Scientific-like Text Edition based on Quantum Mechanics at Universidad de Córdoba (Spain) usign LaTeX

1. Estudio del espín mediante la notación de Dirac.
Javier García Molleja
Redactado con el editor de textos L TEX
A
Índice
1. Notación de Dirac 2
1.1. Vectores ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Espacio dual. Vectores bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Operadores lineales en notación de Dirac. Proyectores . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Adjunto de un operador. Conjugación hermítica . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Representaciones en la notación de Dirac. Cambio de representación . . . . 5
1.5.1. Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2. Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.3. Representación de un ket y un bra. Producto escalar . . . . . . . . 6
1.5.4. Representación de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.5. Cambio de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. El espín 8
2.1. El experimento de Stern–Gerlach. Momento angular intrínseco . . . . . . . 8
2.2. Propiedades del espín 1 . Matrices de Pauli . . . . .
2
. . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Teoría de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Teoría no relativista del espín. Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Cálculo de probabilidades mediante espinores . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A. Postulados de la Mecánica Cuántica 18
B. Breve biografía de Dirac 19
C. Comparación de imágenes 20
D. 2005: año mundial de la física 20
1

2. 1 NOTACIÓN DE DIRAC Javier García Molleja
1. Notación de Dirac
1.1. Vectores ket
Con este tipo de notación se trabaja de forma abstracta con la función de ondaa en todo
momento. La función de onda aparecerá cuando debamos operar en una representación
concreta. El espacio de estados representa el conjunto de estados en el que se puede
encontrar la partícula, E. Toda función de onda que pertenezca a E se denota como |ψ .
Es necesario crear una función biunívoca que relacione los elementos de F b con los de E.
Los elementos de E se denominan vectores ket.[1]
F y E son isomorfos, luego E posee estructura de espacio vectorial y puede definirse
el producto escalar. Éste coincide con el producto escalar de F. El espacio de estados
depende del problema que vamos a estudiar.
ψ(r) →|ψ ∈ E,
ψ(r) ∈ Fr →|ψ ∈ Er ,
ϕ(x) ∈ Fx →|ϕ ∈ Ex ,
ψ(r), ϕ(r) ∈ F ⇒(ψ, ϕ) es el producto escalar,
|ψ , |ϕ ∈ E ⇒(|ψ , |ϕ ) es el producto escalar.
1.2. Espacio dual. Vectores bra
Una funcional lineal que actúa sobre E es una operación lineal que a cada vector del
E le hace corresponder un número.
χ
|ψ ∈ E → χ(|ψ ) ∈ C,
χ(λ1 |ψ1 + λ2 |ψ2 ) = λ1 χ(|ψ1 ) + λ2 χ(|ψ2 ), es lineal.
El conjunto de todas las funcionales lineales que actúan sobre E configuran un espacio
vectorial, llamado espacio dual, E ∗ . Sus elementos se llamarán vectores bra, x| ∈ E ∗ .
El número complejo que sale al operar el vector bra con el ket se denota como: χ(|ψ ) =
= χ|ψ ∈ C.
Intentemos crear una correspondencia no lineal entre vectores ket y bra para poder
realizar operaciones semejantes al producto escalar:
|ϕ ∈ E → ϕ| ∈ E ∗ ⇒ ϕ|ψ = (|ϕ , |ψ ).
a
Es una ecuación que da una interpretación probabilística a las características de un cuerpo sobre su
posición y velocidad y cuyo cuadrado indica la densidad de probabilidad de que la partícula u onda se
encuentre en una posición en un instante de tiempo.
b
Algebraicamente, es un espacio vectorial cuyos elementos dependen de tres coordenadas espaciales y
su normalización es un número finito. Si además son funciones continuas con su primera derivada continua
se engloban en el espacio de Hilbert.
2 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

3. Javier García Molleja 1 NOTACIÓN DE DIRAC
Para conseguir la correspondencia tenemos que obligar a los vectores a que cumplan
las siguientes condiciones:
Sea λ|ϕ ∈ E → λ∗ ϕ| ∈ E ∗ ,
(λ|ϕ , |ψ ) = λ∗ (|ϕ , |ψ ) = λ∗ ϕ|ψ ,
λ1 |ϕ1 + λ2 |ϕ2 ∈ E →λ∗ ϕ1 | + λ∗ ϕ2 | ∈ E ∗ ,
1 2
|λϕ ∈ E → λϕ| ∈ E ∗ .
λ|ϕ λ∗ ϕ|
Estudiemos ahora las propiedades del producto escalar:
ϕ|ψ ∗ = ψ|ϕ ,
ϕ|λ1 ψ1 + λ2 ψ2 =λ1 ϕ|ψ1 + λ2 ϕ|ψ2 ,
λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 |ψ =λ∗ ϕ1 |ψ + λ∗ ϕ2 |ψ ,
1 2
ψ|ψ ∈R+ , es la norma.
1.3. Operadores lineales en notación de Dirac. Proyectores
A
Si definíamos al operador A como ψ(r) → ψ (r), tal que ψ (r) = Aψ(r), ahora podemos
A
hacer que |ψ → |ψ , tal que |ψ = A|ψ . En la notación de Dirac se puede utilizar el
conmutador : [A, B] = AB − BA.
Los elementos de matriz de los vectores |ϕ , |ψ se consiguen utilizando el operador
ϕ|A|ψ ∈ C.
La expresión |ψ ϕ| es un operador, no un escalar. Supongamos |ψ ∈ E que verifica la
normalización de la función de onda: ψ|ψ = 1, definimos por este motivo Pψ = |ψ ψ|.
Veamos cómo actúa:
Pψ |ϕ = |ψ ψ|ϕ = ψ|ϕ |ψ , se llama proyector pues proyecta ϕ sobre ψ.
∈C
2
Pψ = |ψ ψ|ψ ψ| = |ψ ψ|, la proyección doble es igual a la única.
Sea {|ψi } una base que verifica que ψi |ψj = δij , si |ψi ∈ ES , con ES ⊂ E, se
denomina proyector de ES sobre E a:
PS = |ψi ψi |.
i
Este proyector actúa solamente en el subespacio indicado (S) y cumple las mismas
propiedades que en el caso del proyector sobre todo el espacio, o sea, su resultado será un
operador y su cuadrado dará el mismo valor que él solo.
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 3

4. 1 NOTACIÓN DE DIRAC Javier García Molleja
1.4. Adjunto de un operador. Conjugación hermítica
ϕ|A|ψ , el operador, según esta expresión, puede formar parte tanto del vector ket
(que conformará así los elementos de matriz), como del vector bra.
El operador A que actúa sobre un vector bra se denota como: ϕ|A. Luego las expre-
siones
|ψ =A|ψ y
ψ | = ψ|A†
darán el mismo resultado si A† es el operador adjunto de A.
|ψ = A|ψ → ψ | = ψ|A† , gracias a esto veremos la relación de A y A† desde el punto
de vista de sus elementos de matriz:
ϕ|ψ = ϕ|A|ψ ,
∗
ϕ|ψ = ψ |ϕ = ψ|A† |ϕ = ϕ|A|ψ ∗ .
Propiedades generales:
1. (λA)† = λ∗ A†
∗
ϕ|λA|ψ = ψ|(λA)† |ϕ
(λ ϕ|A|ψ )∗ = λ∗ ϕ|A|ψ ∗
= λ∗ ψ|A† |ϕ = ψ|λ∗ A† |ϕ
2. (AB)† = B † A†
∗
ϕ|AB|ψ = ψ|(AB)† |ϕ
∗
ϕ|AB|ψ = ψ|B † A† |ϕ
3. (ABC)† = C † (AB)† = C † B † A†
4. |ψ ∈ E → ψ| ∈ E ∗
5. λ → λ∗
6. λ|ψ → ψ|λ∗
7. A → A†
A la operación de hacer correspondencia entre elementos de E con los de E ∗ , o viceversa,
se denomina conjugación hermítica.
Si tenemos el vector ket λ u|A|v |u ψ|ϕ podemos obtener su bra correspondiente.
Para ello, sustituimos los ket por sus bra, los operadores por sus adjuntos, las constantes
por sus complejos conjugados y por último lo ponemos todo en orden inverso. Luego queda:
ϕ|ψ u| v|A† |u λ∗ . Otro ejemplo se puede hacer con la conjugación: ϕ|A|ψ ∗ = ψ|A† |ϕ .
4 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

5. Javier García Molleja 1 NOTACIÓN DE DIRAC
1.5. Representaciones en la notación de Dirac. Cambio de repre-
sentación
Una representación en E es equivalente a tener una base en E. Las bases pueden ser
discretas o continuas.
1.5.1. Discretas
{|ui } es ortonormal si se verifica la siguiente relación: ui |uj = δij . El conjunto será
una base de E si un elemento de éste se puede expresar como combinación de {|ui }, siendo
los coeficientes únicos para éste. Los coeficientes se denominan entonces representación,
|ψ = ci |ui = cj |uj .
i j
Veamos lo que ocurre si realizamos el producto tensorial de un elemento de la base
con una función de onda:
ui | ⊗ |ψ = ui |ψ = ui | cj uj = cj ui |uj = cj δij = ci ,
j j j
es decir, los coeficientes son el producto escalar de la base por el vector. Según esto
podemos definir la relación de cierre (o identidad de Parceval) de la siguiente manera:
|ψ = ui |ψ |ui = |ui ui |ψ = |ui ui | |ψ ⇒ |ui ui | = 1.
i ci i i i
Esta definición da a entender que todo vector se puede expresar en la base {|ui } :
|ψ = |ui ui |ψ = ui |ψ |ui = ci |ui .
i i i
1.5.2. Continuas
Un conjunto de vectores {|ωα } con α ∈ R es ortonormal en el sentido de Dirac si se
verifica la condición de ortonormalidad :
ωα |ωα = δ(α − α ).
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 5

6. 1 NOTACIÓN DE DIRAC Javier García Molleja
El conjunto será una base de E si un elemento de éste se puede expresar como combi-
nación de {|ωα }, siendo los coeficientes únicos para éste. Los coeficientes al verificar esto
también se llaman representación:
|ψ = dα c(α)|ωα .
Demostremos a continuación que los coeficientes son el resultado de realizar el producto
escalar de la base con el vector:
ωα | ⊗ |ψ = ωα |ψ = ωα | dα c(α )ωα = dα c(α ) ωα |ωα =
= dα c(α )δ(α − α ) = c(α).
La relación de cierre (o identidad de Parceval) para las bases continuas se puede
deducir de una manera análoga al caso de bases discretas:
|ψ = dα ωα |ψ |ωα = dα |ωα ωα |ψ = dα |ωα ωα | |ψ ⇒
c(α)
⇒ dα |ωα ωα | = 1.
1.5.3. Representación de un ket y un bra. Producto escalar
{|ui } es la base de E, la cual verifica que ui |uj = δij y posee además una relación de
cierre de la forma i |ui ui | = 1. De este modo podemos ver el aspecto de los vectores
de la base en la notación de Dirac.
 
u1 |ψ
 u2 |ψ 
|ψ = |ui ui |ψ = ui |ψ |ui , matricialmente |ψ ≡  u |ψ  . (1)
 
 3 
i i .
.
.
ϕ| = i ϕ|ui ui |, se tiene que { ui |} es una base del espacio dual de vectores bra. Los
coeficientes son la representación del vector en esa base. Matricialmente:
ϕ| ≡ ϕ|u1 ϕ|u2 ϕ|u3 ... . (2)
6 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

7. Javier García Molleja 1 NOTACIÓN DE DIRAC
Para pasar de un vector ket a un bra es necesario trasponer y conjugar su matriz.
Podemos realizar el producto escalar de dos vectores atendiendo a la base de cada uno:
 
u1 |ψ
ϕ|ψ = ϕ|ui ui |ψ = ϕ|u1 ϕ|u2 . . .  u2 |ψ  .
 
i
.
.
.
1.5.4. Representación de un operador
Sea el operador A en la base {|ui }, sus elementos de matriz son:
 
A11 A12 A13 · · ·
A A22 A23 · · ·
ui |A|uj = Aij , matricialmente A ≡  21
A31 A32 A33 · · · .
 (3)
.............
También podemos obtener los elementos de matriz de un producto de operadores
AB : (AB)ij = ui |AB|uj = k ui |A|uk uk |B|uj = k Aik Bkj . Para conseguir este
resultado tuvimos que introducir entre los operadores la relación de cierre. Ahora tenemos
que ver qué aspecto presenta el hermítico conjugado de un operador en representación
matricial:
A →Aij = ui |A|uj ,
A† →A∗ = ui |A|uj ∗ = uj |A† |ui = A† .
ij ji
 ∗
A11 A∗ · · ·
  
A11 A12 · · · 21
A ≡ A21 A22 · · · , A† ≡ A∗ A∗ · · · .
12 22
.......... ..........
1.5.5. Cambio de representación
Sea |ψ en la base {|ui } de coeficientes ui |ψ . Es posible obtener |ψ en otra base
{|vj }, de coeficientes vj |ψ = i vj |ui ui |ψ , la matriz del cambio de base es : Cji =
= vj |ui . Matricialmente, el cambio de representación de un ket queda:
    
v1 |ψ C11 C12 · · · u1 |ψ
 v2 |ψ  
 = C21 C22 · · ·  u2 |ψ  .
 

.
. .......... .
.
. .
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 7

8. 2 EL ESPÍN Javier García Molleja
Sea ψ| expresado en la base {|ui } de coeficientes ψ|ui . Es posible expresarlo en
otra base que podemos obtener, {|vi }, y poseerá coeficientes ψ|vi = j ψ|uj uj |vi =
†
= j ψ|uj Cji ; según todo lo que hemos visto anteriormente, la matriz del cambio de
†
base es uj |vi = vi |uj ∗ = Cij = Cji . Matricialmente, el cambio de representación de un
∗
bra queda:
 † † 
C11 C12 · · ·
† †
ψ|v1 ψ|v2 . . . = ψ|u1 ψ|u2 . . . C21 C22 · · · .
..........
Veamos ahora el cambio de representación de un operador: Cij = vi |uj es el cambio
de base entre {|ui } y {|vj }, con lo que A ≡ ui |A|uj = Aij son los elementos de matriz
en la base {|ui }, veamos su aspecto en la base {|vj } introduciendo para ello dos relaciones
de cierre:
†
vi |A|vj = vi |ul ul |A|um um |vj = Cil Alm Cmj ≡
l m l m
   † † 
C11 C12 · · · A11 A12 · · · C11 C12 · · ·
† †
≡ C21 C22 · · · A21 A22 · · · C21 C22 · · · .
.......... .......... ..........
2. El espín
2.1. El experimento de Stern–Gerlach. Momento angular intrínseco
El experimento se basaba en introducir los átomos dentro de un campo magnético no
uniforme. En este caso, y atendiendo a una explicación clásica, las órbitas de los electrones
se pueden considerar espiras.
Si introducimos una espira en un campo magnético, B, aparecerá una energía de
interacción entre el momento dipolar de la espira y el campo magnético. Si B no es
uniforme aparecerá una fuerza sobre la espira:
La energía valdrá U = −M · B.
La fuerza valdrá F = (M · B).
8 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

9. Javier García Molleja 2 EL ESPÍN
Estudiemos el caso particular de que B = Bez y posea una dependencia tal que
∂B
∂x
= ∂B = 0, así la fuerza neta a la que se somete la espira queda en la dirección del eje
∂y
z:F = Mz B = Mz ∂B ez .
∂z
ˆ e ˆ
Según esto (además de la consideración clásica), M = − 2me L, por lo que la fuerza
aparece como:
ˆ e ˆ ∂B e ∂B ˆ e ˆ ∂B e ∂B
F =− Lz ez = − m ez ⇒ Fz = − Lz =− m .
2me ∂z 2me ∂z 2me ∂z 2me ∂z
Debido a este razonamiento, tras hacer pasar los átomos por un colimadorc y atravesar
el campo llegarán desviados a una pantalla. La desviación dependerá del valor de m
ˆ
(m = −l, . . . , 0, . . . , l, estando entonces bien determinado L2 = 2 l(l + 1), l = 0, 1, . . . )
por lo que se esperaba 2l + 1 zonas donde impactasen, es decir, un número impar de ellas.
Tras realizar la sesión los científicos Stern y Gerlach con átomos de plata sólo se vieron
dos manchas (no había franja central). Este número tan bajo viene de tomar l demasiado
pequeño (estaban los átomos en el estado fundamental) pero no había explicación de
por qué era un número par. En el experimento de Phipps–Taylor se utilizaron átomos
de hidrógeno en el estado fundamental y se llegó a los mismos resultados, suponiendo
entonces erróneamente que m = 0.
Los trabajos de Ulenbeck y Goudsmith indicaron que el electrón además de girar alrede-
dor del núcleo lo hacen sobre sí mismos, originando así un momento angular llamado espín.
De este modo se propuso l = 1 para hacer que m = ± 2 , aunque en el caso de realizar
2
1
el experimento con átomos con l = m = 0 siguen apareciendo dos zonas. Esto indica
claramente que este momento angular es intrínseco.[2]
ˆ e ˆ
El espín contribuye además al momento angular dipolar MS = − 2me S, así la fuerza
será:
F = (MS B) = MSz ˆ ∂B = − e Sz ∂B = − e ms ∂B = −µB ms ∂B .
ˆ
∂z 2me ∂z 2me ∂B ∂z
e
Indicamos que µB = 2me d es el magnetón de Bohr. La fuerza calculada era la
mitad de la medida, por lo que se introdujo el factor gS = 2,0023, (conocido como factor
giromagnético) que es el doble del número de Dirac e , el cual indica efectos relativistas.
c
Aparato que sirve para escoger haces de partículas con direcciones o velocidades indicadas por el
científico.
d
Para una mejor comprensión indicamos que e = 1,62 · 10−19 C, es la carga del electrón, me = 9,31 ·
10 kg, es la masa del electrón y = 1,0544 · 10−34 , es la constante de Planck reducida.
−31
e
Es un número bastante estudiado teórica y experimentalemte, ya que es de una importante relevancia
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 9

10. 2 EL ESPÍN Javier García Molleja
2.2. Propiedades del espín 1 . Matrices de Pauli
2
Pauli y Dirac negaron la posibilidad de que el electrón girase sobre sí mismo, ya que
al averiguar la velocidad de rotación de éste utilizando en los cálculos el valor de su
radio determinado clásicamente, obtenemos una velocidad superior a la de la luz y según
las concepciones relativistas de Einstein no pueden existir partículas cuya velocidad sea
igual o mayor que la de la luzf . De ahí que se suponga que el electrón es puntual. Los dos
científicos aceptaron en su lugar el uso del espín como grado de libertad adicional.
ˆ ˆ
A partir de L se llegan a conocer L2 y Lz , construyendo |l, m : g
ˆ
L2 |l, m = 2 l(l + 1)|l, m ,
ˆ
Lz |l, m = m|l, m .
ˆ ˆ
Como S también es un momento angular se llega a conocer S 2 y Sz , construyendo
|s, ms .
ˆ
S 2 |s, ms = 2 s(s + 1)|s, ms ,
ˆ
Sz |s, ms = ms |s, ms .
ˆ ˆ
Con el uso de los operadores S 2 y Sz hemos obtenido los autovalores s y ms , respec-
tivamente:
1 3
s = 0, , 1, , 2, . . .
2 2
ms = −s, −s + 1, . . . , 0, . . . , s − 1, s.
Como el espín es un momento angular podemos definir como operadores a sus tres
ˆ ˆ ˆ
componentes: Sx , Sy , Sz . De este modo podremos definir reglas operativas:
ˆ ˆ ˆ
1. [Si , Sj ] = i εijk Sk
en el campo de la Mecánica Cuántica y posee un valor de 1,00115 . . .
f
Debido a que sólo las patrículas sin masa se pueden desplazar a tal velocidad. Conocemos por los
experimentos que el electrón posee masa, por lo que no puede ir nunca a la velocidad de la luz.
g
Es necesario indicar que lo que viene a continuación es una ecuación de autovalores, donde el vector
ˆ ˆ
ket se llama autovector y la constante que permite originar la igualdad es el autovalor. L2 y Lz comparten
el mismo autovector, ya que se pueden diagonalizar sus matrices a la vez. La constante l = 0, 1, . . . es la
encargada de identificar el momento angular y m = −l, . . . , l indica la proyección de aquél en un plano
(posee relación también con el momento magnético).
10 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

11. Javier García Molleja 2 EL ESPÍN
ˆ ˆ ˆ
2. S × S = i S
El valor de s es intrínseco a la partícula, luego en el caso del electrón se tiene que
s = 1 ⇒ ms = − 2 , 2 , por lo que los autovectores son:
2
1 1
1 1
, ≡|+ ,
2 2
(4)
1 1
,− ≡|− .
2 2
Así la base formada por los vectores de (4) nos ayudará a encontrar una expresión
matricial para los operadores de espín del electrón:
ˆ 3 3 1 0
S 2 |± = 2
|± ≡ 2
,
4 4 0 1
ˆ 1 0
Sz |± = ± |± ≡ .
2 2 0 −1
ˆ
A continuación podemos definir nuevos operadores para conocer el valor de Sx y de
ˆy :
S
ˆ ˆ ˆ
S+ =Sx + iSy ,
ˆ ˆ ˆ
S− =Sx − iSy ,
de tal modo que verifican:
ˆ
S+ |s, ms = s(s + 1) − ms (ms + 1) |s, ms + 1 ,
ˆ
S− |s, ms = s(s + 1) − ms (ms − 1) |s, ms − 1 .
Veamos ahora cálculos prácticos sobre los operadores definidos, teniendo en cuenta el
carácter de ortonormalidad entre los vectores de la base:
ˆ
+|S+ |+ ˆ
+|S+ |− 0
ˆ
S+ ≡
−|S ˆ+ |+ −|Sˆ+ |− = 0 0 ,
ˆ
+|S− |+ ˆ
+|S− |− 0 0
ˆ
S− ≡
−|S ˆ− |+ −|Sˆ− |− = 0
,
ˆ 1 ˆ ˆ 0 1
Sx = (S+ + S− ) ≡ ,
2 2 1 0
ˆ i ˆ ˆ 0 −i
Sy = (S− − S+ ) ≡ .
2 2 i 0
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 11

12. 2 EL ESPÍN Javier García Molleja
Los cuatro se obtienen mediante un procedimiento análogo, en el que hemos aplicado
el operador con el vector ket y después hemos aplicado la condición de ortonormalidad
entre vectores de la base, como dijimos con anterioridad.
Las matrices que aparecen al final pueden servirnos para hacer cálculos algebraicos,
tal y como veremos en la siguiente sección.
2.2.1. Teoría de Pauli
Tras analizar el aspecto de los operadores en su representación matricial podemos
definir las matrices de Pauli que pueden generar una base:
0 1
σx = ,
1 0
0 −i
σy = ,
i 0
(5)
1 0
σz = ,
0 −1
1 0
I= .
0 1
Enumeremos ahora las propiedades de estas matrices:
1. σi σj + σj σi = 0, son anticonmutativas.
2. [σi , σj ] = 2iσk
3. σi σj = iσk
2 2 2
4. σx = σy = σz = 1
5. Tr(σx ) = Tr(σy ) = Tr(σz ) = 0, su traza es nula.
6. det(σx ) = det(σy ) = det(σz ) = −1, el determinante indica una inversión (en dos
dimensiones son la representación matricial de las rotaciones.)
En el caso de utilizar esta notación para operar con las componentes de un vector
podemos ver que el producto de dos vectores (expresados con esta notación) contiene
las fórmulas del producto escalar y del producto vectorial. Estas nuevas matrices que
representan vectores se denominan cuaternios.
12 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

13. Javier García Molleja 2 EL ESPÍN
Dediquémonos ahora a diagonalizar las componentes del espín. Esto puede hacerse
mediante el método convencional de resolver la ecuación característica de la matriz del ope-
rador para conocer sus autovalores y después aplicar éstos en su correspondiente ecuación
de autovalores y así determinar los autovectores. Sin embargo, también podemos aplicar
la base a cada uno de estos operadores matriciales: de este modo el resultado tendría ya
expuestos los autovalores y los autovectores. De cualquier manera, los resultados que se
deben obtener serán los mismos:
1
→ √ (|+ + |− ) ≡ |+x
ˆ
Sx = 2 2
,
1
−2 → √ (|+
2
− |− ) ≡ |−x
1
→ √ (|+ + i|− ) ≡ |+y
ˆ
Sy = 2 2
,
1
−2 → √ (|+
2
− i|− ) ≡ |−y
ˆ 2
→ |+
Sz = .
−2 → |−
2.3. Teoría no relativista del espín. Espinores
Ahora sería conveniente relacionar el espín con la descripción de la partícula. El grado
de libertad del espín es independiente de los grados de libertad espaciales, por lo que no
intervendrá en los procesos de traslación. De modo que los tres operadores de espín actúan
sobre un espacio de estados distinto al ordinario (denotado por Er ). El espacio de estados
de espín se denota por ES , luego el espacio de estados que se forma al considerar los dos
a la vez será: E = Er ⊗ ES . La base de E se consigue mediante {|r ⊗ |+ , |r ⊗ |− } =
= {|r, + , |r, − }, que es la base de la representación coordenadas.
ˆ
r |r, + =r |r, + ,
ˆ
r |r, − =r |r, − ,
ˆ
Sz |r, + = |r, + ,
2
ˆ
Sz |r, − = − |r, − .
2
Como cada operador actúa sobre su propio espacio de estados veamos si se verifica las
relaciones de:
1. Ortonormalidad : r, +|r , + = δ(r − r )
r, +|r , − = 0
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 13

14. 2 EL ESPÍN Javier García Molleja
r, −|r , + = 0
2. Cierre: d3 r (|r, + r, +| + |r, − r, −|) = 1
Estudiemos ahora la representación de |ψ ∈ E :
|ψ = d3 r (|r, + r, +| + |r, − r, −|) |ψ
= d3 r (|r, + r, +|ψ + |r, − r, −|ψ )
= d3 r ( r, +|ψ |r, + + r, −|ψ |r, − )
ψ+ (r) ψ− (r)
= d3 r (ψ+ (r)|r, + + ψ− (r)|r, − ) .
Esto indica que para describir un electrón se necesitan dos funciones de onda, es decir,
una para cada valor de ms . Si extrapolamos esta deducción habrá tantas funciones de
onda como valores de ms pueda tener la partícula de valor de espín determinado.
ψ|ψ = 1
⇒ ψ| d3 r (|r, + r, +| + |r, − r, −|) |ψ
= d3 r ( ψ|r, + r, +|ψ + ψ|r, − r, −|ψ )
∗ ∗
= d3 r ψ+ (r)ψ+ (r) + ψ− (r)ψ− (r)
= d3 r |ψ+ (r)|2 + |ψ− (r)|2 = 1.
En representación matricial tenemos que esto se convierte en una matriz columna, a
la que denominamos espinor :
ψ+ (r) r, +|ψ
|ψ = = . (6)
ψ− (r) r, −|ψ
Por tanto, la normalización de la función de onda queda al definir el espinor de la
siguiente manera:
ψ+ (r)
ψ|ψ = d3 r ψ+ (r) ψ− (r)
∗ ∗
= 1.
ψ− (r)
14 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

15. Javier García Molleja 2 EL ESPÍN
Ahora investiguemos sobre cómo actúan los distintos operadores que hemos visto sobre
el espinor:
ˆ ψ (r) = r ψ+ (r) ,
r +
ψ− (r) r ψ− (r)
ˆ ψ (r) = − i ψ+ (r) −i ψ+ (r)
p + = ,
ψ− (r) ψ− (r) −i ψ− (r)
ˆ ψ (r) = σx
Sx +
ψ+ (r)
= 2
ψ− (r)
,
ψ− (r) 2 ψ− (r) ψ (r)
2 +
ˆ ψ (r) = σy ψ+ (r) −i 2 ψ− (r)
Sy + = ,
ψ− (r) 2 ψ− (r) i 2 ψ+ (r)
ˆ ψ (r) = σz
Sz +
ψ+ (r)
=
ψ (r)
2 + ,
ψ− (r) 2 ψ− (r) − 2 ψ− (r)
∂ψ+ (r) ∂ψ− (r)
ˆ ˆ ψ+ (r) 2
∂z ∂x
− i ∂ψ∂y(r)
−
S·p =i ∂ψ+ (r) .
ψ− (r) 2 ∂x
+ i ∂ψ∂y(r)
+
− ∂ψ∂z(r)
−
Debido a la existencia del espín es necesario recurrir a dos funciones de onda para
describir totalmente a la partícula, ya que los operadores de espín hacen que se combinen
las funciones al realizar una rotación, puesto que son generadores (al ser también el espín
momento angular).
2.4. Cálculo de probabilidades mediante espinores
Las probabilidades, al igual que en el caso de las fuciones de onda, se calculan median-
te productos escalares. Recordemos que si teníamos una magnitud física A que estaba
asociada a un operador A que verificaba la ecuación de autovalores A|ϕa = a|ϕa , la
probabilidad de que al medir A obtengamos el valor a es:
PA (a) = | ϕa |ψ |2 .
En este momento, debemos intentar crear una correlación entre esto y el espinor, por
lo que habrá que hacer un estudio detallado de sus componentes.
ψ+ (r)
|ψ ≡
ψ− (r)
|ψ+ (r)|2 = | r, +|ψ |2 : indica la probabilidad de que la partícula se encuentre en r y con
ˆ ˆ
espín 2 al medir los operadores r y Sz simultáneamente.
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 15

16. 2 EL ESPÍN Javier García Molleja
|ψ− (r)|2 = | r, −|ψ |2 : indica la probabilidad de que la partícula se encuentre en r y con
ˆ ˆ
espín − 2 al medir los operadores r y Sz simultáneamente.
Usualmente, para los cálculos matemáticos se trabaja con la diferencial de volumen;
de este modo se indica que la partícula podría encontrarse en un volumen alrededor de r
y con espín el indicado por la componente del espinor:
|ψ+ (r)|2 d3 r,
|ψ− (r)|2 d3 r,
y en el caso de que quisiésemos integrar esta expresión la probabilidad resultante ya indica
otra cosa:
PSz
ˆ = d3 r |ψ+ (r)|2 ,
2
(7)
3 2
PSz
ˆ − = d r |ψ− (r)| .
2
La suma de los elementos de (7) nos da como resultado la condición de normalización.
Pero en el caso de que sumásemos los integrandos la probabilidad que se indicaría ahora
sería la de encontrar a la partícula alrededor de r, sin importar el valor de espín que posea:
ρ(r) d3 r = (|ψ+ (r)|2 + |ψ− (r)|2 ) d3 r.
Veamos a continuación otros cálculos de probabilidad:
PSx
ˆ = d3 r | r, +x |ψ |2
2
2
1
= d3 r √ ( r, +| + r, −|)|ψ
2
1
= d3 r |ψ+ (r) + ψ− (r)|2 .
2
1 1
Esto se cumple, puesto que |r ⊗ |+x = |r, +x = |r ⊗ √ (|+
2
+ |− ) = √ |r
2
⊗ |+ +
1 1
+ √2 |r ⊗ |− = √2 (|r, + + |r, − ).
PSy
ˆ = d3 r | r, +y |ψ |2
2
2
31
= d r √ ( r, +| − i r, −|)|ψ
2
1
= d3 r |ψ+ (r) − iψ− (r)|2 .
2
16 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

17. Javier García Molleja 2 EL ESPÍN
1
Este resultado también es cierto, ya que |r, +y = |r ⊗ |+y = |r ⊗ √ (|+
2
+ i|− ) =
1
= √2 (|r, + + i|r, − ).
El proceso para obtener las otras dos probabilidades es análogo al seguido aquí. Siga-
mos ahora con el cálculo de probabilidades en la representación momento:
{|r, + , |r, − } → {|p, + , |p, − }
Ahora debemos atender a cómo se combinan los elementos de estas dos bases diferentes
mediante el producto escalar entre ellas:
p·r 1 i
r, +|p, + = , 3 e
(2π ) 2
r, +|p, − = 0,
r, −|p, + = 0,
1 − i p·r
r, −|p, − = 3 e .
(2π ) 2
Utilizando la relación de cierre sobre un vector ket podremos hacer que cambie de base
(desde la de posición y espín hasta la de momentos y espín): |ψ = d3 p ( p, +|ψ |p, + +
+ p, −|ψ |p, − ).
¯
ψ+ (p) = p, +|ψ = p, +| d3 r (|r, + r, +| + |r, − r, −|)|ψ
= d3 r ( p, +|r, + r, +|ψ + p, +|r, − r, −|ψ )
1 i
= 3 d3 r e p·r
ψ+ (r).
(2π ) 2
¯
ψ− (p) = p, −|ψ = p, −| d3 r (|r, + r, +| + |r, − r, −|)|ψ
= d3 r ( p, −|r, + r, +|ψ + p, −|r, − r, −|ψ )
1 i
= 3 d3 r e− p·r
ψ− (r).
(2π ) 2
Con la transformada de Fourier se puede cambiar también de base, por lo que ahora
probaremos a cambiar de base desde el espinor:
¯
ψ+ (p) 1 ψ+ (r) − i p·r
¯− (p) = 3 d3 r e . (8)
ψ (2π ) 2 ψ− (r)
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 17

18. A POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Javier García Molleja
¯ ˆ ˆ
|ψ+ (p)|2 d3 p : indica la probabilidad de que al medir p y Sz se obtenga que la partícula
esté en d3 p alrededor de p con espín 2 .
¯ ˆ ˆ
|ψ− (p)|2 d3 p : indica la probabilidad de que al medir p y Sz se obtenga que la partícula
3
esté en d p alrededor de p con espín − 2 .
A. Postulados de la Mecánica Cuántica
Conociendo los postulados en los que se basa esta ciencia podremos determinar teóri-
camente todas sus aplicaciones si los aplicamos correctamente. Existen siete postulados:
Postulado 1.o El estado de un sistema físico en un instante dado t0 está completamente
determinado especificando el ket del espacio de estados.
Postulado 2.o Toda magnitud física medible A está representada por un operador A
que actúa sobre E y es un observable.
Postulado 3.o Los únicos posibles resultados que se pueden obtener al realizar una
medida de una magnitud física A vienen dados por los autovalores de A.
Postulado 4.o Si tenemos un sistema en el estado normalizado |ψ y medimos una
magnitud física A, la probabilidad PA (an ) de obtener como resultado de la medida
el autovalor an del observable A viene dado por la expresión | ϕn |ψ |2 , con |ϕn
siendo el autovector normalizado correspondiente a an .
Postulado 5.o Si tenemos un sistema en el estado normalizado |ψ y medimos una mag-
nitud física A obteniendo como resultado de la medida el autovalor ap del observable
A, el estado del sistema inmediatamente después de la medida será la proyección
del vector |ψ sobre el subespacio asociado al autovalor ap .
Postulado 6.o Si poseemos un estado normalizado |ψ(0) su evolución temporal viene
indicada por la ecuación de Schrödinger :
d|ψ(t) ˆ
i = H|ψ(t) ,
dt
ˆ
donde H es un operador (observable) que indica la energía del sistema. Para conocer
ˆ
H obtenemos el hamiltoniano H del problema clásico análogo y sustituimos las
variables por sus operadores correspondientes. Si el resultado no es hermítico ha de
simetrizarse.
18 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

19. Javier García Molleja B BREVE BIOGRAFÍA DE DIRAC
Postulado 7.o Cuando un sistema consta de partículas idénticas, sólo unos pocos vec-
tores pueden describir el estado del sistema. Dependiendo de la naturaleza de la
partícula, el estado será simétrico o antisimétrico respecto a una permutación de
dichas partículas. Denominaremos bosones a las partículas cuyo vector que repre-
senta el estado físico sea simétrico, y fermiones a las partículas cuyo vector que
va a representar el estado físico sea antisimétrico. Debido a esta definición de los
fermiones, estas partículas verifican el Principio de Exclusión de Pauli que indica
que los fermiones de igual estado no pueden formar sistema.
Estos postulados de la Mecánica Cuántica
son aplicables siempre a los cuatro casos que
se pueden presentar: espectro discreto y no
degenerado; espectro discreto y degenerado;
espectro continuo y no degenerado, y espec-
tro continuo y degenerado.
Debemos poner de manifiesto que discreto significa que los autovalores están sepa-
rados entre sí, es decir, son valores de un observable que entre uno y otro no se pueden
dar el resto de los valores que pertenecen al conjunto de números reales; es la definición
opuesta de continuo. Si el espectro es degenerado existen varios autovectores asocia-
dos al mismo autovalor y por tanto verifican la ecuación de autovalores; es la definición
antónima de no degenerado.
B. Breve biografía de Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac, físico formulación matricial de Heisenberg. Dirac
británico (Bristol 1902 - Tallahassee, Flori- fue uno de los fundadores de la teoría cuán-
da, 1984). Estudió en el Saint John’s col- tica relativista: la ecuación de onda llama-
lege de Cambridge, donde fue profesor de da de Dirac representa la primera formu-
matemáticas a partir de 1932. Formuló una lación de la teoría cuántica compatible con
teoría que explicaba la verdadera naturaleza el principio de la relatividad (1928). Par-
de los estados cuánticos, que se identifica- tiendo de este resultado Dirac pudo prede-
ban en ella como vectores de un espacio cir la existencia del positrón, hipótesis que
de Hilbert. Esta teoría permitió la unifi- fue más tarde confirmada con el descubrim-
cación de las dos formulaciones existentes iento de la antimateria. Contribuyó, asimis-
de la teoría cuántica: la mecánica ondula- mo, a la elaboración de la teoría estadística
toria de Schrödinger y de De Broglie y la del comportamiento de las partículas cuán-
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 19

20. D 2005: AÑO MUNDIAL DE LA FÍSICA Javier García Molleja
ticas de espín semientero (física estadística mio Nobel de física de 1933. Su libro Prin-
de Fermi–Dirac). cipios de la mecánica cuántica (1930) es una
obra básica de la teoría cuántica.[3]
Recibió, junto con Schrödinger, el pre-
C. Comparación de imágenes
Las imágenes son formas alternativas de operar con los estados y con los operadores.
Gracias a la aplicación de unos operadores de evolucuón concretos se puede cambiar de
imagen de manera rápida y sencilla. El hamiltoniano del sistema y el tiempo juegan un
papel diferente en cada imagen. En estos casos debemos atender estrictamente a la consti-
tución del hamiltoniano, ya que puede constar de un término ideal y de una perturbación
ˆ ˆ ˆ
que afecta al sistema: H = H0 + W (t).
Estado Operador
Schrödinger Hˆ Constante
Heisenberg Constante Hˆ
Dirac–Tomonaga ˆ
W (t) ˆ
H0
Cuadro 1: Evolución de estados y operadores en cada imagen de representación.
Según todo esto la imagen de representación más sencilla de manejar en los cálculos
es la de Schrödinger y la que más se parece a la Mecánica Clásica es la de Heisenberg.
La imagen de Dirac–Tomonaga se utiliza en sistemas en los que actúe una perturbación
dependiente del tiempo.
D. 2005: año mundial de la física
Con motivo del centenario del año admirable de Einstein (en el que dio origen entre
otras a la relatividad y al estudio estadístico del movimiento browniano) se incluye el
logotipo oficial de la conmemoración.
Con cierta paciencia puede adivinarse el motivo: aparentemente puede ser un cono de
luz de Minkowski y así se da un cierto homenaje a la teoría de la relatividad. También
podría ser un simple reloj de arena como recuerdo al esfuerzo científico por intentar
20 Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física)

21. Javier García Molleja REFERENCIAS
comprender a esta dimensión. Los cuatro colores que se utilizan podrían ser un guiño a
la óptica o a las cuatro fuerzas fundamentales. El resto de interpretaciones lo dejo libre
para la imaginación del lector.
Figura 1: Cono de luz
Referencias
[1] José Ignacio Fernández Palop: Física Cuántica; 2004, Universidad de Córdoba.
[2] José Ignacio Fernández Palop: Mecánica Cuántica; 2005, Universidad de Córdoba.
[3] Varios autores; Gran Enciclopedia Larousse; 1996, Editorial Planeta.
Edición de Textos de Carácter Científico (4.o Física) 21