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DT I. 1º BACHILLERATO
TANGENCIAS
ENLACES Y RECTIFICACIONES
M
O1
A
B
O2
r1+r2
T1
T2
T3
T4
t1
t2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O O O
r
r
B
A
t
T
EXTERIORES TANGENTES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
SECANTES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O1
O1 O1
O2
O2
O2 O1O2 O
O1
O2
T
T
EXTERIORES INTERIORES
CONCENTRICAS TANGENTES
EXTERIORES
TANGENTES
INTERIORES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
SECANTES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
o
r (recta TANGENTE)
o1
o2
T
T
Si dos circunferencias son tangentes,
el punto T de tangencia es un punto
que comparten ambas y está en la
recta que une sus centros
Si una recta es tangente a una circun-
ferencia, el punto de tangencia T
es el pie de la perpendicular trazada
por el centro O a la recta tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
El radio perpendicular a una cuerda (r)
la divide en dos partes iguales, así como
el arco que ésta subtiende.
De ahí deducimos que
LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASA
POR EL CENTRO
O
r
B
A
o
Si una recta es tangente a una circun-
ferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a
la tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T (Punto de tangencia)
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
o
T (Punto de tangencia)
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
1. Trazamos el radio OT de la
circunferencia, es decir, del
centro al punto de tangencia
o
T (Punto de tangencia)
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
2. Trazamos la perpendicular al radio OT
desde el punto T. Dicha recta es la
tangente la circunferencia dada
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
o
r (recta TANGENTE)
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
T (Punto de tangencia)
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
d
O
1. Trazamos una perpendicular
del centro O a la recta d,
prolongándola hasta cortar
a la circunferencia en dos
puntos, T1 y T2.
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
d
O
T1
T1
2. T1 y T2 son los puntos de tangencia
de las dos soluciones que buscamos,
las rectas t1 y t2, paralelas a d
en los puntos T1 y T2
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
d
O
T1
T1
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T
DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T
DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
A
B
1. Trazamos desde T, dos arcos
iguales con radio arbitrario
consecutivos, TA y TB
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T
DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
A
B
2. Con centro en T y radio TB
trazamos un arco
TB
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T
DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
A
B
3. Trazamos el arco AB, que
corta al anterior en C
TB
C
TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T
DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
T
t
A
B
4. Unimos C con T y obtenemos la
recta tangente que buscamos
TB
C
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O
P
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MO
P
M
r1
1. Trazamos el segmento OP
y su mediatriz
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MO
P
M
T1
T2
2. Trazamos la circunferencia de
radio MO (=MP), que cortará a la
circunferencia dada en los puntos
T1 y T2, puntos de tangencia
de las rectas que buscamos
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MO
P
M
T1
T2
r1
t1
t2
r2
3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemos
las rectas tangentes buscadas.
Para comprobar que están trazadas
correctamente, trazamos los
radios r1 y r2, que deben cortar
a t1 y t2 perpendicularmente.
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
1.Se traza desde O1 una circunferencia de
radio igual a la diferencia entre O1 - O2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
MO1
O2
2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y
se le calcula la mediatriz.
A continuación se traza una circunferencia
con centro en M y radio M-O1,
que corta a la trazada anteriormente
en A y B.
B
O1
r1-r2
r2
r1
r2
A
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
De esta manera estamos simplificando
el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia
(el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
O1
O2
De esta manera estamos simplificando
el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia
(el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
T1
T2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
3. Una vez realizadas estas dos tangentes
provisionales, se prolongan los radios O1A
y O1B, hasta que corten a la circunferencia
dada de centro O1. Estos dos puntos serán
T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta
circunferencia.
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde
O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la
primera solución, la recta tangente t1
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
T4
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde
O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la
segunda solución, la recta tangente t2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
1. Este caso es similar al anterior. también se
resuelve simplificando el problema al de
tangencia entre un punto y una
circunferencia, pero en este caso en lugar
de restar los radios de las circunferencias,
los sumamos. De esta manera, trazamos
con centro O1 una circunferencia auxiliar
O3 de radio O1-O2
r1+r2
r1
r2
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
O2
2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2,
y trazamos la circunferencia MO2, que corta
a la circunferencia O3 en los puntos A y B
A
B
r1+r2
r1
r2
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
O2
A
B
r1+r2
r1
r2
=O3
De esta manera estamos simplificando
el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia
(el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 más O2)
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
3. Unimos el centro O1 con A y con B, y
dichas rectas cortan a la circunferencia O1
en los puntos de tangencia T1 y T2.
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
T3
t1
4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde
O2, pero en este caso por el lado contrario
del centro O2, obtendremos el punto de
tangencia T3
=O3
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1 =O3
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
T3
T4
t1
t2
5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde
O2, También por el lado contrario del centro
O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y
uniendo T2 y T4 obtendremos la recta
tangente t2
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
R
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
R
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
O1
O2
R
R
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
O1
O2
R
R
R
R
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
P
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
P
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
P
o
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
T
P
o
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
P
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
P
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
R
R
P
O1 O2
r
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
R
R
P
O1
T1 T2
O2
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
r
P
O1
T1 T2
O2
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
O1
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
O1
T1
T8
T7
T6
T5
T4
T3
T2
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
O1
T1
T8
T7
T6
T5
T4
T3
T2
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T O
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
O1
O2
O
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
O1
T1
T2
O2
O
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
s
r
T
O1
T1
T2
O2
O
b c
A
C
B
a
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
b c
A
C
B
a
1.Se trazan las bisectrices tanto interiores como exteriores de los ángulos que se forman al cortarse las tres rectas
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
2.Las bisectrices interiores se cortan en el punto P (INCENTRO del triángulo que forman a, b y c), y las exteriores
se cortan en E, D y F. Esos cuatro puntos son los centros de las cuatro soluciones
b c
A
P
E
F
D
C
B
a
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
3. LOS PUNTOS DE TANGENCIA se obtienen trazando desde P, E, D y F
las perpendiculares a cada una de las rectas a, b y c
b c
A
P
E
F
D
C
B
a
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
4. Trazamos las circunferencias desde los centros hallados hasta los puntos de tangencia correspondientes
b c
A
P
E
F
D
C
B
a
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
O
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
O
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s
O
d
d
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T
R
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
T
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
O1
O2
T
R
R
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
O1
O2
T
R
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
o1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T
o1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R-r
R
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
o4
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
Or
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3
T2
o4
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
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T1
T4
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T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3
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T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
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T1
T4
T3
T2
o4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3
T2
o4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
O
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
r
O
r
O1 O2
R+r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
r
rR-r
O
O4O3
R+r
O1 O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
r
rR-r
O
O4O3
T2T1
R+r
O1 O2
T3T4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
r
r
R+r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
O
r
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
O
P
r
O
T
O
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
T
r
P
O1
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
T
r
P
O2
O1
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
T
r
P T1T2
O2
O1
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
R
T
r
P T1T2
O2
O1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
Se llama enlace o empalme, en los trazados
geométricos, a la unión de rectas con curvas
o de curvas entre sí, efectuadas por medio de
su punto de tangencia.
Este punto común es el que permite la transición
suave de unas a otras sin brusquedades
de ningún tipo.
r T
T1
O
s
O
O1
T1
T2
s
R
R+R1
R1
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s
Sabemos que el arco que buscamos
será tangente a r en T, por tanto su
centro estará en la perpendicular a r
trazada desde T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
O
s
También sabemos que el centro de un arco
tangente a dos rectas que se cortan se
encuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1
O
s
Para hallar el punto de tangencia en s,
trazamos la perpendicular a s desde O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1
O
s
Teniendo O, T y T1, podemos
trazar el arco que enlaza r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1
O
s
Teniendo O, T y T1, podemos
trazar el arco que enlaza r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
r
s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
r
s
El centro de un arco
tangente a dos rectas que se cortan se
encuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
O
r
r
r
s
El arco de radio R será tangente a las rectas
r y s en aquellos puntos donde dos de sus
radios sean perpendiculares a r y s
respectivamente, por tanto el centro O
estará a distancia R de las dos rectas,
es decir, en la unión de las paralelas
a r y s a la distancia R
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Para calcular los puntos de tangencia,
trazamos perpendiculares desde O a r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia,
podemos trazar el arco de enlace entre r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia,
podemos trazar el arco de enlace entre r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
T1
T1
T2
T2
O
O
r r
s s
En el problema anterior, si no conocemos el vértice
del ángulo entre r y s, trazando las paralelas
obtenemos el punto O
Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectriz
del ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia
R y obtendremos el centro O
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r r
r
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
s
T
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco
tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
encuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vértice
de dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente
a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice V
cuya bisectriz coincide con la de r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco
tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
encuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vértice
de dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente
a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice V
cuya bisectriz coincide con la de r y s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
OV
Para calcular el centro del arco
que buscamos trazamos por T
una perpendicular a la bisectriz
hallada anteriormente.
Donde dicha perpendicular corta
a la bisectriz está el centro O
del arco que buscamos
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
T1
OV
Trazando una perpendicular a s desde O
conseguimos el otro punto de tangencia T1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
T1
OV
Trazamos el arco OT
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de
r-arco-s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
d
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de
r-arco-s
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
s
R
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
s
R
R
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
s
R
R
R+R1
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R
R+R1
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R+R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R+R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R
R
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R
R
R-R1
O1
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R
R
R-R1
O1
T1
T2
R1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R1
R
R
R-R1
O1
T1
T2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R1
R
R
R-R1
O1
T1
T2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
O
T
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
TP
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
TP
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
O
T
R
2ª SOLUCIÓN
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
O
T
O2
R
2ª SOLUCIÓN
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
O
T
T2
O2
R
2ª SOLUCIÓN
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O2
O1
R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O2
O1
O3
R
R1-R
R2-R
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
T1
T2
R
R1-R
R2-R
O2
O4
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-R
R2-R
O2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7 6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
ENLACES
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2 3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
17
16
A
B
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2 3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
17
16
A
B
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
O
O1 2 3 4 5 6 7
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
O1 2 3 4 5 6 7
1/7
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
O1 2 3 4 5 6 7
1/7
2pr
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
O
B
A
O
B
r
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
Triángulo inscrito
en la circunferenciaO
B
C
r
A
A
C B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
O
D
L3
B
C
r
Triángulo inscrito
en la circunferencia
A
A
C B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
Cuadrado inscrito
en la circunferenciaO
A
B
C
E
rD
L3
L4
A
D
C
B
F
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
Cuadrado inscrito
en la circunferenciaO
A
pr
B
C
E
F rD
L3
L4
A
D
C
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
30º
B
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
B
R
R R R
30º
A
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
2º PROCEDIMIENTO
O
B C
A
R
R
pr
R R
30º
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
O
1
1
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
A
B
2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
3
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
4
3
A
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O
1
2
4
3
A
B
pr/2
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
1. Trazamos el CUADRADO correspondiente
A
D
B
C
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado
A
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado
desde la mitad de cada uno de los lados
A
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del
cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz
de AB
A
D
B
C
O1
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
5. Dibujamos la circunferencia de centro O1
A
O1
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centros
de circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado
trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC en
O2, O3 y O4
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
7. Trazamos el resto de circunferencias
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
O1
O2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadas
aumentando sus radios 15 mm.
O1
O2 r2 + 15
r1 + 15
r2
r1
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son los
centros de las circunferencias tangentes buscadas
O1
O4
O3
O2
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
3. Unimos los centros de las circunferencias dadas con
los de las circunferencias tangentes, así obtenemos los
puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para
trazar las circunferencias resultado
O1
O4
O3
T1 T2
T4
T3
O2
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a las
circunferencias dadas.
O1
O4
O3
O2
T1 T2
T4
T3
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección de
ambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm.
de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente)
14
23
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos,
a 56 mm de distancia en el eje mayor
14
23
56
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos de
circunferencia de los extremos (12 mm. de radio).
12
6
56
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1
T2
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
P
R
50
46
14
18
42
P
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R
9
P
R
50
46
14
18
42
P
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R
9
P
P
T1
M1
R
50
46
14
18
42
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R
9
P
P
T1
M1
R
50
46
14
18
42
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOST8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R
9
P
P
T1
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R 23O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
23
50
27
50 -23 = 27
P
O
T2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O1
T1
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
23
50
27
50 -23 = 27
P
O
T2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O
O1
T1
T2
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
R 23
23
50
27
50 -23 = 27
P
O
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O1
T1
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T2
23
50
27
50 -23 = 27
P
O
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O1
T1
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O1
T1
T3
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
R
9
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
R 23
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
9
R
50
42
14
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS

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TANGENCIAS, ENLACES Y RECTIFICACIONES. Dibujo Técnico I

  • 1. DT I. 1º BACHILLERATO TANGENCIAS ENLACES Y RECTIFICACIONES M O1 A B O2 r1+r2 T1 T2 T3 T4 t1 t2
  • 2. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O O O r r B A t T EXTERIORES TANGENTES POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA SECANTES
  • 3. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O1 O1 O1 O1 O2 O2 O2 O1O2 O O1 O2 T T EXTERIORES INTERIORES CONCENTRICAS TANGENTES EXTERIORES TANGENTES INTERIORES POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES
  • 4. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones PROPIEDADES DE LAS TANGENTES o r (recta TANGENTE) o1 o2 T T Si dos circunferencias son tangentes, el punto T de tangencia es un punto que comparten ambas y está en la recta que une sus centros Si una recta es tangente a una circun- ferencia, el punto de tangencia T es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente
  • 5. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones PROPIEDADES DE LAS TANGENTES El radio perpendicular a una cuerda (r) la divide en dos partes iguales, así como el arco que ésta subtiende. De ahí deducimos que LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASA POR EL CENTRO O r B A
  • 6. o Si una recta es tangente a una circun- ferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones T (Punto de tangencia) RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
  • 7. o T (Punto de tangencia) 1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones 1. Trazamos el radio OT de la circunferencia, es decir, del centro al punto de tangencia
  • 8. o T (Punto de tangencia) 1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones 2. Trazamos la perpendicular al radio OT desde el punto T. Dicha recta es la tangente la circunferencia dada RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
  • 9. 1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente o r (recta TANGENTE) Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA T (Punto de tangencia)
  • 10. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones d O
  • 11. 1. Trazamos una perpendicular del centro O a la recta d, prolongándola hasta cortar a la circunferencia en dos puntos, T1 y T2. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones d O T1 T1
  • 12. 2. T1 y T2 son los puntos de tangencia de las dos soluciones que buscamos, las rectas t1 y t2, paralelas a d en los puntos T1 y T2 RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones d O T1 T1
  • 13. TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones T
  • 14. TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones T A B 1. Trazamos desde T, dos arcos iguales con radio arbitrario consecutivos, TA y TB
  • 15. TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones T A B 2. Con centro en T y radio TB trazamos un arco TB
  • 16. TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones T A B 3. Trazamos el arco AB, que corta al anterior en C TB C
  • 17. TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones T t A B 4. Unimos C con T y obtenemos la recta tangente que buscamos TB C
  • 18. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O P
  • 19. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones MO P M r1 1. Trazamos el segmento OP y su mediatriz
  • 20. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones MO P M T1 T2 2. Trazamos la circunferencia de radio MO (=MP), que cortará a la circunferencia dada en los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las rectas que buscamos
  • 21. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones MO P M T1 T2 r1 t1 t2 r2 3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemos las rectas tangentes buscadas. Para comprobar que están trazadas correctamente, trazamos los radios r1 y r2, que deben cortar a t1 y t2 perpendicularmente.
  • 22. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O1 O2
  • 23. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O1 O2 r2 r1-r2 r2 r1 1.Se traza desde O1 una circunferencia de radio igual a la diferencia entre O1 - O2
  • 24. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones MO1 O2 2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y se le calcula la mediatriz. A continuación se traza una circunferencia con centro en M y radio M-O1, que corta a la trazada anteriormente en A y B. B O1 r1-r2 r2 r1 r2 A
  • 25. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M A B O1 O2 r2 r1-r2 r2 r1 De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia la de radio O1 menos O2)
  • 26. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M A B O1 O2 De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia la de radio O1 menos O2)
  • 27. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M A B T1 T2 O1 O2 r2 r1-r2 r2 r1 3. Una vez realizadas estas dos tangentes provisionales, se prolongan los radios O1A y O1B, hasta que corten a la circunferencia dada de centro O1. Estos dos puntos serán T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta circunferencia.
  • 28. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M A B T1 T2 T3 t1 t2 O1 O2 r2 r1-r2 r2 r1 4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la primera solución, la recta tangente t1
  • 29. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M A B T1 T2 T3 t1 t2 T4 O1 O2 r2 r1-r2 r2 r1 5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la segunda solución, la recta tangente t2
  • 30. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O1 O2
  • 31. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones O1 O2 1. Este caso es similar al anterior. también se resuelve simplificando el problema al de tangencia entre un punto y una circunferencia, pero en este caso en lugar de restar los radios de las circunferencias, los sumamos. De esta manera, trazamos con centro O1 una circunferencia auxiliar O3 de radio O1-O2 r1+r2 r1 r2 =O3
  • 32. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M O1 O2 2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2, y trazamos la circunferencia MO2, que corta a la circunferencia O3 en los puntos A y B A B r1+r2 r1 r2 =O3
  • 33. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M O1 O2 A B r1+r2 r1 r2 =O3 De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia la de radio O1 más O2)
  • 34. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M O1 A B O2 r1+r2 r1 r2 T1 T2 3. Unimos el centro O1 con A y con B, y dichas rectas cortan a la circunferencia O1 en los puntos de tangencia T1 y T2. =O3
  • 35. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M O1 A B O2 r1+r2 r1 r2 T1 T2 T3 t1 4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde O2, pero en este caso por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T3 =O3
  • 36. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones M O1 =O3 A B O2 r1+r2 r1 r2 T1 T2 T3 T4 t1 t2 5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde O2, También por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y uniendo T2 y T4 obtendremos la recta tangente t2
  • 37. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T R
  • 38. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T R
  • 39. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T O1 O2 R R
  • 40. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T O1 O2 R R R R
  • 41. TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T P
  • 42. TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T P
  • 43. TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T P o
  • 44. TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r T P o
  • 45. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r P R
  • 46. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r P R R
  • 47. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r R R P O1 O2 r
  • 48. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r R R P O1 T1 T2 O2 R
  • 49. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones r P O1 T1 T2 O2 R R R
  • 50. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r R
  • 51. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r R R R
  • 52. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s O1 O2 O3 O4 r R R R R R R R
  • 53. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s O1 T1 T8 T7 T6 T5 T4 T3 T2 O2 O3 O4 r R R R R R R R
  • 54. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s O1 T1 T8 T7 T6 T5 T4 T3 T2 O2 O3 O4 r R R R R R R R
  • 55. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r T
  • 56. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r T O
  • 57. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r T O1 O2 O
  • 58. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r T O1 T1 T2 O2 O
  • 59. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones s r T O1 T1 T2 O2 O
  • 60. b c A C B a CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
  • 61. b c A C B a 1.Se trazan las bisectrices tanto interiores como exteriores de los ángulos que se forman al cortarse las tres rectas T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
  • 62. 2.Las bisectrices interiores se cortan en el punto P (INCENTRO del triángulo que forman a, b y c), y las exteriores se cortan en E, D y F. Esos cuatro puntos son los centros de las cuatro soluciones b c A P E F D C B a T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
  • 63. 3. LOS PUNTOS DE TANGENCIA se obtienen trazando desde P, E, D y F las perpendiculares a cada una de las rectas a, b y c b c A P E F D C B a T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
  • 64. 4. Trazamos las circunferencias desde los centros hallados hasta los puntos de tangencia correspondientes b c A P E F D C B a T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
  • 65. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO r t s
  • 66. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO r t s
  • 67. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO r t s d d
  • 68. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO r t s O d d
  • 69. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO r t s O d d
  • 70. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO r t s O d d
  • 71. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES T R O
  • 72. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O T R
  • 73. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O O1 O2 T R R T
  • 74. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O O1 O2 T R R
  • 75. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P O P T
  • 76. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P O P T
  • 77. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P O P T o1
  • 78. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P O P T o1
  • 79. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R O P
  • 80. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES Or R+r R P
  • 81. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES Or R+r R-r R P
  • 82. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES Or R+r R R-r R o1 o2 o3 o4 P
  • 83. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES Or R+r R R-r R o1 o2 o3 T1 T4 T3 T2 o4 P
  • 84. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O P r R+r R R-r R o1 o2 o3 T1 T4 T3 T2 o4
  • 85. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O P r R+r R R-r R o1 o2 o3 T1 T4 T3 T2 o4
  • 86. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O P r R+r R R-r R o1 o2 o3 T1 T4 T3 T2 o4
  • 87. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P, DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES O P r R+r R R-r R o1 o2 o3 T1 T4 T3 T2 o4
  • 88. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R O r
  • 89. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R O r
  • 90. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r O r O1 O2 R+r
  • 91. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r rR-r O O4O3 R+r O1 O2
  • 92. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r rR-r O O4O3 T2T1 R+r O1 O2 T3T4
  • 93. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r r R+r R-r O O4O3 T3T4 T2T1O1 O2
  • 94. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA O r T
  • 95. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA O P r O T O
  • 96. O T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA T r P O1
  • 97. O T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA T r P O2 O1
  • 98. O T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA T r P T1T2 O2 O1
  • 99. O T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA R T r P T1T2 O2 O1
  • 100. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES Se llama enlace o empalme, en los trazados geométricos, a la unión de rectas con curvas o de curvas entre sí, efectuadas por medio de su punto de tangencia. Este punto común es el que permite la transición suave de unas a otras sin brusquedades de ningún tipo. r T T1 O s O O1 T1 T2 s R R+R1 R1 T O1 P O
  • 101. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T s
  • 102. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T s Sabemos que el arco que buscamos será tangente a r en T, por tanto su centro estará en la perpendicular a r trazada desde T
  • 103. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T O s También sabemos que el centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman
  • 104. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T T1 O s Para hallar el punto de tangencia en s, trazamos la perpendicular a s desde O
  • 105. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T T1 O s Teniendo O, T y T1, podemos trazar el arco que enlaza r y s
  • 106. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T T1 O s Teniendo O, T y T1, podemos trazar el arco que enlaza r y s
  • 107. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES R r s ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
  • 108. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES R r s El centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
  • 109. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES R O r r r s El arco de radio R será tangente a las rectas r y s en aquellos puntos donde dos de sus radios sean perpendiculares a r y s respectivamente, por tanto el centro O estará a distancia R de las dos rectas, es decir, en la unión de las paralelas a r y s a la distancia R ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
  • 110. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES R T1 T2 O r s Para calcular los puntos de tangencia, trazamos perpendiculares desde O a r y s ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA r r
  • 111. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES R T1 T2 O r s Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA r r
  • 112. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES R T1 T2 O r s Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA r r
  • 113. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES T1 T1 T2 T2 O O r r s s En el problema anterior, si no conocemos el vértice del ángulo entre r y s, trazando las paralelas obtenemos el punto O Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectriz del ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia R y obtendremos el centro O ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA r r r
  • 114. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r s T
  • 115. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T V Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman. En el caso que no veamos el vértice de dicho ángulo, trazamos dos paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria. Así conseguiremos un ángulo de vértice V cuya bisectriz coincide con la de r y s
  • 116. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T V Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman. En el caso que no veamos el vértice de dicho ángulo, trazamos dos paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria. Así conseguiremos un ángulo de vértice V cuya bisectriz coincide con la de r y s
  • 117. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T OV Para calcular el centro del arco que buscamos trazamos por T una perpendicular a la bisectriz hallada anteriormente. Donde dicha perpendicular corta a la bisectriz está el centro O del arco que buscamos
  • 118. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T T1 OV Trazando una perpendicular a s desde O conseguimos el otro punto de tangencia T1
  • 119. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T T1 OV Trazamos el arco OT
  • 120. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T T1 OV El enlace es la unión de r-arco-s
  • 121. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d d s T T1 OV El enlace es la unión de r-arco-s
  • 122. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O s R R1 ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
  • 123. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O s R R R1 ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
  • 124. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O O1 s R R R+R1 R1 ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
  • 125. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O O1 T1 T2 s R R R R+R1 R1 ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)
  • 126. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O O1 T1 T2 s R R R+R1 ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR) R1
  • 127. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O O1 T1 T2 s R R R+R1 ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR) R1
  • 128. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR) O s R R1
  • 129. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR) O s R R R1
  • 130. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR) O s R R R-R1 O1 R1
  • 131. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR) O s R R R-R1 O1 T1 T2 R1
  • 132. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR) O s R1 R R R-R1 O1 T1 T2
  • 133. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR) O s R1 R R R-R1 O1 T1 T2
  • 134. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA T P O
  • 135. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA O T P
  • 136. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA O T P O
  • 137. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA O T P O
  • 138. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA O T P O
  • 139. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA O T P O
  • 140. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA TP O
  • 141. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA TP O
  • 142. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA T O1 P O
  • 143. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA T O1 P O
  • 144. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA T O1 P O
  • 145. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA T O1 P O
  • 146. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O T ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
  • 147. R R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O T 1ª SOLUCIÓN ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
  • 148. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O T O1 R 1ª SOLUCIÓN ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
  • 149. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O T T1 O1 R 1ª SOLUCIÓN ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
  • 150. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O T T1 O1 R 1ª SOLUCIÓN ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
  • 151. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O T T1 O1 R 1ª SOLUCIÓN ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA
  • 152. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA O T R 2ª SOLUCIÓN
  • 153. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA O T O2 R 2ª SOLUCIÓN
  • 154. R T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA O T T2 O2 R 2ª SOLUCIÓN
  • 155. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O2 O1 R
  • 156. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O2 O1 O3 R R1-R R2-R
  • 157. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 T1 T2 R R1-R R2-R O2
  • 158. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 T1 T2 R R1-R R2-R O2
  • 159. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 T1 T2 R R1-R R2-R O2
  • 160. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 T1 T2 R R1-R R2-R O2 O4
  • 161. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 O4 T1 T2 T4 T3 R R1-R R2-R O2
  • 162. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 O4 T1 T2 T4 T3 R R1-R R2-R O2
  • 163. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO O1 O3 O4 T1 T2 T4 T3 R R1-R R2-R O2
  • 164. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A
  • 165. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 6
  • 166. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 6
  • 167. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
  • 168. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 6
  • 169. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 6
  • 170. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 6
  • 171. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
  • 172. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
  • 173. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA C B A 7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
  • 174. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 175. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 176. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 177. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 178. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 179. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 180. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 181. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 182. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 183. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 184. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 185. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 186. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1 UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA
  • 187. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones ENLACES UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA, DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA O2 B A7 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O1
  • 188. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA A B
  • 189. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA A B
  • 190. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 16 A B B
  • 191. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 16 A B B
  • 192. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA O
  • 193. O1 2 3 4 5 6 7 T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
  • 194. O1 2 3 4 5 6 7 1/7 T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
  • 195. O1 2 3 4 5 6 7 1/7 2pr T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
  • 196. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 1er PROCEDIMIENTO O B A
  • 197. O B r A T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 1er PROCEDIMIENTO
  • 198. Triángulo inscrito en la circunferenciaO B C r A A C B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 1er PROCEDIMIENTO
  • 199. O D L3 B C r Triángulo inscrito en la circunferencia A A C B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 1er PROCEDIMIENTO
  • 200. Cuadrado inscrito en la circunferenciaO A B C E rD L3 L4 A D C B F T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 1er PROCEDIMIENTO
  • 201. Cuadrado inscrito en la circunferenciaO A pr B C E F rD L3 L4 A D C B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 1er PROCEDIMIENTO
  • 202. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 2º PROCEDIMIENTO O
  • 203. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 2º PROCEDIMIENTO O
  • 204. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 2º PROCEDIMIENTO O A
  • 205. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 2º PROCEDIMIENTO O 30º B A
  • 206. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 2º PROCEDIMIENTO O B R R R R 30º A
  • 207. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA 2º PROCEDIMIENTO O B C A R R pr R R 30º
  • 208. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA O
  • 209. O 1 1 A B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
  • 210. O 1 A B 2 T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
  • 211. O 1 2 A B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
  • 212. O 1 2 3 A B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
  • 213. O 1 2 4 3 A B T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
  • 214. O 1 2 4 3 A B pr/2 T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones RECTIFICACIONES RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
  • 215. Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 1. Trazamos el CUADRADO correspondiente A D B C T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 216. 2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado A D B C Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 217. 3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado desde la mitad de cada uno de los lados A D B C Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 218. 4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz de AB A D B C O1 Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 219. 5. Dibujamos la circunferencia de centro O1 A O1 T1 T2 T3 D B C Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 220. 6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centros de circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC en O2, O3 y O4 A O1 O2 O3 O4 T1 T2 T3 D B C Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 221. 7. Trazamos el resto de circunferencias A O1 O2 O3 O4 T1 T2 T3 D B C Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 222. Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo O1 O2 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 223. 1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadas aumentando sus radios 15 mm. O1 O2 r2 + 15 r1 + 15 r2 r1 Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 224. 2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son los centros de las circunferencias tangentes buscadas O1 O4 O3 O2 Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 225. 3. Unimos los centros de las circunferencias dadas con los de las circunferencias tangentes, así obtenemos los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para trazar las circunferencias resultado O1 O4 O3 T1 T2 T4 T3 O2 Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 226. 4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a las circunferencias dadas. O1 O4 O3 O2 T1 T2 T4 T3 Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 227. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 228. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección de ambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm. de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente) 14 23 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 229. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos, a 56 mm de distancia en el eje mayor 14 23 56 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 230. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos de circunferencia de los extremos (12 mm. de radio). 12 6 56 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 231. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 T2 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 232. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 T3 T4 T2 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 233. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 T3 T4 T2 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 234. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 P Q T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 235. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 P Q T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 236. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 P Q T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8 12 28 56 46 12 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 237. P R 50 46 14 18 42 P O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 238. R 9 P R 50 46 14 18 42 P O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 239. R 9 P P T1 M1 R 50 46 14 18 42 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 240. R 9 P P T1 M1 R 50 46 14 18 42 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOST8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 241. R 9 P P T1 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 23O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. 23 50 27 50 -23 = 27 P O T2 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 242. R 23 R 9 P P O1 T1 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. 23 50 27 50 -23 = 27 P O T2 T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 243. R 23 R 9 P P O O1 T1 T2 T2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. R 23 23 50 27 50 -23 = 27 P O T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 244. R 23 R 9 P P O1 T1 T2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T2 23 50 27 50 -23 = 27 P O T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 245. R 23 R 9 P P O1 T1 T2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 42 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 246. R 23 R 9 P P O1 T1 T3 T2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 42 14 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 247. R 23 R 9 P P O1 T1 T3 T2 M2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 42 14 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 248. R 23 R 9 P P O1 T1 T3 T2 M2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 50 42 14 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
  • 249. R 23 P P O1 T1 T3 T2 M2 M1 R 50 46 14 18 42 R 27 R 9 R 50 42 14 O Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado. T8. TANGENCIAS EJERCICIOS