1. Introdução à
Bioestatística
Nutrição e Fisoterapia
Primeiro Semestre/2013

2. Introdução
• Apesar das distribuições Binomial e Poisson serem de extrema
utilidade, elas não descrevem todos os casos;
• A distribuição binomial tem a desvantagem de ser impraticável
para grandes amostras;
• A distribuição de Poisson, apesar de ser bem ajustada a um
grande conjunto de dados, considera apenas números
inteiros;
• O que fazer quando temos uma variável aleatória contínua
como altura e peso?

3. Distribuição de Probabilidade –
Densidade de Probabilidade
• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
discreta pode ser representada por um gráfico de barras;
• Tomemos por exemplo uma distribuição binomial com
probabilidade de sucesso igual a 0,5 e tamanho da amostra
variando de 5 a 40 qual a tendência que podemos observar
pelo desenvolvimento dos gráficos?

4. Distribuição de Probabilidade –
Densidade de Probabilidade

5. Densidade de Probabilidade de
Variáveis Aleatórias Contínuas
• A densidade de probabilidade de uma variável aleatória
contínua X, definida em um espaço amostral S, é dada por
uma função que relaciona um intervalo contendo X com sua
probabilidade.
• O gráfico da função densidade de probabilidade (f.d.p)
representa uma tradução da distribuição de probabilidades do
caso discreto para o caso contínuo.

6. Distribuição Normal
• A distribuição contínua mais comum é a distribuição normal
ou Gaussiana;
• Assim como a distribuição de Poisson a distribuição normal
pode ser entendida como uma aproximação da distribuição
binomial com probabilidade de sucesso constante e tamanho
da amostra tendendo ao infinito;
• Diferentemente da Poisson, no entanto, a distribuição normal
pode representar qualquer intervalo pertencente ao conjunto
dos números reais.

7. Distribuição Normal
• Uma variável aleatória ܺ tem distribuição normal com
parâmetros ߤ e ߪଶ
se sua densidade de probabilidade é dada
por:
݂ ‫ݔ‬ ൌ
1
2ߨߪ
݁
ି
௫ିఓ మ
ଶఙమ
• Em que െ∞ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ∞;െ∞ ൏ ߤ ൏ ∞ e ߪଶ
൐ 0.
• Observações:
• ߨ representa uma constante, aproximadamente 3,1415;
• ݁ representa uma outra constante, aproximadamente 2,7182;
• ߤ representa a média da distribuição;
• ߪଶ
representa o desvio-padrão da distribuição;
• Juntos, os parâmetros ߤ e ߪଶ
definem uma função densidade de
probabilidade normal.

8. Distribuição Normal
• Diferentemente de uma variável aleatória discreta, a
probabilidade de uma variável aleatória contínua ser igual a
um determinado valor é sempre nula;
• Não faz sentido pensar em valores únicos quando se considera
uma variável aleatória contínua, mas sim em intervalos;
• Assim como não se calcula a probabilidade de um único valor
para ܺ , também não se utiliza, diretamente, a função
densidade de probabilidade (f.d.p.) para calcular as
probabilidades dos intervalos, deve-se considerar a curva
definida pela f.d.p. e calcular a área sob a mesma.

9. Distribuição Normal
• Muitas variáveis aleatórias de interesse na bioestatística
seguem uma distribuição aproximadamente normal:
• Pressão sanguínea;
• Nível sérico de colesterol;
• Altura;
• Peso;
• ...

10. Exemplo
• Suponha que o comprimento de recém-nascidos do sexo feminino
não portadores de anomalias congênitas seja uma variável aleatória
com distribuição aproximadamente normal de média 48,54cm e
desvio-padrão 2,5cm.
Intervalo de 2cm
Intervalo de 1cm Intervalo de 0,5cm

11. Exemplo

12. Propriedades da Distribuição
Normal
• A distribuição normal é unimodal e simétrica em torno de sua
média ߤ;
• ܲ ܺ ൏ ߤ ൌ ܲሺܺ ൐ ߤሻ;
• O desvio padrão ߪ é uma medida da dispersão dos dados ao
redor da média ߤ:
• ܲ ߤ െ ߪ ൏ ܺ ൏ ߤ ൅ ߪ ൌ 0,6826;
• ܲ ߤ െ 2ߪ ൏ ܺ ൏ ߤ ൅ 2ߪ ൌ 0,9546;
• ܲ ߤ െ 3ߪ ൏ ܺ ൏ ߤ ൅ 3ߪ ൌ 0,9974.

13. Como Calcular a Probabilidade de
Pertencer a Determinado
Intervalo• Basta calcular a área sob a curva normal relativa a f.d.p. da
variável aleatória ܺ;
• Para calcular a área sob um gráfico, é necessário resolver uma
integral, nem sempre trivial;
• Como fugir do cálculo de uma integral cada vez que quiser
calcular uma probabilidade?
• Como a construção de tabelas para todas as possíveis variáveis
aleatórias pertencentes a uma distribuição normal é
impossível (existem infinitas combinações de médias e desvios
padrão), utiliza-se a tabela da distribuição normal padrão.

14. Distribuição Normal Padrão

15. Distribuição Normal Padrão

16. Distribuição Normal Padrão

17. Como usar a tabela?
• ܲ ܼ ൒ 2,65 ൌ 0,0040;
• ܲ ܼ ൑ 0,5 ൌ 1 െ ܲ ܼ ൒ 0,5 ൌ 1 െ 0,3085 ൌ 0,6915;
• ܲ ܼ ൑ െ1,85 ൌ ܲ ܼ ൒ 1,85 ൌ 0,0322;
• ܲ ܼ ൒ െ2,46 ൌ 1 െ ܲ ܼ ൑ െ2,46 ൌ 1 െ ܲ ܺ ൒ 2,46 ൌ
0,9931;
• ܲ 0,71 ൑ ܼ ൑ 1,93 ൌ 1 െ ܲ ܼ ൒ 1,93 െ ܲ ܼ ൑ 0,71 ൌ
1 െ ܲ ܼ ൒ 1,93 െ 1 െ ܲ ܼ ൒ 0,71 ൌ ܲ ܼ ൒ 0,71 െ
ܲ ܼ ൒ 1,93 ൌ 0,2389 െ 0,0268;

18. Exemplo
• Voltemos para o exemplo dado, em que se pretende estudar o
comprimento de recém nascidos (ߤ ൌ 48,54cm e ߪ ൌ 2,5cm).

19. Exemplo
• Se subtrairmos 48,54cm de todas as observações teremos
uma distribuição normal com média 0cm e desvio padrão
2,5cm.

20. Exemplo
• Se, após subtrairmos 48,54cm, dividirmos todas as
observações por 2,5cm teremos uma distribuição normal com
média 0cm e desvio padrão 1cm.

21. Distribuição Normal
Padronizada
• Uma variável aleatória ܺ que siga um distribuição normal com
média ߤ ് 0 ou desvio padrão ߪ ് 1 pode ser padronizada
pela seguinte expressão:
• ܼ ൌ
௑ିఓ
ఙ
• Conhecendo a relação entre uma variável aleatória ܺ seguindo
uma distribuição normal diferente da padrão e a variável
aleatória ܼ que segue uma distribuição normal padrão, é
possível calcular as probabilidades relativas à variável ܺ
utilizando a tabela de probabilidades de ܼ.

22. Exemplo
• Tomando ܺ a variável aleatória relativa ao comprimento de recém
nascidos (ߤ ൌ 48,54cm e ߪ ൌ 2,5cm). Tem-se:
• P ܺ ൒ 48,54 ൌ?
• ܺ ൌ 48,54 ⟹ ܼ ൌ
ସ଼,ହସିସ଼,ହସ
ଶ,ହ
ൌ 0 ⟹ P ܺ ൒ 48,54 ൌ P ܼ ൒ 0 ൌ
0,5
• P ܺ ൑ 44,79 ൌ?
• ܺ ൌ 44,79 ⟹ ܼ ൌ
ସସ,଻ଽିସ଼,ହସ
ଶ,ହ
ൌ
ିଷ,଻ହ
ଶ,ହ
ൌ െ1,5 ⟹ P ܺ ൑ 44,79 ൌ
P ܼ ൑ െ1,5 ൌ P ܼ ൒ 1,5 ൌ 0,0668
• P 46,04 ൑ ܺ ൑ 51,04 ൌ?
• ܺ ൌ 46,04 ⟹ ܼ ൌ
ସ଺,଴ସିସ଼,ହସ
ଶ,ହ
ൌ
ିଶ,ହ
ଶ,ହ
ൌ െ1; ܺ ൌ 51,04 ⟹ ܼ ൌ
ହଵ,଴ସିସ଼,ହସ
ଶ,ହ
ൌ
ଶ,ହ
ଶ,ହ
ൌ 1 ⟹ P 46,04 ൑ ܺ ൑ 51,04 ൌ
P െ1 ൑ ܼ ൑ 1 ൌ P ܼ ൒ െ1 െ P ܼ ൒ 1 ൌ 0,8413 െ 0,1587 ൌ
0,6826.

23. Exercício
• Para a população de homens de 18 a 74 anos, nos Estados
Unidos, a pressão sanguínea sistólica tem distribuição
aproximadamente normal com média de 129 milímetros de
mercúrio (mm Hg) e desvio padrão de 19,8 mm Hg.
• Tome ܺ como a variável aleatória que representa a pressão
sanguínea sistólica. Encontre:
• O valor de ‫ݔ‬ que limite os 2,5% superiores e inferiores da curva
de pressão sanguínea sistólica;
• Qual a proporção de homens na população que tem pressão
sanguínea sistólica maiores do que 150mm Hg;
• Qual a proporção de homens na população que tem pressão
sanguínea sitólica entre 115 mm Hg e 145 mm Hg?