"Knoten der selben Äquivalenzklasse haben Knoten der gleichen Äquivalenzklassen in ihrer jeweiligen Menge von Nachbarn." Mit dieser Definition (Prosaversion) lassen sich Netzwerke aller Art auf wiederkehrende Strukturen untersuchen.

1. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Reguläre Äquivalenz
IP-Formulierung von Blockmodellen
Jens Fielenbach
Arbeitsgruppe ComOpt
von Prof. Dr. Gerhard Reinelt
Fakultät für Mathematik und Informatik
Universität Heidelberg
Seminar Analyse von Netzwerken im SS 2011

2. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Gliederung
1 Ausgangspunkt / Motivation
Wiederholung der Definitionen
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Was will man mehr?
2 Blockmodellierung
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
IP-Formulierung

3. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Wiederholung der Definitionen
Reguläre Äquivalenz
Definition (Reguläre Äquivalenz)
Eine Äquivalenzrelation der Knotenmenge eines Graphen
G = (V , E) heißt regulär, wenn für jedes Knotenpaar (u, v ) mit
u ≡ w stets folgende Implikationen gelten:
i (uv ∈ E) =⇒ (∃z ≡ v : wz ∈ E)
ii (vu ∈ E) =⇒ (∃z ≡ v : zw ∈ E)
Merksatz in Prosa
Knoten der selben Äquivalenzklasse haben Knoten der
gleichen Äquivalenzklassen in ihrer jeweiligen Menge von
Nachbarn.

4. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Ein kleines Beispiel zum Warmwerden. . .
1 2
4 3
Abbildung: Finden Sie ein oder mehrere reguläre Äquivalenzen!

5. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Eine Lösung
1 2
4 3

6. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Eine Lösung Alle regulären Äquivalenzen
1234
1 2
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
4 3
1/2/3/4

7. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

8. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

9. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

10. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

11. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

12. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

13. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

14. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

15. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Der CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993]
Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen.
1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse.
Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich.
2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu.
3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen:
→ Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent.
→ Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten.
4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind.
5 Gebe Partition P als Lösung zurück.

16. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Eigenschaften
Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett]
d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition.
Laufzeit O(n3 )
maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen
streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt.
Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ).
2
Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen
über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen
Implementierung
nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++

17. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Eigenschaften
Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett]
d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition.
Laufzeit O(n3 )
maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen
streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt.
Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ).
2
Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen
über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen
Implementierung
nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++

18. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Eigenschaften
Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett]
d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition.
Laufzeit O(n3 )
maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen
streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt.
Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ).
2
Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen
über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen
Implementierung
nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++

19. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Eigenschaften
Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett]
d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition.
Laufzeit O(n3 )
maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen
streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt.
Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ).
2
Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen
über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen
Implementierung
nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++

20. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Beispiel: Geschäftsbeziehungen von 70 Fotografen
Wer beliefert wen? [weitgehende Planardarstellung mit Social Network Visualizer SocNetV]
10
24
57 68 55
44
48 69
26
8 63
67 50
40
51
61
2
29
13
28 39 25
64 60 4 47 17
46 21 53
37 1 70
54 31
52 20 56
30 59 27 16
38 58
35
6 19
45 43
33 15 5
22 32 18 14
34
9
62
66
36 23 42
49
65
3 11
7
12 41

21. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

22. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.

23. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
Anzahl der Äquivalenzklassen: 8
0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60
3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67
15 21 46 48 52 58 69

24. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Äquivalenz mit 8 Klassen
Finden Sie einen Fehler (eine Irregularität)!
10
24
57 68 55
44
48 69
26
8 63
67 50
40
51
61
2
29
13
28 39 25
64 60 4 47 17
46 21 53
37 1 70
54 31
52 20 56
30 59 27 16
38 58
35
6 19
45 43
33 15 5
22 32 18 14
34
9
62
66
36 23 42
49
65
3 11
7
12 41

25. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 8
0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60
3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67
15 21 46 48 52 58 69

26. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 8
0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60
3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67
15 21 46 48 52 58 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.

27. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 8
0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60
3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67
15 21 46 48 52 58 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
Anzahl der Äquivalenzklassen: 29
0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29
7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36
21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69

28. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 29
0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29
7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36
21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69

29. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 29
0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29
7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36
21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.

30. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 29
0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29
7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36
21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
Anzahl der Äquivalenzklassen: 47
0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12
14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38
39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69

31. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 47
0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12
14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38
39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69

32. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 47
0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12
14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38
39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.

33. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 47
0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12
14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38
39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
Anzahl der Äquivalenzklassen: 53
0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31
17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40
41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64
65 66 68 69

34. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 53
0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31
17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40
41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64
65 66 68 69

35. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 53
0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31
17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40
41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64
65 66 68 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.

36. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
Exemplarisch die Iterationsschritte. . .
Anzahl der Äquivalenzklassen: 53
0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31
17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40
41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64
65 66 68 69
Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
Anzahl der Äquivalenzklassen: 54
0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17
19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40
41 45 62 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61
64 65 66 68 69

37. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz
70 Fotografen, 54 verschiedene Typen
Anzahl der Äquivalenzklassen: 54
0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17
19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40
41 45 62 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61
64 65 66 68 69
Ist eine solche Anzahl von Klassen noch sinnvoll für
das Treffen qualitativer analytischer Aussagen?

38. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Was will man mehr?
Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten
Einzelne Perturbation Rollen-Primitivität
1234
1 2
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
4 3 1/2/3/4
– Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegten
Beziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur
+ Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.

39. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Was will man mehr?
Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten
Einzelne Perturbation Rollen-Primitivität
1234
1 2
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
4 3 1/2/3/4
– Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegten
Beziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur
+ Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.

40. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Was will man mehr?
Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten
Einzelne Perturbation Rollen-Primitivität
1234
1 2
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
4 3 1/2/3/4
– Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegten
Beziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur
+ Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.

41. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Was will man mehr?
Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen
1234
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
1/2/3/4
+ Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich die
Trennung bestimmter Knoten erzwingen.
– Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl noch
Rollengraph vorgebbar.

42. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Was will man mehr?
Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen
1234
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
1/2/3/4
+ Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich die
Trennung bestimmter Knoten erzwingen.
– Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl noch
Rollengraph vorgebbar.

43. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Was will man mehr?
Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen
1234
14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34
1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34
1/2/3/4
+ Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich die
Trennung bestimmter Knoten erzwingen.
– Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl noch
Rollengraph vorgebbar.

44. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Grundideen der Blockmodellierung
1 Klassenzahl und Rollengraph als Modell-Annahme
2 Knoten bestmöglich den Rollen zuordnen

45. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Gütebeurteilung: Was bedeutet bestmöglich?
Die Zielfunktion ∆ soll folgende Eigenschaften erfüllen:
1 ∆(P) ≥ 0
2 ∆(P) = 0 ⇔ P ist exakt regulär.
Sei Θk die Menge aller Partitionen mit k Klassen. Dann ist zu
lösen das Optimierungsproblem
∆(P ∗ ) = min ∆(P)
P∈Θk

46. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Gütebeurteilung: Was bedeutet bestmöglich?
Wähle für ∆ die Definition
∆(P) = min d(Cu × Cv , B)
B∈B(Cu ,Cv )
Cu ,Cv ∈P
mit
Cu Cluster = Äquivalenzklasse mit Repräsentant u
Cu × Cv Block = kartesisches Produkt der Cluster (Cu , Cv )
B(Cu , Cv ) Menge aller Idealblöcke für Cu × Cv
d noch zu definierende Abstandsfunktion

47. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Wie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus?
Definition (Regulärer Block)
Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile und
jeder Spalte mindestens eine 1 enthält.
Definition (Reguläre Matrix)
Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken und
regulären Blöcken besteht.
Lemma (Konsistenz der Definition)
Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie eine
reguläre Partition darstellt.

48. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Wie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus?
Definition (Regulärer Block)
Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile und
jeder Spalte mindestens eine 1 enthält.
Definition (Reguläre Matrix)
Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken und
regulären Blöcken besteht.
Lemma (Konsistenz der Definition)
Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie eine
reguläre Partition darstellt.

49. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Wie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus?
Definition (Regulärer Block)
Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile und
jeder Spalte mindestens eine 1 enthält.
Definition (Reguläre Matrix)
Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken und
regulären Blöcken besteht.
Lemma (Konsistenz der Definition)
Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie eine
reguläre Partition darstellt.

50. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Wie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus?
Beweis des Lemmas für Zeilen (Spalten analog).
„⇒“ Sei R regulär. Im Falle, dass Cu × Cv Nullblock ist nichts
zu zeigen. Da für jeden Block Cu × Cv gilt
Cu × Cv regulär =⇒ ∀w ∈ Cu ∃z ∈ Cv : rwz = 1 =⇒ P reg.
„⇐“ Angenommen die Blockmatrix R stelle die reguläre
Partition P dar, aber ein Block Cu × Cv sei weder Null- noch
regulärer Block. Sei o. B. d. A.
P reg.
(ruv = 1) =⇒ (∀w ∈ Cu ∃z ∈ Cv : rwz = 1)
Dann wäre aber Cu × Cv regulär zur Annahme.

51. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Naheliegende Definition
Definition (Abstandsfunktion d)
d(Cu × Cv , B) =
#Nullzeilen + #Nullspalten, falls Cu × Cv regulär
#Einsen, falls Cu × Cv Nullblock
Bemerkung
Obige Definition von d gewichtet Abweichungen in Nullblöcken
im Mittel stärker als in regulären Blöcken. Allerdings wird so die
IP-Formulierung später wesentlich übersichtlicher.

52. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Blockmodellierung als Optimierungsproblem
Lösungsansätze
Definition (Lokale Transformation)
1 Vertausche zwei Zeilen bzw. Spalten aus verschiedenen
Clustern.
2 Verschiebe eine Zeile bzw. Spalte in einen anderen
Cluster.
Gradienten-Verfahren
Es werden solange lokale Transformationen durchgeführt, wie
dadurch ∆ (ganzzahlig) reduziert wird. Das erreichte Optimum
ist lokal. Globale Optimalität ist nur im Falle ∆ = 0 garantiert.
Daraus ergibt sich grundsätzliche Frage: Wann gibt es ein
exakt reguläre Partition mit genau k Äquivalenzklassen?

53. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen
Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit)
Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für
ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen
existiert.
Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . .
Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA)
Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G
regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.

54. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen
Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit)
Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für
ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen
existiert.
Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . .
Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA)
Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G
regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.

55. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen
Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit)
Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für
ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen
existiert.
Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . .
Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA)
Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G
regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.

56. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen
Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit)
Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für
ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen
existiert.
Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . .
Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA)
Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G
regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.

57. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
2-Rollenverteilungen eines ungerichteten Graphen
Definition (2RAi )
Mit 2RAi bezeichnen wir das Teilproblem, zu entscheiden ob G
regulär 2-zuweisbar ist mit Rollengraph Ri .
Abbildung: Anzeichnen
R1 R4
R2 R5
R3 R6

58. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA
Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4)
Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit
R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht.
R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen
zusammenhängenden Teil besitzt.
R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber
mindestens zwei Zusammenhangskomponenten
besitzt.
R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit
ist.

59. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA
Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4)
Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit
R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht.
R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen
zusammenhängenden Teil besitzt.
R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber
mindestens zwei Zusammenhangskomponenten
besitzt.
R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit
ist.

60. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA
Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4)
Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit
R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht.
R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen
zusammenhängenden Teil besitzt.
R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber
mindestens zwei Zusammenhangskomponenten
besitzt.
R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit
ist.

61. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA
Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4)
Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit
R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht.
R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen
zusammenhängenden Teil besitzt.
R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber
mindestens zwei Zusammenhangskomponenten
besitzt.
R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit
ist.

62. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA
Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4)
Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit
R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht.
R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen
zusammenhängenden Teil besitzt.
R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber
mindestens zwei Zusammenhangskomponenten
besitzt.
R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit
ist.

63. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Skizze der Beweisführung
Beweisidee.
klar !
Zeige 3SAT (NP-vollständig nach Cook) p 2RA ∈ NP.
Vorgehen.
Für eine beliebige Instanz von 3SAT mit
Variablenmenge U = {u1 , u2 , . . . , ui , . . . , un }
Aussagenmenge C = {c1 , c2 , . . . , cj , . . . , cm }
konstruiere einen Graphen, der genau dann regulär
2-zuweisbar ist, wenn die 3SAT -Instanz erfüllbar ist.

64. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Skizze der Beweisführung
Beweisidee.
klar !
Zeige 3SAT (NP-vollständig nach Cook) p 2RA ∈ NP.
Vorgehen.
Für eine beliebige Instanz von 3SAT mit
Variablenmenge U = {u1 , u2 , . . . , ui , . . . , un }
Aussagenmenge C = {c1 , c2 , . . . , cj , . . . , cm }
konstruiere einen Graphen, der genau dann regulär
2-zuweisbar ist, wenn die 3SAT -Instanz erfüllbar ist.

65. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Übertragung von 3SAT auf Graphen
Truth-Setting Ti und Satisfaction-Testing-Komponenten Sj
ui ui cj1 cj2
cj3
bj3
bj1
(a) T i (b) S j

66. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Beispielgraph zum Beweis von 3SAT p 2RA5
Konstruktion in PTIME aus der 3SAT -Instanz
¯ ¯
U = {u1 , u2 , u3 , u4 } und C = {{u1 , u2 , u3 }, {u2 , u3 , u4 }}
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
u1 u1 u2 u2 u3 u3 u4 u4
c11 c13 c 21 c 23
c12 c 22
b13 b23
b12 b22
b11 b21

67. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)
Beispielgraph zum Beweis von 2RA5 p 2RA
Konstruktion in PTIME
u1 u2
u1 u2 b1 a2
a1 b2
C1 C2
x1 y1 x2 y2
(a) G (b) G

68. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Vereinbarungen zur IP-Formulierung
N ∈ N, N ≥ 3 Anzahl der Knoten
K ∈ N {0} Anzahl der Blöcke
N×N
S ∈ {0, 1} Adjazenzmatrix des Graphen
B ∈ {0, 1}K ×K Matrixdarstellung des Rollengraphen
P∈ NK ×K
0 Abweichungs-Gewichtungsmatrix (optional)
Lateinische Kleinbuchstaben stellen ggf. Elemente der mit
Großbuchstaben bezeichneten Matrizen dar.
Alle Ausdrücke gelten für alle Indizes aus {i, j, k , l},
über die nicht summiert wird.
Ausdrücke mit αikl , βjkl gelten nur für Blöcke (k , l)|bkl = 1.

69. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
IP-Formulierung [Brusco, Steinley]
N N N N
min pkl yijkl sij + pkl αikl + pkl β
i=1 j=1 (k ,l)|bkl =0 i=1 (k ,l)|bkl =1 j=1 (k ,l)|bkl =1
K N
s.t. xik = 1 xik ≥ 1 (1)
k =1 i=1
xik + xjl − yijkl ≤ 1 xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 (2)
 
N N
 yijkl sij  + αikl ≥ xik yijkl sij + βjkl ≥ xjl (3)
j=1 i=1
xik , yijkl ∈ {0, 1} αikl , βjkl ∈ {0, 1} (4)

70. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
IP-Formulierung [äquivalent und lesbar]
  
K K N N N N
min pkl ¬bkl yijkl sij + bkl  αikl + βjkl 
k =1 l=1 i=1 j=1 i=1 j=1
K N
s.t. xik = 1 xik ≥ 1 (1)
k =1 i=1
xik + xjl − yijkl ≤ 1 xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 (2)
 
N N
 yijkl sij  + αikl ≥ xik yijkl sij + βjkl ≥ xjl (3)
j=1 i=1
xik , yijkl ∈ {0, 1} αikl , βjkl ∈ {0, 1} (4)

71. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Nachbemerkung I zur IP-Formulierung
Die Typ (2)-Nebenbedingung
xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0
ist von entscheidender Bedeutung. Würde sie fehlen, könnten
die yijkl trotz xik xjl = 1 irrtümlich den Wert 1 annehmen, nur um
die Nebenbedingungen vom Typ (3) zu erfüllen.

72. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Benchmark: Das Everett-Netzwerk
a b c d e f g h i j
a 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
b 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
c 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
d 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
e 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
f 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
g 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
h 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
i 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
j 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Tabelle: Eingangsdaten

73. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Benchmark: Das Everett-Netzwerk
{?} {?} {?}
{?} 1 1 0
{?} 1 0 1
{?} 0 1 1
Tabelle: Vorgegebener Rollengraph

74. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Benchmark: Das Everett-Netzwerk
c a j h b d g i e f
a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
h 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
j 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
b 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
d 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
g 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
e 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
f 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Tabelle: 3-Cluster-Blockmodell

75. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Benchmark: Das Everett-Netzwerk
c a j h b d g i e f
a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
h 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
j 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
b 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
d 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
g 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
e 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
f 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Tabelle: Reguläre und Nullblöcke (∆ exakt 0)

76. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Benchmark: Das Everett-Netzwerk
{a,c,h,j} {b,d,g,i} {e,f}
{a,c,h,j} 1 1 0
{b,d,g,i} 1 0 1
{e,f} 0 1 1
Tabelle: Berechnung mit CPLEX 1.30s

77. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
IP-Formulierung
Nachbemerkung II zur IP-Formulierung
In eine ähnliche IP-Form bringen lassen sich
Strukturelle Äquivalenz Wesentlich einfacher, da bkl = 1 ⇔
Block kl vollbesetzt.
SE und RE auf V × W Noch um einges komplexer, da Partition
zweier Mengen erforderlich.

78. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Vorzüge und Nachteile aller drei Ansätze
CATREGE Gradienten-Heuristik IP-Lösung
Güte keine Aussage lokales Optimum Optimalitätsgarantie
Vorgehen explorativ Hypothesentest Hypothesentest
Vorwissen kaum einbringbar Rollengraphvorgabe Rollengraphvorgabe
Worst-Case-Laufzeit O(n3 ) überpolynomial überpolynomial
mehrereRelationen einfach möglich großer Mehraufwand großer Mehraufwand

79. Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick
Forschungsperspektive
Wünschenswert wären Verfahren, die alle drei Kriterien
erfüllen:
1 Rollengraph auswählen
2 Reguläre Partition finden
3 Optimalitätsgarantie liefern

80. Anhang
Weiterführende Literatur
Weiterführende Literatur I
Jürgen Lerner.
Role Assignments, S. 216–252.
in Brandes, Erlebach: Network Analysis, Springer 2005.
Fred S. Roberts, Li Sheng 2001.
How Hard Is It to Determine If a Graph Has a 2-Role
Assignment?
NETWORKS Journal, Vol. 37, S. 67-73.
Michael J. Brusco, Douglas Steinley 2009
Integer programs for one- and two-mode blockmodeling
based on prespecified image matrices for structural and
regular equivalence.
Journal of Mathematical Psychology, Nr. 53, S. 577-585.