SISTEMA DIÉDRICO. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERAS MAGNITUDES. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
SISTEMA DIÉDRICO
PARALELISMO
PERPENDICULARIDAD
DISTANCIAS
VERDADERA MAGNITUD
P´= P´´Q´´
Q´
r´
r´´
Hr´´ Vh´
Vh” h”
h´
Vr´´
Vr´
Hr´
2 2
1
1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD
Para que dos rectas sean paralelas en el espacio, se tiene que cumplir que sus
proyecciones sobre el PV y el PH sean paralelas (salvo en las rectas de perfil)
V´´
V´´
H´´V´ V´
s´´
r´´
r
s
H´´ H´´V´
V´´
V´´
r´ s´
s´´
r´´
V´H´´
H´
H´
PARALELISMO ENTRE RECTAS

Trazado de una recta paralela a la recta r, que contenga al punto P
r´´
r´
P´´
P´

Hacemos dos paralelas a rý r´´ respectivamente, que pasen por Pý P´´.
Dichas rectas serán las proyecciones sý s´´ de la recta que buscamos
r´´
s´´
r´
s´
P´´
P´
Trazado de una recta paralela a la recta r que contenga al punto P

PARALELISMO ENTRE PLANOS
Los planos paralelos tienen paralelas las trazas del mismo nombre
´´
´´´´
´´
´´
´
´

Trazado del plano paralelo a otro alfa, que pase por un punto P dado
P´´
P´
´´
´

1. Trazamos una recta r horizontal de plano, cuya traza horizontal es paralela a
la traza vertical del plano
´´
´
P´´ r´´
r´
P´
Vr´´

2. Hemos trazado la horizontal de plano para asegurarnos que el plano que tracemos ahora, paralelo a , contenga a P, así que
trazamos una paralela a ´´ que pase por Vh´´. Esta recta será ´´, traza vertical del plano que buscamos.
´´ ´´
´
P´´Vh´´ h´´
h´
P´

3. Por último, trazamos una paralela a ´´ por donde la traza vertical ´´ ha cortado a la LT, y ya tenemos ´, traza
horizontal del plano solución.
´´ ´´
´
´
P´´Vh´´ h´´
h´
P´

1. Trazar la recta perpendicular al plano que forman las rectas r y s, por el punto P dado
r´´
r´
s´´
s´
P´
P´´
A´´
A´

r´´
´´ 1´´
1´
2´´
2´
r´
h´
- h´´
s´
s´´
1. Trazamos el plano auxiliar paralelo al horizontal, ´´. Dicho plano corta con el plano que forman las
rectas r y s en la recta horizontal de plano h´- h´´, que intersecciona con r y s en los puntos 1 y 2
P´
P´´
A´´
A´

2. Trazamos el plano auxiliar paralelo al vertical, ´. Dicho plano corta con el plano que forman las
rectas r y s en la recta frontal de plano f´- f´´, que intersecciona con r y s en los puntos 3 y 4
1´
2´
P´
P´´
r´´
´´
´
1´´
3´´
3´ 4´
4´´
2´´
r´
h´
f´´
-f´
- h´´
s´
s´´
A´´
A´

3. La perpendicular trazada a f´´ desde P´´ será la traza t´´ de la recta que buscamos perpendicular
al plano formado por las rectas r y s.
1´
2´
P´
P´´
t´´
r´´
´´
´
1´´
3´´
3´ 4´
4´´
2´´
r´
h´
f´´
-f´
- h´´
s´
s´´
A´´
A´

4. La perpendicular trazada a h´ desde P´ será la traza t´ de la recta que buscamos.
1´
2´
P´
P´´
t´´
t´
r´´
´´
´
1´´
3´´
3´ 4´
4´´
2´´
r´
h´
f´´
-f´
- h´´
s´
s´´
A´´
A´

2. Trazar un plano perpendicular a la recta r por el punto P
r´´
r´
P´´
P´

r´´
r´
P´´
h´´
h´
Vh´
P´
1. De antemano sabemos que las trazas del plano serán
perpendiculares a las proyecciones de la recta.
Por tanto, pasamos por P, en primer lugar, una
horizontal de plano h cuya traza horizontal sea
perpendicular a la traza r´.
Vh´´

r´´
r´
P´´
h´´
f´´
f´
Hf´
Hf´´
h´
Vh´
P´
2. En segundo lugar, trazamos la frontal f, cuya traza f´´
es perpendicular a r´´.
Vh´´

r´´
r´
P´´
h´´
f´´
f´
Hf´
Hf´´
h´
Vh´´
Vh´
P´´
´´
3. Las trazas 1 y 2 del plano que buscamos
pasarán por Vh´´ y Hf´, y serán perpendiculares a
las trazas de la recta r´y r´´

3. Dibuja las trazas del plano que contenga al punto P y sea paralelo a las rectas a y b
a´´P´´
P´
a´
b´
b´´

a´´
Hr´´Vr´
r´
P´´
P´
a´
b´
b´´
1. Para que un plano sea paralelo a una recta, el plano ha de contener al menos una recta paralela a ella.
Así, trazamos las rectas r (paralela a la recta a) y s (paralela a la recta b).
r´´
Vr´´
Hr´

a´´
r´´
s´
Hr´´Hs´´
Hs´
Vs´ Vr´
r´
P´´
P´
a´
b´
b´´
1. Para que un plano sea paralelo a una recta, el plano ha de contener al menos una recta paralela a ella.
Así, trazamos las rectas r (paralela a la recta a) y s (paralela a la recta b).
s´´
Vr´´
Vs´´
Hr´

a´´
r´´
s´´
s´
Hr´´Hs´´
Hs´
Vr´´
Vs´´
Vs´ Vr´
Hr´
r´
P´´
´´
´
P´
a´
b´
b´´
2. La unión de Hs´con Hr´y de Vs´´ con Vr´´ nos da las trazas 1 y 2, trazas del plano ,
que contiene a ambas rectas

4.Determinar las trazas del plano que contenga al punto P (P´= P´´)
y sea paralelo al definido por la recta r (r´-r´´) y el punto Q (Q´-Q´´)
P´= P´´Q´´
Q´
r´
r´´

P´= P´´Q´´
2
1
Q´
r´
r´´
1. En primer lugar determinamos el plano , que contiene a la recta r
y al punto Q (el punto Q pertenece al plano vertical, por tanto 2
pasará por Q”)
Hr´´
Vr´´
Vr´
Hr´

P´= P´´Q´´
Q´
r´
r´´
2. Sabemos que dos planos paralelos en el espacio tienen
sus trazas paralelas entre sí. Para hallar las trazas de un plano 
que sea paralelo a  y contenga al punto P, trazamos una horizontal
(podría ser una frontal) por P de forma que h1 sea paralela a 1
Hr´´ Vh´
Vh” h”
h´
Vr´´
Vr´
Hr´
2
1

P´= P´´Q´´
Q´
r´
r´´
3. Al obtener Vh” podemos trazar 2, que pasará por dicho punto
y será paralela a 2
Hr´´ Vh´
Vh” h”
h´
Vr´´
Vr´
Hr´
2 2
1

P´= P´´Q´´
Q´
r´
r´´
4. 1 es paralela a 1 y a h´
Hr´´ Vh´
Vh” h”
h´
Vr´´
Vr´
Hr´
2 2
1
1

5. Hallar las trazas del plano , que contenga al punto P (P´- P´´),
sea paralelo a la recta a (a´-a´´) y perpendicular al plano  (1- 2)
P´´
P´
a´
´
´´
a´´

P´´
P´
a´
´
´´
a´´ r”
r´
1. Para que el plano  que buscamos sea paralelo a la recta a, debe contener
una recta r paralela a la recta a. Si además, ha de ser perpendicular a 
deberá contener a una recta s, perpendicular a éste.
Empezamos por hacer la recta r paralela a la recta a
Hh”
Vr”
Vr´
Hr´

P´´
P´
a´
´
´´
a´´ r”
s”
s´
r´
2. Trazamos la recta s, perpendicular a 
Hr” Hs” Vs´
Vs”
Vr”
Vr´
Hr´
Hs´

P´´
P´
a´
´
´´
a´´ r”
s”
s´
r´
3. Trazadas las rectas r y s, hallamos el plano que las contiene, ,
que será el plano buscado, ya que contiene el punto P, es paralelo a r
y perpendicular al plano Unimos Vr” con Vs” y obtenemos ”
Hr” Hs” Vs´
Vs”
Vr”
Vr´
Hr´
2
Hs´

P´´
P´
a´
´
´´
a´´ r”
s”
s´
r´
4. Unimos Hr´ con Hs´, comprobando que están alineados con la unión
de la traza 1 y la LT. Ésta será la traza horizontal 1. Así se
acaba de solucionar el problema.
Hr” Hs” Vs´
Vs”
Hs´
Vr”
Vr´
Hr´
2
1

6. Calcula las proyecciones de la recta que pasa por el punto P (P´- P´´),
y corta perpendicularmente a la recta t (t´-t´´)
t´
t´´
P”
P´

t´
P”
P´
t´´
1. Para hallar la solución el primer paso será trazar un plano  que contenga
al punto P (tercer cuadrante) y sea perpendicular a la recta t.
. Para ello, nos ayudamos trazando por P la horizontal de plano h,
cuya traza horizontal es perpendicular a t´. Una vez tenemos Vh” trazamos una
perpendicular a t” por Vh” y ya tenemos 2. Luego, trazamos una perpendicular
a t´ desde donde a1 corta a la LT y obtenemos ´.
Vh´
Vh” h”
h´
1
2

t´
P”
P´
t´´
2. Trazamos un plano , proyectante horizontal, que contiene a la recta t
dada.
Vh´
Vh” h”
h´2
2
2
1

t´
P”
P´
t´´
i”
Q”
Q´
3. La intersección de  y  es la recta i. Donde i corta a la recta t
hallamos el punto Q de intersección entre la recta t y el plano .
Vh´
Vh” h”
h´2
2
1 = i´
1
Vi”
Vi´
Hi´
Hi”

t´
P”
P´
t´´
r”
r´
i”
Q”
Q´
4. La recta r, resultante de unir los puntos Q y P, es la solución que
buscábamos
Vh´
Vi”
Vi´
Hi´
Hi”
Vh” h”
h´2
2
1 = i´
1

7. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) al
plano definido por la recta a (a´- a´´ )
P´
P´´
a´´
a´

1. Dibujamos el plano  (1-2), del que la recta a es de máxima inclinación.
Para ello, comenzamos a dibujar las trazas de la recta a
P´
P´´
a´´
Va´
Ha´
Ha´´
a´
Va´´

2. Dibujamos el plano  (1-2). 2 es perpendicular a a”. Para hallar 1
unimos H1a con el punto donde 1 corta a la LT
P´
P´´
a´´
Va´´
Va´
Ha´
Ha´´
a´
´´
´

3. Trazamos la recta r, perpendicular al plano  por el punto P
P´
r´
r”
P´´
a´´
Va´´
Va´
Ha´
Ha´´
a´
´´
´

4. Trazamos el plano auxiliar proyectante , cuya traza vertical 2 coincide con r”.
P´
r´
r”=2
1
P´´
a´´
Va´´
´´
´
Va´
Ha´
Ha´´
a´

5. Hallamos la recta intersección i entre  y 
P´
r´
r”=2= i”
1
P´´
a´´
i´
Vi´
Vi”
Hi”
Hi´
Va´´
´´
´
Va´
Ha´
Ha´´
a´

6. Hallamos el punto Q, punto intersección entre la recta r y el plano .
Para ello prolongamos r´ y donde corta a i´ obtenemos Q´. Una vez obtenemos
Q´ podemos obtener Q”, que estará en la traza r”=”=i”
P´
r´
r”=2= i”
1
P´´
a´´
i´
Vi´
Vi”
Hi”
Hi´
Va´´
´´
´
Va´
Q´
Q”
Ha´
Ha´´
a´

7. Los segmentos P´Q´ y P”Q” son las proyecciones d´ d” de la distancia
del punto P al plano Ahora sólo hay que hallar la magnitud real
del segmento d
P´
r´
r”=2= i”
1
P´´
a´´
i´
Vi´
Vi”
Hi”
Hi´
Va´´
´´
´
Va´
Q´
Q”
d”
d´
Ha´
Ha´´
a´

8. Para hallar la magnitud real de d, hallamos la distancia x (diferencia de
cotas de P´a Q´)
P´
r´
r”=2= i”
1
P´´
a´´
i´
Vi´
Vi”
Hi”
Hi´
Va´´
´´
´
Va´
Q´
Q”
d”
d´
Ha´
Ha´´
a´
x

9. Trazamos una perpendicular a d” desde P”, y sobre dicha recta trasladamos
el segmento x
P´
r´
r”=2= i”
1
P´´
a´´
i´
Vi´
Vi”
Hi”
Hi´
Va´´
´´
´
Va´
Q´
Q”
d”
d´
Ha´
Ha´´
a´
x
x

10. Unimos el extremo de x con q” y obtenemos la verdadera magnitud de
la distancia d
P´
r´
r”=2= i”
1
P´´
a´´
i´
Vi´
Vi”
Hi”
Hi´
Va´´
´´
´
Va´
Q´
Q”
d”
d´
d
Ha´
Ha´´
a´
x
x

8. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´)
a la recta t (t´- t´´ ), de la que se conocen las proyecciones de sus trazas
P´´
Vt´´
Ht´´-Vt´
Ht´
t´
t´´
P´

P´´ P´´´
´´
´
Vt´´ Vt´´´
Ht´´´
Ht´´-Vt´
Ht´
t´
t´´
t´´´
P´
1. Tenemos que hallar un punto Q de la recta t que sea pie de la perpendicular
a t por P. Para ello, llevamos ambos elementos a la proyección
de perfil, donde el ángulo entre t y dicha perpendicular estará en
verdadera magnitud

P´´ P´´´
´´
´
Vt´´ Vt´´´
Ht´´´
Ht´´-Vt´
Ht´
t´
t´´
t´´´
d´´´
Q´´´
P´
2. Trazamos la perpendicular a t´´´desde P´´´, segmento d. La distancia PQ es
la distancia que buscamos. Ya sólo queda hallar su verdadera magnitud

P´´ P´´´
´´
´
Vt´´ Vt´´´
Ht´´´
Ht´´-Vt´
Ht´
t´
t´´
t´´´
d´´´
d´´
d´
P´
3. Una vez tenemos d´´´, podemos dibujar d´y d´´
Q´´´
Q´´
Q´

P´´ P´´´
´´
´
Vt´´ Vt´´´
Ht´´´
Ht´´-Vt´
Ht´
t´
t´´
t´´´
d´´´
d´´
d
d´
P´
4. Ya sólo falta hallar la verdadera magnitud: hipotenusa del triángulo rectángulo
cuyos catetos son d´y x, siendo x la diferencia de cotas de los puntos P y Q
Q´´´
Q´´
Q´
xx

9. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´)
a la recta r (r´- r´´ )
A´´
A´r´
r´´

A´´
f´´
Hf´´
Hf´
f´
A´r´
r´´
1. Con ayuda de la recta frontal f hallamos el plano a, que contiene al punto A
y es perpendicular a la recta f. Para ello trazamos, en primer lugar, la traza
f´´, que pasa por A´´ y es perpendicular a r´´. La traza f´ es paralela a LT

A´´
f´´
2
1
Hf´´
Hf´
f´
A´r´
r´´
2. Trazamos el plano 1 es perpendicular ar´ y a f´´,
y 2 es perpendicular a r´´ y paralela a f´´)

A´´
f´´
2
1
1
Hf´´
Hf´
f´
A´r´
r´´=2
3. Calculamos la intersección de la recta r con el plano , que será el punto B.
Para ello hemos creado el proyectante auxiliar , que contiene a r, y hemos
trazado la intersección entre  y El punto B´ está donde la traza r´corta a i´.

A´´
f´´
2
1
1
Hf´´
Hf´
f´
A´
B´
B´´
r´
i´
r´´=2=i´´
3. Calculamos la intersección de la recta r con el plano , que será el punto B.
Para ello hemos creado el proyectante auxiliar , que contiene a r, y hemos
trazado la intersección entre  y El punto B´ está donde la traza r´corta a i´.

A´´
f´´
2
1
1
Hf´´
Hf´
f´
A´
B´
B´´
d´´
d´
r´
i´
r´´=2=i´´
4. Los segmentos A´B´= d´ y A” B” = d” son las proyecciones de la
distancia que buscamos.

A´´
A0
f´´
2
1
1
Hf´´
Hf´
f´
A´
B´
B´´
d´´
d´
r´
i´
r´´=2=i´´
5. Hallamos la verdadera magnitud de d, como hicimos en el ejercicio anteriorx
x
d

1
2
10. Dibujar las trazas del plano , paralelo al plano  (1-2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

1
2
Para resolver este problema, se trata de hallar un punto cualquiera Q, que
diste 30mm del plano , y a continuación, trazar por él un plano , paralelo a .
1. Comenzamos haciendo una frontal f del plano 
f´´
f´

1
2
2. Tomamos un punto P cualquiera de f, que al pertenecer a f,
pertenecerá por tanto al plano 
f´´
f´P´
P´´

1
2
3. Por P trazamos la recta r, perpendicular a .
f´´
r´´
r´
f´P´
P´´

1
2
4. Sobre la recta r tomamos el punto Q, que dista de P la medida real de 30 mm.
Para hacer esto hallamos la verdadera magnitud de un punto cualquiera A
de la recta r, y sobre esta veraddera magnitud tomaremos los 30 mm que nos
darán el punto Q0. Empezamos por situar un punto A cualquiera en r.
f´´
f´P´
A´
A´´
P´´
r´´
r´

1
2
5. Hallamos la distancia x entre A´ y P´y calculamos la verdadera magnitud
de la distancia AP
f´´
f´P´
A´
A´´
A0 d AP
P´´
x
x
r´´
r´

1
2
6. Sobre la distancia AP, y partiendo de P´´, trazamos un segmento de 30 mm
en cuyo extremo estará Q0
f´´
f´P´
A´
A´´
A0 d AP
30 mm
P´´
x
x
Q0
r´´
r´

1
2
7. Obtenido Q0, podemos hallar Q´´ y Q´.
f´´
f´P´
A´
A´´
A0 d AP
P´´
Q0
Q´´
x
x
r´´
r´

1
2
7. Obtenido Q0, podemos hallar Q´´ y Q´.
f´´
f´P´
A´
A´´
A0 d AP
P´´
Q0
Q´´
Q´
x
x
r´´
r´

1
2
8. Trazando la horizontal h, que contiene a Q, determinamos las trazas del
plano , paralelo al plano  a 30 mm
f´´
f´P´
A´
A´´
A0 d AP
P´´
Q0
Q´´h´´
h´
Q´
x
x
r´´
r´

1
2
2
1
8. Trazando la horizontal h, que contiene a Q, determinamos las trazas del
plano , paralelo al plano  a 30 mm
f´´
f´P´
A´
A´´
A0 d AP
P´´
Q0
Q´´
Q´
x
x
r´´
r´
h´´
h´

11. Halla la distancia entre los dos planos paralelos  (-50, -50, 50) y  (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT
O
2
1
2
1

O
2
1
2
1
1. Se traza una recta cualquiera perpendicular a los dos planos  y .
La proyección vertical r2 debe ser perpendicular a las trazas 2 y 2,
y la horizontal r1 debe ser perpendicular a 1 1
r1
r2

O
2
1
1
2
1
2. Utilizando un plano auxiliar proyectante  que contenga a la
recta r, se hallan los puntos M y N de intersección de r con  y 
respectivamente, a través de las rectas m y n
La recta m es la inter-
sección de  con 
r1
Hm1
Vm2
r2=2=m2
m1

O
2
1
1
2
1
La recta n es la inter-
sección de  con 
r1
Hm1
Vm2
r2=2=m2=n2
Vn2
Hn1
n1
m1

O
2
1
1
2
1
Una vez tenemos las rectas
m y n, situamos los
puntos M y N de intersección
de r con  y 
r1
M2
Hm1
Vm2
r2=2=m2=n2
Vn2
Hn1
n1
N1
N2
m1
M1

O
2
1
1
2
1
3. Se determina la verdadera magnitud del segmento MN:
Por M1 se traza la perpendicular a M1N1, y se traslada sobre ella
la diferencia de cotas M1M´, siendo la verdadera magnitud el
segmento N1M
Perpendicular a M1N1
desde M1
r1
m1
M2
Hm1
Vm2
r2=2=m2=n2
Vn2
Hn1
n1
N1
N2
M1

O
2
1
1
2
1
segmento N1M
Se calcula la diferencia de
cotas entre N2 M2=d,
y se traslada sobre la
perpendicular a M1N1 tra-
zada anteriormente
r1
m1
M1
M2
Hm1
Vm2
r2=2=m2=n2
Vn2
Hn1
n1
N1
N2d
d

O
2
1
1
2
1
segmento N1M
La Verdadera Magnitud de
la distanciaentre  y 
es el segmento M´N1
r1
m1
M1
M´
VM
M2
Hm1
Vm2
r2=2=m2=n2
Vn2
Hn1
n1
N1
N2d
d

12. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P a la recta t
P2
t2
t1P1

1. Por el punto P se traza el plano ,
perpendicular a la recta t. Para
ello utilizamos una recta
horizontal m que pasa por
P y cuya proyección horizontal
m1 es perpendicular a la proyec-
ción horizontal t1
1a. Trazamos la recta
horizontal m
P2m2 Vm2
m1
t2
t1
Vt2
Ht1
P1

1. Por el punto P se traza el plano ,
perpendicular a la recta t. Para
ello utilizamos una recta
horizontal m que pasa por
P y cuya proyección horizontal
m1 es perpendicular a la proyec-
ción horizontal t1
1b. Se traza el plano ,
cuya traza vertical 2
pasa por Vm2 y es
perpendicular a t2,
y su traza horizontal
parte del vértice en la LT
y es perpendicular a t1
P2m2 Vm2
m1
2
1
t2
t1
Vt2
Ht1
P1

2. Se halla el punto M de intersección
de la recta t con el plano , para
lo cual se ha utilizado un plano
arbitrario  que contiene a la
recta t, y que se corta con el
plano a según la recta r
2a. Se traza el plano ,
cuya traza vertical 2
pasa por Vt2
y su traza horizontal
por Ht1
P2m2 Vm2
m1
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1

2b. Se traza la recta r
de intersección de
los planos y,
P2
r2
r1
m2 Vm2
m1
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1

2c. Donde r2 corta a t2
tenemos M2, y donde r1
corta a t1 tenemos M1
P2m2 Vm2
m1
M2
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1
r2
r1
M1

3. Determinamos la Verdadera
Magnitud de PM.
3a. Por P1 trazamos la perpendicular
a P1M1
P2m2 Vm2
m1
M2
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1
r2
r1
M1

Magnitud de PM.
3b. Se calcula la diferencia de cotas
P2M2 = d
P2m2 Vm2
m1
M2
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1
r2
r1
d
M1

Magnitud de PM.
3c. Se traslada la d sobre la
perpendicular trazada anteriormente
en P1, y obtenemos P´
P2m2 Vm2
m1
M2
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1
r2
r1
d
d
P´
M1

Magnitud de PM.
3d. La distancia P´M1 es la
VERDADERA MAGNITUD
de la distancia de P a T
P2m2 Vm2
m1
M2
22
11
t2
t1
Vt2
Ht1
P1
r2
r1
M1
d
d
P´

SISTEMA DIÉDRICO. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERAS MAGNITUDES. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

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