Apostila

ESCOLA POLITÉCNICA DA USP
DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS
www.pme.poli.usp.br/sisea
PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr
Prof. Dr. José R Simões Moreira
2o
semestre/2014
versão 1.4
primeira versão: 2005

Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014
2
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME
2361 - Processos de Transferência de Calor ministrada aos
alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da
Escola Politécnica da USP.
O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos
assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de
Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt.
Também foram utilizados outros livros-texto sobre o
assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o
caso do “Transferência de Calor” de Holman.
O objetivo deste material é servir como um roteiro de
estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De
forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais
completo e deve ser consultado e estudado.

____________________________
3
Prof. José R. Simões Moreira
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644
Breve Biografia
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em
Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica -
Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na
Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da
Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação interinstitucional do
Instituto de Eletrotécnica e Energia (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de
pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq - nível 2, consultor
ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM,
Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica,
atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e
processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos e
sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários
congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de
Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas
Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos
de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de
Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural,
termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de
especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por
meio do PECE da Poli desde 2011 em sua sexta edição. Tem sido professor de cursos de
extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações
indústriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos
de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq,
Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 2006 com a
medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na
UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em
Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa
ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`.
Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor
visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e
julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria
(Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área
automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor de um
livro intitulado "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e autor de um capítulo do
livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou 13 mestres e 4 doutores,
além de cerca de 40 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de
cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando
um número superior a 80 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos
tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de
pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.

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4
AULA 1 - APRESENTAÇÃO
1.1. INTRODUÇÃO
Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de
Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a
seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há
diferença entre elas”?
Para desfazer essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de
aplicação de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da
Termodinâmica.
A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é
baseada em três leis fundamentais:
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de
temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva)
- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de
conversão de uma forma de energia em outra”)
Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas:
(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira
Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é
colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT <
inicial final
As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina:
Termodinâmica: TmcUQT ∆=∆= - fornece o calor total necessário a ser transferido do
frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico
médios – APENAS ISTO!
frasco
ambientef TT = Gf TT =
t∆

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5
Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto
tempo ( )t∆ levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente
(gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou
aumentar) esse tempo?
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t∆ para
que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para
que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência
de Calor vai permitir estimar o tempo t∆ , bem como definir quais parâmetros podemos
interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse.
De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de
temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode
ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou
sistema (fluido).
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor
TERMIDINÂMICA: cec qqw −= : não permite dimensionar os equipamentos
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo),
apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento,
como o COP:
c
e
w
q
COP =
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de
transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas:
- Qual o tamanho do evaporador / condensador?
- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos?
- Como atingir maior / menor troca de calor?
- Outras questões semelhantes.
cw
cq
eq
compressor válvula
condensador
evaporador

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6
Problema-chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor.
O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite:
- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.;
- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio
ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de
circuitos de refrigeração;
- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores,
etc.
1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e
radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.
(a) Condução de calor
- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta
temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para
as menos energéticas.
- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por
elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos.
Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E
isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral).
A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)
dx
dT
Aqx α
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq
T : temperatura
A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do
material, k, ou seja:
2T1T ..
x
sólido
xq

____________________________
7
dx
dT
kAqx =
As unidades no SI das grandezas envolvidas são:
[ xq ] = W ,
[ A ] = 2
m ,
[T ] = K ou Co
,
[ x ] = m .
assim, as unidades de k são: [k ] =
Cm
W
o
⋅
ou
Km
W
⋅
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os
valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção
de apêndices dos livros-texto.
Necessidade do valor de (-) na expressão
Dada a seguinte distribuição de temperatura:
Para 12 TT >
T2
T1
T∆
x∆
T
xx1 x2
0<xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)
Além disso, do esquema; 0
0
0
>
∆
∆



>∆
>∆
x
T
x
T
, daí tem-se que o gradiente também será
positivo, isto é:
0>
dx
dT
mas, como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), concluí-se que,
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de
Fourier) para manter a convenção de que 0>xq

____________________________
8
Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT > , conforme próximo esquema, a
equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)
De forma que a Lei da Condução de Calor é:
Lei de Fourier (1822)
(b) Convecção de Calor
A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)
)( ∞−TTAq Sα
Onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:
onde:
A : Área de troca de calor;
ST : Temperatura da superfície;
∞T : Temperatura do fluido ao longe.
- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de
muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área da superfície, sua rugosidade e sua
dx
dT
kAqx −=
)( ∞−= TThAq S

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9
geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas
envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor.
(c) Radiação Térmica
A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de
Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e
Boltzmann, de forma teórica (1884).
Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica
(para um corpo negro)
−σ constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8
W/m2
K4
)
Corpos reais (cinzentos) 4
ATq εσ= , onde ε é a emissividade que é sempre 1≤
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de
meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência
de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de
calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.
4
ATq σ=

____________________________
10
AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR
CONDUÇÃO DE CALOR
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:
x
T
kq


 , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a
condutividade térmica do material.
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:
   
  
 x
T
A
q
k    
m
C
m
W
k o
2
   
Cm
W
k o

 ou
Km
W
.
Sendo:
k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma
experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de
apêndice do livro texto.
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k
q
A

____________________________
11
No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica
enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido
dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de
temperatura (termopares, p. ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de
temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil
temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor fornecido
é a própria potência elétrica IUIRq  2
. Sendo a seção transversal A conhecida,
então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k.
Neste caso,
x
T
A
q
k


 .
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.
Gases
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica
flui. Pode-se mostrar que.
Tk 
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.
Líquidos
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos
líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais
complexa devido à menor mobilidade das moléculas.

____________________________
12
Sólidos
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.
O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para
líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS
CARTESIANAS
Balanço de energia em um
volume de controle elementar

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13
BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de
calor calor de variação calor que
que entra no + gerada = da energia + deixa o
que V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C.
(I) (II) (III) (IV)
Sejam os termos:
(I) Fluxo de calor que entra no V.C.
Direção x
x
T
dAk
x
T
dzdykq xxx





 -
Direção y
y
T
dzdxkq yy



y
kqyyDireção zy
kqzz
(II) Taxa de calor gerado
dzq '''
G  dydxEG

onde: '''
gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume.  3
m
W
(III) Taxa temporal de variação da energia interna
t
T
cdzdydx
t
u
m
t
U
Ear








 
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e  a densidade. CkgkJ o/
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:
Direção x
x
x
qqx
xdxx )(0 2
dxdx
x
q
qq x
xdxx 



Direção y



 dy
y
q
qq
y
ydyy
z
T
dydxkq zz




____________________________
14
Direção z



 dz
z
q
qq z
zdzz
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:
dz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
q
t
T
cdxdydzdxdydzqqqq z
z
y
y
x
xGzyx











 '''
+ ordem superior
simplificando os termos zyx qqq e, , vem:
,'''
dz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
t
T
cdxdydzdxdydzq zyx
G











 
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,
dxdydzk
z
dxdydzk
y
dxdydzk
xt
T
cdxdydzdxdydzq zyxG
z
T
y
T
x
T'''





























 
Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica
para a mesma porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de
contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da
geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de
contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT  . A seguir
são apresentados alguns casos básicos.
Casos:
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe
de T)
kkkk zyx 
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T g
T













1
'''
2
2
2
2
2
2
2
  
t
T
z
T
y
T
x
T "'
































cqk
z
k
y
k
x
Gzyx 

____________________________
15
onde,  = c
k
 é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no
SI é:
   
   s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3























Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:
onde:
2
2
2
2
2
2
2
zyx 







 é o operador matemático chamado de Laplaciano no
sistema cartesiano de coordenadas.
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,
embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é
independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros
sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como
exemplificado abaixo,
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrr
r
rr 
















- Esférico: 2
2
222
2
2
2
sen
1
sen
sen
11


 






















rrr
r
rr
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0'''
Gq
(Eq. de Fourier)
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0


t
T
(Eq. de Poisson)
D) Regime permanente e k constante e uniforme
(Eq. de Laplace)
t
T
k
q
T G




1'''
2
12
t
T
T




0
'''
2

k
q
T G
02
 T

____________________________
16
AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME
PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado
na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma
temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da
parede é linear.
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida
na aula anterior, isto é:
t
T
k
q
T G




1'''
2
Introduzindo as simplificações do problema, vem:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0



t
T
iii. Unidimensional:  D1
2
2
2
x


Assim, com essas condições, vem que 02
2

x
Td
, e a solução procurada é do tipo T(x).
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis:
dx
dT

Logo, substituindo na equação, vem que 0
dx
d

____________________________
17
Integrando por separação de variáveis vem:
  1Cd , ou seja: 1C
Mas, como foi definido
dx
dT
  1C
dx
dT

Integrando a equação mais uma vez, vem:
21)( CxCxT  Que é a equação de uma reta, como já antecipado.
Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos
matemáticos isso quer dizer que
(A) em x = 0  1TT 
(B) e em x = L  2TT 
De (A): 12 TC 
e de (B): 112 TLCT  
L
TT
C 12
1


Assim,
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT  , como mostrado na figura abaixo.
Cálculo do fluxo de calor transmitido através da
parede
.
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:
dx
dT
kq 
e, substituindo a distribuição de temperaturas,
vem:
   
L
TT
kT
L
x
TT
dx
d
kq 12
112





 , ou,
em termos de fluxo de calor por unidade de área,
temos:
   mW 212''
L
TT
k
q
q




Esquecendo o sinal de (-), vem
112 )()( T
L
x
TTxT 
L
T
kq

''

____________________________
18
Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos:
Aumentar o fluxo de calor q”:
. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L
Ou diminuir o fluxo de calor q”:
. Com o uso de material isolante térmico k
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua
aplicação é para tubos cilíndricos.
A equação geral é da forma
t
T
k
q
T G




1'''
2
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr
G



















111 '''
2
2
2
2
2
Introduzindo as simplificações:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0



t
T
iii. Unidimensional:  D1 , que é válido para um tubo muito longo, ou
seja, T não depende de z, logo 02
2



z
T
iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 0
2
2




T
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:

____________________________
19
0





dr
dT
r
dr
d
, onde a solução procurada é do tipo )(rTT 
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr 
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:
ee TTrr 
Solução:
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:
 





10 Cdrdr
dr
dT
rd  1C
dr
dT
r 
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:
  21 C
r
dr
CdT
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não
linear como no caso da parede plana.
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno:
(A) ii TTrr   21 )ln( CrCT ii 
(B) ee TTrr   21 )ln( CrCT ee 
Fazendo-se (A) – (B), temos que
e
i
1
r
r
lnCTT ei  , ou
e
i
1
r
r
ln
ei TT
C


Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:
Distribuição de temperatura, supondo ei TT  .
  21 )ln( CrCrT 
  e
ei
T
TT
rT 


e
e
i r
r
ln
r
r
ln

____________________________
20
Te
Ti
reri
raio
Lei logarítmica
T
O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é,
dr
dT
kq 
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área
transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica
ilustrada abaixo.
rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,
21 )ln()( CrCrT  , vem:
])ln([2 21 CrC
dr
d
rLkq  
ou, efetuando a derivação, temos:
r
kLrCq
1
2 1
ou, ainda: 12 kLCq 
Substituindo, 1C :
 










e
i
r
r
ln
2 ie TT
kLq 
(W)
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''
q depende da posição radial








e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
q
q
ln
)(
2
2''










e
i
ie
r
r
TT
r
k
q
ln
)(''
 2
mW

____________________________
21
AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes
compostas.
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as
seguintes equações:
- parede 1:
1
21
1
)(
L
TT
Akq

 
Ak
qL
TT
1
1
21 
- parede 2:
2
32
2
)(
L
TT
Akq

 
Ak
qL
TT
2
2
32 
- parede 3:
3
43
3
)(
L
TT
Akq

 
Ak
qL
TT
3
3
43 
Assim, somando os termos _____________
de todas as paredes:
Ak
L
qTT
i
i
 41
ou, simplesmente,
R
T
q


onde o T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a
resistência térmica da parede composta, dada por
Ak
L
R
i
i

ANALOGIA ELÉTRICA
Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos
de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:
qi 
TU 
TÉRMICOÔHMICO
RR 

____________________________
22
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de
paredes podem ser resolvidas.
Circuito elétrico equivalente
Fluxo de calor que é:
T
total
R
T
q


5//1 RRRRT 
com
432//
1111
RRRR

CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR
Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor.
Exemplos de formas de energia convertidas em calor:
1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor
2
RIP  (W)
Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W)
R : resistência ôhmica ( )
I : corrente elétrica (A)
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)
UIP  ou
R
U
P
2

q

____________________________
23
Em termos volumétricos, '''
Gq )/( 3
mW ,
V
P
qG 
'''
(W/m3), onde V : volume onde o
calor é gerado.
2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0(
'''
Gq como, por
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma
reação endotérmica, 0
'''
Gq .
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc...
Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana).
Lb 
T1
T2
2b
i
Equação geral
t
T
k
q
T G




1
'''
2 sendo que 0


t
T
(regime permanente.)
0
'''
2

k
q
T G
)(xTT 
Condições de contorno:
(1) Lx  1TT 
(2) Lx  2TT 

____________________________
24
Solução
Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência):
dx
dT
 ,
Então
k
q
dx
d G
'''



Integrando essa equação por partes, vem:
 

 1
'''
Cdx
k
q
d G
 , mas como 1
'''
então, Cx
k
q
dx
dT
dx
dT G

Integrando novamente:
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.
 Como no caso da resistência elétrica '''
Gq (geração de calor) é positivo e,
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2
x é negativa
 parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas
(processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.
Determinação das constantes 1C e 2C :
Condições de contorno
(1) 21
2'''
1
2
CLC
k
Lq
T G
 - temperatura da face esquerda conhecida
(2) 21
2'''
2
2
CLC
k
Lq
T G
 - temperatura da face direita conhecida
Somando (1)+(2), vem:
2
2'''
21 2C
k
Lq
TT G


 
k
LqTT
C G
22
2'''
21
2 

 .
Substituindo em (1) ou (2), tem-se
L
TT
C
2
12
1


Então, a distribuição final de temperaturas é:
21
2'''
2
)( CxC
k
xq
xT G



22
)(
2
)(
)( 21
12
22'''
TT
L
x
TT
k
xLq
xT G 




____________________________
25
 CASOS:
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma
temperatura: STTT  21 . Daí, resulta que:
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso,
ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco
comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo
e, no plano central, haveria a mínima temperatura.
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0
dx
dT
S
G
CMÁX
T
k
Lq
TT 
2
2'''
O fluxo de calor (lei de Fourier)
dx
dT
kAq  ou
dx
dT
k
A
q
q ''
, substituindo a distribuição de temperaturas, vem:










 S
G
T
k
xLq
dx
d
kq
2
)( 22'''
'' ,
ou, simplesmente:
No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das
condições de contorno.
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0''
q
(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT 
S
G
T
k
xLq
xT 


2
)(
)(
22'''
'''''
Gxqq 

____________________________
26
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx )
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :
0
máxxdx
dT
k ou
0
22
)()(
2
21
12
22
'''





 

TT
L
x
TTxL
k
q
dx
d G , que resulta em:
0
2
)( 12
'''



L
TT
x
k
q
máx
G
Cuja solução é:
Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se
o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!
PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não
sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima?
'''
12
2
)(
G
máx
Lq
kTT
x



____________________________
27
AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS
MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO
INTERNA DE CALOR
Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna
de calor em cilindros maciços. Como exemplo de
aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule
devido à passagem de corrente elétrica em fios
elétricos, como indicado na figura ao lado.
Partindo da equação geral da condução de calor:
0
1
'''
2




t
T
k
q
T G

(Regime permanente)
Onde é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:
  2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T

















Hipóteses adicionais
- simetria radial: 02
2




(não há influência da posição angular numa seção
transversal)
- o tubo é muito longo: 02
2



z
(não há efeitos de borda na direção axial)
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou
seja, )(rTT 
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:
0
1
'''






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G
Ou, integrando por partes:
1
'''
Crdr
k
q
dr
dT
rd G






  , ou, ainda: 1
2'''
2
C
k
rq
dr
dT
r G

Integrando novamente por separação de variáveis:
2
1
'''
2
Cdr
r
C
r
k
q
dT G









 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G


____________________________
28
* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2:
(1) STrrT  )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida
(2) 0
0

rdr
dT
simetria radial na linha central
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.
Da segunda condição de contorno, vem que:
0
2
lim 1
'''
0







 r
C
k
rqG
r
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.
Da primeira condição de contorno.
2
2'''
4
C
k
rq
T G
S  ou,
k
rq
TC G
S
4
2
0
'''
2 
Finalmente, a equação da condução de calor fica:
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !
Sendo, S
G
máx T
k
rq
T 
4
2
0
'''
  S
G
Trr
k
q
T  22
0
'''
4

____________________________
29
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme.
a) calcule a distribuição de temperaturas;
b) determine o fluxo de calor total removido (internamente);
c) determine a temperatura da superfície externa.
Solução:
Hipóteses: as mesmas que as anteriores.
Eq. 0
1
'''






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G
Condições de contorno:
(1) ii TrrT  )( (temperatura interna constante)
(2) 0
erdr
dT
(fluxo de calor nulo na superfície)
A solução geral, como já visto, é:
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G

Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:
k
rq
C eG
2
2'''
1  ;














 )ln(2
4
22'''
2 i
e
ieG
i r
r
r
k
rq
TC

____________________________
30
i
ie
ieG
T
r
r
r
rr
k
rq
rT 
















 ln2
4
)( 2
222'''
Assim,
O fluxo de calor é:
dr
dT
kAq 
)()2( rT
dr
d
rLkq 
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:
 22'''
ieG rrq
L
q
  (W/m)
A temperatura máxima é:
emáx TT 
i
i
e
e
eieG
emáx T
r
r
r
rr
k
rq
TT 













 ln2
4 2
222'''
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co
95 e o coeficiente de
transferência de calor vale CmkW o2
/10 .
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua
condutibilidade térmica vale CmW o
/5,22

____________________________
31
CT o
c 267
Solução:
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.
R
U
RiP
2
2
 ;
A
L
R 
m 8
1070
mL 3,0 , 26
232
100425,8
4
)102,3(
4
m
D
A 



 



 


2
6
8
106111,2
100425,8
3,01070
R
kWP 830,3
106111,2
100
2


 
3,0100425,8
1083,31083,3
6
33





 
LAV
P
qG
3
9
10587,1
m
W
qG 
hA
P
TTTThAP PP   )(
3,0)102,3(1010
1083,3
95 33
3


 
PT
CT o
P 222
k
rq
TT oG
Pc
4
2


5,224
)106,1(10587,1
222
239




cT

____________________________
32
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações
- paredes planas
R
TT
q 21 

kA
L
R 
- circuito elétrico
- paredes compostas
- Circuito elétrico
Ainda,
onde
432//
1111
RRRR

5//1 RRRREQ 
EQR
TT
q 21 


____________________________
33
- Tubo cilíndrico
R
TT
q ei 
 ;
kL
r
r
R i
e
2
ln 






- Tubo cilíndrico composto
ieq RR 
Para dois tubos:
Lk
r
r
R
1
1
2
1
2
ln








Lk
r
r
R
2
2
3
2
2
ln








Lk
r
r
R
i
i
i
eq
2
ln 1









____________________________
34
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?
Lei de convecção (Newton)
)(  TThAq p e
hA
TT
q p
1


onde,
hA
1
é a resistência térmica de convecção
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:
- Convecção em tubo cilíndrico

____________________________
35
Tabela resumo de Resistências Térmicas
Circuito Elétrico
Fluxo de
Transferência
de calor
Resistências
Térmicas
Parede plana
R
TT
q 21 

kA
L
R 
Parede plana com
convecção
R
TT
q 21  

321 RRRR 
AhkA
L
Ah
R
21
11

Paredes compostas
EQR
TT
q 21 

5//1 RRRREQ 
432//
1111
RRRR

Tubo cilíndrico
R
TT
q ei 

kL
r
r
R i
e
2
ln 






Tubo cilíndrico
composto
EQ
ei
R
TT
q


Lk
r
r
R
i
i
i
eq
2
ln 1









____________________________
36
Convecção em tubo
cilíndrico
EQ
ei
R
TT
q


hAkL
r
r
R i
e
eq
1
2
ln









COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U
O coeficiente global de transferência de calor é definido por:
totalTUAq 
Claramente, U está associado com a resistência térmica,
- parede plana
AhkAAh
R
21
111

TUA
R
T
q 


R
UA
1
 ou
RA
U
1

Logo,
21
11
1
hk
L
h
U


- tubo cilíndrico

____________________________
37
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são
intercambiáveis mediante a seguinte expressão:
totaliitotalee TAUTAU 
Logo, iiee AUAU 
U referido à área externa
 
e
r
r
e
e
hkL
A
U
i
e
1
2
ln
1



U referido à área interna
 
ee
ir
r
i
i
hA
A
kL
A
U
i
e


2
ln
1
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO
As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio
ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica
em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de
camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta
operação.
 
hLrkL
TT
q
e
r
r
i
i
e
 2
1
2
ln


 
ou,
 
hrk
TTL
q
e
r
r
i
i
e
1ln
)(2


 
Note que no denominador dessa expressão que
o raio externo tem duas contribuições: um no
termo de condução e a outra no termo de

____________________________
38
h
k
rcrit 
convecção. De forma que, se o raio externo do isolamento aumentar por um lado ele
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que por outro lado a
resistência térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá
origem a um ponto de maximização. Do Cálculo, sabe-se que o máximo da
transferência de calor ocorre em:
  

















 

2.
1
.
1
2
1ln
)(2
0
e
rhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
r
r
i
e
i
e

Assim,
2
11
ee hrkr
 
critr é o chamado raio crítico de isolamento.
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que
h
k
a transferência de calor
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão
de fato diminuir a perda de calor.
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por
convecção de h =
Cm
W
o2
7 (convecção natural), teste de alguns valores da
condutividade de materiais isolantes.
material  Cm
W
ok critr (mm)
Teflon 0,350 50,0
Papel 0,180 25,7
Couro 0,159 22,7
Borracha macia 0,130 18,6
Silicato de cálcio 0,055 7,9
Lã de vidro 0,038 5,4
Poliestireno expandido 0,027 3,9
Folhas de papel e alumínio
de vidro laminado
0,000017 0,0024

____________________________
39
Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos.
Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38

____________________________
40
AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS
Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por,
  TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o
fluxo de calor trocado, como dado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar
e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de
movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada
abaixo.
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo
aumento da área exposta.
Exemplos de aplicação de aletas:
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca);
(2) motores elétricos;
(3) condensadores;
(4) dissipadores de componentes eletrônicos.

____________________________
41
TIPOS DE ALETAS
A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a)
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico
truncado; (i) pino parabólico.
EQUAÇÃO GERAL DA ALETA
Volume de controle
elementar, C
Hipóteses:
- regime permanente;
- temperatura uniforme na seção transversal;
- propriedades constantes.

____________________________
42
Balanço de energia
































convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
(I)
dx
dT
kAq xx 
(II) )( 2
dxodx
dx
dq
qq x
xdxx  expansão em serie de Taylor
(III) )(  TThAqc
)(  TThPdxqc
P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em
contato com o fluido.
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:
 dxTThPdxdx
dx
dq
qq x
xx   )(
0)(  TThP
dx
dqx
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:
0)( 





 TThP
dx
dT
A
dx
d
k x
Sendo dTdTT   
0







k
hP
dx
d
A
dx
d
Equação Geral da Aleta
)(x 
)(xAA 
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou
circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem:

____________________________
43
mxmx
ececx 
 21)(
02
2
2
 


m
d
d
,
kA
hP
m 2
A solução é do tipo: ,
conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio
característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m).
LEMBRETE DE CÁLCULO
Solução geral de equação diferencial homogênea de a
2 ordem e coeficientes constates
02
2
 cy
dx
dy
b
dx
yd
Assume nx
ey 
Substituindo, vem
nxnxnx
cebmeem 2
 nx
e
Obtém-se o polinômio característico
02
 cbnn
Caso 1: 1n e 2n reais e distintos
xnxn
ececy 21
21 
Caso 2: 1n e 2n reais iguais
xnxn
xececy 11
21 
Caso 3: conjugados complexos
qipn 1 ; qipn 2
)]()cos([ 21 qxsencqxcey px

Onde,
2
b
p  ;
2
4 2
bc
q



____________________________
44











x
kA
hP
b
mx
b e
x
ex



)(
)(
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno:
a
1 Condição de Contorno






TT
TT
xpara
bb
b
 )0(
)0(
0
0
2
0
1

 ececb
A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:
(a) aleta muito longa
Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do
ponto de vista matemático, tem-se
0  ouTTx
Assim,
  b
mxmx
x
ccecec 2121 0lim0  

De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:
Ou, substituindo a definição de  , vem:
bcc  21













 x
kA
hP
b
e
TT
TxT )(

____________________________
45
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode
ser calculado por dois métodos:
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)
(2) dxTThPqaleta )(
0


  (o fluxo de calor total transferido é a integral do
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)
Usando o método (1), vem:
00 

x
b
x
baleta
dx
d
kA
dx
dT
kAq

Mas, cteAAb 
  0
)(



x
mx
b
mx
baleta emkAe
dx
d
kAq 
kA
hP
kAq baleta 
hPkAq baleta  ou )(  TThPkAq baleta
Pelo outro método (2):
dxhPqaleta 


0
 ; cteP 
dxehPq mx
baleta 



0

  b
bmb
mx
b
mx
baleta hPkA
m
hP
e
m
hP
m
e
hPdxehPq 

 





1limlimlim
0
0








 




 
ou, )(  TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática
(finito)
Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na
extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto,

____________________________
46







 

mLmL
mL
b
ee
e
c 1
admite-se que é adiabático:
LxLx dx
d
dx
dT



0 (extremidade adiabática), ou   021  mxmx
ecec
dx
d
De onde, se obtém, mLmL
mL
b
ee
e
c 



2
Mas como bcc  21 , então:
Logo, substituindo na equação, vem:
mx
c
mLmL
mL
mx
c
mLmL
mL
b
e
ee
e
e
ee
e 







21


Ou
 
  2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee







ou
 
 mL
xLmx
b cosh
)(cosh)( 



lembrete de funções hiperbólicas:
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA
senhx
2
xx
ee 
 xcosh
xcosh
2
xx
ee 
 senhx
tghx
x
senhx
cosh
xh2
sec
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O mesmo resultado do caso anterior
  




 

 00 cosh
)(cosh
x
b
x
aleta
mL
mxL
dx
d
kA
dx
d
kAq

)(
)cosh(
)(
m
mL
mLsenhkA b




)(mLtghmkA b

____________________________
47
     
  )(cosh
)()(cosh)(
mLsenh
mk
hmL
xLmsenh
mk
hxLmx
b 




 
  )()cosh(
)()(
mLsenh
mk
hmL
mLconh
mk
hmLsenh
hPkAq b


 
)(mLtghhPkAq b
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade
Caso realista.
Condição de contorno na extremidade:
em



 

)( TTh
dx
dT
kLx L
Lx
condução na extremidade = convecção
Distribuição de temperaturas
Fluxo de calor
Comprimento Corrigido de Aleta
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.
b
t
L t/2
Lc=L+t/2
2/tLLc 
O erro introduzido por
essa aproximação será
menor que 8% desde que
5,0
k
ht

____________________________
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014
48
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS
Eficiência de Aleta
A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para
o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples,
existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal
constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais
complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial
geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a seleção de
aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da
aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por
idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaletapotransmitidcalordefluxo
A



.
/

Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:
c
c
bc
cb
A
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(



 , com
kA
hP
m 
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por
btbP 2)(2  (para t << b, aleta fina), sendo btA  , de onde se obtém:
cc L
kt
h
mL
2


____________________________
49
Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta
Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode
ser obtido por meio de maxqq AA  , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:
bahAq max ,
onde Aa é a área total exposta da aleta e  TTbb
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:
baaA hAq 
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.
Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas.
Deve-se usar aleta quando:
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico)
(2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e
alumínio, por razões que veremos adiante.
O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade.
Exemplo de Aplicação
Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são
instaladas aletas circulares de alumínio por um processo
de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de
0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm,
como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC
e o coeficiente de transferência de calor for de 65
W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.
Solução
Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de
aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades
termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado
na página 50 à frente.

____________________________
50
m
t
LLmL
mt
c 0155,0
2
015,001,0
2
)5,25,5(
001,0




    255,01055,1240650155,01055,1001,00155,0
5,055,12123
c
25
 
PcP kAhLmtLA
Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio
interno da aleta.
24,2
25,1
2/1,075,22/
1
2
1
2





r
tr
r
r c
Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é:
,5,177500394,06591,0 WhAq baaA   Já que a área exposta da aleta,
vale,   .00394,02 22
1
2
2 mrrA ca  
Exemplo de Aplicação (cont...)
Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor
total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento.
Solução
O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo
anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:
aletas.hánãoqueemtubodoáreaaéonde),( sassasa ATThAq 
  22
1 07068,08,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa  
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 
O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 
Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será
Wqqq casaT 5,209417506,344  e %6,83%100
2095
1750
% 
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.

____________________________
51
Ap – área de seção transversal de aleta
Tipo Aa área total exposta da aleta
b – largura da
aleta
Lc = L-corrigido
t = espessura
Retangular cbL2
Triangular
  2/122
)2/(2 LLb 
Parabólica
  2/122
)2/(05,2 LLb 
Anular
  2/12
1
2
22 rrb c 
Fluxo de calor transmitido
pela aleta:
baahAq 
 TTbb
Aa é a área total exposta da
aleta
Para obter a eficiência da
aleta, use os dados
geométricos disponíveis e
os indicados nos gráficos.
Uma vez obtida a
eficiência da aleta, calcule
o fluxo real de calor
através da simples
expressão acima.
Comentários:
Aleta triangular (y ~ x)
requer menos material
(volume) para uma mesma
dissipação de calor do que
a aleta retangular. Contudo,
a aleta de perfil parabólico
é a que tem melhor índice
de dissipação de calor por
unidade de volume (q/V),
mais é apenas um pouco
superior ao perfil triangular
e seu uso é raramente
justificado em função de
maior custo de produção.
A aleta anular é usada em
tubos.

____________________________
52
Efetividade da Aleta
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não
indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas.
Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de
aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da
análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso
ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, .
Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo
de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja:
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q

 
/
Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta,
conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.
Para aleta retangular da extremidade adiabática
bb
cb
hA
mLtghhPkA



)(

Nesse caso: A = Ab e, portanto,
kPhA
mLtgh c
/
)(


____________________________
53
Exemplos de Aplicação
Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L
= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam:
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K
B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K
C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K
Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados
- k aço inox = 19 W/mK
- Comprimento corrigido: Formula
Solução:
kPhA
mLtgh c
/
)(
 , com
h
h
kr
h
rk
rh
kA
hP
m 24,3
01,0.19
222
2



e  2/01,005,024,3  hmLc , ou
seja: hmLc 178,0 .
No denominador tem-se: h
h
k
hr
rk
rh
kP
hA
0162,0
19.2
01,0.
22
2



.
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:
h
htgh
0162,0
)178,0(


____________________________
54
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0
145,1
1
50000162,0
)5000178,0(

tgh

Caso B : h = 100 W/m2
K 833,5
162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(

tgh

Caso C : h = 10 W/m2K 0,10
051,0
510,0
100162,0
)10178,0(

tgh

Comentário
- Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No
caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério
básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas.
Caso (A)  31,1
kP
hA
Caso (B)  026,0
kP
hA
Caso (C)  00262,0
kP
hA
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor
coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica.
Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade.
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se:
A – Cobre  k = 368 W/m K
B – Aço inox  k = 19 W/m K
C – Alumínio  k = 240 W/m K
Solução:
kkkr
h
m
4,141
01,0.
100.22
 e, portanto,  
kk
mLc
76,7
2/01,005,0
4,141


____________________________
55
No denominador, agora temos:
kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2

Substituindo ambos resultados, obtém-se:
)/76,7(2 ktghk 
Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7
Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8
Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1
Comentário:
O material da aleta é bastante importante no que toca a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais
como:
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;
(2) Tem custo relativamente baixo;
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do
equipamento;
(4) Tem excelente condutividade térmica.
Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do
projeto original do equipamento e serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre
com as carcaças de motores elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por
exemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do mesmo material da carcaça do motor.

____________________________
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2014
56
AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME
TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO
Introdução
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas
condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um
novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico.
Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento
térmico, entre outros.
No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma
temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência
pessoal.
1∞T
10 ∞= TT
2∞T
2∞T
t∆
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma
uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas

____________________________
57
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da
difusão interna do calor, é um pouco complexa do ponto de vista matemático, mas pode ser
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simplificadas. Casos
mais complexos podem ser resolvidas de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de
hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos
práticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura
uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a não
uniformidade da temperatura interna. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado,
como discutido na sequência.
2∞T2∞T
Sistema Concentrado
A hipótese é que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma só temperatura
uniforme T(t). Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua
resistência interna à condução desprezível face à resistência externa à troca de calor
(geralmente convecção).
Para conduzir essa análise, será lançado mão do esquema abaixo para o qual se realiza
um balanço de energia, indicado a seguir.
T0
∞T
q convecção

____________________________
58
Balança de energia
=
Termo (I):
dt
dT
c
dt
du
dt
du
m
dt
dU
∀=∀== ρρ
m = massa do corpo;
U = energia interna do corpo;
u = energia interna específica do corpo;
ρ = densidade do corpo;
∀ = volume do corpo;
c = calor específico do corpo.
Termo (II):
)( ∞−−= TThAqconv
h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho;
A = área da superfície do corpo em contato com o fluido;
T = temperatura instantânea do corpo T = T (t);
T∞ = temperatura ao longe do fluido.
Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:
)( ∞−−=∀ TThA
dt
dT
cρ
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0
Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem:
dt
c
hA
TT
dT
∀
−
=
− ∞ ρ
Por simplicidade, seja dTdTT =⇒−= ∞ θθ , então:
Taxa temporal de
variação de energia
interna do corpo
(I)
Fluxo de calor
Trocado por
convecção
(II)

____________________________
59
dt
c
hAd
∀
−=
ρθ
θ
, ou ∫∫ =
∀
−=
t
t
dt
c
hAd
00
ρθ
θθ
θ
, do que resulta em:
t
c
hA
∀
−=





ρθ
θ
0
ln .
Finalmente,
t
c
hA
e ∀
−
= ρ
θ
θ
0
ou
t
c
hA
e
TT
TT ∀
−
∞
∞
=
−
− ρ
0
Analogia Elétrica
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo
ocorrem em diversas situações, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,
como ilustrado no esquema abaixo.
Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada).
Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.
A solução desse circuito RC paralelo é
RC
t
e
V
V −
=
0
Note a Analogia
Elétrica Térmica
Tensão, V ∞−TT
Capacitância, C ∀cρ
Resistência, R hA/1

____________________________
60
Circuito térmico equivalente
∀cρ hA/1
τ
∞T
Constante de tempo do circuito elétrico, τ
RC=τ
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápido o
capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de τ=t é o instante em que a tensão do
sistema atingiu o valor de e-1 ~ 0,368
368,0
11
0
==== −
−
e
ee
V
V τ
τ
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico
abaixo que indica a influência da tensão no capacitor para diferentes constantes de tempo.
Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0.
τ
1τ 2τ 3τ 4τ
Por analogia, a constante de tempo térmica é tudo o que “sobrar” no denominador do valor
da exponencial, isto é:
t
t
t
c
hA
ee
TT
TT τρ
−
∀
−
∞
∞
==
−
−
0
→
hA
c
t
∀
=
ρ
τ
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.

____________________________
61
tτ
∞− TT
∞−TT0
)(368,0 0 ∞−TT
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem
de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena “bolinha” a qual é
exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma
ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado
pela linha cheia no esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de
período em período (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe
o mais próximo possível o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas
diferentes são mostrados. Note que o sensor de maior constante térmica, 3τ , praticamente
não “sente” as variações de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica
acompanha melhor as variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um
motor de combustão interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e
combustão dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante
térmica.
10 ∞−TT
∞−TT
20 ∞−TT
12 ττ <
1τ
13 ττ >

____________________________
62
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter
a seguinte forma
FoBi
e
TT
TT
0
−
∞
∞
=
−
−
Onde, Bi é o número de Biot, definido por
k
hL
Bi = , e Fo é o número de Fourier, definido
por 2
L
t
Fo
α
= (trata-se de um “tempo” adimensional)
h = coeficiente transferência de calor por convecção;
α = difusividade térmica;
k = condutividade térmica;
L = comprimento característico do corpo;
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência
externa à convecção.
Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca
de calor.
expostaárea
corpodoolume
→
→
=
v
A
V
L
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável
desde que:
1,0<Bi
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,

____________________________
63
c = 400 J/kg K e ρ = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é
inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.
SOLUÇÃO
Comprimento característico: m
D
A
V
L 4
3
10167,1
6
107,0
6
−
−
×=
×
===
Número de Biot: 3
4
10333,2
20
10167,1400 −
−
×=
××
==
k
hL
Bi
Da expressão da temperatura, vem 76,3200
20025
2009,199
ln
10333,2
1
ln
1
3
0
=





−
−
×
−=







−
−
−= −
∞
∞
TT
TT
Bi
Fo
Dado que 6
10883,5
4008500
20 −
×=
×
==
c
k
ρ
α e 2
L
t
Fo
α
= , vem:
( ) s
LFo
t 4,7
10883,5
10167,176,3200
6
242
=
×
××
=
×
= −
−
α
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0<Bi .
Um tempo relativamente longo é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura.
O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade?
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2
Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma
melancia a 25 oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5 oC. Você
acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de
alguns minutos, você partir a melancia, a fatia da mesma estará a temperaturas diferentes?

____________________________
64
Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas
propriedades termofísicas sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de
transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC.
Solução:
‫ܭ‬á௚௨௔ ൌ 0,025 ܹ/݉°‫ܥ‬
Cálculo do Nº de Biot
‫݅ܤ‬ ൌ
௛௅
௄
, sendo ‫ܮ‬ ൌ
஽
଺
‫ܮ‬ ൌ
0,3
6
ൌ 0,05݉
D= 0,3 m
‫݅ܤ‬ ൌ
଴,଴ହൈହ
଴,଴ଶହ
ൌ 10
Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua
experiência?
D = 0,3 m

____________________________
http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2014
65
TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui
dimensões maiores de forma que a resistência interna à condução não podem ser
desprezadas (Bi > 0,1). Soluções analíticas existem para casos em que uma das
dimensões é predominante e muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito.
Considere o esquema abaixo de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor
(à esquerda) e sua dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-
infinito). A face exposta sobre bruscas mudanças de condição de contorno, como se
verá.
Condições de contorno
(A) Temperatura constante na face exposta:
Solução: T(x, t)
Equação geral condução de calor
t
T
k
q
T




1'''2
Por não haver geração interna de calor, vem que
t
T
x
T






1
2
2
, a qual é submetida as
seguintes condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0),0( TtT 
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de
temperaturas é dada por:

____________________________
66









t
x
erf
TT
TT
i 20
0
, onde
erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:







 t
x
de
t
x
erf




2
0
22
2
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.
Tabela B-2 do Incropera

____________________________
67
Fluxo de calor numa posição x e tempo t
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas
acima, na equação de Fourier, isto é:
























 

t
x
iix de
x
TTkA
t
x
erfTTT
x
kA
x
T
kAq




2
0
000
22
)()
2
()(










t
x
x
e
TTkA t
x
i


2
)(2 40
2
, do que, finalmente, resulta em:
t
x
i
x e
t
TTkA
q 

40
2
)( 

(B) Fluxo de calor constante na face exposta:
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor
constante,
Partindo da equação da condução de calor
t
T
x
T






1
2
2
, submetida as seguintes
condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0
0
q
x
T
kA
x






____________________________
68
A solução é:














t
x
erf
kA
xq
kA
e
t
q
TT
t
x
i


 
2
1
2
0
4
0
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!
(C) Convecção de calor na face exposta
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face
exposta à esquerda.
T
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:
t
T
x
T






1
2
2
, a qual é submetida às seguintes condições:
- Condição inicial: T (x,o) = Ti
- Condição de contorno:  




 TtThA
x
T
kA
x
),0(
0
(condução interna =
Convecção)
A solução é:

































 






 k
th
t
x
erfe
t
x
erf
TiT
TT k
th
k
hx
i 


2
1
2
1
2
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier!

____________________________
69
Outros casos de condução transitória de interesse
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.
Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler
Placas cuja espessura é
pequena em relação as outras
dimensões
Cilindros cujos diâmetros são
pequenos quando comparados
com o comprimento
Esferas
T T
T
  TtrTouTtxT ),(),( 
 TTii
 TT00
 TTee
Número de Biot:
k
hL
Bi 
L – dimensão características (dada no gráfico)
Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por
22
cs
kt
L
t
Fo



Calor total trocado pelo corpo Qi
iii cTTcQ    )(

____________________________
70
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt

____________________________
71
Exemplo:
Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de
425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,
T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa
e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.
Dados:
k = 43,2 W/mK
α = 1,19 x 10-5 m2/s
x
5 cm
h
Solução:
2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m
1,0289,0
2,43
025,0500



k
hL
Bi
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para
isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:
45,3
289,0
11

Bi
e 43,3
025,0
1801019,1
2
5
20 



L
t
F

Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:
e 22745,0).65425(65  . Assim,
CT o
2270  Na linha de centro após 3 mim
Do gráfico para uma posição qualquer x:
45,3/1 iB
5,0
05,0
0125,0
/ Lx
95,0
0



95,0)65281(6595,0)( 0   TTTT
CT o
2,270 p/ min3,5,0  t
L
x
45,3
165,0
11

iB
43,30 F
45,00

i


72
____________________________
PERMANENTE BIDIMENSIONAL
Condução Bidimensional
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição
espacial da temperatura para além de uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas
reais são bi ou tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de
problemas. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto,
neste curso introdutório é importante que o estudante tenha uma visão das soluções
analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema clássico que é o método da
separação das variáveis para uma placa retangular bidimensional.
O Método da Separação de Variáveis
Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos
os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y)
Equação da condução de calor
t
T
k
q
T




1'''2
Hipóteses:
(1) Regime permanente
(2) Sem geração interna de calor
(3) Bidimensional

73
____________________________
As hipóteses resultam em: 02
 T ou 02
2
2
2






y
T
x
T
Condição de contorno – temperaturas dos quatro lados
(1) T(0,y) = T1
(2) T(L,y) = T1
(3) T(x,0) = T1
(4) T(x,b) = T2
É conveniente realizar uma mudança de variáveis
12
1
TT
TT



Condições de contorno na nova variável θ são:
(1) θ(0,y) = 0
(2) θ(L,y) = 0
(3) θ(x,0) = 0
(4) θ(x,b) = 1
De onde se tem também que a variação elementar de temp. é d
TT
dT

 12
Então, 02
2
2
2






yx

Esta é a equação da condução na nova variável.
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas
θ(x,y), é o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções
exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, respectivamente, isto é:
   yYxXyx ),(
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:
Primeira derivada:
dx
dX
Y
x



Segunda derivada: 2
2
2
2
dx
Xd
Y
x


 
Analogamente em relação à y:
Segunda derivada: 2
2
2
2
dy
Yd
X
y


 

74
____________________________
Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da
condução, vem:
02
2
2
2

dy
Yd
X
dx
Xd
Y
ou, dividindo pelo produto XY, vem:
2
2
2
2
11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y

É digna de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y
e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da igualdade são
sempre iguais. Isto implica dizer que a igualdade não pode ser nem função de x, nem de
y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. De forma
que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se usa o
símbolo 2
 . Dessa forma, tem se:
2
2
2
1

dx
Xd
X
e
2
2
2
1

dy
Yd
Y
Note que a equação diferencial parcial original deu origem às duas outras equações
diferenciais comuns ou ordinárias, mostradas acima. As soluções dessas duas novas
equações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:
  xsenCxCxX  21 cos  , e
  yy
eCeCyY 
43  
De forma que, voltando à variável original,    yYxXyx ),( , a solução global é:
    yy
eCeCxsenCxCyx 
 4321 .cos,  
Nesse ponto, a análise se volta para cada caso especifico dado pelas condições de
contorno. É preciso fazer isso com critério.
Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0
     0.0.0.cos,0 4321   yy
eCeCsenCCy 


75
____________________________
De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C
Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0
  432 .0 CCxsenC  
de onde se obtém que  043 CC 43 CC 
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0
  )(.0 42
yy
eeCLsenC 
 

mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:
042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen 
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são:  nL 
ou, seja
L
n
  n = 1,2,3, .....
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada.
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:
 
  

)(
42
2
2,
L
yn
senh
L
yn
L
yn
C
n
ee
L
x
nsenCCyx
n






















ou, seja   )()(,
L
y
nsenh
L
x
nsenCyx nn  
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as
constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n.
Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.
  











 

 L
yn
senh
L
xn
senCyx
n
n


1
,
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:












 

 L
bn
senh
L
xn
senC
n
n

1
1

76
____________________________
A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das
funções ortogonais, revista abaixo.
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa  , se
 
b
a
nm nmpdxxgxg /0)()(
(dica: note que se parece com produto escalar de vetores: dois vetores
ortogonais tem o produto escalar nulo)
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(
L
x
nsen  e )cos(
L
x
n em
Lx 0
Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções
ortogonais, ou seja:




1
)()(
m
mm xgAxf
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:




1
)()()()(
m
mmnn xgAxgxfxg
(2) Integra-se no intervalo de interesse:
dxxgAxgdxxfxg
b
a
m
mmn
b
a
n   







1
)()()()(
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja
nmsedxxgxg
b
a
nm  0)()(
Pode-se eliminar a somatória, então:
dxxgAdxxfxg
b
a
mm
b
a
m   )()()(
2
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:
dxxg
dxxfxg
A b
a
m
b
a
m
m


)(
)()(
2

77
____________________________
Voltando ao problema, tem-se:
















1
1
n
n
L
bn
senh
L
xn
senC

(A)
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que
,....2,1;)( 





 n
L
xn
senxg
ortogonalfuncão
n


Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem










1
1
n
n
L
xn
senA

Assim, pode-se obter os coeficientes da série do já visto na revisão acima:
n
dx
L
xn
sen
dx
L
xn
sen
A
n
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0 



















Então,











1
1
1)1(2
1
n
n
L
xn
sen
n


(B)
Comparando (A) com (B), vem:























1
1
1
1)1(2
n
n
n
n
L
xn
sen
nL
bn
senh
L
xn
senC



Então, da igualdade das séries:
  ,....3,2,1;
1)1(2 1










n
L
bn
senhn
C
n
n


De forma que a solução final do problema é:























1
1
1)1(2
),(
n
n
L
bn
senh
L
yn
senh
L
xn
sen
n
yx






78
____________________________
É interessante ver o gráfico desta função
1
75.0
50.0
25.0
10.0
0
0
0
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de
calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:
i
x
T
kqx



 e j
y
T
kqy



 . Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq

 e o
módulo do fluxo de calor será    22
yx qqq  em W/m2
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt
Método Gráfico
O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições
de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é
construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante.
Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície
interna é mantida a T1 e a externa T2.
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema
tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.

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