras formas de contagem foram
           utilizadas com as partes do corpo humano, sendo
           que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a
           contar até o número 33
Sistema de numeração babilônico
●   Outro sistema de numeração muito importante
    foi o da Babilônia, criado há,
    aproximadamente, 4 mil anos
Sistema de numeração indo-
                     arábico
      ●   Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia,
          há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde
          hoje é o Paquistão


      ●   O primeiro número inventado foi o 1 e ele
          significava o homem e sua unicidade; o
          segundo número 2, significava a mulher da
          família, a dualidade; e o número 3
          significava muitos, multidão



Saiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
Sistema de numeração hindu
●   Evolução aos longo da história
Sistema de numeração -
      comparativo
Ábaco
   ●   Antigo instrumento de cálculo, formado por uma
       moldura com bastões ou arames paralelos,
       dispostos no sentido vertical, correspondentes
       cada um a uma posição digital (unidades,
       dezenas,...) e nos quais estão os elementos de
       contagem que podem fazer-se deslizar livremente
   ●   Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há
       mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também
       serem apontados como seus inventores
   ●   Emprega um processo de cálculo com
       sistema decimal, atribuindo a cada
       haste um múltiplo de dez

Saiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco
Ábaco

●   No princípio, os sistemas de
    numeração não facilitavam os
    cálculos, logo, um dos
    instrumentos utilizados para
    facilitar os cálculos foi o
    ábaco muito usado por diversas
    civilizações orientais e
    ocidentais
●   No Japão, o ábaco é chamado de
    soroban e na China de suánpan,
    que significa bandeja de
    calcular
Sistemas de numeração

●   Como existem infinitas quantidades, não é
    possível criar um símbolo para cada uma.
    Assim, para resolver este problema, foram
    desenvolvidos os sistemas de numeração
●   Portanto, um sistema de numeração é um conjunto
    finito de símbolos somado a uma lei de formação
    que permite representar qualquer quantidade
●   Podem ser classificados em:
       –   Sistemas de Numeração Posicionais
       –   Sistemas de Numeração Não Posicionais
Sistema de numeração não-
              posicional
●   Neles, cada símbolo, independente da
    posição, representa um único valor, como é o
    caso do sistema romano
                            É composto de um
                              conjunto de sete
                              símbolos {I,V,L,C,D,M}
                              capazes de representar
                              uma grande variedade
                              de números, com base
                              numa lei de formação,
                              porém não é possível
                              representar qualquer
                              quantidade como o zero
                              por exemplo
Sistema de numeração não-
              posicional
●   Sistema romano
       –   é dito não-posicional...por exemplo, IV e
             VI representam 4 e 6 respectivamente,
             contudo I e V representam 1 e 5 em ambos
             os numerais
       –    No número XX, vinte em decimal, o valor
             do dígito X à esquerda é o mesmo daquele
             à direita. Neste caso, a representação é
             aditiva, com X representando a quantidade
             decimal 10, e com a combinação XX
             associada a 10+10=20. Por outro lado, em
             IX (nove em decimal) a representação é
             subtrativa
Sistemas de numeração posicional

●   Nos sistemas de   numeração posicional, o valor
                                posicional
    do dígito em um   número depende da posição que
    ele ocupa neste   mesmo número
       –   1989 = 1000 + 900 + 80 + 9
       –   1989 =   1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100
●   Há um peso para cada posição ocupada pelo
    dígito
●   Os pesos crescem para esquerda na parte inteira
    e decrescem para a direita na parte fracionária
       –   1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1
Sistemas de numeração posicional
●   A representação posicional fornece uma forma
    simplificada para a escrita de números e permite
    a representação de qualquer número com um
    alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de
    dígitos
Bases de sistemas de numeração
●   A base de um sistema é a quantidade de
    algarismos disponível na representação
●   A base 10 é hoje a mais usualmente empregada,
    embora não seja a única utilizada
●   No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma
    grosa de parafusos (base 12) e também marcamos
    o tempo em minutos e segundos (base 60)
●   Os computadores utilizam a base 2 (sistema
    binário) e os programadores, por facilidade,
    usam em geral uma base que seja uma potência de
    2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou
    eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal
Bases de sistemas de numeração

●   Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a
    representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
    e 9
●   Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1
●   Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais
    estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D,
    E e F, representando respectivamente 10, 11, 12,
    13, 14 e 15 unidades
●   Generalizando, temos que uma base b qualquer
    disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1)
Bases de sistemas de numeração
              posicional
●   Sistema Decimal → Base 10
         → alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
●   Sistema Binário → Base 2
         → alfabeto {0, 1}
●   Sistema Octal → Base 8
         → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
●   Sistema Hexadecimal → Base 16
         → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,
           F}
Bases de sistemas de numeração
          posicional
Conversão de base
        Passagem de uma Base R para a base Z
●   Consiste em decompor o número de acordo com a
    estrutura posicional, usando operações de
    produtos, divisão e somas
●   Para facilitar o cálculo das operações de
    conversão de base, vale a pena relembrar as
    potências das bases numéricas mais utilizadas
    na teoria da computação
       –   2
       –   10
       –   8
       –   16
Conversão de base

●   Potência de 2:       ●   Potência de 8:

        20       1             80         1
        21       2             81         8
        22       4             82         64
        23       8             83        512
        24       16            84       4.096
        25       32            85       32768
        26       64            86      262.144

        2   7
                128            87     2.097.152

        2   8
                256            88     16.777.216
                               89    134.217.728
        2   9
                512
         10                    810   10.73.741.824
        2       1.024
Conversão de base

●   Potência de 10:             ●   Potência de 16:

        100          1                160          1
        101         10                161          16
        102         100               162         256
        103        1.000              163        4.096
        104       10.000              164        65.536
        105       100.000             165      1.048.576
        106      1.000.000            166      16.777.216
        107     10.000.000            167     268.435.456
        108     100.000.000           168    4.294.967.296
        109    1.000.000.000          169    68.719.476.736
        1010   10.000.000.000        1610   1.099.511.627.776
Conversão de base

       Passagem de uma Base R para a base 10
●   Converte-se a base e cada dígito do número para
    o equivalente decimal
●   Decompõe-se o número de acordo com a estrutura
    posicional e, usando aritmética decimal,
    efetua-se as operações de produtos e somas
    Notação: (...)R ler como o número do parêntesis
                   expresso na base R
       –   (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13
       –   (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688
Conversão de base
      Passagem de uma Base 2 para base 10
●   Basta multiplicar cada dígito pela potência e
    10 correspondente a sua posição
Conversão de base
     Passagem de uma Base 16 para base 10
●   Basta multiplicar cada dígito pela potência e
    16 correspondente a sua posição
Conversão de base

    Passagem de uma Base 10 para a base R
●   Parte inteira: algoritmo da divisão repetida
●   Divide-se o inteiro decimal repetidamente
    pela base R até que se obtenha um quociente
    inteiro igual a zero
●   Os restos das divisões sucessivas, lidos do
    último para o primeiro, constituem o número
    transformado para a base R
         (341)10 = (2331)5
Conversão de base
      Passagem de uma Base 10 para base 2
●   Basta dividir o número repetidas vezes por 2,
    até que não seja mais possível efetuar a
    divisão para obter número maior ou igual a 1
Conversão de base
     Passagem de uma Base 10 para base 16
●   Basta dividir o número repetidas vezes por 16,
    até que não seja mais possível efetuar a
    divisão para obter número maior ou igual a 1
Conversão de base

    Passagem de uma Base 10 para a base R
●   Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação
    repetida
●   A parte fracionária é multiplicada por R. A
    parte inteira desse produto é guardada e a
    parte fracionária é novamente multiplicada por
    R. O processo é repetido até que se obtenha um
    número com parte fracionária nula ou até que se
    considere a aproximação suficiente.
●   As partes inteiras dos produtos sucessivos,
    lidas da primeira para a última, formam a parte
    fracionária do número transformado
Conversão de base

    Passagem de uma Base R para a base 10
●   Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação
    repetida
●   Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2
       –   0,4375*2 = 0,8750
       –   0,8750*2 = 1,7500
       –   0,7500*2 = 1,1500
       –   0,5000*2 = 1,0000


           resultado → 0,01112
Conversão de base

      Passagem de uma Base 2 para base de
           potência 2 (8 ou 16 p.ex.)
●   A base para a qual se quer a transformação é
    expressa no formato 2n
       –   Se essa base for 8, por exemplo, o valor
             de “n” é 3 porque 8 = 23
●   Formam-se grupos, a partir da direita do número
    binário, contendo uma quantidade de dígitos
    igual ao número “n”. Esses grupos de “n”
    dígitos são lidos e representados como os
    dígitos do sistema para o qual se quer a
    transformação.
Para refletir...

    Por que o sistema de
  numeração hexadecimal é
também largamente utilizado
    na computação, se os
 computadores só conseguem
     compreender 0 e 1?
Referências

●   BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão
    abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.
●   Gongora, Miriam; SODRÉ, Ulysses. Introdução sobre
    a origem dos números. Disponível em: <
    http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm>.
    Acesso em: 01 ago 2011.

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Sistemas de numeração

  • 1. Noções básicas de computação – Sistemas de Numeração Profª Jocelma Rios Mar/2012
  • 2. O que pretendemos hoje: ● Contar um pouco sobre a origem dos números e dos sistemas de numeração ● Apresentar alguns sistemas de numeração utilizados no passado e atualmente ● Mostrar as possibilidades de conversão entre os sistemas de numeração vinculados à computação ● Refletir sobre a relação entre os sistemas de numeração estudados e o processamento computacional
  • 3. A origem dos números Na pré- história, será que os homens já contavam?
  • 4. A origem dos números ● Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos conhecer um pouco da história humana, que pode ser feito através de: – estudo das ruínas de antigas civilizações – estudo de fósseis – estudo da linguagem escrita – avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos
  • 5. A origem dos números A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, voltadas para sua “civilização”, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo O homem começou a produzir alimentos, construir casas e domesticar animais, aproveitando-se dos mesmos através do uso da lã e do leite, tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio... tudo isso trouxe profundas modificações na vida humana
  • 6. A origem dos números Olhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números...
  • 7. A origem dos números ● As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10 mil anos na região que hoje fica o Oriente Médio ● A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua, e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário
  • 8. A origem dos números No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim, eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
  • 9. A origem dos números No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais, e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra.
  • 10. A origem dos números ● A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa “pedrinha” ● A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação
  • 11. Representação numérica Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental
  • 12. Numeração egípcia Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.
  • 14. Senso numérico ● Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção ● O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental "Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.
  • 15. Senso numérico Temos também alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidade...
  • 16. Um corvo que sabia contar... Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho.
  • 17. Um corvo que sabia contar... Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2 homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao ninho e foi surpreendido.
  • 18. Sistema de numeração egípcio ● Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
  • 19. Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html Sistema de numeração egípcio ● Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33
  • 20. Sistema de numeração babilônico ● Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado há, aproximadamente, 4 mil anos
  • 21. Sistema de numeração indo- arábico ● Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão ● O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade; o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade; e o número 3 significava muitos, multidão Saiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
  • 22. Sistema de numeração hindu ● Evolução aos longo da história
  • 23. Sistema de numeração - comparativo
  • 24. Ábaco ● Antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem que podem fazer-se deslizar livremente ● Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também serem apontados como seus inventores ● Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez Saiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco
  • 25. Ábaco ● No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais ● No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular
  • 26. Sistemas de numeração ● Como existem infinitas quantidades, não é possível criar um símbolo para cada uma. Assim, para resolver este problema, foram desenvolvidos os sistemas de numeração ● Portanto, um sistema de numeração é um conjunto finito de símbolos somado a uma lei de formação que permite representar qualquer quantidade ● Podem ser classificados em: – Sistemas de Numeração Posicionais – Sistemas de Numeração Não Posicionais
  • 27. Sistema de numeração não- posicional ● Neles, cada símbolo, independente da posição, representa um único valor, como é o caso do sistema romano É composto de um conjunto de sete símbolos {I,V,L,C,D,M} capazes de representar uma grande variedade de números, com base numa lei de formação, porém não é possível representar qualquer quantidade como o zero por exemplo
  • 28. Sistema de numeração não- posicional ● Sistema romano – é dito não-posicional...por exemplo, IV e VI representam 4 e 6 respectivamente, contudo I e V representam 1 e 5 em ambos os numerais – No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso, a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado, em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa
  • 29. Sistemas de numeração posicional ● Nos sistemas de numeração posicional, o valor posicional do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número – 1989 = 1000 + 900 + 80 + 9 – 1989 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 ● Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito ● Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária – 1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1
  • 30. Sistemas de numeração posicional ● A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos
  • 31. Bases de sistemas de numeração ● A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação ● A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada ● No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60) ● Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal
  • 32. Bases de sistemas de numeração ● Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ● Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1 ● Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades ● Generalizando, temos que uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1)
  • 33. Bases de sistemas de numeração posicional ● Sistema Decimal → Base 10 → alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ● Sistema Binário → Base 2 → alfabeto {0, 1} ● Sistema Octal → Base 8 → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ● Sistema Hexadecimal → Base 16 → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
  • 34. Bases de sistemas de numeração posicional
  • 35. Conversão de base Passagem de uma Base R para a base Z ● Consiste em decompor o número de acordo com a estrutura posicional, usando operações de produtos, divisão e somas ● Para facilitar o cálculo das operações de conversão de base, vale a pena relembrar as potências das bases numéricas mais utilizadas na teoria da computação – 2 – 10 – 8 – 16
  • 36. Conversão de base ● Potência de 2: ● Potência de 8: 20 1 80 1 21 2 81 8 22 4 82 64 23 8 83 512 24 16 84 4.096 25 32 85 32768 26 64 86 262.144 2 7 128 87 2.097.152 2 8 256 88 16.777.216 89 134.217.728 2 9 512 10 810 10.73.741.824 2 1.024
  • 37. Conversão de base ● Potência de 10: ● Potência de 16: 100 1 160 1 101 10 161 16 102 100 162 256 103 1.000 163 4.096 104 10.000 164 65.536 105 100.000 165 1.048.576 106 1.000.000 166 16.777.216 107 10.000.000 167 268.435.456 108 100.000.000 168 4.294.967.296 109 1.000.000.000 169 68.719.476.736 1010 10.000.000.000 1610 1.099.511.627.776
  • 38. Conversão de base Passagem de uma Base R para a base 10 ● Converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal ● Decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetua-se as operações de produtos e somas Notação: (...)R ler como o número do parêntesis expresso na base R – (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13 – (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688
  • 39. Conversão de base Passagem de uma Base 2 para base 10 ● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 10 correspondente a sua posição
  • 40. Conversão de base Passagem de uma Base 16 para base 10 ● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 16 correspondente a sua posição
  • 41. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R ● Parte inteira: algoritmo da divisão repetida ● Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero ● Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R (341)10 = (2331)5
  • 42. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para base 2 ● Basta dividir o número repetidas vezes por 2, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1
  • 43. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para base 16 ● Basta dividir o número repetidas vezes por 16, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1
  • 44. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R ● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida ● A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente. ● As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado
  • 45. Conversão de base Passagem de uma Base R para a base 10 ● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida ● Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2 – 0,4375*2 = 0,8750 – 0,8750*2 = 1,7500 – 0,7500*2 = 1,1500 – 0,5000*2 = 1,0000 resultado → 0,01112
  • 46. Conversão de base Passagem de uma Base 2 para base de potência 2 (8 ou 16 p.ex.) ● A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n – Se essa base for 8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23 ● Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.
  • 47. Para refletir... Por que o sistema de numeração hexadecimal é também largamente utilizado na computação, se os computadores só conseguem compreender 0 e 1?
  • 48. Referências ● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005. ● Gongora, Miriam; SODRÉ, Ulysses. Introdução sobre a origem dos números. Disponível em: < http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm>. Acesso em: 01 ago 2011.