Marcela Monteiro
MóduloConsidere a reta real:
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem(distância do ponto até o zero) de módulo ou valorabsoluto. Ele é denotad...
Propriedades do Módulo de x:1.|x|=a, e a>0 ↔ x=a ou x= –a (um número real é sempre  igual ao seu módulo ou ao simétrico de...
5.|x|2 = x2, para todo x real (o quadrado do módulo de umnúmero real é o quadrado do número real);6.√ x2=|x| para todo x r...
8. |x| ≥ a e a > 0↔ x ≤ -a ou x ≥ a (dizer que omódulo de um número real não é menor do que umaconstante positiva é dizer ...
10. |x - y| ≥ |x|-|y| para todo x, y reais (o módulo dadiferença de dois números reais não é nunca inferior àdiferença dos...
Equações ModularesUma equação modular é aquela em que a incógnita "aparecedentro do módulo".Exemplo:a) |x| = 5b) |x - 3| ...
1) (F.C.M.Sta.Casa) As funções f(x) = |x| e g(x)= x2 - 2 possuem dois pontos em comum. A soma das abscissasdestes pontos é...
3) (F.C.M.Sta.Casa)- 0 conjunto solução daequação |3x-2| = 3x-2 , no universo IR, é:a)IR    b) IR, positivos c)[ 2/3,+ inf...
Inequações ModularesA inequação modular é uma desigualdade emque a incógnita "aparece dentro do módulo".1º caso: |x| > a (...
Exemplos:a) |3x-1| >2b) |x +3| ≤ 1
(FGV) Quantos números inteiros não negativos satisfazem ainequação |x - 2|< 5?a) infinitos b) 4 c) 5 d) 6 e) 7(U.E.CE)- Da...
Função Modular: Uma função é modular se acada x associa | x | , f(x) = | x | , onde:Obs: O domínio dessa função f são todo...
GráficoO gráfico de uma função modular pode seresboçado mediante a separação em sentenças, isto é, dada afunção f(x) = |x+...
Exemplo:a) f(x) = |x| + | x-2|b) y = | x2 -3x +2|
Apesar dos nossos defeitos, precisamosenxergar que somos pérolas únicas no teatro da  vida e entender que não existem pess...
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Função modular

  1. 1. Marcela Monteiro
  2. 2. MóduloConsidere a reta real:
  3. 3. Chamamos a distância de um ponto da reta à origem(distância do ponto até o zero) de módulo ou valorabsoluto. Ele é denotado por |x|. Quando o número épositivo ou zero, então seu módulo é ele próprio. Caso eleseja negativo, então seu módulo é seu simétrico.A expressãodo módulo de x é então:Exemplos: |12|=12; |–5|=5; |0|=0; |-1/2|=1/2
  4. 4. Propriedades do Módulo de x:1.|x|=a, e a>0 ↔ x=a ou x= –a (um número real é sempre igual ao seu módulo ou ao simétrico deste);2. |x|≥ 0 para todo x real (o módulo de um número real é nãonegativo);3.|x|=0 ↔ x=0 (o único número real com módulo nulo é o zero);4. |x. y|=|x|.|y|,para todo x real (o produto dos módulos dedois números reais é o módulo do produto dos dois númerosreais);
  5. 5. 5.|x|2 = x2, para todo x real (o quadrado do módulo de umnúmero real é o quadrado do número real);6.√ x2=|x| para todo x real (a raiz positiva do quadrado de um real é o módulo dele.)7. |x| ≤ a e a> 0 ↔ -a ≤ x ≤ a (dizer que o módulo de umnúmero real não é maior do que uma constante positiva édizer que o número está compreendido entre a constante eseu simétrico);
  6. 6. 8. |x| ≥ a e a > 0↔ x ≤ -a ou x ≥ a (dizer que omódulo de um número real não é menor do que umaconstante positiva é dizer que o número não é menorque a constante, ou senão não é maior que osimétrico da constante).9. |x + y| ≤ |x|+|y|, para todo x, y reais(o módulo dasoma de dois números reais não é nunca superior àsoma dos módulos dos dois números; estapropriedade também é conhecida comodesigualdade triangular);
  7. 7. 10. |x - y| ≥ |x|-|y| para todo x, y reais (o módulo dadiferença de dois números reais não é nunca inferior àdiferença dos módulos dos dois números; neste caso aordem em que aparecem os termos, importa);
  8. 8. Equações ModularesUma equação modular é aquela em que a incógnita "aparecedentro do módulo".Exemplo:a) |x| = 5b) |x - 3| = 5c) |(3x+ 2)/ 4| = 2d) |4x-6| = x-3e) |x|2 -3|x|+2 = 0
  9. 9. 1) (F.C.M.Sta.Casa) As funções f(x) = |x| e g(x)= x2 - 2 possuem dois pontos em comum. A soma das abscissasdestes pontos é:a) 0 b) 3 c) -1 d) -3 e) 12) (ITA) Considere a equação . Com respeito à solução realdesta equação podemos afirmar que:a) a solução pertence ao intervalo fechado [1,2].h) a solução pertence ao intervalo fechado [-1,2].c) a solução pertence ao intervalo aberto (-1; 1).d) a solução pertence ao complementar da união dos intervalosanteriores.e) a equação não tem solução.
  10. 10. 3) (F.C.M.Sta.Casa)- 0 conjunto solução daequação |3x-2| = 3x-2 , no universo IR, é:a)IR b) IR, positivos c)[ 2/3,+ infinito[d)] 2/3,+infinito[ e) nda4) (PUC-MG)- A solução da equação |3x-5|= 5x-1 é:a)-2 b) ¾ c) 1/5 d) 2 e) ¾ e -2.5) (Covest) Indique o produto dos valores dosreais x que satisfazem a equação |x -7| = 3
  11. 11. Inequações ModularesA inequação modular é uma desigualdade emque a incógnita "aparece dentro do módulo".1º caso: |x| > a ( com a> 0) ↔ x > a ou x< -a2º caso: |x| < a ( com a> 0) ↔ -a< x < a
  12. 12. Exemplos:a) |3x-1| >2b) |x +3| ≤ 1
  13. 13. (FGV) Quantos números inteiros não negativos satisfazem ainequação |x - 2|< 5?a) infinitos b) 4 c) 5 d) 6 e) 7(U.E.CE)- Dados os conjuntosA= { x є Z/ |x - 5|< 3} e B ={ x є Z/ |x - 4| ≥ 1} , asoma dos elementos de AᴖB é igual a:a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e)23(UECE) Adicionando-se os valores inteiros de x quesatisfazem simultaneamente as desigualdades |x - 1|≤ 2 e |2x - 1|≥ 1, obtemos :a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e)7
  14. 14. Função Modular: Uma função é modular se acada x associa | x | , f(x) = | x | , onde:Obs: O domínio dessa função f são todos osreais e a imagem [0, + ] ou simplesmente:D(f) = IR e Im(f) = IR+
  15. 15. GráficoO gráfico de uma função modular pode seresboçado mediante a separação em sentenças, isto é, dada afunção f(x) = |x+1|, vamos transformá-la em uma funçãodeterminada por mais de uma sentença. f(x)= |x+1| x+1 , se x ≥ -1 -x- 1 ,se x < -1
  16. 16. Exemplo:a) f(x) = |x| + | x-2|b) y = | x2 -3x +2|
  17. 17. Apesar dos nossos defeitos, precisamosenxergar que somos pérolas únicas no teatro da vida e entender que não existem pessoas de sucesso e pessoas fracassadas. O que existem são pessoas que lutam pelos seus sonhos ou desistem deles. (Augusto Cury)

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