SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 28
Baixar para ler offline
Varietats lineals a l’espai                                    Segon de batxillerat
Josep M. Lluch                                                         IES Ramon Muntaner


                                     I Definicions
  I.1 Recta

  Donats un punt P ∈ » 3 i un vector no nul                             z
  u ∈ V3 s’anomena recta que conté el
                                                                                                        Q
  punt P (o que passa pel punt P ) i té
  la direcció del vector u (o vector                                                u
                                                                        P
                                                           r
  director u ) el conjunt:                                                                  y

               {
           r = Q ∈ »3       PQ = α · u   }
  Equival a dir que PQ i u són linealment                      x

                                 {
  dependents (és a dir rang PQ , u = 1 ).    }
  Una recta també s’anomena varietat lineal de dimensió 1.
  Qualsevol vector no nul que tingui la mateixa direcció que u també és vector director
  de la recta.

  I.2 Pla

  Donats un punt P ∈ » 3 i dos vectors no                                   z
  nuls u i v de V3 linealment indepen-                                                              Q
  dents, s’anomena pla que conté el punt                                        v
  P (o que passa pel punt P ) i té la                                                   u
  direcció dels vectors u i v (o vectors                                    P
                                                               Π                                y
  directors u i v ) el conjunt:


           {
       Π = Q ∈ »3      PQ = α · u + β · v    }                     x


  Equival a dir que           PQ ,   u       i   v   són       linealment dependents (és a dir
       {           }
   rang PQ , u , v = 2 ).

  Un pla també s’anomena varietat lineal de dimensió 2.
  Qualsevol parella de vectors no nuls linealment independents que siguin combinació
  lineal de u i v també són vectors directors del pla.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                                  2

                           II      Equacions d’una varietat lineal
          II.1 Equacions d’un pla

          Sigui Π el pla que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vectors directors u = (u1 , u 2 , u 3 ) i
          v = (v1 , v 2 , v3 ) .

          Equació vectorial:             ( x , y , z) = P + α u + β v            α ∈» , β ∈»

          En forma analítica:

                         ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) + β · ( v1 , v2 , v3 )    α ∈» , β ∈»

                                                                    x = p1 + α u1 + β v1
                                                                   
          Equacions paramètriques:                                  y = p2 + α u2 + β v2
                                                                    z = p +α u + β v
                                                                         3      3      3



                                                                                         x − p1     u1     v1
                                                                                                                            ( )
          Equació general ( o implícita o cartesiana):                                   y − p2     u2     v2 = 0           *
                                                                                         z − p3     u3     v3

          Desenvolupant el determinant s’obté una igualtat de la forma:

                                                      Ax + By + Cz + D = 0



          El vector n = ( A , B , C ) té la mateixa
          direcció que el producte vectorial dels                                                         n = ( A, B , C)
          vectors directors: n = k · u ∧ v .   (          )
          Per tant, és ortogonal als vectors directors;                                                      v
          s’anomena vector normal associat al pla
                                                                                                                    u
          o vector característic del pla.                                               Π




          Pas d’una equació a una altra

                                                                                                             ( )
          De paramètriques a general: Només cal desenvolupar la igualtat                                      *     anterior.

          De general a paramètriques: Cal resoldre l’equació aïllant-ne les variables.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                    3

                                                                            2
                                                                    x = 4 + 3 α − 2β
                                                  12 + 2 y − 6 z   
          Exemple: 3 x − 2 y + 6 z − 12 = 0 ⇔ x =                ⇔ y = α
                                                        3          z =β
                                                                   
                                                                   
                És un pla que passa per P = (4, 0, 0) i té vectors directors:
                   u = ( 2 / 3, 1, 0) ) , v = (− 2, 0, 1)

          II.2 Equacions d’una recta

          Sigui r la recta que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vector director u = (u1 , u 2 , u 3 )

          Equació vectorial:        ( x , y , z) = P + α u         α ∈»

          En forma analítica:        ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 )   α ∈»

                                                  x = p1 + α u1
                                                 
          Equacions paramètriques:                y = p2 + α u2
                                                  z = p +α u
                                                       3      3



                                          x − p1 y − p2 z − p3
          Equacions contínues:                  =      =                      (sempre que els denominadors no
                                            u1     u2     u3
          siguin nuls).

                                             A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
          Equacions implícites:                                                   (suposant que el sistema sigui
                                             A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
          compatible indeterminat). Els punts de la recta són les solucions del sistema, és a dir
          els punts en què es tallen els plans representats per les dues equacions.


          Observació: El vector u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) és vector director de la recta.


          Pas d’una equació a una altra
          De contínues a implícites: Només cal separar les dues igualtats i formar un sistema.

                                          x−3 y
                          x−3    y         2 = −3
                                                    −3( x − 3) = 2 y   −3 x − 2 y + 9 = 0
          Exemple:            =    = z+4 ⇒         ⇔                 ⇔ 
                           2    −3         y = z+4   y = −3( z + 4)     y + 3 z + 12 = 0
                                           −3
                                          

          D’implícites a paramètriques: Cal resoldre el sistema format per les dues equacions.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                        4
                                                                            x = y + z −1
                    x − y − z +1 = 0        x − y − z +1 = 0             y =α
                                                                           
          Exemple:                        ⇔                             ⇔               ⇔
                   − x − 5 y − z + 27 = 0  −6 y − 2 z + 28 = 0            z = −28 + 6 y
                                                                           
                                                                                   −2
             x = 13 − 2α
                                                                x − 13     z − 14
          ⇔ y =α                  En forma contínua:                   =y=
             z = 14 − 3α                                          −2         −3
            


           III      Paral·lelisme i incidència de varietats lineals
                 Es diu que dues rectes r i s són paral·leles si els seus vectors directors són
                   linealment dependents (és a dir si el conjunt format pels dos vectors té rang 1).
                   El vector director de l’una també ho és de l’altra. Es representa: r s
                 Es diu que dos plans Π i Π ' són paral·lels si els vectors directors d’un són
                   combinació lineal dels vectors directors de l’altre (és a dir si el conjunt format
                   pels quatre vectors té rang 2). Els vectors directors de l’un també ho són de
                   l’altre. Es representa: Π Π '
                 Es diu que una recta r és paral·lela a un pla Π si el vector director de la recta és
                   combinació lineal dels vectors directors del pla. (és a dir si el conjunt format
                   pels tres vectors té rang 2). Es representa: r Π
                 Es diu que dues varietats lineals són incidents si tenen punts en comú. Si tots els
                   punt d’una són de l’altra i viceversa es diuen coincidents (en aquest cas són
                   paral·leles). Els punts comuns a totes dues formen la intersecció de les dues
                   varietats.
                 Si una recta és paral·lela i incident a un pla es diu que està continguda en el pla.

                             IV        Rectes i plans especials
          IV.1 Plans
         Paral·lel al pla YZ            Paral·lel al pla XZ               Paral·lel al pla XY

         Equació: x = k                 Equació:       y=k                Equació:       z=k

         Vector normal:                 Vector normal:                    Vector normal:
                n = (1, 0, 0)                   n = (0, 1, 0)                  n = (0, 0, 1)



                       z                           z                                     z
                                                                                k
                                                                                     k


                      O            y                                 y                          y
                                              O              k                  O
            k

             x                            x                                 x
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                           5

         Paral·lel a l’eix OX              Paral·lel a l’eix OY                   Paral·lel a l’eix OZ

         Equació: By + Cz + D = 0          Equació: Ax + Cz + D = 0              Equació: Ax + By + D = 0

         Vector normal:                    Vector normal:                        Vector normal:

                  n = (0, B, C )                     n = ( A, 0, C )                        n = ( A, B, 0)



                          z                               z                                        z




                                       y                  O              y                                         y
                  O                                                                          O


              x                               x                                         x



          IV.2 Rectes

        Paral·lela a l’eix OZ              Paral·lela a l’eix OY                  Paral·lela a l’eix OX

                              x = a                            x = a                                    y = b
        Equacions:                        Equacions:                            Equacions:              
                              y = b                            z = c                                    z = c
        Vector director:                   Vector director:                       Vector director:

                  u = (0, 0, 1)                         u = (0, 1, 0)                             u = (1, 0, 0)


                      z                                    z                                       z
                                                          c                                   c


                      O         b      y                                     y                             b           y
              a                                           O                                       O
                                             a
          x                                      x                                  x
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                              6

                      V         Posició relativa de varietats lineals
          V.1 Dos plans

          Sigui Π 1 el pla que passa per P i té vectors directors u1 i v1 , i Π 2 el pla que passa
          per Q i té vectors directors u 2 i v 2 . Suposem que les equacions generals respectives
          són:

                 Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0           i        Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0

          Considerem les matrius de coeficients i l’ampliada del sistema format per les dues
                            A B1 C1                     A B1 C1 D1 
          equacions:   M = 1
                           A B C           i     M'= 1
                                                         A B C D        
                            2     2   2                 2    2    2   2




                                               Plans coincidents

                                     {                  }
                            rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i rang u1 , v1 , PQ = 2{                    }
                                                                 (
                                             és a dir: det u1 , v1 , PQ = 0         )
                                         rang M = rang M ' = 1
                    (Coeficients proporcionals. Sist. comp. indet. biparamètric)




                                                    P                                       u1
                                                                 u2                 v1
                                         Q
                                                        v2                                           Π1 = Π 2




                Plans paral·lels diferents
                                                                                                 P                   u1

                       {                }
                 rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i
                                                                                                                v1

                   rang {u , v , PQ }= 3
                            1    1
                                                                           Π1


               és a dir: det ( u , v , PQ ) ≠ 0
                                 1       1                                                                           u2
                                                                                        Q
                 rang M = 1 ,        rang M ' = 2                                                          v2
                    (Sist. incompatible)                                   Π2
                                                                                                          Π1 Π 2 i Π1 ≠ Π 2
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                             7

                           Plans secants
                                                                                      u1

                           {               }
                   rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 3                          Π2
                                                                                      v1
                                                                              P
                    rang M = rang M ' = 2                                                                       u2
                                                                                  Q                    v2
                    (Sist. comp. indet.
              uniperamètric: es tallen en una                                                      Π1
                           recta)
                                                                                                       Π1 ∩ Π 2 ≠ ∅


          V.2 Recta i pla

          Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i Π el pla que passa pel
          punt Q i té vectors directors v i w .
                                  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
          Suposem que          r: 1                                 i    Π : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0
                                  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0

          Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres
                            A1 B1 C1                A1 B1 C1 D1 
                                                                    
          equacions:   M =  A2 B2 C 2  i M ' =  A2 B2 C 2 D2 
                           A B C                   A B C D 
                            3     3    3            3    3     3  3 



                    Recta continguda en el pla
                                                                                           P
                       {           }        {
                 rang u , v , w = rang PQ , v , w          }= 2            Q
                                                                                                   u                     Π
                                                                                           v                    r
              és a dir: det ( u , v , w ) = det ( PQ , v , w ) = 0
                                                                                               w

                          rang M = rang M ' = 2
                   (Sist. comp. indet. uniparamètric)                                      r⊂Π


                  Recta exterior i paral·lela al pla

                               {          }
                            rang u , v , w = 2 i
                                                                                      P            u                 r

                         rang {PQ , v , w } = 3

                     és a dir: det ( u , v , w ) = 0 i                                                 v                 Π
                                                                                  Q                         w
                          det ( PQ , v , w ) ≠ 0

                       rang M = 2 i rang M ' = 3
                          (Sist. incompatible)                                    r Π i r ∩Π = ∅
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                              8
                            Recta i pla secants
                                                                                               u
                                 {         }
                             rang u , v , w = 3
                                                                                      P
                                       (       )
                      és a dir: det u , v , w ≠ 0
                                                                                                   v
                            rang M = rang M ' = 3                                          w
                                                                     Π           r
                (Sist. comp. det.: es tallen en un punt)                                           r ∩Π ≠ ∅


          V.3 Dues rectes

          Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i s la recta que passa per
          Q i té vector director v .

                           A x + B1 y + C1 z + D1 = 0            A x + B3 y + C 3 z + D3 = 0
          Suposem que r :  1                              i   s: 3
                           A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0          A4 x + B4 y + C 4 z + D4 = 0

          Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les quatre
                             A1 B1 C1                  A1 B1 C1 D1 
                                                                       
                             A2 B2 C 2                 A2 B2 C 2 D2 
          equacions:    M =                  i    M '= 
                              A3 B3 C 3                  A B3 C 3 D3 
                                                       3               
                            A B C                     A B C D 
                             4     4    4              4    4    4    4




                  Rectes coincidents
                                                                                                   r=s
                        {            }
                   rang u , v , PQ = 1
                                                                      P
                                                                             Q
                                                                                       v

                                                               u
                  rang M = rang M ' = 2
           (Sist. comp. indet. uniparamètric)


                                                                                           r
             Rectes paral·leles diferents
                                                                     u
                                                               P                       v
                            {   }
                     rang u , v = 1
                                                                                                       s

                    rang {u , PQ } = 2                                     Q
                rang M = 2, rang M ' = 3
                   (Sist. incompatible)                                  r s i       r∩s=∅
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                                    9
                      Rectes secants
                                                                                                                               v
               {      }                  {
          rang u , v = 2 i rang u , v , PQ = 2            }                 r
                                                                                                                Q

                  rang M = rang M ' = 3                                                                                  u
                                                                                                            P
        (Sist. comp. det.: es tallen en un punt)
                                                                                  s
        Els vectors directors de les rectes són
        vectors directors del pla que les conté.                                             r     s i r∩s ≠∅



                   Rectes que es creuen                                                                                        v
                                                                                                                Q
                          {
                    rang u , v , PQ = 3      }                              r
                                (
              és a dir: det u , v , PQ ≠ 0          )                                                                          u
                                                                                                            P
                rang M = 3, rang M ' = 4                                         s

                    (Sist. incompatible)                                                  r s      i    r∩s =∅


          V.4 Tres plans

          Considerem el plans:                          Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
                                                        Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
                                                        Π 3 : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0

          Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres
                                 A1 B1 C1                A1 B1 C1 D1 
                                                                       
          equacions:      M =  A2 B2 C 2          M ' =  A2 B2 C 2 D2 
                                A B C                   A B C D 
                                 3   3     3             3    3   3   3

          i les matrius:
                 A1 B1       C1     D1                  A1    B1    C1       D1            A2      B2          C2       D2 
           N1 = 
                A B                               N2 =                               N3 =                                  
                 2     2     C2     D2 
                                        
                                                         A
                                                          3     B3    C3       D3 
                                                                                   
                                                                                              A
                                                                                               3       B3          C3       D3 
                                                                                                                                

                          A1       B1       C1              A1     B1    C1              A2       B2       C2 
                    H1 = 
                         A                            H2 =                         H3 =                       
                          2        B2       C2 
                                                
                                                             A
                                                              3      B3    C3 
                                                                               
                                                                                            A
                                                                                             3        B3       C3 
                                                                                                                   



                    Plans coincidents

                           rang M = rang M ' =1
                                                                                             Π1 = Π 2 = Π 3
                       (Sist. comp. indet. biparamètric)
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                     10
                  Dos plans coincidents i un altre                                        Π3
                  paral·lel i diferent

                         rang M = 1 i rang M ' = 2
                                                                                       Π1 = Π 2
                                rang N1 = 1
                            (Sist. incompatible)


                  Tres plans paral·lels i diferents
                                                                                             Π1

                                                                                             Π2
                          rang M = 1 i rang M ' = 2
                                                                                             Π3
                       rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2
                            (Sist. incompatible)


                  Dos plans coincidents i l’altre                            Π3
                  secant

                          rang M = rang M ' = 2                                       Π1 = Π 2

                                 rang N1 = 1
                  (Sistema comp. indet. uniparamètric:
                  es tallen en una recta)



                  Tres plans secants amb una recta
                  en comú                                                               Π1

                          rang M = rang M ' = 2                                              Π2

                       rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2                                 Π3
                     (Sist. comp. indet. uniparamètric)


                  Dos plans paral·lels diferents                             Π3
                  i l’altre secant a tots dos
                                                                                             Π1
                         rang M = 2 i rang M ' = 3
                                                                                             Π2
                                 rang H1 = 1
                             (Sist. incompatible)
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                          11

                 Plans secants per parelles sense
                 punts en comú
                                                                                                    Π3
                        rang M = 2 i rang M ' = 3


                      rang H1 = rang H 2 = rang H 3 = 2
                                                                        Π1                     Π2
                 (Sist. incompatible: es tallen dos a dos
                 en tres rectes paral·leles)


                 Plans secants amb un únic punt en
                 comú
                                                                                                    Π3

                          rang M = rang M ' = 3
                                                                                              Π2
                         (Sist. compat. Determinat)                          Π1



    VI      Exemples de discussió de posició relativa de rectes i
                             plans de l'espai

       1.    Posició relativa dels plans Π1 : 2 x + 3 y + 4 z − 5 = 0 i Π 2 : 4 x + ay + 8 z + b = 0 segons
             els valors de a i b .

                                 2 3 4                    2 3 4 − 5
                     Siguin M = 
                                4 a 8          i   M '= 
                                                           4 a 8 b  
                                                                   

       a) Òbviament, si a ≠ 6 serà rang M = rang M ' = 2 i el sistema format per les dues
          equacions serà compatible indeterminat uniparamètric: els plans seran secants i
          es tallaran en una recta.
       b) Si a = 6 i b ≠ −10 serà rang M = 1 i rang M ' = 2 i el sistema serà incompatible: els
          plans seran paral·lels i diferents.
       c) Si a = 6 i b = −10       serà    rang M = rang M ' = 1 i el sistema serà compatible
          indeterminat biparamètric: els plans seran paral·lels coincidents.

                                                                                 x + 2 y + az = 4
       2.    Posició relativa del pla Π : ( a + 1) x + y + z = 3 i la recta r :                    segons
                                                                                 x + ay + 2 z = 2a
             els valors de a .

                                a +1 1 1                   a +1 1 1 3 
                                                                       
                     Siguin M =  1   2 a i            M '=  1   2 a 4
                                 1   a 2                    1   a 2 2a 
                                                                       
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                        12

                 M = − a 3 − a 2 + 6a = −a(a + 3)(a − 2)   s'anul·la per a a = 0 , a = 2 , a = −3

       a) Si a ≠ 0 , a ≠ 2 , a ≠ −3 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres
          equacions serà compatible determinat: la recta i el pla seran secants i es tallaran
          en un punt.

                               1 1 1             1      1 1 3
                                                               
       b) Si a = 0 serà M = 1 2 0  , M ' = 1            2 0 4  i rang M = 2 , rang M ' = 3 (es pot
                               1 0 2             1      0 2 0
                                                               
          comprovar esglaonant les matrius o per           menors). El sistema serà incompatible: la
          recta serà paral·lela i exterior al pla.

                                3 1 1             3 1 1 3
                                                            
       c) Si a = 2 serà M =  1 2 2  ,       M ' =  1 2 2 4  . En aquest cas les equacions
                                1 2 2             1 2 2 4
                                                            
          implícites de r no defineixen cap recta (representen dos plans coincidents).

                               − 2 1     1         − 2 1      1     3 
                                                                      
       d) Si a = −3 serà M =  1      2 − 3 , M ' =  1    2 −3 4 
                                1 −3 2              1 − 3 2 − 6
                                                                      
          i rang M = 2 , rang M ' = 3
           El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.

                                                   x − 2z = 1        x + y + z =1
       3.      Posició relativa de les rectes r :             i   s:                  segons els valors
                                                  y−z=2              x − 2 y + 2z = a
               de a .

                                     1 0 − 2        1 0 − 2 1
                                                             
                                    0 1 −1          0 1 −1 2
                       Siguin    M =          i M '= 
                                      1 1  1           1 1  1 1
                                                             
                                    1 − 2 2         1 − 2 2 a
                                                             

         M ' = 4a + 16 s'anul·la si a = −4 .

       a) Si a ≠ −4 serà rang M = 3 i rang M ' = 4 i el sistema format per les quatre equacions
          serà incompatible: les dues rectes es creuaran.

                               1 0 − 2                  1 0 − 2 1 
                                                                   
                              0 1 −1                    0 1 −1 2 
       b) Si a = − 4 serà M =           ,           M '=              i rang M = rang M ' = 3
                                1 1  1                     1 1  1  1 
                                                                   
                              1 − 2 2                   1 − 2 2 − 4
                                                                   

             El sistema serà compatible determinat: les dues rectes seran secants i es tallaran
            en un punt.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                  13

       4.     Posició relativa dels tres plans:          Π1 : x + ky + z = k + 2 , Π 2 : x + y + kz = −2(k + 1) i
               Π 3 : kx + y + z = k     segons els valors de k .


                                          1 k 1                       1 k 1    k+2 
                                                                                        
                               Siguin M =  1 1 k  i             M ' =  1 1 k − 2(k + 1) 
                                          k 1 1                       k 1 1      k      
                                                                                        

             M = k 3 − 3k + 2 . Aplicant la regla de Ruffini comprovem que s'anul·la per a k = 1 i
            k = −2

       a) Si k ≠ 1 i k ≠ −2 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres
          equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt
          comú.

                              1 1 1              1 1 1 3 
                                                            
       b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 ,        M ' = 1 1 1 − 4  i rang M = 1, rang M ' = 2 . El
                              1 1 1              1 1 1 1 
                                                            
          sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.

                                  1 −2 1                           1 −2 1  0 
                                                                             
       c) Si k = −2 serà M =  1      1 − 2 ,                 M '=  1  1 −2 2 
                                 − 2 1  1                         − 2 1 1 − 2
                                                                             
          i rang M = rang M ' = 2 .

            El sistema és compatible indeterminat uniparamàtric: els tres plans són secants i
            es tallen en una recta.

       5.     Posició relativa segons els valors de                      k   dels plans   Π1 : kx + y + z − 4 = 0 ,
               Π2 : x + y + z + 1 = 0     i Π 3 : x − ky + z − 1 = 0 .


                                            k 1 1         k 1 1 − 4
                                                                    
                               Siguin M =  1 1 1 i M ' =  1 1 1 1 
                                            1 − k 1       1 − k 1 −1
                                                                    
             M = k 2 −1     s'anul·la per a k = 1 i k = −1

       a) Si k ≠ 1 i k ≠ −1 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions
          serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú.

                            1 1 1               1 1 1 − 4 
                                                             
       b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 1  i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El
                            1 − 1 1             1 − 1 1 − 1 
                                                             
          sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                      14

                 1 1 1                1 1 1 − 4 
            rang 
                 1 1 1 = 1 i rang   1 1 1 1  = 2 , els plans Π 1 i Π 2 seran paral·lels
                                                   
                                                
           diferents i Π 3 els tallarà.
                                  − 1 1 1         −1 1 1 − 4
                                                              
       c) Si k = −1 serà M =  1 1 1 , M ' =  1 1 1 1  i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El
                                  1 1 1           1 1 1 −1
                                                              
          sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
               1 1 1                 1 1 1 1 
               1 1 1 = 1 i
          rang                       1 1 1 − 1 = 2 , els plans Π 2 i Π 3 seran paral·lels
                                  rang          
                                              
          diferents i Π 1 els tallarà.



           Observació: Per a calcular la intersecció de dues varietats lineals es resol el
           sistema format per les seves equacions generals (plans) i implícites (rectes).

           Cas particular (mètode alternatiu)
           Per    a calcular la intersecció d’una recta donada en forma paramètrica:
                 x = p1 + α u1
                
            r :  y = p 2 + α u 2 i un pla donat en forma general: Ax + By + Cz + D = 0 es pot
                z = p +α u
                      3       3

           resoldre l’equació:

                                      A( p1 + α u1 ) + B( p2 + α u2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0

           i el valor de α calculat se substitueix a les equacions paramètriques de la recta. El
           punt ( x , y , z ) obtingut així és la intersecció de la recta i el pla.



                                           VII       Feix de plans

                                  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
       Donada la recta        r:  1
                                  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

       (equacions implícites), s’anomena feix de plans
       determinat per r (o pels plans que la defineixen) el
       conjunt de tots els plans que contenen r .

       La recta es diu eix del feix. L’equació del feix és:


        α ( A1 x + B1 y + C1 z + D 1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0                        r



       Donant valors a α i β s’obtenen les equacions dels plans del feix.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                  15

                 VIII        Perpendicularitat de varietats lineals
          VIII.1 Rectes perpendiculars

          Es diu que les rectes r :( x , y , z ) = P + α u       i                                     r⊥s
                                                                                   s
          s :( x , y , z ) = Q + β v   són perpendiculars si els
          seus vectors directors són ortogonals: u · v = 0                                 v
                                                                                                  u

          Poden ser secants o creuar-se.
                                                                          r
          Es denota:              r⊥s



          VIII.2 Recta i pla perpendiculars
                                                                                                       r⊥Π
          Es diu que la recta r : ( x , y , z ) = P + α u i el pla
          Π : Ax + By + Cz + D = 0 són perpendiculars si el                            u
          vector director de la recta és vector normal al pla.
                                                                              Π
          Es denota:              r⊥ Π
                                                                                           r


          Observació: Si una recta és perpendicular a un pla, també ho serà a totes les
          rectes contingudes en el pla.


          VIII.3 Plans perpendiculars

          Es diu que els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i
                                                                                                      Π 1 ⊥Π 2
          Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 són perpendiculars si
          els vectors normals respectius són ortogonals:
                                                                     Π1
                                          n1· n 2 = 0                             ( A2 , B2 , C2 )

          Es denota:              Π1 ⊥ Π 2
                                                                                               ( A1 , B1 , C1 )
                                                                                                         Π2
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                           16
       IX      Condicions de paral·lelisme i de perpendicularitat

            Considerem les rectes r , de vector director u = (u1 , u 2 , u 3 ) i s , de vector director
            v = (v1 , v 2 , v3 ) i els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0



                                                Paral·lels                           Perpendiculars

                                       u i v lin. dep., és a dir:                     u ⊥v       és a dir:
                    r i s
                                                   u =kv                                    u ·v = 0
                                                                                     u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 0

                                       u ⊥ ( A1 , B1 , C1 )       és a dir:    u i    ( A1 , B1 , C1 ) lin. dep.:
                    r i Π1
                                           Au1 + B u2 + C u3 = 0                     u = k · ( A1 , B1 , C1 )


                                     ( A1 , B1 , C1 )  i ( A2 , B2 , C2 )      ( A1 , B1 , C1 ) ⊥ ( A2 , B2 , C2 ) ,
                   Π1 i Π 2                 lin. dep., és a dir:                          és a dir:
                                     ( A1 , B1 , C1 ) = k · ( A2 , B2 , C2 )       A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0




                                   X       Projeccions ortogonals
                S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre el pla Π la intersecció P '
                del pla amb la recta r perpendicular a Π que passa per P (Fig. 1)

                S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre la recta r la intersecció P '
                de la recta amb el pla Π perpendicular a r que passa per P (Fig. 2)

                S’anomena projecció ortogonal de la recta r sobre el pla Π la recta s ,
                intersecció del pla amb el pla Π ' perpendicular a Π que conté r (Fig. 3)


                             P
                                                                                                               r
                                                              P
                                                                                                 Π'                    s
                              P'                                       P’      Π
                                                                                                                   Π
                                       Π

                             r                            r

                       Fig. 1                                     Fig. 2                              Fig. 3
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                               17

                         XI       Angles entre varietats lineals
          XI.1 Angle entre dues rectes
          Donades les rectes r i s de vectors
          directors respectius u i v , s’anomena                                                     u
                                                                                v
          angle entre r i s el nombre α      que                                                         α
          compleix:                                                r                         v            v
                                                                                s
                         u ·v                     π
            cos α =               ,       0≤α ≤
                        u · v                     2
          Les rectes poden ser secants o creuar-se.

                                              r s ⇔ α =0
                                                            π
                                              r⊥s ⇔α =
                                                            2

          XI.2 Angle entre una recta i un pla

          Donada la recta r , de vector director u          i el
                                                                                         n
          pla Π , de vector normal n , s’anomena angle                                               u
          entre r i Π el nombre α que compleix:
                                                                                                 α
                         u ·n                     π
            sin α =               ,       0≤α ≤                             Π
                        u · n                     2
                                                                                r

                      r Π ⇔ α =0
                                      π
                      r ⊥Π ⇔α =
                                      2

          XI.3 Angle entre dos plans

          Donats els plans Π 1 i           Π 2 de vectors                                            Π2

          normals respectius n1 i n2 , s’anomena                                    n1
          angle entre Π 1 i Π 2 el nombre α que
          compleix:
                                                                       n2
                                                                                α
                                                                                                          Π1
                        n1 · n2                   π
            cos α =               ,       0≤α ≤
                       n1 · n 2                   2
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                                18

                                          Π1 Π 2 ⇔ α = 0
                                                                   π
                                          Π1 ⊥ Π 2 ⇔ α =
                                                                      2


                     XII         Distàncies entre varietats lineals
          XII.1 Distància entre dos punts

          La distància entre els punts P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) és el nombre:
                                                                                                                            Q
                                                  2               2                 2
           d ( P , Q ) = PQ =       ( q1 − p1 )       + ( q2 − p2 ) + ( q3 − p3 )
                                                                                                              d(P, Q)
                                                                                                 P


          En general es definex la distància entre dues varietats lineals com la mínima
          distància que hi ha entre els punts d’una i els punts de l’altra.


          XII.2 Distància d’un punt a un pla

          La distància del punt P = ( p1 , p 2 , p3 ) al pla                                              P
           Π : Ax + By + Cz + D = 0 és la que hi ha entre el punt P
          i la seva projecció ortogonal P ' sobre el pla.                                    d (P , Π )

                         A p1 + B p2 + C p3 + D                                                           P'
           d( P, Π ) =
                                 A2 + B 2 + C 2                                                                     Π


             P ∈Π ⇔ d( P, Π ) = 0



          XII.3 Distància d’un punt a una recta
          La distància del punt P a la recta
          r : ( x , y , z ) = Q + α u és la que hi ha entre
                                                                                        P
          el punt P i la seva projecció ortogonal P '
          sobre la recta.                                                                                               r
                                                                           d (P, r)
                         PQ ∧ u                                                                       Q   u
            d (P, r) =
                             u
                                                                                            P’

            P∈r ⇔ d( P, r ) = 0
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                 19

          XII.4 Distància entre dos plans
          La distància entre els plans paral· lels                                                 P         Π

                       Π : Ax + By + Cz + D = 0 i
                       Π ': Ax + By + Cz + D ' = 0                             d ( Π , Π ')
                                                                                                             Π'
          és la que hi ha entre un punt qualsevol de Π                                             P'
          i Π'

                              D − D'
            d( Π, Π ' ) =
                            A + B2 + C 2
                              2




          Per a aplicar aquesta fórmula cal que les equacions dels plans tinguin els mateixos
          coeficients A , B i C

          XII.5 Distància entre dues rectes
              Si les rectes r i s són
          secants, la distància entre                       r        P
          elles és d (r , s ) = 0 .                                                                     Π

              Si    les    rectes     són              d(r , s)
          paral·leles, la distància entre
          elles és la que hi ha entre un           s                            Q
                                                                          P'                            Π'
          punt qualsevol d’una i l’altra.

              Si r i s es creuen, la
          distància ente elles és la que hi ha entre el pla Π que conté r i és paral· lel a s i el pla
          Π ' que conté s i és paral·lel a r .
          Si r : ( x , y , z ) = P + α u i s : ( x , y , z ) = Q + β v i no són paral·leles (vectors directors
          linealment independents) la distància és:


                                             d( r , s ) =
                                                            det   ( PQ , u , v )
                                                                    u ∧v

          En aquest cas, la distància entre les rectes és la que hi ha entre els punts d’intersecció
          de cada una amb la recta perpendicular i secant a totes dues.

          XII.6 Distància d’una recta a un pla

             Si la recta i el pla són secants o la recta              r                       P
          està continguda en el pla, la distància és 0.

              Si la recta és paral· lela al pla, la
          distància serà la que hi ha entre un punt                                           P’
          qualsevol de la recta i el pla.                            Π
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                         20

   XIII       Alguns exemples de determinació de rectes i plans

            XIII.1      Nocions prèvies

        A)     Intersecció de dues rectes

       ♦ Si les rectes estan donades de forma implícita, cal resoldre el sistema format per les
            quatre equacions.

       ♦ Si les rectes estan donades de forma paramètrica (o vectorial) s'igualen x, y i z i es
            calculen els paràmetres resolent el sistema:

                 x = p1 + α u1          x = q1 + β v1                        p1 + α u1 = q1 + β v1
                                                                            
            r :  y = p2 + α u 2    s :  y = q 2 + β v2                       p2 + α u 2 = q2 + β v2
                z = p +α u             z = q + β v                          p +α u = q + β v
                      3      3               3       3                       3        3    3      3



       B)      Intersecció d'una recta i un pla

       ♦ Si la recta està en forma implícita i el pla en forma general, es resol el sistema format
         per les tres equacions.
       ♦ Si la recta està donada en forma paramètrica (o vectorial) i el pla en forma general, se
         substitueixen les expressions de x, y i z de l'equació de la recta en l'equació del pla i
         es calcula el paràmetre:

            x = p1 + α u1
           
       r :  y = p2 + α u 2
           z = p +α u                                     A( p1 + α u1 ) + B ( p2 + α u 2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0
                 3      3

       Π : Ax + By + Cz + D = 0


       C)     Intersecció de dos plans

      Les equacions generals dels dos plans ja són les equacions implícites de la recta
      intersecció (sempre que no siguin paral·lels).


       D)     Càlcul del vector director d'una recta donada de forma implícita

                  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
       Sigui r :  1                               Un vector director pot ser:
                  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
                                                     u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 )
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                   21
       També es pot resoldre el sistema format per les dues equacions (que és compatible
       indeterminat uniparamètric). La solució ens dóna l'expressió paramètrica de la recta i, per
       tant, un vector director.

                                                                                   5 − 3y + z
                                                            2x + 3 y − z = 5  x=       2
                                                                              
                    2x + 3y − z = 5
       Exemple: r :                   2 x + 3 y − z = 5         −3 + 5 z        −3 + 5 z
                                      ⇔                  ⇔ y=               ⇔y=             ⇔
                    x − 4 y + 2z = 4   − 11 y + 5 z = 3            11              11
                                                            z =α
                                                                               z =α
                                                                               
                                                                               
              32 2
          x = 11 − 11 α
         
                3 5                                         2 5 
       ⇔ y = − + α                    Vector director: u =  − , , 1 o bé: v = (−2, 5, 11)
               11 11                                        11 11 
         z =α
         
         
                                              3 −1 −1 2 2 3 
       Noteu que (2, 3, − 1) ∧ (1, − 4, 2) =       ,    ,      = (2, − 5, − 11) n’és també
                                              −4 2   2 1 1 −4 
       vector director


           XIII.2 Determinació de rectes

       1 Recta r que passa per dos punts P i Q

                                                                                                               r
       El vector PQ és vector director de la recta. Si
        P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) , l'equació vectorial de la                      Q
       recta r és:                                                                        P


                ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α (q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 )


                                x − p1   y − p2   z − p3
       i la contínua:                  =        =                       (sempre que els denominadors no siguin
                                q1 − p1 q2 − p2 q3 − p3
       nuls.)


       2 Recta s que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r

           Si u és vector director de la recta r , l'equació
                                                                                                           r
           vectorial de la recta és:           ( x , y , z) = P + α u      .                  u
           Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i r està donada en forma                         Q
           implícita:                                                                                          s
                            Ax + By + Cz + D = 0                                         P        u
                        r:
                           A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                22
           les equacions de la recta seran:

                                       A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
                                    s:
                                       A '( x − p1 ) + B '( y − p2 ) + C '( z − p3 ) = 0

         També es pot considerar com a vector director de la recta s el vector:

                                                      v = ( A , B , C ) ∧ ( A ', B ', C ')



       3 Recta r que passa per un punt P i és perpendicular a un pla Π


       Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i   Π : Ax + By + Cz + D = 0 ,
                                                                                             u = ( A, B , C)
       el vector u = ( A , B , C ) (normal al pla) és
       vector director de la recta r i la seva equació
       vectorial és:                                                                         P

                   (x , y , z) = P + α ( A , B , C)
                                                                               Π
                             x − p1 y − p2 z − p3                                            r
       i la contínua:              =      =
                               A      B      C

       (sempre que els denominadors no siguin nuls)


       4 Recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans Π i Π '

       ♦ Si els plans són paral·lels, hi ha una infinitat de
         rectes possibles; només cal prendre com a vector
         director qualsevol vector ortogonal al vector
         normal a Π (o a Π ' ).

       ♦ Si les equacions dels plans són:

                          Π : Ax + By + Cz + D = 0                                                              P
                          Π ': A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0

           i no són paral·lels, aquestes representen una                                                        r
           recta s en forma implícita; la recta r és paral·lela
                                                                                                           Π'
           a s i es calcula com a l'apartat XIII.2-2.                                Π
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                         23

       5 Recta r que passa pel punt P i és perpendicular a dues rectes s i t


       ♦ Si s i t són paral·leles, hi
         ha una infinitat de solu-
         cions possibles; només cal
         prendre com a vector direc-                                 v                   u =v ∧w
         tor de r qualsevol vector                  t           Q
         ortogonal al vector director
         de s (o de t ).                                                        w
                                                s                   Q'                   P
       ♦ Si s i t no són paral·leles i
         tenen vectors directors res-                                                    r
         pectius v i w , el vector
            u =v ∧w      és vector director de la recta r i la seva equació vectorial serà:

                                           (x , y , z) = P + α u



       6 Recta r que talla perpendicularment dues rectes s i t


       ♦ Si s i t són paral·leles hi ha
         una infinitat de rectes possi-                     t
         bles.
       ♦ Si s passa pel punt P i té                                         u =v ∧w
         vector director v ; i t passa
         pel punt Q i té vector direc-
          tor w (i s i t no són paral-
          leles), es calcula el vector                                              w
                                                                                                     s
           u = v ∧ w (ortogonal a tots
          dos).
                                                                v
          La recta       r   serà la
          intersecció del pla Π que
          passa per P i té vectors                      P
                                                                            r
          directors v i u i el pla Π '
          que passa per Q i té vectors
          directors w i u .
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                          24

       7 Recta r que passa pel punt P i talla dues rectes que es creuen s i t


       És la intersecció del pla Π
       que conté P i la recta s amb
       el pla Π ' que conté P i la
       recta t .                                                                                  s
                                                           Π'
       Vegeu a l'apartat                XIII.3-6
       com es calculen                 aquests
       plans.                                                                                         s
                                                                                  P



                                                       Π
                                                                   P
                                                                                      r
                                                                                          t



           XIII.3 Determinació de plans


       1 Pla Π que passa per tres punts P , Q i R

       ♦ Si els tres punts estan alineats, hi ha una infinitat
         de plans possibles (tot un feix.)
       ♦ Si els tres punts no estan alineats, els vectors                                     Q
         PQ i PR són vectors directors del pla Π .                                                R

       Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) , Q = (q1 , q 2 , q3 ) i R = (r1 , r2 , r3 ) ,
                                                                                      P
          l'equació general del pla serà:                                                     Π



                              x − p1    q1 − p1     r1 − p1
                              y − p2    q2 − p 2    r2 − p2 = 0
                              z − p3    q3 − p3     r3 − p3
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                               25

       2 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla Π '


       ♦ Si el pla Π ' té vectors directors u i
          v l'equació vectorial del pla Π és:                               n = ( A, B , C)


                   ( x , y , z) = P + α u + β v                                                       v                Π
                                                                        P                             u
       ♦ Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i l'equació del
         pla Π ' és Ax + By + Cz + D = 0 , l'e-
                                                                             n = ( A, B , C)
         quació del pla Π serà:

                                                                                                      v
             A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0               Q                                     u
                                                                                                                  Π'




       3 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel a dues rectes r i s

       ♦ Si r i s són paral·leles hi
         ha una infinitat de plans                                                                    r
         possibles (tot un feix.)
       ♦ Si r i s no són paral·leles                        u                                             v
                                                       Q                           Q'
         i tenen vectors directors                                                                                 s
         respectius u i v , l'equa-
         ció vectorial del pla serà:
                                                                P            u
                                                                                      v                   Π
            ( x , y , z) = P + α u + β v




       4 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla determinat per dues rectes paral·
         leles r i s

       ♦ Si r = s , hi ha una infinitat de
         plans possibles (tot un feix.)                                               QR                          Π
       ♦ Si r passa per Q i té vector                                   P                         u
          director u , i s passa per R i té
          vector director v (i r ≠ s ), els                                                   v
                                                                                  R                                        s
          vectors QR i u (o QR i v ) són
          vectors directors del pla, i la seva                      Q                     u
          equació vectorial és:
                                                                                                                       r
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                 26
                                                    ( x , y , z ) = P + α u + β QR

       5 Pla Π que conté el punt P i és perpendicular a la recta r

       ♦ Si     P = ( p1 , p 2 , p3 ) i la recta r té vector
          director u = (a , b , c) , aquest vector serà nor-
                                                                                                         u
          mal al pla i l'equació general de Π serà:
                                                                                                     Q
                    a ( x − p1 ) + b( y − p2 ) + c( z − p3 ) = 0                       P

       ♦ Si la recta r ve donada de forma implícita:
                                                                                                             Π
                   Ax + By + Cz + D = 0
                r:                                    els vectors
                  A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0                                          r
           u = ( A , B , C ) i v = ( A ', B ', C ') seran
          vectors directors del pla Π .


       6 Pla Π que conté el punt P i la recta r

       ♦ Si el punt P pertany a la recta r hi ha una
         infinitat de plans possibles (tot un feix.)                                                     r
       ♦ Si r passa per Q i té vector director u (i                                Q
                                                                                                     u
          P no pertany a r ), els vectors u i PQ                                                 P
          són vectors directors del pla i la seva
          equació vectorial serà:                                                                    Π

                ( x , y , z ) = P + α u + β PQ
                                                        Ax + By + Cz + D = 0
       ♦ Si la recta ve donada de forma implícita: r :                                el pla buscat
                                                       A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
         serà del feix que té per eix la recta r :

                                k ( Ax + By + Cz + D ) + k '( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 0

          i es calcula substituint x , y i z per les coordenades de P i calculant k i k ' .
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                                             27

       7     Pla que conté una recta r i és paral·lel a una altra recta s

       ♦ Si les rectes són paral·leles hi
         ha una infinitat de solucions
                                                                                                    u               r
         (tot el feix de plans que té per
         eix la recta r ).                                                          P
                                                                                                                v
       ♦ Si les dues rectes no són                                                                                      Π
         paral·leles, els seus vectors
         directors respectius, u i v
         són vectors directors el pla.                                            Q                     v               s
         Si P és un punt de la recta
         r , l'equació del pla serà:

                 ( x, y , z ) = P + α u + β v


             Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i u ∧ v = ( A, B, C ) , l'equació del pla serà:

                                                A( x − p1 ) + B ( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0



       8     Pla que conté el punt P i és perpendicular als plans Π1 i Π 2


       ♦ Si els plans són paral·lels hi ha
         una infinitat de solucions.
       ♦ Suposem que els plans no són
         paral·lels i que les seves equa-
         cions són:

              Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
              Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
                                                                                                P
           Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i

           ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) = ( A, B, C )
                                                                                                                            Π2
                                                                  Π1
           l'equació del pla serà:
                                                                                                            r
             A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________
                                                                                                             28

       9    Pla que està a una distància d del pla Π

       Si Π : Ax + By + Cz + D = 0 , el pla buscat tindrà per
       equació: Ax + By + Cz + D ' = 0                on     D ' es calcula                             Π1
       re-solent l'equació:                                                                d

                                                                                                        Π
                                          D − D'
                                                         =d                                d
                                       A2 + B 2 + C 2
                                                                                                        Π2
       Hi haurà dues solucions


       Simètric d'un punt P respecte d'un pla Π

       Suposem que Π : Ax + By + Cz + D = 0 .                                             P
                                                                                      r
       1) Es busca la recta que passa per P i és
          perpendicular a Π :

                     r : ( x, y, z ) = P + α ( A, B, C )                                  Q

       2) Es calcula la intersecció de la recta amb el                                              Π
          pla: Q = r ∩ Π

       3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ                                         P'



       Simètric d'un punt P respecte d'una recta r

       Suposem que
          r : ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) .

                                                                              Π   P
       1) Es busca el pla que passa per P = ( p1 , p2 , p3 )                                        r
          i és perpendicular a r :
                                                                                           Q
                  Π : u1 ( x − p1 ) + u2 ( x − p2 ) + u3 ( x − p3 ) = 0
                                                                                               P'
       2) Es calcula la intersecció de la recta amb el pla:

                                              Q = r∩Π


       3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Joc derivades batx
Joc derivades batxJoc derivades batx
Joc derivades batxxaviermoron
 
Funcions 4t eso matemàtiques
Funcions 4t eso matemàtiquesFuncions 4t eso matemàtiques
Funcions 4t eso matemàtiquesrbnterrassa
 
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Mònica Orpí Mañé
 
Aplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica OrpíAplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions) Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions) sandrukkii
 
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíIntegrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Las funciones exponencial y logaritmica
Las funciones exponencial y logaritmicaLas funciones exponencial y logaritmica
Las funciones exponencial y logaritmicatoniarroyo9
 
1 Límits i continuïtat de funcions
1 Límits i continuïtat de funcions1 Límits i continuïtat de funcions
1 Límits i continuïtat de funcionsAlbert Sola
 
L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...
L’∞  I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...L’∞  I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...
L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...Mònica Orpí Mañé
 
Funciones
FuncionesFunciones
FuncionesEVAMASO
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)sandrukkii
 
Teoria funcions
Teoria funcionsTeoria funcions
Teoria funcionsmbalag27
 
Introducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESOIntroducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESOAlbert Sola
 
Repàs Funcions Matemàtiques 4t ESO
Repàs Funcions Matemàtiques 4t ESORepàs Funcions Matemàtiques 4t ESO
Repàs Funcions Matemàtiques 4t ESOrbnterrassa
 
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSDerivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSAlbert Sola
 
001 complexos__teoria
001  complexos__teoria001  complexos__teoria
001 complexos__teoriamanolobecks
 

Mais procurados (20)

Joc derivades batx
Joc derivades batxJoc derivades batx
Joc derivades batx
 
Funcions 4t eso matemàtiques
Funcions 4t eso matemàtiquesFuncions 4t eso matemàtiques
Funcions 4t eso matemàtiques
 
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
 
Aplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica OrpíAplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica Orpí
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions) Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)
 
Funcions
Funcions Funcions
Funcions
 
Funcions
FuncionsFuncions
Funcions
 
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíIntegrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
 
Las funciones exponencial y logaritmica
Las funciones exponencial y logaritmicaLas funciones exponencial y logaritmica
Las funciones exponencial y logaritmica
 
1 Límits i continuïtat de funcions
1 Límits i continuïtat de funcions1 Límits i continuïtat de funcions
1 Límits i continuïtat de funcions
 
L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...
L’∞  I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...L’∞  I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...
L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)
 
Teoria funcions
Teoria funcionsTeoria funcions
Teoria funcions
 
Funcions
FuncionsFuncions
Funcions
 
Introducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESOIntroducció a les funcions 2n ESO
Introducció a les funcions 2n ESO
 
Repàs Funcions Matemàtiques 4t ESO
Repàs Funcions Matemàtiques 4t ESORepàs Funcions Matemàtiques 4t ESO
Repàs Funcions Matemàtiques 4t ESO
 
Wiki Mates
Wiki MatesWiki Mates
Wiki Mates
 
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSDerivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
 
001 complexos__teoria
001  complexos__teoria001  complexos__teoria
001 complexos__teoria
 

Semelhante a Varietats Lineals Colors

Rectes en el pla
Rectes en el plaRectes en el pla
Rectes en el plaannaines
 
Aleix villarino y rodrigo alvarez
Aleix villarino y rodrigo alvarezAleix villarino y rodrigo alvarez
Aleix villarino y rodrigo alvarezRodrigo Alvarez
 
Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).
Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).
Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).SophieMoreno3
 
Recta_ TEORIA 4T ESO
Recta_ TEORIA 4T ESORecta_ TEORIA 4T ESO
Recta_ TEORIA 4T ESOmariona09
 
Presentacio Geometria Analitica2
Presentacio Geometria Analitica2Presentacio Geometria Analitica2
Presentacio Geometria Analitica2jmulet
 
Rectes en el pla
Rectes en el plaRectes en el pla
Rectes en el plamarinaairam
 
Matematiques pol i arnau
Matematiques pol i arnauMatematiques pol i arnau
Matematiques pol i arnauPolarnau
 
Rectes en el pla
Rectes en el plaRectes en el pla
Rectes en el plaariadnanx
 

Semelhante a Varietats Lineals Colors (10)

Rectes en el pla
Rectes en el plaRectes en el pla
Rectes en el pla
 
Aleix villarino y rodrigo alvarez
Aleix villarino y rodrigo alvarezAleix villarino y rodrigo alvarez
Aleix villarino y rodrigo alvarez
 
Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).
Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).
Unitat de vectors, matemàtiques de primer de batxillerat (versió resum).
 
Recta_ TEORIA 4T ESO
Recta_ TEORIA 4T ESORecta_ TEORIA 4T ESO
Recta_ TEORIA 4T ESO
 
Presentacio Geometria Analitica2
Presentacio Geometria Analitica2Presentacio Geometria Analitica2
Presentacio Geometria Analitica2
 
Rectes
RectesRectes
Rectes
 
Rectes en el pla
Rectes en el plaRectes en el pla
Rectes en el pla
 
Sergi casas - Víctor soria
Sergi casas - Víctor soriaSergi casas - Víctor soria
Sergi casas - Víctor soria
 
Matematiques pol i arnau
Matematiques pol i arnauMatematiques pol i arnau
Matematiques pol i arnau
 
Rectes en el pla
Rectes en el plaRectes en el pla
Rectes en el pla
 

Varietats Lineals Colors

  • 1. Varietats lineals a l’espai Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner I Definicions I.1 Recta Donats un punt P ∈ » 3 i un vector no nul z u ∈ V3 s’anomena recta que conté el Q punt P (o que passa pel punt P ) i té la direcció del vector u (o vector u P r director u ) el conjunt: y { r = Q ∈ »3 PQ = α · u } Equival a dir que PQ i u són linealment x { dependents (és a dir rang PQ , u = 1 ). } Una recta també s’anomena varietat lineal de dimensió 1. Qualsevol vector no nul que tingui la mateixa direcció que u també és vector director de la recta. I.2 Pla Donats un punt P ∈ » 3 i dos vectors no z nuls u i v de V3 linealment indepen- Q dents, s’anomena pla que conté el punt v P (o que passa pel punt P ) i té la u direcció dels vectors u i v (o vectors P Π y directors u i v ) el conjunt: { Π = Q ∈ »3 PQ = α · u + β · v } x Equival a dir que PQ , u i v són linealment dependents (és a dir { } rang PQ , u , v = 2 ). Un pla també s’anomena varietat lineal de dimensió 2. Qualsevol parella de vectors no nuls linealment independents que siguin combinació lineal de u i v també són vectors directors del pla.
  • 2. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 2 II Equacions d’una varietat lineal II.1 Equacions d’un pla Sigui Π el pla que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vectors directors u = (u1 , u 2 , u 3 ) i v = (v1 , v 2 , v3 ) . Equació vectorial: ( x , y , z) = P + α u + β v α ∈» , β ∈» En forma analítica: ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) + β · ( v1 , v2 , v3 ) α ∈» , β ∈»  x = p1 + α u1 + β v1  Equacions paramètriques:  y = p2 + α u2 + β v2  z = p +α u + β v  3 3 3 x − p1 u1 v1 ( ) Equació general ( o implícita o cartesiana): y − p2 u2 v2 = 0 * z − p3 u3 v3 Desenvolupant el determinant s’obté una igualtat de la forma: Ax + By + Cz + D = 0 El vector n = ( A , B , C ) té la mateixa direcció que el producte vectorial dels n = ( A, B , C) vectors directors: n = k · u ∧ v . ( ) Per tant, és ortogonal als vectors directors; v s’anomena vector normal associat al pla u o vector característic del pla. Π Pas d’una equació a una altra ( ) De paramètriques a general: Només cal desenvolupar la igualtat * anterior. De general a paramètriques: Cal resoldre l’equació aïllant-ne les variables.
  • 3. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 3  2  x = 4 + 3 α − 2β 12 + 2 y − 6 z  Exemple: 3 x − 2 y + 6 z − 12 = 0 ⇔ x = ⇔ y = α 3 z =β   És un pla que passa per P = (4, 0, 0) i té vectors directors: u = ( 2 / 3, 1, 0) ) , v = (− 2, 0, 1) II.2 Equacions d’una recta Sigui r la recta que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vector director u = (u1 , u 2 , u 3 ) Equació vectorial: ( x , y , z) = P + α u α ∈» En forma analítica: ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) α ∈»  x = p1 + α u1  Equacions paramètriques:  y = p2 + α u2  z = p +α u  3 3 x − p1 y − p2 z − p3 Equacions contínues: = = (sempre que els denominadors no u1 u2 u3 siguin nuls).  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Equacions implícites:  (suposant que el sistema sigui  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 compatible indeterminat). Els punts de la recta són les solucions del sistema, és a dir els punts en què es tallen els plans representats per les dues equacions. Observació: El vector u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) és vector director de la recta. Pas d’una equació a una altra De contínues a implícites: Només cal separar les dues igualtats i formar un sistema. x−3 y x−3 y  2 = −3  −3( x − 3) = 2 y −3 x − 2 y + 9 = 0 Exemple: = = z+4 ⇒ ⇔ ⇔  2 −3  y = z+4  y = −3( z + 4)  y + 3 z + 12 = 0  −3  D’implícites a paramètriques: Cal resoldre el sistema format per les dues equacions.
  • 4. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 4  x = y + z −1  x − y − z +1 = 0  x − y − z +1 = 0 y =α  Exemple:  ⇔ ⇔ ⇔ − x − 5 y − z + 27 = 0 −6 y − 2 z + 28 = 0  z = −28 + 6 y   −2  x = 13 − 2α  x − 13 z − 14 ⇔ y =α En forma contínua: =y=  z = 14 − 3α −2 −3  III Paral·lelisme i incidència de varietats lineals Es diu que dues rectes r i s són paral·leles si els seus vectors directors són linealment dependents (és a dir si el conjunt format pels dos vectors té rang 1). El vector director de l’una també ho és de l’altra. Es representa: r s Es diu que dos plans Π i Π ' són paral·lels si els vectors directors d’un són combinació lineal dels vectors directors de l’altre (és a dir si el conjunt format pels quatre vectors té rang 2). Els vectors directors de l’un també ho són de l’altre. Es representa: Π Π ' Es diu que una recta r és paral·lela a un pla Π si el vector director de la recta és combinació lineal dels vectors directors del pla. (és a dir si el conjunt format pels tres vectors té rang 2). Es representa: r Π Es diu que dues varietats lineals són incidents si tenen punts en comú. Si tots els punt d’una són de l’altra i viceversa es diuen coincidents (en aquest cas són paral·leles). Els punts comuns a totes dues formen la intersecció de les dues varietats. Si una recta és paral·lela i incident a un pla es diu que està continguda en el pla. IV Rectes i plans especials IV.1 Plans Paral·lel al pla YZ Paral·lel al pla XZ Paral·lel al pla XY Equació: x = k Equació: y=k Equació: z=k Vector normal: Vector normal: Vector normal: n = (1, 0, 0) n = (0, 1, 0) n = (0, 0, 1) z z z k k O y y y O k O k x x x
  • 5. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 5 Paral·lel a l’eix OX Paral·lel a l’eix OY Paral·lel a l’eix OZ Equació: By + Cz + D = 0 Equació: Ax + Cz + D = 0 Equació: Ax + By + D = 0 Vector normal: Vector normal: Vector normal: n = (0, B, C ) n = ( A, 0, C ) n = ( A, B, 0) z z z y O y y O O x x x IV.2 Rectes Paral·lela a l’eix OZ Paral·lela a l’eix OY Paral·lela a l’eix OX x = a x = a y = b Equacions:  Equacions:  Equacions:  y = b z = c z = c Vector director: Vector director: Vector director: u = (0, 0, 1) u = (0, 1, 0) u = (1, 0, 0) z z z c c O b y y b y a O O a x x x
  • 6. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 6 V Posició relativa de varietats lineals V.1 Dos plans Sigui Π 1 el pla que passa per P i té vectors directors u1 i v1 , i Π 2 el pla que passa per Q i té vectors directors u 2 i v 2 . Suposem que les equacions generals respectives són: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Considerem les matrius de coeficients i l’ampliada del sistema format per les dues  A B1 C1   A B1 C1 D1  equacions: M = 1 A B C   i M'= 1 A B C D    2 2 2  2 2 2 2 Plans coincidents { } rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i rang u1 , v1 , PQ = 2{ } ( és a dir: det u1 , v1 , PQ = 0 ) rang M = rang M ' = 1 (Coeficients proporcionals. Sist. comp. indet. biparamètric) P u1 u2 v1 Q v2 Π1 = Π 2 Plans paral·lels diferents P u1 { } rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i v1 rang {u , v , PQ }= 3 1 1 Π1 és a dir: det ( u , v , PQ ) ≠ 0 1 1 u2 Q rang M = 1 , rang M ' = 2 v2 (Sist. incompatible) Π2 Π1 Π 2 i Π1 ≠ Π 2
  • 7. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 7 Plans secants u1 { } rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 3 Π2 v1 P rang M = rang M ' = 2 u2 Q v2 (Sist. comp. indet. uniperamètric: es tallen en una Π1 recta) Π1 ∩ Π 2 ≠ ∅ V.2 Recta i pla Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i Π el pla que passa pel punt Q i té vectors directors v i w .  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Suposem que r: 1 i Π : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres  A1 B1 C1   A1 B1 C1 D1      equacions: M =  A2 B2 C 2  i M ' =  A2 B2 C 2 D2  A B C  A B C D   3 3 3   3 3 3 3  Recta continguda en el pla P { } { rang u , v , w = rang PQ , v , w }= 2 Q u Π v r és a dir: det ( u , v , w ) = det ( PQ , v , w ) = 0 w rang M = rang M ' = 2 (Sist. comp. indet. uniparamètric) r⊂Π Recta exterior i paral·lela al pla { } rang u , v , w = 2 i P u r rang {PQ , v , w } = 3 és a dir: det ( u , v , w ) = 0 i v Π Q w det ( PQ , v , w ) ≠ 0 rang M = 2 i rang M ' = 3 (Sist. incompatible) r Π i r ∩Π = ∅
  • 8. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 8 Recta i pla secants u { } rang u , v , w = 3 P ( ) és a dir: det u , v , w ≠ 0 v rang M = rang M ' = 3 w Π r (Sist. comp. det.: es tallen en un punt) r ∩Π ≠ ∅ V.3 Dues rectes Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i s la recta que passa per Q i té vector director v .  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0  A x + B3 y + C 3 z + D3 = 0 Suposem que r :  1 i s: 3  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0  A4 x + B4 y + C 4 z + D4 = 0 Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les quatre  A1 B1 C1   A1 B1 C1 D1       A2 B2 C 2   A2 B2 C 2 D2  equacions: M = i M '=  A3 B3 C 3  A B3 C 3 D3     3  A B C  A B C D   4 4 4  4 4 4 4 Rectes coincidents r=s { } rang u , v , PQ = 1 P Q v u rang M = rang M ' = 2 (Sist. comp. indet. uniparamètric) r Rectes paral·leles diferents u P v { } rang u , v = 1 s rang {u , PQ } = 2 Q rang M = 2, rang M ' = 3 (Sist. incompatible) r s i r∩s=∅
  • 9. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 9 Rectes secants v { } { rang u , v = 2 i rang u , v , PQ = 2 } r Q rang M = rang M ' = 3 u P (Sist. comp. det.: es tallen en un punt) s Els vectors directors de les rectes són vectors directors del pla que les conté. r s i r∩s ≠∅ Rectes que es creuen v Q { rang u , v , PQ = 3 } r ( és a dir: det u , v , PQ ≠ 0 ) u P rang M = 3, rang M ' = 4 s (Sist. incompatible) r s i r∩s =∅ V.4 Tres plans Considerem el plans: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Π 3 : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0 Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres  A1 B1 C1   A1 B1 C1 D1      equacions: M =  A2 B2 C 2  M ' =  A2 B2 C 2 D2  A B C  A B C D   3 3 3  3 3 3 3 i les matrius:  A1 B1 C1 D1   A1 B1 C1 D1   A2 B2 C2 D2  N1 =  A B  N2 =   N3 =    2 2 C2 D2   A  3 B3 C3 D3   A  3 B3 C3 D3    A1 B1 C1   A1 B1 C1   A2 B2 C2  H1 =  A  H2 =   H3 =    2 B2 C2   A  3 B3 C3   A  3 B3 C3   Plans coincidents rang M = rang M ' =1 Π1 = Π 2 = Π 3 (Sist. comp. indet. biparamètric)
  • 10. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 10 Dos plans coincidents i un altre Π3 paral·lel i diferent rang M = 1 i rang M ' = 2 Π1 = Π 2 rang N1 = 1 (Sist. incompatible) Tres plans paral·lels i diferents Π1 Π2 rang M = 1 i rang M ' = 2 Π3 rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2 (Sist. incompatible) Dos plans coincidents i l’altre Π3 secant rang M = rang M ' = 2 Π1 = Π 2 rang N1 = 1 (Sistema comp. indet. uniparamètric: es tallen en una recta) Tres plans secants amb una recta en comú Π1 rang M = rang M ' = 2 Π2 rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2 Π3 (Sist. comp. indet. uniparamètric) Dos plans paral·lels diferents Π3 i l’altre secant a tots dos Π1 rang M = 2 i rang M ' = 3 Π2 rang H1 = 1 (Sist. incompatible)
  • 11. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 11 Plans secants per parelles sense punts en comú Π3 rang M = 2 i rang M ' = 3 rang H1 = rang H 2 = rang H 3 = 2 Π1 Π2 (Sist. incompatible: es tallen dos a dos en tres rectes paral·leles) Plans secants amb un únic punt en comú Π3 rang M = rang M ' = 3 Π2 (Sist. compat. Determinat) Π1 VI Exemples de discussió de posició relativa de rectes i plans de l'espai 1. Posició relativa dels plans Π1 : 2 x + 3 y + 4 z − 5 = 0 i Π 2 : 4 x + ay + 8 z + b = 0 segons els valors de a i b .  2 3 4  2 3 4 − 5 Siguin M =  4 a 8 i M '=  4 a 8 b       a) Òbviament, si a ≠ 6 serà rang M = rang M ' = 2 i el sistema format per les dues equacions serà compatible indeterminat uniparamètric: els plans seran secants i es tallaran en una recta. b) Si a = 6 i b ≠ −10 serà rang M = 1 i rang M ' = 2 i el sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents. c) Si a = 6 i b = −10 serà rang M = rang M ' = 1 i el sistema serà compatible indeterminat biparamètric: els plans seran paral·lels coincidents.  x + 2 y + az = 4 2. Posició relativa del pla Π : ( a + 1) x + y + z = 3 i la recta r :  segons  x + ay + 2 z = 2a els valors de a . a +1 1 1 a +1 1 1 3      Siguin M =  1 2 a i M '=  1 2 a 4  1 a 2  1 a 2 2a     
  • 12. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 12 M = − a 3 − a 2 + 6a = −a(a + 3)(a − 2) s'anul·la per a a = 0 , a = 2 , a = −3 a) Si a ≠ 0 , a ≠ 2 , a ≠ −3 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: la recta i el pla seran secants i es tallaran en un punt. 1 1 1  1 1 1 3     b) Si a = 0 serà M = 1 2 0  , M ' = 1 2 0 4  i rang M = 2 , rang M ' = 3 (es pot 1 0 2  1 0 2 0     comprovar esglaonant les matrius o per menors). El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla. 3 1 1 3 1 1 3     c) Si a = 2 serà M =  1 2 2  , M ' =  1 2 2 4  . En aquest cas les equacions 1 2 2  1 2 2 4     implícites de r no defineixen cap recta (representen dos plans coincidents). − 2 1 1  − 2 1 1 3      d) Si a = −3 serà M =  1 2 − 3 , M ' =  1 2 −3 4   1 −3 2   1 − 3 2 − 6     i rang M = 2 , rang M ' = 3 El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.  x − 2z = 1  x + y + z =1 3. Posició relativa de les rectes r :  i s: segons els valors y−z=2  x − 2 y + 2z = a de a .  1 0 − 2 1 0 − 2 1     0 1 −1 0 1 −1 2 Siguin M = i M '=  1 1 1  1 1 1 1     1 − 2 2  1 − 2 2 a     M ' = 4a + 16 s'anul·la si a = −4 . a) Si a ≠ −4 serà rang M = 3 i rang M ' = 4 i el sistema format per les quatre equacions serà incompatible: les dues rectes es creuaran.  1 0 − 2 1 0 − 2 1      0 1 −1 0 1 −1 2  b) Si a = − 4 serà M =  , M '=  i rang M = rang M ' = 3 1 1 1  1 1 1 1      1 − 2 2  1 − 2 2 − 4     El sistema serà compatible determinat: les dues rectes seran secants i es tallaran en un punt.
  • 13. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 13 4. Posició relativa dels tres plans: Π1 : x + ky + z = k + 2 , Π 2 : x + y + kz = −2(k + 1) i Π 3 : kx + y + z = k segons els valors de k . 1 k 1 1 k 1 k+2      Siguin M =  1 1 k  i M ' =  1 1 k − 2(k + 1)  k 1 1 k 1 1 k      M = k 3 − 3k + 2 . Aplicant la regla de Ruffini comprovem que s'anul·la per a k = 1 i k = −2 a) Si k ≠ 1 i k ≠ −2 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú. 1 1 1 1 1 1 3      b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 − 4  i rang M = 1, rang M ' = 2 . El 1 1 1 1 1 1 1      sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.  1 −2 1   1 −2 1 0      c) Si k = −2 serà M =  1 1 − 2 , M '=  1 1 −2 2  − 2 1 1  − 2 1 1 − 2     i rang M = rang M ' = 2 . El sistema és compatible indeterminat uniparamàtric: els tres plans són secants i es tallen en una recta. 5. Posició relativa segons els valors de k dels plans Π1 : kx + y + z − 4 = 0 , Π2 : x + y + z + 1 = 0 i Π 3 : x − ky + z − 1 = 0 .  k 1 1  k 1 1 − 4     Siguin M =  1 1 1 i M ' =  1 1 1 1   1 − k 1  1 − k 1 −1     M = k 2 −1 s'anul·la per a k = 1 i k = −1 a) Si k ≠ 1 i k ≠ −1 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú. 1 1 1 1 1 1 − 4      b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 1  i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El 1 − 1 1 1 − 1 1 − 1      sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
  • 14. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 14 1 1 1 1 1 1 − 4  rang  1 1 1 = 1 i rang  1 1 1 1  = 2 , els plans Π 1 i Π 2 seran paral·lels      diferents i Π 3 els tallarà.  − 1 1 1  −1 1 1 − 4     c) Si k = −1 serà M =  1 1 1 , M ' =  1 1 1 1  i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El  1 1 1  1 1 1 −1     sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 = 1 i rang   1 1 1 − 1 = 2 , els plans Π 2 i Π 3 seran paral·lels rang       diferents i Π 1 els tallarà. Observació: Per a calcular la intersecció de dues varietats lineals es resol el sistema format per les seves equacions generals (plans) i implícites (rectes). Cas particular (mètode alternatiu) Per a calcular la intersecció d’una recta donada en forma paramètrica:  x = p1 + α u1  r :  y = p 2 + α u 2 i un pla donat en forma general: Ax + By + Cz + D = 0 es pot z = p +α u  3 3 resoldre l’equació: A( p1 + α u1 ) + B( p2 + α u2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0 i el valor de α calculat se substitueix a les equacions paramètriques de la recta. El punt ( x , y , z ) obtingut així és la intersecció de la recta i el pla. VII Feix de plans  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Donada la recta r:  1  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 (equacions implícites), s’anomena feix de plans determinat per r (o pels plans que la defineixen) el conjunt de tots els plans que contenen r . La recta es diu eix del feix. L’equació del feix és: α ( A1 x + B1 y + C1 z + D 1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 r Donant valors a α i β s’obtenen les equacions dels plans del feix.
  • 15. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 15 VIII Perpendicularitat de varietats lineals VIII.1 Rectes perpendiculars Es diu que les rectes r :( x , y , z ) = P + α u i r⊥s s s :( x , y , z ) = Q + β v són perpendiculars si els seus vectors directors són ortogonals: u · v = 0 v u Poden ser secants o creuar-se. r Es denota: r⊥s VIII.2 Recta i pla perpendiculars r⊥Π Es diu que la recta r : ( x , y , z ) = P + α u i el pla Π : Ax + By + Cz + D = 0 són perpendiculars si el u vector director de la recta és vector normal al pla. Π Es denota: r⊥ Π r Observació: Si una recta és perpendicular a un pla, també ho serà a totes les rectes contingudes en el pla. VIII.3 Plans perpendiculars Es diu que els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 1 ⊥Π 2 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 són perpendiculars si els vectors normals respectius són ortogonals: Π1 n1· n 2 = 0 ( A2 , B2 , C2 ) Es denota: Π1 ⊥ Π 2 ( A1 , B1 , C1 ) Π2
  • 16. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 16 IX Condicions de paral·lelisme i de perpendicularitat Considerem les rectes r , de vector director u = (u1 , u 2 , u 3 ) i s , de vector director v = (v1 , v 2 , v3 ) i els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Paral·lels Perpendiculars u i v lin. dep., és a dir: u ⊥v és a dir: r i s u =kv u ·v = 0 u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 0 u ⊥ ( A1 , B1 , C1 ) és a dir: u i ( A1 , B1 , C1 ) lin. dep.: r i Π1 Au1 + B u2 + C u3 = 0 u = k · ( A1 , B1 , C1 ) ( A1 , B1 , C1 ) i ( A2 , B2 , C2 ) ( A1 , B1 , C1 ) ⊥ ( A2 , B2 , C2 ) , Π1 i Π 2 lin. dep., és a dir: és a dir: ( A1 , B1 , C1 ) = k · ( A2 , B2 , C2 ) A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 X Projeccions ortogonals S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre el pla Π la intersecció P ' del pla amb la recta r perpendicular a Π que passa per P (Fig. 1) S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre la recta r la intersecció P ' de la recta amb el pla Π perpendicular a r que passa per P (Fig. 2) S’anomena projecció ortogonal de la recta r sobre el pla Π la recta s , intersecció del pla amb el pla Π ' perpendicular a Π que conté r (Fig. 3) P r P Π' s P' P’ Π Π Π r r Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
  • 17. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 17 XI Angles entre varietats lineals XI.1 Angle entre dues rectes Donades les rectes r i s de vectors directors respectius u i v , s’anomena u v angle entre r i s el nombre α que α compleix: r v v s u ·v π cos α = , 0≤α ≤ u · v 2 Les rectes poden ser secants o creuar-se. r s ⇔ α =0 π r⊥s ⇔α = 2 XI.2 Angle entre una recta i un pla Donada la recta r , de vector director u i el n pla Π , de vector normal n , s’anomena angle u entre r i Π el nombre α que compleix: α u ·n π sin α = , 0≤α ≤ Π u · n 2 r r Π ⇔ α =0 π r ⊥Π ⇔α = 2 XI.3 Angle entre dos plans Donats els plans Π 1 i Π 2 de vectors Π2 normals respectius n1 i n2 , s’anomena n1 angle entre Π 1 i Π 2 el nombre α que compleix: n2 α Π1 n1 · n2 π cos α = , 0≤α ≤ n1 · n 2 2
  • 18. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 18 Π1 Π 2 ⇔ α = 0 π Π1 ⊥ Π 2 ⇔ α = 2 XII Distàncies entre varietats lineals XII.1 Distància entre dos punts La distància entre els punts P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) és el nombre: Q 2 2 2 d ( P , Q ) = PQ = ( q1 − p1 ) + ( q2 − p2 ) + ( q3 − p3 ) d(P, Q) P En general es definex la distància entre dues varietats lineals com la mínima distància que hi ha entre els punts d’una i els punts de l’altra. XII.2 Distància d’un punt a un pla La distància del punt P = ( p1 , p 2 , p3 ) al pla P Π : Ax + By + Cz + D = 0 és la que hi ha entre el punt P i la seva projecció ortogonal P ' sobre el pla. d (P , Π ) A p1 + B p2 + C p3 + D P' d( P, Π ) = A2 + B 2 + C 2 Π P ∈Π ⇔ d( P, Π ) = 0 XII.3 Distància d’un punt a una recta La distància del punt P a la recta r : ( x , y , z ) = Q + α u és la que hi ha entre P el punt P i la seva projecció ortogonal P ' sobre la recta. r d (P, r) PQ ∧ u Q u d (P, r) = u P’ P∈r ⇔ d( P, r ) = 0
  • 19. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 19 XII.4 Distància entre dos plans La distància entre els plans paral· lels P Π Π : Ax + By + Cz + D = 0 i Π ': Ax + By + Cz + D ' = 0 d ( Π , Π ') Π' és la que hi ha entre un punt qualsevol de Π P' i Π' D − D' d( Π, Π ' ) = A + B2 + C 2 2 Per a aplicar aquesta fórmula cal que les equacions dels plans tinguin els mateixos coeficients A , B i C XII.5 Distància entre dues rectes Si les rectes r i s són secants, la distància entre r P elles és d (r , s ) = 0 . Π Si les rectes són d(r , s) paral·leles, la distància entre elles és la que hi ha entre un s Q P' Π' punt qualsevol d’una i l’altra. Si r i s es creuen, la distància ente elles és la que hi ha entre el pla Π que conté r i és paral· lel a s i el pla Π ' que conté s i és paral·lel a r . Si r : ( x , y , z ) = P + α u i s : ( x , y , z ) = Q + β v i no són paral·leles (vectors directors linealment independents) la distància és: d( r , s ) = det ( PQ , u , v ) u ∧v En aquest cas, la distància entre les rectes és la que hi ha entre els punts d’intersecció de cada una amb la recta perpendicular i secant a totes dues. XII.6 Distància d’una recta a un pla Si la recta i el pla són secants o la recta r P està continguda en el pla, la distància és 0. Si la recta és paral· lela al pla, la distància serà la que hi ha entre un punt P’ qualsevol de la recta i el pla. Π
  • 20. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 20 XIII Alguns exemples de determinació de rectes i plans XIII.1 Nocions prèvies A) Intersecció de dues rectes ♦ Si les rectes estan donades de forma implícita, cal resoldre el sistema format per les quatre equacions. ♦ Si les rectes estan donades de forma paramètrica (o vectorial) s'igualen x, y i z i es calculen els paràmetres resolent el sistema:  x = p1 + α u1  x = q1 + β v1  p1 + α u1 = q1 + β v1    r :  y = p2 + α u 2 s :  y = q 2 + β v2  p2 + α u 2 = q2 + β v2 z = p +α u z = q + β v p +α u = q + β v  3 3  3 3  3 3 3 3 B) Intersecció d'una recta i un pla ♦ Si la recta està en forma implícita i el pla en forma general, es resol el sistema format per les tres equacions. ♦ Si la recta està donada en forma paramètrica (o vectorial) i el pla en forma general, se substitueixen les expressions de x, y i z de l'equació de la recta en l'equació del pla i es calcula el paràmetre:  x = p1 + α u1  r :  y = p2 + α u 2 z = p +α u A( p1 + α u1 ) + B ( p2 + α u 2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0  3 3 Π : Ax + By + Cz + D = 0 C) Intersecció de dos plans Les equacions generals dels dos plans ja són les equacions implícites de la recta intersecció (sempre que no siguin paral·lels). D) Càlcul del vector director d'una recta donada de forma implícita  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Sigui r :  1 Un vector director pot ser:  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 )
  • 21. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 21 També es pot resoldre el sistema format per les dues equacions (que és compatible indeterminat uniparamètric). La solució ens dóna l'expressió paramètrica de la recta i, per tant, un vector director.  5 − 3y + z  2x + 3 y − z = 5 x= 2   2x + 3y − z = 5 Exemple: r :  2 x + 3 y − z = 5  −3 + 5 z  −3 + 5 z ⇔ ⇔ y= ⇔y= ⇔ x − 4 y + 2z = 4  − 11 y + 5 z = 3  11  11  z =α   z =α    32 2  x = 11 − 11 α   3 5  2 5  ⇔ y = − + α Vector director: u =  − , , 1 o bé: v = (−2, 5, 11)  11 11  11 11  z =α    3 −1 −1 2 2 3  Noteu que (2, 3, − 1) ∧ (1, − 4, 2) =  , ,  = (2, − 5, − 11) n’és també  −4 2 2 1 1 −4  vector director XIII.2 Determinació de rectes 1 Recta r que passa per dos punts P i Q r El vector PQ és vector director de la recta. Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) , l'equació vectorial de la Q recta r és: P ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α (q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 ) x − p1 y − p2 z − p3 i la contínua: = = (sempre que els denominadors no siguin q1 − p1 q2 − p2 q3 − p3 nuls.) 2 Recta s que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r Si u és vector director de la recta r , l'equació r vectorial de la recta és: ( x , y , z) = P + α u . u Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i r està donada en forma Q implícita: s  Ax + By + Cz + D = 0 P u r: A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
  • 22. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 22 les equacions de la recta seran:  A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 s:  A '( x − p1 ) + B '( y − p2 ) + C '( z − p3 ) = 0 També es pot considerar com a vector director de la recta s el vector: v = ( A , B , C ) ∧ ( A ', B ', C ') 3 Recta r que passa per un punt P i és perpendicular a un pla Π Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Π : Ax + By + Cz + D = 0 , u = ( A, B , C) el vector u = ( A , B , C ) (normal al pla) és vector director de la recta r i la seva equació vectorial és: P (x , y , z) = P + α ( A , B , C) Π x − p1 y − p2 z − p3 r i la contínua: = = A B C (sempre que els denominadors no siguin nuls) 4 Recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans Π i Π ' ♦ Si els plans són paral·lels, hi ha una infinitat de rectes possibles; només cal prendre com a vector director qualsevol vector ortogonal al vector normal a Π (o a Π ' ). ♦ Si les equacions dels plans són: Π : Ax + By + Cz + D = 0 P Π ': A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 i no són paral·lels, aquestes representen una r recta s en forma implícita; la recta r és paral·lela Π' a s i es calcula com a l'apartat XIII.2-2. Π
  • 23. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 23 5 Recta r que passa pel punt P i és perpendicular a dues rectes s i t ♦ Si s i t són paral·leles, hi ha una infinitat de solu- cions possibles; només cal prendre com a vector direc- v u =v ∧w tor de r qualsevol vector t Q ortogonal al vector director de s (o de t ). w s Q' P ♦ Si s i t no són paral·leles i tenen vectors directors res- r pectius v i w , el vector u =v ∧w és vector director de la recta r i la seva equació vectorial serà: (x , y , z) = P + α u 6 Recta r que talla perpendicularment dues rectes s i t ♦ Si s i t són paral·leles hi ha una infinitat de rectes possi- t bles. ♦ Si s passa pel punt P i té u =v ∧w vector director v ; i t passa pel punt Q i té vector direc- tor w (i s i t no són paral- leles), es calcula el vector w s u = v ∧ w (ortogonal a tots dos). v La recta r serà la intersecció del pla Π que passa per P i té vectors P r directors v i u i el pla Π ' que passa per Q i té vectors directors w i u .
  • 24. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 24 7 Recta r que passa pel punt P i talla dues rectes que es creuen s i t És la intersecció del pla Π que conté P i la recta s amb el pla Π ' que conté P i la recta t . s Π' Vegeu a l'apartat XIII.3-6 com es calculen aquests plans. s P Π P r t XIII.3 Determinació de plans 1 Pla Π que passa per tres punts P , Q i R ♦ Si els tres punts estan alineats, hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.) ♦ Si els tres punts no estan alineats, els vectors Q PQ i PR són vectors directors del pla Π . R Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) , Q = (q1 , q 2 , q3 ) i R = (r1 , r2 , r3 ) , P l'equació general del pla serà: Π x − p1 q1 − p1 r1 − p1 y − p2 q2 − p 2 r2 − p2 = 0 z − p3 q3 − p3 r3 − p3
  • 25. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 25 2 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla Π ' ♦ Si el pla Π ' té vectors directors u i v l'equació vectorial del pla Π és: n = ( A, B , C) ( x , y , z) = P + α u + β v v Π P u ♦ Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i l'equació del pla Π ' és Ax + By + Cz + D = 0 , l'e- n = ( A, B , C) quació del pla Π serà: v A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 Q u Π' 3 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel a dues rectes r i s ♦ Si r i s són paral·leles hi ha una infinitat de plans r possibles (tot un feix.) ♦ Si r i s no són paral·leles u v Q Q' i tenen vectors directors s respectius u i v , l'equa- ció vectorial del pla serà: P u v Π ( x , y , z) = P + α u + β v 4 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla determinat per dues rectes paral· leles r i s ♦ Si r = s , hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.) QR Π ♦ Si r passa per Q i té vector P u director u , i s passa per R i té vector director v (i r ≠ s ), els v R s vectors QR i u (o QR i v ) són vectors directors del pla, i la seva Q u equació vectorial és: r
  • 26. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 26 ( x , y , z ) = P + α u + β QR 5 Pla Π que conté el punt P i és perpendicular a la recta r ♦ Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i la recta r té vector director u = (a , b , c) , aquest vector serà nor- u mal al pla i l'equació general de Π serà: Q a ( x − p1 ) + b( y − p2 ) + c( z − p3 ) = 0 P ♦ Si la recta r ve donada de forma implícita: Π  Ax + By + Cz + D = 0 r: els vectors A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 r u = ( A , B , C ) i v = ( A ', B ', C ') seran vectors directors del pla Π . 6 Pla Π que conté el punt P i la recta r ♦ Si el punt P pertany a la recta r hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.) r ♦ Si r passa per Q i té vector director u (i Q u P no pertany a r ), els vectors u i PQ P són vectors directors del pla i la seva equació vectorial serà: Π ( x , y , z ) = P + α u + β PQ  Ax + By + Cz + D = 0 ♦ Si la recta ve donada de forma implícita: r :  el pla buscat A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 serà del feix que té per eix la recta r : k ( Ax + By + Cz + D ) + k '( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 0 i es calcula substituint x , y i z per les coordenades de P i calculant k i k ' .
  • 27. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 27 7 Pla que conté una recta r i és paral·lel a una altra recta s ♦ Si les rectes són paral·leles hi ha una infinitat de solucions u r (tot el feix de plans que té per eix la recta r ). P v ♦ Si les dues rectes no són Π paral·leles, els seus vectors directors respectius, u i v són vectors directors el pla. Q v s Si P és un punt de la recta r , l'equació del pla serà: ( x, y , z ) = P + α u + β v Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i u ∧ v = ( A, B, C ) , l'equació del pla serà: A( x − p1 ) + B ( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 8 Pla que conté el punt P i és perpendicular als plans Π1 i Π 2 ♦ Si els plans són paral·lels hi ha una infinitat de solucions. ♦ Suposem que els plans no són paral·lels i que les seves equa- cions són: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 P Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) = ( A, B, C ) Π2 Π1 l'equació del pla serà: r A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
  • 28. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 28 9 Pla que està a una distància d del pla Π Si Π : Ax + By + Cz + D = 0 , el pla buscat tindrà per equació: Ax + By + Cz + D ' = 0 on D ' es calcula Π1 re-solent l'equació: d Π D − D' =d d A2 + B 2 + C 2 Π2 Hi haurà dues solucions Simètric d'un punt P respecte d'un pla Π Suposem que Π : Ax + By + Cz + D = 0 . P r 1) Es busca la recta que passa per P i és perpendicular a Π : r : ( x, y, z ) = P + α ( A, B, C ) Q 2) Es calcula la intersecció de la recta amb el Π pla: Q = r ∩ Π 3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ P' Simètric d'un punt P respecte d'una recta r Suposem que r : ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) . Π P 1) Es busca el pla que passa per P = ( p1 , p2 , p3 ) r i és perpendicular a r : Q Π : u1 ( x − p1 ) + u2 ( x − p2 ) + u3 ( x − p3 ) = 0 P' 2) Es calcula la intersecció de la recta amb el pla: Q = r∩Π 3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ