Ano Lectivo 2009/2010

        CET – Curso de Especialização Tecnológica


Métodos Computacionais e Estatísticos


       ...
2. Probabilidades



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Distribuição Bernoulli
Distribui
 • Uma distribuição de Bernoulli resulta de um experiência
   aleatória que origina apena...
• Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli e
      probabilidade de sucesso igual a p. A média será
      igual a

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• Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli e
      probabilidade de sucesso igual a p. A média será
      igual a

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Sequências de x sucessos em n
     Sequên
             experiências
• O número de sequências com x sucessos em n
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Distribuição Binomial
   Distribui
• Suponha que uma experiência aleatória pode resultar em
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Distribuição Binomial
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 • Seja X o número de sucessos de n experiências
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Distribuição Hipergeométrica
Distribui
• Suponha que uma amostra aleatória de n objectos é
  escolhida de um grupo de N, S...
Distribuição de Poisson
Distribui
  Assuma que um intervalo é dividido num grande número de
  subintervalos tal que a prob...
• Diz-se que a v.a. X segue uma distribuição de Poisson, X
  ~ P(), se tem função massa de probabilidade:
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Aproximacão da distribui
               distribuição Binomial
à de Poisson
• Seja x o número de sucessos resultante de n e...
Distribuição Normal
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        • Suas média, mediana ...
Ponto de inflexão                                    Ponto de inflexão




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Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão




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Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes




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O Teorema do Limite Central
   Se uma amostra de qualquer tamanho for tirada de uma
   população com distribuição normal, ...
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Probabilidades - parte 4 (ISMT)

  1. 1. Ano Lectivo 2009/2010 CET – Curso de Especialização Tecnológica Métodos Computacionais e Estatísticos Professor: João Leal
  2. 2. 2. Probabilidades www.joaoleal.net Professor: João José Leal 2
  3. 3. Distribuição Bernoulli Distribui • Uma distribuição de Bernoulli resulta de um experiência aleatória que origina apenas dois resultados possíveis: “sucesso” e “fracasso”. • Seja X uma v.a. com uma distribuição Bernoulli. Se p designa a probabilidade de sucesso e a probabilidade de falha é (1-p)=q, a função massa de probabilidade de Bernoulli é P ( X  0 )  (1  p )  q e P ( X  1)  p ou P ( X  x )  p x (1  p )1 x , x  0, 1 em que X assume o valor 1 se ocorrer sucesso e o valor 0 se ocorrer fracasso. Escreve-se X~Bernoulli(p). www.joaoleal.net Professor: João José Leal 3
  4. 4. • Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli e probabilidade de sucesso igual a p. A média será igual a  X  E( X )   xP ( X  x )  (0)(1  p)  (1)p  p X e a variância  X  E[( X   X ) 2 ]  2  X (x   X )2 P ( X  x)  (0  p) 2 (1  p)  (1  p) 2 p  p(1  p) www.joaoleal.net Professor: João José Leal 4
  5. 5. • Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli e probabilidade de sucesso igual a p. A média será igual a  X  E( X )   xP ( X  x )  (0)(1  p)  (1)p  p X e a variância  X  E[( X   X ) 2 ]  2  X (x   X )2 P ( X  x)  (0  p) 2 (1  p)  (1  p) 2 p  p(1  p) www.joaoleal.net Professor: João José Leal 5
  6. 6. Sequências de x sucessos em n Sequên experiências • O número de sequências com x sucessos em n experiências independentes é igual a: n n! Cx  x!(n  x )! onde n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 1 e 0! = 1. n • Estas C x sequências são mutualmente exclusivas dado que nenhuma das duas pode ocorrer ao mesmo tempo. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 6
  7. 7. Distribuição Binomial Distribui • Suponha que uma experiência aleatória pode resultar em dois resultados mutualmente exclusivos e colectivamente exaustivos, ou seja, em sucesso e fracasso. Represente-se por p a probabilidade de sucesso em cada ensaio. Se a experiência aleatória for repetida n vezes, a distribuição do número de sucessos “x” é chamada de distribuição binomial. • A função massa de probabilidade para uma v.a. binomial X = x (sendo x = número de sucessos em n experiências independentes): P ( X  x )  C x p x (1  p ) ( n  x ) n para x = 0, 1, 2 . . . , n. Escreve-se . X ~ B (n , p ) www.joaoleal.net Professor: João José Leal 7
  8. 8. Distribuição Binomial Distribui • Seja X o número de sucessos de n experiências independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p. Então, X segue uma distribuição binomial com média,  X  E ( X )  np • e variância,  X  E [( X   X ) 2 ]  np (1  p ) 2 www.joaoleal.net Professor: João José Leal 8
  9. 9. Distribuição Hipergeométrica Distribui • Suponha que uma amostra aleatória de n objectos é escolhida de um grupo de N, S dos quais são sucessos. A distribuição de número de X sucessos na amostra é chamada de distribuição hipergeométrica. A sua função massa de probabilidade é S! (N  S)!  Cx Cnx S N S x!(S  x)! (n  x)!(N  S  n  x)! P ( x)   N Cn N! n!(N  n)! • onde x pode tomar qualquer valor inteiro do maior de 0 e [n- (N-S)] ao menor de n e S. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 9
  10. 10. Distribuição de Poisson Distribui Assuma que um intervalo é dividido num grande número de subintervalos tal que a probabilidade da ocorrência de um evento em cada subintervalo é muito pequena. Uma aplicação comum da distribuição Poisson é fornecer a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem num dado período tempo. As hipóteses de uma distribuição de Poisson são:  A probabilidade da ocorrência de um evento é constante para todos os subintervalos;  Não pode haver mais do que uma ocorrência em cada subintervalo;  As ocorrências são independentes; ou seja, o número de ocorrências em intervalos sem sobreposição são independentes. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 10
  11. 11. • Diz-se que a v.a. X segue uma distribuição de Poisson, X ~ P(), se tem função massa de probabilidade: e   x P ( X  x)  , para x  0, 1,2,... x! onde • P(x) é a probabilidade de x sucessos num dado período de tempo ou espaço, dado  •  é a taxa média de sucessos por unidade de tempo ou espaço;  > 0 • e = 2.71828 (base do logaritmo natural) • A média e a variância da distribuição de Poisson são:  x  E ( X )   and  x  E[( X   ) 2 ]   2 www.joaoleal.net Professor: João José Leal 11
  12. 12. Aproximacão da distribui distribuição Binomial à de Poisson • Seja x o número de sucessos resultante de n experiências independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p. A distribuição do número de sucessos X é binomial com média np. • Se n é grande (n≥20) e p pequeno (p0.1), esta distribuição pode ser aproximada pela distribuição de Poisson com  = np. A função massa de probabilidade da distribuição de aproximação é então: e  np (np) x P (x)  , para x  0, 1,2,... x! www.joaoleal.net Professor: João José Leal 12
  13. 13. Distribuição Normal Distribui x • Suas média, mediana e moda são iguais. • Tem forma de sino e é simétrica em torno da média. • A área total sob a curva é de 100%. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 13
  14. 14. Ponto de inflexão Ponto de inflexão x • À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca. • Os pontos em que a curvatura muda são chamados pontos de inflexão. O gráfico curva-se para baixo entre os pontos de inflexão e, para cima, à esquerda e à direita deles. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 14
  15. 15. Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes www.joaoleal.net Professor: João José Leal 15
  16. 16. Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 www.joaoleal.net Professor: João José Leal 16
  17. 17. Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média. 68% Cerca de 96% da área está a dois desvios padrão. Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 17
  18. 18. O Teorema do Limite Central Se uma amostra de qualquer tamanho for tirada de uma população com distribuição normal, média = e desvio padrão = x a distribuição das médias da amostra de tamanho n será normal, com média e desvio padrão www.joaoleal.net Professor: João José Leal 18
  19. 19. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 19
  20. 20. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 20
  21. 21. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 21
  22. 22. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 22
  23. 23. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 23
  24. 24. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 24
  25. 25. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 25
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