1. Varietats lineals a l’espai Segon de batxillerat
Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner
I Definicions
I.1 Recta
Donats un punt P ∈ » 3 i un vector no nul z
u ∈ V3 s’anomena recta que conté el
Q
punt P (o que passa pel punt P ) i té
la direcció del vector u (o vector u
P
r
director u ) el conjunt: y
{
r = Q ∈ »3 PQ = α · u }
Equival a dir que PQ i u són linealment x
{
dependents (és a dir rang PQ , u = 1 ). }
Una recta també s’anomena varietat lineal de dimensió 1.
Qualsevol vector no nul que tingui la mateixa direcció que u també és vector director
de la recta.
I.2 Pla
Donats un punt P ∈ » 3 i dos vectors no z
nuls u i v de V3 linealment indepen- Q
dents, s’anomena pla que conté el punt v
P (o que passa pel punt P ) i té la u
direcció dels vectors u i v (o vectors P
Π y
directors u i v ) el conjunt:
{
Π = Q ∈ »3 PQ = α · u + β · v } x
Equival a dir que PQ , u i v són linealment dependents (és a dir
{ }
rang PQ , u , v = 2 ).
Un pla també s’anomena varietat lineal de dimensió 2.
Qualsevol parella de vectors no nuls linealment independents que siguin combinació
lineal de u i v també són vectors directors del pla.
2. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
2
II Equacions d’una varietat lineal
II.1 Equacions d’un pla
Sigui Π el pla que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vectors directors u = (u1 , u 2 , u 3 ) i
v = (v1 , v 2 , v3 ) .
Equació vectorial: ( x , y , z) = P + α u + β v α ∈» , β ∈»
En forma analítica:
( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) + β · ( v1 , v2 , v3 ) α ∈» , β ∈»
x = p1 + α u1 + β v1
Equacions paramètriques: y = p2 + α u2 + β v2
z = p +α u + β v
3 3 3
x − p1 u1 v1
( )
Equació general ( o implícita o cartesiana): y − p2 u2 v2 = 0 *
z − p3 u3 v3
Desenvolupant el determinant s’obté una igualtat de la forma:
Ax + By + Cz + D = 0
El vector n = ( A , B , C ) té la mateixa
direcció que el producte vectorial dels n = ( A, B , C)
vectors directors: n = k · u ∧ v . ( )
Per tant, és ortogonal als vectors directors; v
s’anomena vector normal associat al pla
u
o vector característic del pla. Π
Pas d’una equació a una altra
( )
De paramètriques a general: Només cal desenvolupar la igualtat * anterior.
De general a paramètriques: Cal resoldre l’equació aïllant-ne les variables.
3. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
3
2
x = 4 + 3 α − 2β
12 + 2 y − 6 z
Exemple: 3 x − 2 y + 6 z − 12 = 0 ⇔ x = ⇔ y = α
3 z =β
És un pla que passa per P = (4, 0, 0) i té vectors directors:
u = ( 2 / 3, 1, 0) ) , v = (− 2, 0, 1)
II.2 Equacions d’una recta
Sigui r la recta que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vector director u = (u1 , u 2 , u 3 )
Equació vectorial: ( x , y , z) = P + α u α ∈»
En forma analítica: ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) α ∈»
x = p1 + α u1
Equacions paramètriques: y = p2 + α u2
z = p +α u
3 3
x − p1 y − p2 z − p3
Equacions contínues: = = (sempre que els denominadors no
u1 u2 u3
siguin nuls).
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Equacions implícites: (suposant que el sistema sigui
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
compatible indeterminat). Els punts de la recta són les solucions del sistema, és a dir
els punts en què es tallen els plans representats per les dues equacions.
Observació: El vector u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) és vector director de la recta.
Pas d’una equació a una altra
De contínues a implícites: Només cal separar les dues igualtats i formar un sistema.
x−3 y
x−3 y 2 = −3
−3( x − 3) = 2 y −3 x − 2 y + 9 = 0
Exemple: = = z+4 ⇒ ⇔ ⇔
2 −3 y = z+4 y = −3( z + 4) y + 3 z + 12 = 0
−3
D’implícites a paramètriques: Cal resoldre el sistema format per les dues equacions.
4. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
4
x = y + z −1
x − y − z +1 = 0 x − y − z +1 = 0 y =α
Exemple: ⇔ ⇔ ⇔
− x − 5 y − z + 27 = 0 −6 y − 2 z + 28 = 0 z = −28 + 6 y
−2
x = 13 − 2α
x − 13 z − 14
⇔ y =α En forma contínua: =y=
z = 14 − 3α −2 −3
III Paral·lelisme i incidència de varietats lineals
Es diu que dues rectes r i s són paral·leles si els seus vectors directors són
linealment dependents (és a dir si el conjunt format pels dos vectors té rang 1).
El vector director de l’una també ho és de l’altra. Es representa: r s
Es diu que dos plans Π i Π ' són paral·lels si els vectors directors d’un són
combinació lineal dels vectors directors de l’altre (és a dir si el conjunt format
pels quatre vectors té rang 2). Els vectors directors de l’un també ho són de
l’altre. Es representa: Π Π '
Es diu que una recta r és paral·lela a un pla Π si el vector director de la recta és
combinació lineal dels vectors directors del pla. (és a dir si el conjunt format
pels tres vectors té rang 2). Es representa: r Π
Es diu que dues varietats lineals són incidents si tenen punts en comú. Si tots els
punt d’una són de l’altra i viceversa es diuen coincidents (en aquest cas són
paral·leles). Els punts comuns a totes dues formen la intersecció de les dues
varietats.
Si una recta és paral·lela i incident a un pla es diu que està continguda en el pla.
IV Rectes i plans especials
IV.1 Plans
Paral·lel al pla YZ Paral·lel al pla XZ Paral·lel al pla XY
Equació: x = k Equació: y=k Equació: z=k
Vector normal: Vector normal: Vector normal:
n = (1, 0, 0) n = (0, 1, 0) n = (0, 0, 1)
z z z
k
k
O y y y
O k O
k
x x x
5. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
5
Paral·lel a l’eix OX Paral·lel a l’eix OY Paral·lel a l’eix OZ
Equació: By + Cz + D = 0 Equació: Ax + Cz + D = 0 Equació: Ax + By + D = 0
Vector normal: Vector normal: Vector normal:
n = (0, B, C ) n = ( A, 0, C ) n = ( A, B, 0)
z z z
y O y y
O O
x x x
IV.2 Rectes
Paral·lela a l’eix OZ Paral·lela a l’eix OY Paral·lela a l’eix OX
x = a x = a y = b
Equacions: Equacions: Equacions:
y = b z = c z = c
Vector director: Vector director: Vector director:
u = (0, 0, 1) u = (0, 1, 0) u = (1, 0, 0)
z z z
c c
O b y y b y
a O O
a
x x x
6. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
6
V Posició relativa de varietats lineals
V.1 Dos plans
Sigui Π 1 el pla que passa per P i té vectors directors u1 i v1 , i Π 2 el pla que passa
per Q i té vectors directors u 2 i v 2 . Suposem que les equacions generals respectives
són:
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
Considerem les matrius de coeficients i l’ampliada del sistema format per les dues
A B1 C1 A B1 C1 D1
equacions: M = 1
A B C i M'= 1
A B C D
2 2 2 2 2 2 2
Plans coincidents
{ }
rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i rang u1 , v1 , PQ = 2{ }
(
és a dir: det u1 , v1 , PQ = 0 )
rang M = rang M ' = 1
(Coeficients proporcionals. Sist. comp. indet. biparamètric)
P u1
u2 v1
Q
v2 Π1 = Π 2
Plans paral·lels diferents
P u1
{ }
rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i
v1
rang {u , v , PQ }= 3
1 1
Π1
és a dir: det ( u , v , PQ ) ≠ 0
1 1 u2
Q
rang M = 1 , rang M ' = 2 v2
(Sist. incompatible) Π2
Π1 Π 2 i Π1 ≠ Π 2
7. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
7
Plans secants
u1
{ }
rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 3 Π2
v1
P
rang M = rang M ' = 2 u2
Q v2
(Sist. comp. indet.
uniperamètric: es tallen en una Π1
recta)
Π1 ∩ Π 2 ≠ ∅
V.2 Recta i pla
Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i Π el pla que passa pel
punt Q i té vectors directors v i w .
A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Suposem que r: 1 i Π : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres
A1 B1 C1 A1 B1 C1 D1
equacions: M = A2 B2 C 2 i M ' = A2 B2 C 2 D2
A B C A B C D
3 3 3 3 3 3 3
Recta continguda en el pla
P
{ } {
rang u , v , w = rang PQ , v , w }= 2 Q
u Π
v r
és a dir: det ( u , v , w ) = det ( PQ , v , w ) = 0
w
rang M = rang M ' = 2
(Sist. comp. indet. uniparamètric) r⊂Π
Recta exterior i paral·lela al pla
{ }
rang u , v , w = 2 i
P u r
rang {PQ , v , w } = 3
és a dir: det ( u , v , w ) = 0 i v Π
Q w
det ( PQ , v , w ) ≠ 0
rang M = 2 i rang M ' = 3
(Sist. incompatible) r Π i r ∩Π = ∅
8. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
8
Recta i pla secants
u
{ }
rang u , v , w = 3
P
( )
és a dir: det u , v , w ≠ 0
v
rang M = rang M ' = 3 w
Π r
(Sist. comp. det.: es tallen en un punt) r ∩Π ≠ ∅
V.3 Dues rectes
Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i s la recta que passa per
Q i té vector director v .
A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A x + B3 y + C 3 z + D3 = 0
Suposem que r : 1 i s: 3
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 A4 x + B4 y + C 4 z + D4 = 0
Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les quatre
A1 B1 C1 A1 B1 C1 D1
A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 D2
equacions: M = i M '=
A3 B3 C 3 A B3 C 3 D3
3
A B C A B C D
4 4 4 4 4 4 4
Rectes coincidents
r=s
{ }
rang u , v , PQ = 1
P
Q
v
u
rang M = rang M ' = 2
(Sist. comp. indet. uniparamètric)
r
Rectes paral·leles diferents
u
P v
{ }
rang u , v = 1
s
rang {u , PQ } = 2 Q
rang M = 2, rang M ' = 3
(Sist. incompatible) r s i r∩s=∅
9. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
9
Rectes secants
v
{ } {
rang u , v = 2 i rang u , v , PQ = 2 } r
Q
rang M = rang M ' = 3 u
P
(Sist. comp. det.: es tallen en un punt)
s
Els vectors directors de les rectes són
vectors directors del pla que les conté. r s i r∩s ≠∅
Rectes que es creuen v
Q
{
rang u , v , PQ = 3 } r
(
és a dir: det u , v , PQ ≠ 0 ) u
P
rang M = 3, rang M ' = 4 s
(Sist. incompatible) r s i r∩s =∅
V.4 Tres plans
Considerem el plans: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
Π 3 : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0
Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres
A1 B1 C1 A1 B1 C1 D1
equacions: M = A2 B2 C 2 M ' = A2 B2 C 2 D2
A B C A B C D
3 3 3 3 3 3 3
i les matrius:
A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2
N1 =
A B N2 = N3 =
2 2 C2 D2
A
3 B3 C3 D3
A
3 B3 C3 D3
A1 B1 C1 A1 B1 C1 A2 B2 C2
H1 =
A H2 = H3 =
2 B2 C2
A
3 B3 C3
A
3 B3 C3
Plans coincidents
rang M = rang M ' =1
Π1 = Π 2 = Π 3
(Sist. comp. indet. biparamètric)
10. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
10
Dos plans coincidents i un altre Π3
paral·lel i diferent
rang M = 1 i rang M ' = 2
Π1 = Π 2
rang N1 = 1
(Sist. incompatible)
Tres plans paral·lels i diferents
Π1
Π2
rang M = 1 i rang M ' = 2
Π3
rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2
(Sist. incompatible)
Dos plans coincidents i l’altre Π3
secant
rang M = rang M ' = 2 Π1 = Π 2
rang N1 = 1
(Sistema comp. indet. uniparamètric:
es tallen en una recta)
Tres plans secants amb una recta
en comú Π1
rang M = rang M ' = 2 Π2
rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2 Π3
(Sist. comp. indet. uniparamètric)
Dos plans paral·lels diferents Π3
i l’altre secant a tots dos
Π1
rang M = 2 i rang M ' = 3
Π2
rang H1 = 1
(Sist. incompatible)
11. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
11
Plans secants per parelles sense
punts en comú
Π3
rang M = 2 i rang M ' = 3
rang H1 = rang H 2 = rang H 3 = 2
Π1 Π2
(Sist. incompatible: es tallen dos a dos
en tres rectes paral·leles)
Plans secants amb un únic punt en
comú
Π3
rang M = rang M ' = 3
Π2
(Sist. compat. Determinat) Π1
VI Exemples de discussió de posició relativa de rectes i
plans de l'espai
1. Posició relativa dels plans Π1 : 2 x + 3 y + 4 z − 5 = 0 i Π 2 : 4 x + ay + 8 z + b = 0 segons
els valors de a i b .
2 3 4 2 3 4 − 5
Siguin M =
4 a 8 i M '=
4 a 8 b
a) Òbviament, si a ≠ 6 serà rang M = rang M ' = 2 i el sistema format per les dues
equacions serà compatible indeterminat uniparamètric: els plans seran secants i
es tallaran en una recta.
b) Si a = 6 i b ≠ −10 serà rang M = 1 i rang M ' = 2 i el sistema serà incompatible: els
plans seran paral·lels i diferents.
c) Si a = 6 i b = −10 serà rang M = rang M ' = 1 i el sistema serà compatible
indeterminat biparamètric: els plans seran paral·lels coincidents.
x + 2 y + az = 4
2. Posició relativa del pla Π : ( a + 1) x + y + z = 3 i la recta r : segons
x + ay + 2 z = 2a
els valors de a .
a +1 1 1 a +1 1 1 3
Siguin M = 1 2 a i M '= 1 2 a 4
1 a 2 1 a 2 2a
12. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
12
M = − a 3 − a 2 + 6a = −a(a + 3)(a − 2) s'anul·la per a a = 0 , a = 2 , a = −3
a) Si a ≠ 0 , a ≠ 2 , a ≠ −3 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres
equacions serà compatible determinat: la recta i el pla seran secants i es tallaran
en un punt.
1 1 1 1 1 1 3
b) Si a = 0 serà M = 1 2 0 , M ' = 1 2 0 4 i rang M = 2 , rang M ' = 3 (es pot
1 0 2 1 0 2 0
comprovar esglaonant les matrius o per menors). El sistema serà incompatible: la
recta serà paral·lela i exterior al pla.
3 1 1 3 1 1 3
c) Si a = 2 serà M = 1 2 2 , M ' = 1 2 2 4 . En aquest cas les equacions
1 2 2 1 2 2 4
implícites de r no defineixen cap recta (representen dos plans coincidents).
− 2 1 1 − 2 1 1 3
d) Si a = −3 serà M = 1 2 − 3 , M ' = 1 2 −3 4
1 −3 2 1 − 3 2 − 6
i rang M = 2 , rang M ' = 3
El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.
x − 2z = 1 x + y + z =1
3. Posició relativa de les rectes r : i s: segons els valors
y−z=2 x − 2 y + 2z = a
de a .
1 0 − 2 1 0 − 2 1
0 1 −1 0 1 −1 2
Siguin M = i M '=
1 1 1 1 1 1 1
1 − 2 2 1 − 2 2 a
M ' = 4a + 16 s'anul·la si a = −4 .
a) Si a ≠ −4 serà rang M = 3 i rang M ' = 4 i el sistema format per les quatre equacions
serà incompatible: les dues rectes es creuaran.
1 0 − 2 1 0 − 2 1
0 1 −1 0 1 −1 2
b) Si a = − 4 serà M = , M '= i rang M = rang M ' = 3
1 1 1 1 1 1 1
1 − 2 2 1 − 2 2 − 4
El sistema serà compatible determinat: les dues rectes seran secants i es tallaran
en un punt.
13. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
13
4. Posició relativa dels tres plans: Π1 : x + ky + z = k + 2 , Π 2 : x + y + kz = −2(k + 1) i
Π 3 : kx + y + z = k segons els valors de k .
1 k 1 1 k 1 k+2
Siguin M = 1 1 k i M ' = 1 1 k − 2(k + 1)
k 1 1 k 1 1 k
M = k 3 − 3k + 2 . Aplicant la regla de Ruffini comprovem que s'anul·la per a k = 1 i
k = −2
a) Si k ≠ 1 i k ≠ −2 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres
equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt
comú.
1 1 1 1 1 1 3
b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 − 4 i rang M = 1, rang M ' = 2 . El
1 1 1 1 1 1 1
sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.
1 −2 1 1 −2 1 0
c) Si k = −2 serà M = 1 1 − 2 , M '= 1 1 −2 2
− 2 1 1 − 2 1 1 − 2
i rang M = rang M ' = 2 .
El sistema és compatible indeterminat uniparamàtric: els tres plans són secants i
es tallen en una recta.
5. Posició relativa segons els valors de k dels plans Π1 : kx + y + z − 4 = 0 ,
Π2 : x + y + z + 1 = 0 i Π 3 : x − ky + z − 1 = 0 .
k 1 1 k 1 1 − 4
Siguin M = 1 1 1 i M ' = 1 1 1 1
1 − k 1 1 − k 1 −1
M = k 2 −1 s'anul·la per a k = 1 i k = −1
a) Si k ≠ 1 i k ≠ −1 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions
serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú.
1 1 1 1 1 1 − 4
b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 1 i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El
1 − 1 1 1 − 1 1 − 1
sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
14. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
14
1 1 1 1 1 1 − 4
rang
1 1 1 = 1 i rang 1 1 1 1 = 2 , els plans Π 1 i Π 2 seran paral·lels
diferents i Π 3 els tallarà.
− 1 1 1 −1 1 1 − 4
c) Si k = −1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 1 i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El
1 1 1 1 1 1 −1
sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 = 1 i
rang 1 1 1 − 1 = 2 , els plans Π 2 i Π 3 seran paral·lels
rang
diferents i Π 1 els tallarà.
Observació: Per a calcular la intersecció de dues varietats lineals es resol el
sistema format per les seves equacions generals (plans) i implícites (rectes).
Cas particular (mètode alternatiu)
Per a calcular la intersecció d’una recta donada en forma paramètrica:
x = p1 + α u1
r : y = p 2 + α u 2 i un pla donat en forma general: Ax + By + Cz + D = 0 es pot
z = p +α u
3 3
resoldre l’equació:
A( p1 + α u1 ) + B( p2 + α u2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0
i el valor de α calculat se substitueix a les equacions paramètriques de la recta. El
punt ( x , y , z ) obtingut així és la intersecció de la recta i el pla.
VII Feix de plans
A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Donada la recta r: 1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
(equacions implícites), s’anomena feix de plans
determinat per r (o pels plans que la defineixen) el
conjunt de tots els plans que contenen r .
La recta es diu eix del feix. L’equació del feix és:
α ( A1 x + B1 y + C1 z + D 1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 r
Donant valors a α i β s’obtenen les equacions dels plans del feix.
15. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
15
VIII Perpendicularitat de varietats lineals
VIII.1 Rectes perpendiculars
Es diu que les rectes r :( x , y , z ) = P + α u i r⊥s
s
s :( x , y , z ) = Q + β v són perpendiculars si els
seus vectors directors són ortogonals: u · v = 0 v
u
Poden ser secants o creuar-se.
r
Es denota: r⊥s
VIII.2 Recta i pla perpendiculars
r⊥Π
Es diu que la recta r : ( x , y , z ) = P + α u i el pla
Π : Ax + By + Cz + D = 0 són perpendiculars si el u
vector director de la recta és vector normal al pla.
Π
Es denota: r⊥ Π
r
Observació: Si una recta és perpendicular a un pla, també ho serà a totes les
rectes contingudes en el pla.
VIII.3 Plans perpendiculars
Es diu que els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i
Π 1 ⊥Π 2
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 són perpendiculars si
els vectors normals respectius són ortogonals:
Π1
n1· n 2 = 0 ( A2 , B2 , C2 )
Es denota: Π1 ⊥ Π 2
( A1 , B1 , C1 )
Π2
16. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
16
IX Condicions de paral·lelisme i de perpendicularitat
Considerem les rectes r , de vector director u = (u1 , u 2 , u 3 ) i s , de vector director
v = (v1 , v 2 , v3 ) i els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
Paral·lels Perpendiculars
u i v lin. dep., és a dir: u ⊥v és a dir:
r i s
u =kv u ·v = 0
u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 0
u ⊥ ( A1 , B1 , C1 ) és a dir: u i ( A1 , B1 , C1 ) lin. dep.:
r i Π1
Au1 + B u2 + C u3 = 0 u = k · ( A1 , B1 , C1 )
( A1 , B1 , C1 ) i ( A2 , B2 , C2 ) ( A1 , B1 , C1 ) ⊥ ( A2 , B2 , C2 ) ,
Π1 i Π 2 lin. dep., és a dir: és a dir:
( A1 , B1 , C1 ) = k · ( A2 , B2 , C2 ) A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0
X Projeccions ortogonals
S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre el pla Π la intersecció P '
del pla amb la recta r perpendicular a Π que passa per P (Fig. 1)
S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre la recta r la intersecció P '
de la recta amb el pla Π perpendicular a r que passa per P (Fig. 2)
S’anomena projecció ortogonal de la recta r sobre el pla Π la recta s ,
intersecció del pla amb el pla Π ' perpendicular a Π que conté r (Fig. 3)
P
r
P
Π' s
P' P’ Π
Π
Π
r r
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
17. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
17
XI Angles entre varietats lineals
XI.1 Angle entre dues rectes
Donades les rectes r i s de vectors
directors respectius u i v , s’anomena u
v
angle entre r i s el nombre α que α
compleix: r v v
s
u ·v π
cos α = , 0≤α ≤
u · v 2
Les rectes poden ser secants o creuar-se.
r s ⇔ α =0
π
r⊥s ⇔α =
2
XI.2 Angle entre una recta i un pla
Donada la recta r , de vector director u i el
n
pla Π , de vector normal n , s’anomena angle u
entre r i Π el nombre α que compleix:
α
u ·n π
sin α = , 0≤α ≤ Π
u · n 2
r
r Π ⇔ α =0
π
r ⊥Π ⇔α =
2
XI.3 Angle entre dos plans
Donats els plans Π 1 i Π 2 de vectors Π2
normals respectius n1 i n2 , s’anomena n1
angle entre Π 1 i Π 2 el nombre α que
compleix:
n2
α
Π1
n1 · n2 π
cos α = , 0≤α ≤
n1 · n 2 2
18. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
18
Π1 Π 2 ⇔ α = 0
π
Π1 ⊥ Π 2 ⇔ α =
2
XII Distàncies entre varietats lineals
XII.1 Distància entre dos punts
La distància entre els punts P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) és el nombre:
Q
2 2 2
d ( P , Q ) = PQ = ( q1 − p1 ) + ( q2 − p2 ) + ( q3 − p3 )
d(P, Q)
P
En general es definex la distància entre dues varietats lineals com la mínima
distància que hi ha entre els punts d’una i els punts de l’altra.
XII.2 Distància d’un punt a un pla
La distància del punt P = ( p1 , p 2 , p3 ) al pla P
Π : Ax + By + Cz + D = 0 és la que hi ha entre el punt P
i la seva projecció ortogonal P ' sobre el pla. d (P , Π )
A p1 + B p2 + C p3 + D P'
d( P, Π ) =
A2 + B 2 + C 2 Π
P ∈Π ⇔ d( P, Π ) = 0
XII.3 Distància d’un punt a una recta
La distància del punt P a la recta
r : ( x , y , z ) = Q + α u és la que hi ha entre
P
el punt P i la seva projecció ortogonal P '
sobre la recta. r
d (P, r)
PQ ∧ u Q u
d (P, r) =
u
P’
P∈r ⇔ d( P, r ) = 0
19. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
19
XII.4 Distància entre dos plans
La distància entre els plans paral· lels P Π
Π : Ax + By + Cz + D = 0 i
Π ': Ax + By + Cz + D ' = 0 d ( Π , Π ')
Π'
és la que hi ha entre un punt qualsevol de Π P'
i Π'
D − D'
d( Π, Π ' ) =
A + B2 + C 2
2
Per a aplicar aquesta fórmula cal que les equacions dels plans tinguin els mateixos
coeficients A , B i C
XII.5 Distància entre dues rectes
Si les rectes r i s són
secants, la distància entre r P
elles és d (r , s ) = 0 . Π
Si les rectes són d(r , s)
paral·leles, la distància entre
elles és la que hi ha entre un s Q
P' Π'
punt qualsevol d’una i l’altra.
Si r i s es creuen, la
distància ente elles és la que hi ha entre el pla Π que conté r i és paral· lel a s i el pla
Π ' que conté s i és paral·lel a r .
Si r : ( x , y , z ) = P + α u i s : ( x , y , z ) = Q + β v i no són paral·leles (vectors directors
linealment independents) la distància és:
d( r , s ) =
det ( PQ , u , v )
u ∧v
En aquest cas, la distància entre les rectes és la que hi ha entre els punts d’intersecció
de cada una amb la recta perpendicular i secant a totes dues.
XII.6 Distància d’una recta a un pla
Si la recta i el pla són secants o la recta r P
està continguda en el pla, la distància és 0.
Si la recta és paral· lela al pla, la
distància serà la que hi ha entre un punt P’
qualsevol de la recta i el pla. Π
20. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
20
XIII Alguns exemples de determinació de rectes i plans
XIII.1 Nocions prèvies
A) Intersecció de dues rectes
♦ Si les rectes estan donades de forma implícita, cal resoldre el sistema format per les
quatre equacions.
♦ Si les rectes estan donades de forma paramètrica (o vectorial) s'igualen x, y i z i es
calculen els paràmetres resolent el sistema:
x = p1 + α u1 x = q1 + β v1 p1 + α u1 = q1 + β v1
r : y = p2 + α u 2 s : y = q 2 + β v2 p2 + α u 2 = q2 + β v2
z = p +α u z = q + β v p +α u = q + β v
3 3 3 3 3 3 3 3
B) Intersecció d'una recta i un pla
♦ Si la recta està en forma implícita i el pla en forma general, es resol el sistema format
per les tres equacions.
♦ Si la recta està donada en forma paramètrica (o vectorial) i el pla en forma general, se
substitueixen les expressions de x, y i z de l'equació de la recta en l'equació del pla i
es calcula el paràmetre:
x = p1 + α u1
r : y = p2 + α u 2
z = p +α u A( p1 + α u1 ) + B ( p2 + α u 2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0
3 3
Π : Ax + By + Cz + D = 0
C) Intersecció de dos plans
Les equacions generals dels dos plans ja són les equacions implícites de la recta
intersecció (sempre que no siguin paral·lels).
D) Càlcul del vector director d'una recta donada de forma implícita
A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Sigui r : 1 Un vector director pot ser:
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 )
21. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
21
També es pot resoldre el sistema format per les dues equacions (que és compatible
indeterminat uniparamètric). La solució ens dóna l'expressió paramètrica de la recta i, per
tant, un vector director.
5 − 3y + z
2x + 3 y − z = 5 x= 2
2x + 3y − z = 5
Exemple: r : 2 x + 3 y − z = 5 −3 + 5 z −3 + 5 z
⇔ ⇔ y= ⇔y= ⇔
x − 4 y + 2z = 4 − 11 y + 5 z = 3 11 11
z =α
z =α
32 2
x = 11 − 11 α
3 5 2 5
⇔ y = − + α Vector director: u = − , , 1 o bé: v = (−2, 5, 11)
11 11 11 11
z =α
3 −1 −1 2 2 3
Noteu que (2, 3, − 1) ∧ (1, − 4, 2) = , , = (2, − 5, − 11) n’és també
−4 2 2 1 1 −4
vector director
XIII.2 Determinació de rectes
1 Recta r que passa per dos punts P i Q
r
El vector PQ és vector director de la recta. Si
P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) , l'equació vectorial de la Q
recta r és: P
( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α (q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 )
x − p1 y − p2 z − p3
i la contínua: = = (sempre que els denominadors no siguin
q1 − p1 q2 − p2 q3 − p3
nuls.)
2 Recta s que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r
Si u és vector director de la recta r , l'equació
r
vectorial de la recta és: ( x , y , z) = P + α u . u
Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i r està donada en forma Q
implícita: s
Ax + By + Cz + D = 0 P u
r:
A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
22. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
22
les equacions de la recta seran:
A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
s:
A '( x − p1 ) + B '( y − p2 ) + C '( z − p3 ) = 0
També es pot considerar com a vector director de la recta s el vector:
v = ( A , B , C ) ∧ ( A ', B ', C ')
3 Recta r que passa per un punt P i és perpendicular a un pla Π
Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Π : Ax + By + Cz + D = 0 ,
u = ( A, B , C)
el vector u = ( A , B , C ) (normal al pla) és
vector director de la recta r i la seva equació
vectorial és: P
(x , y , z) = P + α ( A , B , C)
Π
x − p1 y − p2 z − p3 r
i la contínua: = =
A B C
(sempre que els denominadors no siguin nuls)
4 Recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans Π i Π '
♦ Si els plans són paral·lels, hi ha una infinitat de
rectes possibles; només cal prendre com a vector
director qualsevol vector ortogonal al vector
normal a Π (o a Π ' ).
♦ Si les equacions dels plans són:
Π : Ax + By + Cz + D = 0 P
Π ': A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
i no són paral·lels, aquestes representen una r
recta s en forma implícita; la recta r és paral·lela
Π'
a s i es calcula com a l'apartat XIII.2-2. Π
23. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
23
5 Recta r que passa pel punt P i és perpendicular a dues rectes s i t
♦ Si s i t són paral·leles, hi
ha una infinitat de solu-
cions possibles; només cal
prendre com a vector direc- v u =v ∧w
tor de r qualsevol vector t Q
ortogonal al vector director
de s (o de t ). w
s Q' P
♦ Si s i t no són paral·leles i
tenen vectors directors res- r
pectius v i w , el vector
u =v ∧w és vector director de la recta r i la seva equació vectorial serà:
(x , y , z) = P + α u
6 Recta r que talla perpendicularment dues rectes s i t
♦ Si s i t són paral·leles hi ha
una infinitat de rectes possi- t
bles.
♦ Si s passa pel punt P i té u =v ∧w
vector director v ; i t passa
pel punt Q i té vector direc-
tor w (i s i t no són paral-
leles), es calcula el vector w
s
u = v ∧ w (ortogonal a tots
dos).
v
La recta r serà la
intersecció del pla Π que
passa per P i té vectors P
r
directors v i u i el pla Π '
que passa per Q i té vectors
directors w i u .
24. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
24
7 Recta r que passa pel punt P i talla dues rectes que es creuen s i t
És la intersecció del pla Π
que conté P i la recta s amb
el pla Π ' que conté P i la
recta t . s
Π'
Vegeu a l'apartat XIII.3-6
com es calculen aquests
plans. s
P
Π
P
r
t
XIII.3 Determinació de plans
1 Pla Π que passa per tres punts P , Q i R
♦ Si els tres punts estan alineats, hi ha una infinitat
de plans possibles (tot un feix.)
♦ Si els tres punts no estan alineats, els vectors Q
PQ i PR són vectors directors del pla Π . R
Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) , Q = (q1 , q 2 , q3 ) i R = (r1 , r2 , r3 ) ,
P
l'equació general del pla serà: Π
x − p1 q1 − p1 r1 − p1
y − p2 q2 − p 2 r2 − p2 = 0
z − p3 q3 − p3 r3 − p3
25. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
25
2 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla Π '
♦ Si el pla Π ' té vectors directors u i
v l'equació vectorial del pla Π és: n = ( A, B , C)
( x , y , z) = P + α u + β v v Π
P u
♦ Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i l'equació del
pla Π ' és Ax + By + Cz + D = 0 , l'e-
n = ( A, B , C)
quació del pla Π serà:
v
A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 Q u
Π'
3 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel a dues rectes r i s
♦ Si r i s són paral·leles hi
ha una infinitat de plans r
possibles (tot un feix.)
♦ Si r i s no són paral·leles u v
Q Q'
i tenen vectors directors s
respectius u i v , l'equa-
ció vectorial del pla serà:
P u
v Π
( x , y , z) = P + α u + β v
4 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla determinat per dues rectes paral·
leles r i s
♦ Si r = s , hi ha una infinitat de
plans possibles (tot un feix.) QR Π
♦ Si r passa per Q i té vector P u
director u , i s passa per R i té
vector director v (i r ≠ s ), els v
R s
vectors QR i u (o QR i v ) són
vectors directors del pla, i la seva Q u
equació vectorial és:
r
26. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
26
( x , y , z ) = P + α u + β QR
5 Pla Π que conté el punt P i és perpendicular a la recta r
♦ Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i la recta r té vector
director u = (a , b , c) , aquest vector serà nor-
u
mal al pla i l'equació general de Π serà:
Q
a ( x − p1 ) + b( y − p2 ) + c( z − p3 ) = 0 P
♦ Si la recta r ve donada de forma implícita:
Π
Ax + By + Cz + D = 0
r: els vectors
A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 r
u = ( A , B , C ) i v = ( A ', B ', C ') seran
vectors directors del pla Π .
6 Pla Π que conté el punt P i la recta r
♦ Si el punt P pertany a la recta r hi ha una
infinitat de plans possibles (tot un feix.) r
♦ Si r passa per Q i té vector director u (i Q
u
P no pertany a r ), els vectors u i PQ P
són vectors directors del pla i la seva
equació vectorial serà: Π
( x , y , z ) = P + α u + β PQ
Ax + By + Cz + D = 0
♦ Si la recta ve donada de forma implícita: r : el pla buscat
A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
serà del feix que té per eix la recta r :
k ( Ax + By + Cz + D ) + k '( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 0
i es calcula substituint x , y i z per les coordenades de P i calculant k i k ' .
27. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
27
7 Pla que conté una recta r i és paral·lel a una altra recta s
♦ Si les rectes són paral·leles hi
ha una infinitat de solucions
u r
(tot el feix de plans que té per
eix la recta r ). P
v
♦ Si les dues rectes no són Π
paral·leles, els seus vectors
directors respectius, u i v
són vectors directors el pla. Q v s
Si P és un punt de la recta
r , l'equació del pla serà:
( x, y , z ) = P + α u + β v
Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i u ∧ v = ( A, B, C ) , l'equació del pla serà:
A( x − p1 ) + B ( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
8 Pla que conté el punt P i és perpendicular als plans Π1 i Π 2
♦ Si els plans són paral·lels hi ha
una infinitat de solucions.
♦ Suposem que els plans no són
paral·lels i que les seves equa-
cions són:
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
P
Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i
( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) = ( A, B, C )
Π2
Π1
l'equació del pla serà:
r
A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
28. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
28
9 Pla que està a una distància d del pla Π
Si Π : Ax + By + Cz + D = 0 , el pla buscat tindrà per
equació: Ax + By + Cz + D ' = 0 on D ' es calcula Π1
re-solent l'equació: d
Π
D − D'
=d d
A2 + B 2 + C 2
Π2
Hi haurà dues solucions
Simètric d'un punt P respecte d'un pla Π
Suposem que Π : Ax + By + Cz + D = 0 . P
r
1) Es busca la recta que passa per P i és
perpendicular a Π :
r : ( x, y, z ) = P + α ( A, B, C ) Q
2) Es calcula la intersecció de la recta amb el Π
pla: Q = r ∩ Π
3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ P'
Simètric d'un punt P respecte d'una recta r
Suposem que
r : ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) .
Π P
1) Es busca el pla que passa per P = ( p1 , p2 , p3 ) r
i és perpendicular a r :
Q
Π : u1 ( x − p1 ) + u2 ( x − p2 ) + u3 ( x − p3 ) = 0
P'
2) Es calcula la intersecció de la recta amb el pla:
Q = r∩Π
3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ